(完整word版)20xx年高考数学总复习概率及其计算.doc
高考数学总复习配套课件：第10章《概率》10-3几何概型
为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行
过程中始终保持与正方体6个表面的距离
均A.2大47 于1，称其为“安全B.19飞行”，则蜜蜂
“4安全飞行”的概率为( 1 )
C.9
D.27
解析：蜜蜂如果能“安全飞行”，则蜜蜂飞行过程中应在一个中心
与原正方体中心重合，且在棱长为 1 的正方体内，该正方体的体积 V1＝ 13＝1，而原正方体的体积 V＝33＝27，故所求概率 P＝VV1＝217.
【思想方法】 转化与化归思想在几何概 型中的应用
【典例】 (2012年高考辽宁卷)在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形， 邻A.16边长分别等于线段ABC.13 ，CB的长，则该
矩2形面积大于20 cm2的概4 率为( )
C.3
D.5
【解析】 设 AC＝x，则 BC＝12－x，所以 x(12－x)＝20，解得 x
电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小 波周末不在家看书的概率为________．
[解析] 设 A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则 P(D) ＝1－π122－π π142＝1136.
[答案]
13 16
1．(2013 年太原模拟)若实数 a，b 满足 a2＋b2≤1，则关于 x 的方程
x2－ax＋34b2＝0 有实数根的概率是(
)
1
1
A.6
B.4
1 C.3
D．1
解析：由原方程有实根得a2－3b2≥0⇔(a－ b)(a＋b)≥0，则整个基本事件空间可用点 (a，b)所在图形的面积来度量，为以原点 为圆心，以1为半径的圆，事件“方程有 实根”可用不等式组对应平面区域的面积
2020届高考文数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第19题+统计概率+Word版含答案
常考题型大通关：第19题统计概率1、2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。
射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．2、某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②、③、④位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？3、随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查40人,并将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,60]频数 5 10 10 5 10赞成人数 4 6 8 4 91.完成被调查人员年龄的频率分布直方图,并求被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄约为多少岁?15,25,45,55的被调查人员中各随机选取1人进行调查.请写出所有的基2.若从年龄在[)[)本亊件,并求选取2人中恰有1人持不赞成态度的概率.4、某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。
现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者.组号分组频数频率160,165 5 0.05第1组[)第2组[165,170)0.35第3组[170,175)第4组[175,180)20 0.20第5组[180,185)10合计100 1.001.请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;2.为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?3.在2的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?5、某中学组织了一次高三学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.1.若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?2.在1中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.6、某乡镇根据中央文件精神，在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，从2015年至2018年该乡镇每年脱贫户数见下表：年份2015 2016 2017 2018 年份代码x 1 2 3 4脱贫户数y55 69 71 85（1）根据2015-2018年的数据，求出y关于x的线性回归方程$$y bx a=+$；（2）利用（1）中求出的线性回归方程，试判断到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫.附：$$1221,ni iiniix y nxyb a y bxx nx==-==--∑∑$$7、某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天昼夜温差大小与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中随机选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验。
(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析.doc
一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。
2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。
（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。
3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为：0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。
8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
1项) 的二项公式系数最大，其值为
n
；若 n 是奇 Cn2 数，
则中间两项 ( 第 n
1 项和第 n 3 项) 的二项式系数相等，并且最大，其值为Cn
2
2
n1
n1
2 =Cn 2.
③所有二项式系数和等于
2n，即 C0n+C1n＋ C2n+?+Cnn=2n.
