第二章矩阵及其运算习题课

4. 分块矩阵
A11B11
AB
A21B21 As1Bs1
A12B12 A22B22
As2Bs2
A1t B1t A2t B2t AstBst
A11 A12
（2）数乘
设
A
A21 As1
A22 As 2
A1t
A2t Ast
，k为数，则
kA11 kA12
kA
kA21
推论 可逆矩阵的标准形是单位矩阵，并且只需要进行初等行变换就 能将可逆矩阵化为单位矩阵.
定义2.11 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵：
1 (1). E(i，j)
0 1
1 0
ri
rj
1
1
(2).
E(i(k))
k
ri
1
1 (3). E(i，j(k))
（2）. 单位矩阵（当 i j 时，aij 1 ；当i j 时，aij 0 ）
1
E
1
1
简称单位阵，可记为 E n .
（3）.上三角矩阵（当 i j 时，aij 0 ）
a11 a12 a1n
U
a22 a2n
ann
（4）. 下三角矩阵（当 i j 时，aij 0 ）
Back
所有元素 aij 0的矩阵称为零矩阵，记为 O； 当 m1 时，称为行矩阵；
当 n 1 时，称为列矩阵；
当 mn时，称为 n阶方阵；
若两个矩阵的行数和列数对应相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
几种常用方阵：
（1）. 对角方阵（当 i j 时，aij 0）
a11
Λ
a22
ann
简称对角阵，可记为 Λ di(a a 1,1 a g 2,2 a n)n.
a11
L
a21 an1
a22 an2
ann
上三角矩阵和下三角矩阵统称三角矩阵.
2. 矩阵的运算
设矩阵 A(aij)B , (bij)，则 矩阵相等 ABaijbi（j 对一切i, j ），A、B为同型矩阵. 矩阵的和 A B(aijbij)A ,、 B为同型矩阵.
数乘矩阵 kA(kaij),k为任意常数.
1
k 1
ri
Hale Waihona Puke Baidu
rj
1
(A B ) 初 等 行 (E 变 A 换 1B )
逆矩阵的求法：
（1）根据矩阵的定义， A B B A E ，则 A1B；
（2）根据伴随矩阵求， A1 1 A，* 其中 A* 为伴随矩阵；
NEXT
1.矩阵的概念
定义2.1 由 mn个元素a i(ji 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )排成的 m行 n
列的数表 ：
a11 a12 a1n
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
称为 m行 n列矩阵，简称 mn矩阵，简记为 A(aij)mn，其中
a ij 称为 A的元素.
A1T1 A1T2
AT
A2T1
A2T2
AsT1 AsT2
A1Tt A2Tt
.
AsTt
定义2.6 设 A为 n阶方阵，称如下形式的分块矩阵为分块对角矩阵
A11
A
A22
Akk
其中 Aii(i1， 2， k)皆为方阵.
A11
设方阵
A
A22
，则有
Akk
当
A
Ak
A2
A1
且
Ai
均可逆时，有
A1
A11
A1 k 1
Ak1
.
5. 初等变换与初等矩阵
定义2.7 矩阵的初等行（列）变换指如下三种变换：
（1）对换变换：对调矩阵的第 i行（列）与第 j行（列），记为
ri rj(ci cj)；
（2）数乘变换：以非零常数 k 乘矩阵的第 i行（列）的所有元素，
记为 k ri (k ci )；
（3）倍加变换：将矩阵的 i行（列）的所有元素的 k倍加到第 j
行（列）对应元素上，记为 rj kir(cj kic).
定义2.8 满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵： （1）各非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增大； （2）如果矩阵有零行，那么零行在矩阵的最下方.
线性代数习题讲解
第二章 矩阵及其运算
一、要点复习 二、作业讲解 三、典型例题介绍
一、要点复习
矩阵的概念 矩阵的运算
逆矩阵
定义 特殊矩阵
基本运算 性质
方阵的行列式及其性质 定义
性质
分块矩阵
定义与运算 分块对角矩阵
初等变换与初等矩阵
初等变换 初等矩阵 逆矩阵的求法
矩阵的秩
定义 秩的相关结论 秩的求法
s
矩阵相乘 AmsBsn(cij)mn，其中cij aikbkj, 即要求 A k 1
的列数必须等于B的行数.一般地矩阵的乘法不满足交换律，即
ABBA .
方阵的幂 A 0E n,A k A A A ,（k1,2 ),3,
k个
转置矩阵 AT (aji)nm是矩阵A(aij)mn的转置矩阵.
对称矩阵 称满足 AT A的方阵 A为对称矩阵，即对所有i, j
满足 aij aji .
反对称矩阵 称满足 AT A的方阵 A为对称矩阵，即对所有i, j
满足 aij aji .
3. 逆矩阵
A11 A21
A*
A12 A1n
A22 A2n
An1
An2
Ann
（7）若 A可逆，则 (A1)*(A*)1.
kAs1
kA22
kAs2
kA1t
kA2t
kAst
.
（3）乘法 设 A为 ml 矩阵，B为 l n矩阵，分块为
A11 A12 A1t
B11 B12 B1r
AA A 2s11
A22 As2
A A 2stt，BB B 2t11
B22 Bt2
B2r B tr
其中 Ai1，Ai2， ，Ait的列数分别对应等于 A1j，A2j， ，Atj
定义2.9 满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵： （1）各非零行的第一个非零元素都是1； （2）各非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零.
定义2.10 形如下列形式的矩阵称为标准形矩阵：
Er 0
0
0
定理2.4 设 A为 非零矩阵，那么 A一定可以经过有限次初等行变换化为行
阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为标准形.
的行数，则
C. 11 C12
AB
C21 Cs1
C22
Cs2
C1t C2t Cst
t
其中 C ij A ik B k(ji1 ， 2 ， s； j1 ， 2 ， r). k 1
A11 A12
（4）转置
设
A
A21 As1
A22 As 2
A1t
A2t Ast
，则