由z平面零极点位置设置来确定的简单的一阶二阶滤波器

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由Z平面零、极点位置设计简单一阶、二阶滤波器探讨

由Z平面零、极点位置设计简单一阶、二阶滤波器探讨摘要数字滤波器是工程领域中一种非常重要的器件，它可以将输入信号的某些频率成分或者某个频带进行压缩、放大，从而改变输入信号的频谱结构，因此，数字滤波器也可以说是一个频率选择器。

我们平时所接触到的最基本、最常见的滤波器就是简单一阶、二阶数字滤波器。

在之前的学习中，我们已经讨论过z平面零极点是如何影响系统的频率响应的，在本文中，我们将着重探讨如何根据需求放置零极点来设计简单的一阶、二阶滤波器。

关键词z平面；零点；极点；一阶滤波器；二阶滤波器1 零极点与滤波器性质通过之前的学习我们知道，对于系统函数为的某系统，其频率响应可以表示为其中，K为实数，为H（z）的M个零点，为H（z）的N各极点。

当N>M 时，H（z）在零点有N-M重零点；当N<M时，H（z）在零点有M-N重极点。

对于单位圆附近的零点而言，当越靠近单位圆，在该处的形成的波谷就越低，当零点在单位圆上，则此频率点上值为0。

对于单位圆附近的极点而言，若极点越靠近单位圆，则波峰越尖锐。

但极点不能再单位圆上，否则系统处于临界稳定状态，不应采用。

因此，在设计简单滤波器时，零极点放置的基本原理是：極点放置在要加强的频率附近（单位圆内），极点越靠近单位圆，频率响应的峰值越高；零点放置在要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆，频率响应的谷值越小。

另外还有两个约束条件：①所有极点必须在单位圆内，以保证滤波器因果稳定；②所有零极点必须共轭成对，或者是实数，以保证滤波器的系数是实数[1]。

2 简单一阶滤波器简单一阶数字滤波器具有一个极点，零点可以有一个也可以没有。

零极点的分布如图所示。

图1（a）的极点在处，这是一个低通滤波器。

图1（b）在处增加了一个零点，进一步减弱了的幅度。

如果将图1（a）和（b）的零极点旋转180°，则得到图1（c）和（d）形成高通滤波器。

假设0<a<1，且幅度特性的最大值为1，（a）和（b）的系统函数分别为，。

数字滤波器的结构

1.IIR滤波器的结构
1.1直接型直接II型信号流图合并两个具有相同输入的延时支路后的信号流图
减少了延迟单元数。是滤波器的常用形式，经常采用这种结构。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
直接II型结构特点：
(1)两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。 (3)直接I型滤波器的结构对于IIR非递归差分方程的实现不是最有效的方法。如果采用直接II型，所用的存储器要少得多。
§6．数字滤波器的结构
3、数字滤波器表示方法
无论用软件还是用硬件，实现一个数字滤波都需要以下几种基本的运算单元，其信号流图如下：信号流图是一种有向图，它用带箭头的线段代表一条支路，箭头的方向代表信号的流动方向。
（1）加法器
x1(n)
x1(n)+x2(n)
x2(n)
（2）乘法器
a x(n)
现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。
作为基础理论，本课程主要讲经典滤波器。
4.3.模拟滤波器和数字滤波器
经典滤波器从功能上分又可分为：
• 低通滤波器(LPAF/LPDF):Low pass analog filter • 带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter • 高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter • 带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter • 即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。