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
一是对立事件
（ 4）古典概型与几何概型： 古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件
”的概率模 型．
几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．
两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等
的，
但古典概型问题中所有可能出现的
基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．
xi yi
xi
i
i1 1
第二步：计算回归系数的 a，b，公式为
n
n
n
n xi yi ( xi )( yi )
i1
i1 i 1
b
n
n
，
n xi 2 ( xi ) 2
i1
i1
； a y bx
第三步：写出回归直线方 程 （ 4）独立性检 验
y bxa．
① 2 2列联表：列出的两个分类变量
X 和 Y，它们的取值分别为
（ 6）概率基本性质与公式 ①事件 A 的概率 P(A) 的范围为： 0≤ P(A) ≤ 1．
②互斥事件 A 与 B 的概率加法公式：
P(A
B)P(A) P(B) ．
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③对立事件 A 与 B 的概率加法公式：
(完整版)(最全)高中数学概率统计知识点总结(可编辑修改word版)
∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n2n2i =1i i =1i∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n 2n2i =1i i =1i1 2 n 1 2 n n i iiii一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
概率与统计x + x + ⋅⋅⋅ + x x + x + ⋅⋅⋅ + x 2、平均数：①、常规平均数： x = 1 2 nn②、加权平均数： x = 1 1 2 2 n n+ + ⋅⋅⋅ + 1 2 n3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差： s 2= 1[(x - x )2+ (x - x )2+ ⋅⋅⋅ + (x - x )2 ]n1 2 n二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积： f = S = y ⨯ d ；频率=频数/总数2、频率之和： f + f + ⋅⋅⋅ + f = 1；同时 S + S + ⋅⋅⋅ + S = 1 ；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： x = x f + x f + x f + ⋅⋅⋅ + x f x = x S + x S + x S + ⋅⋅⋅ + x S 1 12 23 3n n1 12 23 3n n3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。
4、方差： s 2 = (x - x )2 f + (x - x )2 f + ⋅⋅⋅ + (x - x )2 f1122nn四、线性回归直线方程： y ˆ = b ˆx + a ˆn n∑(x i - x )( y i - y ) ∑ x i y i - nxy 其中： b ˆ = i =1 = i =1 ,a ˆ = y -b ˆx∑n (x - x )2 ∑ x 2 - nx 2i =1iii =11、线性回归直线方程必过样本中心(x , y ) ；2、b ˆ > 0 : 正相关； b ˆ < 0 : 负相关。
(完整word版)全概率公式与贝叶斯公式解题归纳.doc
全概率公式与贝叶斯公式解题归纳来源：文都教育在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果” ，还是“由果索因” ，因为全概率公式是计算由若干“原因” 引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率 .它们的定义如下：全概率公式：设 B1 , B2 , , B n为样本空间的一个划分，如果P( B i)0,i1,2,L , n ，则对任一事件A有nP( A)P(B i )P( A | B i ) .i 1贝叶斯公式：设 B1 ,B2 , ,B n是样本空间的一个划分，则P(B i | A) n P(B i )P( A | B i ), i 1,2, , n. P( B j ) P( A | B j )j 1例 1 从数字 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为X，再从 1，， X 中任取一个数，记为Y，则 P(Y 2) .解由离散型随机变量的概率分布有：P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) 1 4.由题意，得P(Y 2X 1) 0,P(Y 2X 2) 12,P(Y 2 X 3) 1 3, P(Y 2 X 4) 1 4 ,则根据全概率公式得到P(Y 2) P( X 1)P(Y 2 X 1) P( X 2)P(Y 2 X2) P( X 3)P(Y 2 X3) P( X 4)P(Y 2 X4)1 1 1 1 134(03).2 4 48例 2 12 件产品中有 4 件次品， 在先取 1 件的情况下， 任取 2 件产品皆为正品， 求先取1 件为次品的概率 .解 令 A={先取的 1 件为次品 }，则 A, A 为完备事件组，P( A)1 ,P( A)23 , 令 B={后3取的 2 件皆为正品 }，则 P( B A)C 8228, P(B A) C 7221,C 11255C 11255由贝叶斯公式得P( AB)P( A)P(B A)1 28 23 55 .P(A B)P( A)P(B A) P(A)P(B A)1 282 21 5P(B)3 553 55若随机试验可以看成分两个阶段进行， 且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知， 那么：（ 1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； （ 2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的， 要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率， 一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.。
(完整word版)高中数学统计与概率知识点归纳(全)
高中数学统计与概率知识点（文）一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。
众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)三 .众数、中位数及平均数的求法。
①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。
③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。
四、中位数与众数的特点。
⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
五.平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是：七、简单随即抽样的含义一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N）, 如果每次12||||||n x x x x x x n-+-++-L 22212()()()n x x x x x x s n -+-++-=L抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.八、根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？（1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.九、抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.十一、抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.十一、利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
