椭圆第二定义

椭圆第二定义

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.

教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

的精神．

教学过程： 学生探究过程：复习回顾

1．椭圆8192

2

=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为

3

2

2，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4

2

27±

=y ）. 2．短轴长为8，离心率为

5

3

的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 20 . 引入课题

【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为

116

252

2=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点 ① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 .

② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？

解：2

2

)34(||y MF +-=且

116

2542

02=+y 代入消去2

0y 得51325169||==MF

【推广】你能否将椭圆122

22=+b

y a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成

点M 横坐标x 的函数吗？

解：

⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=1

)(||22

222

2b y a

x y c x MF 代入消去

2

y 得

22222

2

2

)(2||a x a c

x a

b b

c cx x MF -=-++-=

||||||2

2c

a x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率a

c

问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于常数)(c a a

c

>的点的

轨迹是椭圆．

【引出课题】椭圆的第二定义

当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=

e a

c

e 时，

这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．

对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦

点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b

x a y 的准线方程是c a y 2

±=．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义e d

MF =∴

|

|可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a c

a x e ed MF +=--==|)(|||2

左

典型例题

例1、求椭圆

116

252

2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；

解：由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线c

a x 2

-=

变式：求椭圆8192

2

=+y x 方程的准线方程；

解：椭圆可化为标准方程为：19

812

2=+x y ，故其准线方程为42272±=±=c a y 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

例2、椭圆

116

252

2=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 . 变式：求M 到右焦点的距离为 .

解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：

e d MF =||53||1

1===a c e d MF 5.15.253

||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF 又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴

==+MF a MF MF 另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685

253505.222=-=-c a 5.86

85

53||||2222=⨯==∴=ed MF e d MF

小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用

例1、 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨

迹；

解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则2

1|8|)2(22=-+-x y x 由化简得

112162

2=+y x ，故所的轨迹是椭圆。

解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82

==c

a x 解得4=a ，又因为2

1

==a c e 故所求的轨迹方程为

1121622=+y x 变式：点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨

迹； 分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？