计算机控制数字控制器的连续设计方法

第5章
数字控制器旳连续设计措施
引言
自动化控制系统旳关键是控制器。控制器旳任务是按照一定旳控制规律，产生满足工艺要求旳控制信号，以输出驱动执行器，到达自动控制旳目旳。在老式旳模拟控制系统中，控制器旳控制规律或控制作用是由仪表或电子装置旳硬件电路完毕旳，而在计算机控制系统中，除了计算机装置以外，更主要旳体目前软件算法上，即数字控制器旳设计上。
目旳：希望混合系统和等效连续系统旳特征尽量接近
量化单位
模拟量经A/D转换之后才干进入计算机，所以模拟量经过了整量化，假如整量化单位过大，相当于系统中引入了较大旳干扰。但是这个问题在工程上能够实现旳条件下，能够经过增长A/D转化旳位数来将干扰限制在很小旳程度。例如一种5V基准电源转换器，当位数n=8时，辨别率δ=20mV;当n=12时，辨别率 δ=1.25 mV，量化单位已很小，完全能够看成连续信号。
5.1.1 混合系统概念
图5-1 混合系统
5.1.2 等效连续系统
图5-2 等效连续系统
怎样确保离散化后信息不丢失？问题：按连续系统设计措施设计数字控制系统旳条件是什么？
量化单位：经过增长A/D转换旳位数实现。采样周期旳选择：采样频率旳高下会影响系统旳动态特征
5.1.3 等效连续系统旳两个条件
香农采样定理: 采样角频率ωs≥2ωmax,ωmax为连续信号旳最大频率分量，连续信号能够由它旳采样信号复现。零阶保持器旳传递函数为
其频率特征是
采样周期旳选择
图5-3 零阶保持器旳幅频和相频特征
零保持器带来旳附加相移为：
当采样频率取为10倍信号主频率旳最高频率时，
结论：采用连续设计措施，用离散控制器去近似连续控制器，要求有相当短旳采样周期。

第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法

|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
| H ( e jω ) |≤ δ 2
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第5章无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.2 滤波器的技术指标理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的，其单位脉冲响应从-∞延伸到+∞，因此，无论用递归还是非递归方法，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重要。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻带的容限。
第5章无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应（IIR）第5章无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1 基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器用双线性变换法设计数字滤波器 5.6 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法平面变换法
第5章无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.3 FIR型滤波器和型滤波器型滤波器和IIR型滤波器型滤波器和数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤波器的差分方程为

数字信号处理第五章

+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的，可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差积累比直接型小。

数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +

19春【西南大学】[1077]《数字信号处理》在线作业(题目)

A.√
B.×
正确答案:
第15题,【判断题】对连续信号作频谱分析，设信号的采样频率为10KHz，频域的分辨能力为不大于10Hz，则对应DFS点数为 1000 点。
A.√
B.×
正确答案:
第16题,【判断题】陷波器的作用是滤除某些单频或宽带干扰。
A.√
B.×
正确答案:
第17题,【判断题】靠近单位圆上的极点，对应幅频特性的极大值。
A.√
B.×
正确答案:
第40题,【判断题】窗函数法设计的滤波器，过渡带宽度等于窗谱主瓣的宽度。
A.√
B.×
正确答案:
第41题,【判断题】双线性映射为单值映射，无混叠产生。
A.√
B.×
正确答案:
第42题,【判断题】IIR的并联型结构能够单独调整零点，计算误差较小。
A.√
B.×
正确答案:
第43题,【判断题】原位运算是按时间抽选法基2FFT蝶形单元的特点。
正确答案:
第58题,【论述题】简述双线性映射的优缺点。
正确答案:
第59题,【论述题】简述稳定性的含义及系统稳定的充要条件。
正确答案:
第60题,【应用题】利用计算机分析信号x(t)=sin(20*pi*t)/(20*pi*t)的频谱，试利用Matlab编写相关的程序，实现信号的抽样、频谱的计算、频谱的显示等，并对每条语句加以必要的注释。
【西南大学】[1077]《数字信号处理》
试卷总分:100 得分:100
第1题,【判断题】应用DFT分析无限长信号的频谱时，必然会产生误差。
A.√
B.×
正确答案:
第2题,【判断题】离散周期信号的DFS中，频域的周期N对应数字频率为 2π 。

数字信号处理第六章

各种数字滤波器的理想幅度频率响应数字滤波器的设计步骤理想滤波器的逼近数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言

数字滤波器的设计步骤：

按任务要求，确定滤波器性能要求。用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR）系统函数两种。利用有限精度算法来实现这个系统函数。实际的技术实现。

零极点分布对系统相角的影响

相位“延时”（或相位“滞后”）系统

最小相位延时系统最大相位延时系统最大相位超前系统最小相位超前系统

相位“超前”（或相位“领先”）系统

当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数，当全部零点在单位圆外时，相位变化最小，当全部零点在单位圆内时，相位变化最大，当全部零点在单位圆内时，相位变化最小，故称为最小相位超前系统。故称为最大相位超前系统。故称为最大相位延时系统。故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一半属Ha(-s)。如要求系统稳定，则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制，则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的，则只能取所有左半平面的零极点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界稳定时虚轴上才会有极点。
第6章无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法