(完整word版)高考数学知识点归纳总结,推荐文档
高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。
2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。
且：有假为假，全真为真。
非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。
常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如 果 函 数 yf x 对 于 一 切 x R ， 都 有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 ：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
高考数学总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.4随机事件的概率理新人教A版
(3)与(1)同理，可得
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1200000＝0.2，
顾
客
同时
购买甲和丙的概率可以估
计为
100＋200＋300 1 000
＝
0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1100000＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最
大．
考点三 互斥事件与对立事件的概率
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第4节 随机事件的概率
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节是高考中的一
1.了解随机事件发 生的不确定性和频
个热点，但一般不独立命题．预测 2020 年
率的稳定性，了解概 高考将考查随机事件、互斥事件与对立事件
率的意义及频率与 的概率，与事件的频率交汇考查．其中随机
解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15， y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个 容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值 可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2× 10025＋2.5×20＋3×10＝1.9(分钟)．
(1)设 A 与 B 是互斥事件，A，B 的对立事件分别记为 A ， B ，则下
列说法正确的是( C )
A．A 与 B 互斥 B. A 与 B 互斥 C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P( A ＋ B )＝1
解析：根据互斥事件的定义可知，A 与 B ， A 与 B 都有可能 同时发生，所以 A 与 B 互斥， A 与 B 互斥是不正确的；P(A＋B) ＝P(A)＋P(B)正确； A 与 B 既不一定互斥，也不一定对立，所以 D 错误.
版高考数学一轮总复习概率与统计中的条件概率计算
版高考数学一轮总复习概率与统计中的条件概率计算1.条件概率的定义和计算方法：条件概率是指在其中一条件下事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)不为0，则事件B发生的条件下事件A发生的概率记为P(A，B)。
条件概率的计算方法如下：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
若事件A与事件B相互独立，则有P(A，B)=P(A)，即事件B的发生与事件A的发生无关。
2.条件概率的应用举例：考虑一个简单的例子：一袋中有红球和蓝球，总共有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。
现在从袋中随机取出一个球，如果这个球是红球，则把它放回袋中；如果是蓝球，则把它放回袋外。
然后再次从袋中随机取出一个球。
求第二次取出的球是红球的概率。
设事件A表示第二次取出的球是红球，事件B表示第一次取出的球是红球。
根据题意，我们可以知道P(B)=4/10=2/5，也就是说第一次取出的球是红球的概率为2/5、又因为第一次取出的球是红球，所以袋中的球数不变，红球数仍为4个，蓝球数仍为6个。
因此根据袋中球数，我们可以知道第二次取出的球是红球的概率为P(A，B)=4/10=2/5，与第一次取出的球是否为红球无关。
从这个例子可以看出，事件B对事件A的发生没有影响，即事件B的发生与事件A的发生是相互独立的。
3.乘法定理：乘法定理是条件概率的一个重要定理。
设A、B为两个事件，且P(B)不为0，则有：P(A∩B)=P(B)×P(A，B)乘法定理的应用举例：假设一个班级中有50人，其中30人喜欢数学，20人喜欢物理，15人同时喜欢数学和物理。
现在从这个班级中随机选择一名同学，他同时喜欢数学和物理的概率是多少？设事件A表示该同学喜欢数学，事件B表示该同学喜欢物理。
根据题意可以知道P(A)=30/50=3/5，P(B)=20/50=2/5，P(A∩B)=15/50=3/10。
2020高考数学理科大一轮复习导学案：第十章 概率10.8 Word版含答案
姓名，年级：时间：错误!错误!知识点一条件概率及其性质1．对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B｜A）来表示，其公式为P（B|A)＝P ABP A。
在古典概型中,若用n(A）表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A）＝错误!。
2．条件概率具有的性质：(1）0≤P(B|A）≤1；（2)如果B和C是两互斥事件，则P（（B∪C)|A）＝P(B｜A)＋P(C|A）．1．判断正误(1）若事件A,B相互独立，则P(B｜A）＝P（B）．( √）（2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB)＝P(A)·P （B）．( ×)2．天气预报播报，在国庆假期甲地降雨的概率是0。
3,乙地降雨的概率是0。
4，两地同时降雨的概率为0.2，则在乙地降雨的前提下，甲地降雨的概率为( C )A．0.12 B．0。
2C．0。
5 D.错误!解析:由条件概率公式，得P（甲|乙）＝错误!＝错误!＝0.5。
知识点二相互独立事件1．对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．2．若A与B相互独立，则P(B|A)＝P（B)，P(AB)＝P(B｜A)·P(A）＝P(A）·P（B)．3．若A与B相互独立,则A与B，A与B，错误!与错误!也都相互独立．4．若P（AB)＝P（A）P（B)，则A与B相互独立．3．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0。
2，乙地降雨概率是0。
3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( C ）A．0.2 B．0.3C．0。
38 D．0.56解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A错误!＋错误!B，∴P（A错误!＋错误!B)＝P(A错误!)＋P(错误!B）＝P（A)P（错误!）＋P（A）P（B)＝0.2×0。
(完整word版)高中数学必修3统计与概率
统计1：简单随机抽样（1）总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
（3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
（4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
3：分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第二节排列与组合
(2)先排除舞蹈节目以外的 5 个节目,共A55 种排法,再把 2 个舞蹈节目插在 6 个
空位中,有A26 种排法,所以共有A55 A26 =3 600 种排法.故选 B.
