微专题不等式恒成立问题常见类型及解法

恒成立问题常见类型及解法

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。

一、一次函数型

给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的

图象（线段）可得①0()0>⎧⎨>⎩k f m 或②0()0<⎧⎨>⎩k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>⎧⎨>⎩，

同理，若在[,]m n 内恒有()0

f (n)0

<⎧⎨

<⎩.

典例1.若不等式2x -1>()

2

1-m x 对一切[]2,2∈-m 都成立，求实数x 的取值范围。

【解析】令f (m)＝（21-x ）m －2x ＋1，则上述问题即可转化为关于m 的一次函数

=y ()f m 在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点，只

要(2)(2)-⎧⎨

⎩

＜0，＜0f x f 即x

的取值范围是（12

，1

2）. 二、二次函数型

若二次函数2

(0,)=++≠∈y ax bx c

a x R 的函数值大于（或小于）0恒成立，则有

a 00>⎧⎨∆<⎩（或00a ì<ïïíïD <ïî

），若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以

及二次函数的图象求解。

典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。 【解析】方法1（利用韦达定理）

设3x

=t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2

+(4+a )t+4=0有正根。

1212

Δ0

(4)040

≥⎧⎪

∴+=-+>⎨⎪=>⎩g x x a x x ，即2(4a)160a 4⎧+-≥⎨<-⎩，a 0a 8a 4≥≤-⎧∴⎨<-⎩或，解得a ≤-8.

方法2（利用根与系数的分布知识）

即要求t 2

+(4+a )t+4=0有正根。设f(t)= t 2

+(4+a )t+4.

当∆=0时，即（4+a ）2

-16=0,∴a =0或a =-8.

当a =0时，f(t)=(t+2)2=0,得t=－2<0，不合题意； 当a =－8时，f(t)=(t-2)2

=0,得t=2>0,符合题意。∴a =-8。

当∆>0，即a <-8或a >0时， ∵f(0)=4>0,故只需对称轴4a

02

+->，即a <－4.∴a <－8. 综上可得a ≤－8. 三、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

典例3设函数2

()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2

4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+

⎪⎝⎭

恒成立，则实数m 的取值范围是

【解析】依据题意得2

2222214(1)(1)14(1)---≤--+-x m x x m m 在3[,)2∈+∞x 上恒定成

立，即2

2213241-≤--+m m x x 在3[,)2∈+∞x 上恒成立。 当32=x 时函数2321=--+y x x 取得最小值53

-，

所以

221543-≤-m m ，即22(31)(43)0+-≥m m

，解得2≤-m

或2

≥m 。 四、利用函数的性质解决恒成立问题

若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= －f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数

图象平移前后互相重合，则函数解析式相等。 典例4将函数()sin()f x x =+ωϕ的图像向左平移2

π

个单位。若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能．．．

等于（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 【解析】选B ，把图象向左平移

2

π

个单位得 y sin x sin x 22⎛π⎫π⎛⎫⎛⎫=ω++ϕ=ω+ω+ϕ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

又该函数图像与原函数图像重合，所以()sin x sin x 2π⎛

⎫

ω+

ω+ϕ=ω+ϕ ⎪⎝⎭

恒成立，2k 2

π

∴ω+ϕ=π+ϕ，()4k k Z ∴ω=∈，所以k 不可能为6。 五、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题

若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。

典例5若不等式log sin 2(01)>>≠a x x a a 且对于任意x ∈(0,]4

π都成立，求a 的取值

范围.

【解析】作出函数sin 2=y x 的图象，由题意知 在x ∈(0, 4

π

］上，函数log =a y x 的图象总在函数sin 2=y x 的图象的上方.∴01<

作直线x =4

π，与log =a y x 和sin 2=y x 的图象分别交于A 、B 两点，为保证log =a y x 在区间

（0，4

π］上的图象在sin 2=y x 图象的上方，不难从图中得到其条件是点A 在点B 的上方。 ∴当x =4

π

时，log sin(2)1log 44>⨯==a

a a π

π, 又01<

π