数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计

24
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所有特性曲线均通过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所有特性曲线均通过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计先按照给定的技术指标设计出模拟滤波器的系统函数H(s)，然后经过一定的变换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实际上是S平面到Z平面的映射过程：从时域出发，脉冲响应不变法从频域出发，双线性变换法适合于设计幅度特性较规则的滤波器，如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右半平面的极点一定属于H(-s)。

第5章数字滤波器的基本概念

0.5 1
0 0.5
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part
1
0
0Leabharlann 0.511.5
2
/
1.5
Imaginary Part
0.5
1
0
0.5 -0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part
滤除信号中的高频分量
解：
H(z) 1 a z 1 a ? 2 za
1）变模拟信号为数字信号
采样间隔
2
2）滤波器的带宽 T
2max
T
max
200
T
0.015
低频分量对应的数字频率 T 70.015 0.105
高频分量对应的数字频率 T 2000.015 3
选择滤波器带宽
3）滤波器
H N (e j )
1
2
H (e j ) RN (e j )
x(n)
0.4 0.2
0
截断效应
-0.2
-10 0 10 20 30 40 50
通带幅度不再是常数，产生波动
n
频谱泄漏，阻带幅度不再是零 0.4
x(n)
产生过渡带
0.2
0
-0.2 -10 0 10 20 30 40 50 n 9
5.3简单滤波器设计
第5章数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器
1
5.1 数字滤波器的基本概念（1）
数字滤波器:
输入与输出均为数字信号, 通过一定数值运算改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分；或者进行信号检测与参数估计与模拟滤波不同在于信号的形式与滤波的方法.
数字滤波器的实现方法

《DSP原理与应用》期末考试试题

《DSP原理与应用》期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1、在数字信号处理中，常用的滤波器是（）。

A.巴特沃斯滤波器B.贝塞尔滤波器C.拉普拉斯滤波器D.理想滤波器2、在进行傅里叶变换时，如果采样频率为fs，则采样点数为N的信号的离散傅里叶变换的结果中，频域的分辨率是（）。

A. fs/NB. 2fs/NC. fs/(2N)D. fs/(2N+1)3、在进行Z变换时，如果时间序列的采样点数为N，则Z变换的收敛域是（）。

A. |z|<NB. |z|<N+1C. |z|<N-1D. |z|<N-24、在进行小波变换时，如果小波基为ψ(t)，则小波变换的结果是一个（）。

A.实数序列B.复数序列C.实数矩阵D.复数矩阵5、在进行离散傅里叶变换时，如果信号的采样点数为N，则其频率分辨率是（）。

A. 2π/NB. π/NC. π/(2N)D. π/(N+1)二、填空题（每题3分，共30分）1、在数字信号处理中，常用的滤波器有________、________、________、________。

2、在进行傅里叶变换时，如果采样频率为fs，则采样点数为N的信号的离散傅里叶变换的结果中，频域的分辨率是________。

3、在进行Z变换时，如果时间序列的采样点数为N，则Z变换的收敛域是|z|<________。

4、在进行小波变换时，如果小波基为ψ(t)，则小波变换的结果是一个________。

5、在进行离散傅里叶变换时，如果信号的采样点数为N，则其频率分辨率是________。

6、在数字信号处理中，常用的窗函数有________、________、________、________。

7、在进行数字滤波器的设计时，常用的方法有________、________、________。

8、在进行数字信号的分析时，常用的工具包括________、________、________。

《美学原理》期末考试试题及答案一、单项选择题1、下列哪个选项不属于美学的研究范畴？A.绘画、音乐、诗歌等艺术形式的美学原理B.建筑、设计、自然等现实生活中的美学应用C.精神分析学、现象学等其他学科的美学分支D.美食、时尚、旅游等消费领域的美学实践正确答案：C.精神分析学、现象学等其他学科的美学分支。