(3)把丙、丁看成一个元素,则(丙、丁)、乙、戊的排列共有A33 A22 =12(种)不同
的排法.
又由于甲不站在两端,利用“插空法”可得甲只有C21 种不同的排法.
类课程中各至少选一门,则不同的选法有(
)
A.18种 B.12种
C.30种 D.48种
答案 C
解析 分以下2种情况:
(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有C31 C42 种不同的选法.
(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有C32 C41 种不同的选法.
所以不同的选法共有C31 C42 + C32 C41 =18+12=30(种).
·C200
种
30
30
C.C400
·C200
种
40
20
D.C400
·C200
种
(2)(2023新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,
学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同
的选课方案共有
种(用数字作答).
答案 (1) D
(2) 64
解析 (1)由题意,初中部和高中部总共有 400+200=600(人),按照分层随机抽
档中,有A33 种不同排法;第三步,2 名小学生有A22 种不同排法,3 名初中生有A33 种
不同排法.则共有A22 A33 A22 A33 =144 种不同排法.故选 B.
(完整word版)《概率论与数理统计》复习题答案
上海第二工业大学《概率论与数理统计》复习题一、填空题1. 已知()()P A B P A =，则A B 与的关系是 独立 。
2．已知,A B 互相对立，则A B 与的关系是 互相对立 。
3.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB = 0.3 。
4. 已知()0.4P A =，()0.4P B =，5.0)(=B A P ，则()P A B ⋃= 0.7 。
5.B A ,为随机事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，()0.5P A B =，则()P B A =__23__。
6．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。
7. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___2633____。
8. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___61___。
9. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为41,31,51，则此密码被译出的概率为___35___。
10．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_815_。
11．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则(35)P X X ><=_0.4_。
12.02,()0.420,10x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是X 的分布函数，则X 分布律为__200.40.6i X p -⎛⎫⎪⎝⎭__。
13．随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ，则()3P X π<=。
14. 随机变量)1,04.1(~N X ，975.0)3(=≤X P ，=-≤)92.0(X P __0.025 。
(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；（2),,A B C 不都发生；(3）,,A B C 至少有一个发生；(4）,,A B C 至多有一个发生。
解：（1） ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ，6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥,()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。
解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。
解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球，6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
2024年高考数学总复习第十二章概率与统计真题分类49二项分布与正态分布
则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
即 pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2， 构造等比数列{pi＋λ}，
设 pi＋1＋λ＝25 (pi＋λ)，解得 λ＝－13 ，
则 pi＋1－13 ＝25 (pi－13 )，
高考·数学
4．(2023·新高考全国Ⅰ，21，12 分)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：
若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的
命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮
的人是甲、乙的概率各为 0.5.
＝0.8.
故选 A.
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真题分类49 二项分布与正态分布
高考·数学
2．(2014·课标全国Ⅱ，5，5 分)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优 良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一 天的空气质量为优良的概率是( )
附：K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d） ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
真题分类49 二项分布与正态分布
高考·数学
解：(1)记“第 i 次投篮的人是甲”为事件 Ai，“第 i 次投篮的人是乙”为事件 Bi，
所以 P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(完整word版)概率论与数理统计习题集及答案(word文档良心出品).doc
4}
；(2)AB
{ x : 2
x
3}；(3)
AB { x : 3 x
4}；
（4）A B { x : 0
x
1或2 x
5}；（5）A B { x : 1 x 4}。
§1
.31：(1)
P( AB )=0.3,
(2)
P( A B)=0.2,
(3)P( A
B)=
0.7. 2：P( AB))=0.4.
- 2 -
(2)
最多有2个女同学概率
,(3)至少有
2个女同学的概率.
2.
将3
个不同的球随机地投入到
4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为
7,则其中一颗为
1的概率是
。
2.
已知P( A) 1/ 4, P(B | A)
1/3, P(A|B)
1/2,则P(A
已知P(A
B)
0.8, P( A) 0.5, P(B) 0.6
，则
(1)P( AB)
,
(2)(
P(A B))=
,
(3)P(A B)=
.
2.
已知P( A)
0.7,
P(AB)
0.3,
则P(AB)=
.
§1 .4古典概型
1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,
A)P(B|
A)
=
2
1
8
2
2
10
9
10
9
10
,
两人抽“中‘的概率相同
与先后次序无关。
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第十三章概率与统计本章知识结构图简单随机抽样抽签法共同特点：抽样随机数表法过程中每个个体随机抽样系统抽样被抽到的可能性（概率）相等分层抽样频率分布表和频率分布直方图样本频率分布总体密度曲线估计总体统计用样本估计总体茎叶图样本数字特征众数、中位数、平均数估计总体方差、标准差变量间的相关关系两个变量的散点图回归直线线性相关正态分布列联表（ 2×2）独立性分析概率的基本性质互斥事件对立事件P( A)＝ 1－ P(A)古典概型P(A＋B)＝P(A)＋ P(B)几何概型用随机模拟法求概率概率条件概率事件的独立性常用的分布及随机变量期望、方差若 Y＝aX＋ b，则E(Y)＝aE(X)＋ bD(Y)＝a2D(X)P(A B)P(B | A) ＝P(A)P(A B)＝P(A)·P(B)两点分布二项分布超几何分布n次独立重复试验恰好发生 k 次的概率为P n(k)＝C k p k(1－ p)n－knX～ B(1， p)E( X)＝p， D(X)＝ p(1－p)X～ B(n， p)E(X)＝ np，D(X)＝np(1－p)X～H(N， M， n)ME(X)＝ n NnM M N－ n D(X)＝N 1－N N－1第一节概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件 A 发生次，测得 A 发生的频率为，当很大时， A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。
对于必然事件 A，；对于不可能事件 A， =0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件： 1、基本事件空间含有限个基本事件 2 、每个基本事件发生的可能性相同P A A包含基本事件数= card (A)基本事件总数card ( )2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域的子集 A， A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A .P A A 。
五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件 A 与事件 B 互斥，则P AUB P A P B。
2、对立事件事件 A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作 B A或A B。
P A 1 p A。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A， B对立”是”事件A， B 互斥“的充分不必要条件。
题型归纳及思路提示题型 176古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件 A 所包含的基本事件数；最后计算P AA包含基本事件数基本事件总数。
例 13.1 设平面向量a m m,1 ， b n2,n，其中m, n 1.2,3,4（1 ）请列出有序数组m, n 的所有可能结果；（2）若“使得a m a m b n 成立的 m, n 为事件A，求事件A发生的概率。
分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m与n的关系，再从以上m, n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件 A 包含的基本事件个数。
解析：（ 1 ）由m, n 1.2,3,4 ，有序数组 m, n 的所有可能结果为1,1 ，1,2 , 1,3 , 1,4 ，2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 ，3,1 , 3,2 ,3,3, 3,4 ，4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 共16个。
（ 2）因为a m m,1 ， b n 2, n ，所以 a m b n m 2,1 n .又a m a m b n ，得m,1 m 2,1 n 0 ，即 m2 2m 1 n 0 ，所以 n m2。
故事件 A 包含的1基本事件有2,1 和 3,4 ，共 2 个，由古典概型概率计算公式得P A21。
168评注： ①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法，注意在列举时，必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体， 利用向量的运算和关系等向量的基本知识解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。
变式 1 电子钟一天显示的时间从 00： 00 ~ 23： 59，每一时间都由4 个数字组成，则一天中任取一时刻显示的4 个数字之和为 23 的概率为（）1B.1C. 11A.288D.180360480rr 变式 2 连抛两次骰子的点数分别为rm, n ，向量 1, rm, n ，记向量 ab1 ， a 与 b 的夹角为 ，则0, 的概率是（ ）25B.17D.5A.2C.61212例 13.2 （2012 重庆理 15）某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其它三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为 ____________（用数字作答） 。
解析： 6 节课随机安排，共有 A 66720 种不同的方法。
课表上相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课，有以下三种情况：①三门文化课间有2 节艺术课：有 A 33 A 32 A 2172 种方法；②三门文化课间有 1 节艺术课：有 A 33 C 31 A 21 A 33216 种方法； ③三门文化课间有 0 节艺术课：有 A 33 A 44144 种方法。
共有72+216+144=432 种符合题意的安排方法，故所求概率为P432=3 。
720 5变式 1 （ 2012 上海理 11）三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中 两个项目， 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ______________（结果用最简分数表示）。
变式 2甲乙两人一起去游“ 2011 西安世园会” ，他们约定：各自独立地从1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）1 15 D.1A.B.C.636936变式 3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号 1， 2， 3， ， 18 的 18 名火炬手，若从中任选 3 人，则选出的 3 名火炬手的编号能组成以3 为公差的等差数列的概率为（）1 B.1 1 D.1A.68C.40851306题型 177 几何概型的计算思路提示首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间）基本事件区域的数值和事件 A 包含区域数值，最后计算，其次计算出A事件区域数值（长度、面积、体积或时间）P(A) 基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间），解几何概型问题的关键是画图、求面积。
例 13.3 （ 2012 辽宁理 10）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别为线段 AC,CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为（）A. 1B. 1C. 2D. 46 3 3 5解析：设 AC x ，则 CB 12 x，且0 x 12 ，所以 x 12 x 表示矩形的面积，令x 12 x 32，解得： x 4 或 x 8，如图13-1 所示，故所示的概率为P 4 4 2.故选C .12 3变式1 A 2,log 2 t ，B x x2 14 x 24 0 ， x, t R ，A B.（1）定义区间a, b 的长度为 b a ，A的长度为3，则t =_________.（2）某函数f x 的值域为B，且 f x A 的概率不小于 0.6 ，则 t 的取值范围为_______.例 13.4 （ 2012 福建理 6）如图 13-2 所示，在边长为 1 的正方形OABC中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（）A. 1B. 1C. 1D. 14 5 6 7解析：由题意可知，阴影部分的面积是由函数yx, y x 围成的几何图形的面积，利用定积分可知：1 xdx1 2 x 231 1 211 ，又 S 正方形 OABC =1 ，所以由S 阴影 =xdx32x61几何概型知，所求的概率为P.故选 C .6.评注： 利用线性规划和积分知识求面积，是解决相关的几何概型问题的常见方法 变式 1 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到 圆心的距离大于1，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1，则去打篮球；否则，2_____________.4在家看书，则小波周末不在家看书的概率为变式 2 （ 2012 北京石景山一模理13）如图 13-3 所示，圆 O ： x 2y 22内正弦曲线y sin x 与 x 轴围成的区域记为 M （图中阴影部分） ，随机往圆 O 内投一个点 A ，则该点 A落在区域 M 内的概率是 __________.变式 3 （ 2012 湖北理 8）如图 13-4 所示，在圆心角为直角的扇形 OAB中，分别以OA OB， 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. 2B.1 12D. 112 C.例 13.5 已 知 f xx 2ax b , a, b0,4 , a, b R ， 则 f 1 0的概率为______.解析 几何概型0 a4：0 b 4 , A 且 -1+ a b 0,作出 ， 的区域图（如图 13-5 所示）.A19 9 944163 3A 2 , A,则P A16.2232变式1 A= x 1 x 0 ， Bx | ax b 2x1 0,0 a 2,1 b 3（1 ） a, b N ，求 A B的概率；（2 ） a, b R ，求 A B= 的概率 .例 13.6 甲乙两人约定在20： 00 到 21：00 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20： 00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率。
分析 由题意知，当甲乙两人到达目的地的时间相差小于或等于40 分钟时两人便能在约定时间内相见。