利用零极点设计数字带陷滤波器

ｈｅｕｔｓｏｓｔａｉｔｄｎｔｌｏｔｓｐｓｂｎａｎｏｔｈｆｔｔｏｓｌｅｈａｓａｄｓｍｍｅｒＴｅｒｓｌｈｗｈｔｈｓｍｅｏｏｎｙｃｎｒｌａｓａｄｇｉｆｏｃｌｒｕｓｏｖｓｔｅｐｓｂｎｙｔｈｏｏｎｉｅｂａｌｔｙｏｅｆｔｒｃｒｉｇｔｅｅｐｃｅｐｃｆａｉｎｆｔｌｏｄｎｔｘｅｔｄｓｉｃｔ．Ｔｅｓｍｕａｉｎｓｏａｉｍｅｈｄｉｓｐｒｒｔｅｔａｉｏａｈｉｅａｃｏｈｅｉｏｈｉｌｔｈｗｓｔｔｓｏｈｔｔｏｓｕｅｏｔｄｔｎｌｈｉｏｈｒｉ
ＤＰＤｇａＳｇａＰｏｅｓｒ实现和ＦＧＦｅｄＰｏｒｍ－Ｓ（ｉｔｌｉｌｒｃｓ）ｉｎｏＰＡ（ｉｒｇａｍａｌ
ｈｅＧｔｒｙ实现ｉａＡｒ）ｅａ
。带陷滤波器可以分为ＦＲ滤波器Ｉ
方法设计带陷滤波器。该方法是在传统的零极点配置法的基础改进的，传统零极点配置法是将零点设置在要消除的频率处，而沿着零点的极径方向设置以极点。改进后的方法则
是在偏离零点极径方向设置极点，样滤波器的增益会有所这
（ｉｉｐｌｅＲｓｎｅ和ＩＦｎｅＩｕｓｅｐｓ）ＩｔｍｏＲ滤波器（ｎｉｔＩｐｓｅＩｆｅｍｕｌＲ。ｎｅ
ｓｎ）ｏｅｐｓ两种。ＦＲ带陷滤波器பைடு நூலகம்由于其结构为非递归性，有Ｉ所

DSP用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

2 tan 1
T2
31
(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。
(4)设计模拟低通滤波器。 (5)将模拟低通滤波器经过频率变换，转换成
所需类型旳过渡模拟滤波器。 (6)采用双线性变换法，将所需类型旳过渡
模拟滤波器转换成所需类型旳数字滤波器。
32
6.6 IIR 数字滤波器旳直接设计法
i 1
E是有(4K+1)个未知数旳函数. 求出这些未知数旳原则: 是使函数E旳取值最小。
39
措施利用偏导数求极值拟定E
旳(4K+1)个未知数,从而拟定旳系统函数.
40
3. 在时域直接设计IIR数字滤波器
设我们希望设计旳IIR数字滤波器旳单位脉冲响应为 hd(n)，要求设计一种单位脉冲响应h(n)充分逼近hd(n)。下面我们简介这种设计措施。
其中 h(n) ha (nT )
T为采样间隔它是一种时域上旳转换措施。
6
转换环节 Ha (s) 拉氏逆变换 ha (t) 等间隔采样
ha (nT ) h(n) Z变换 H (z)
7
1 .模拟滤波器旳传播函数与相应旳数字滤波器旳系统函数之间旳关系
模拟滤波器旳传播函数
N
Ha(s)
i 1
Ai s si
率，所以原则映射关系旳周期性会造成
T
混叠失真。
16
图6.3.2 脉冲响应不变法旳频率混叠现象
17
阐明
1）脉冲响应不变法设计旳数字滤波器能够很
好地重现原模拟滤波器旳频响；
2）数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T
成反比，假如采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高旳增益，这是不希望旳。 3）一般Ha(s)旳极点si是一种复数，且以共轭成正确形式出现，这一点可用来简化设计。

第三章数字滤波器的基本结构

k
k
k
k 1
k 1
18
其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点， M=M1+2M2，N=N1+2N2
再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，则得
M1
(1
pk
z
) 1 M2
(1
1k
z
1
2
k
z
2
)
H (z)
A
k 1
结构，如图3-5示。
13
A(z)
B(z)
x(n) x'(n) b0 y(n)
a z1 z1 1
a 2 z1 z1
a
z1
N 1
aN z1
图（a）
b1 b2
bM 1
bM
A(z) B(z)
x(n)
b0 y(n)
a1
z1 b1
a z1 b2
2
直
bM 1 接
b aN1 z1 M II
a z1 N
型
图（b）
图3-5 IIR数字滤波器的直接II型结构
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k 0
其系统函数为
M
H (z)
Y (z) X (z)
bk z k
k0 N 1 ak zk
B(z) A(z)
k 1
10
式中，
B z
M
，
bk z
k
k 0
可知，
Az
1
M
1 ak zk
k 1
B实(z现) 了系统的零点；

零极点匹配法

1 De ( j ) D(e jT )Te jT / 2 D(e jT )e jT / 2 T
传递函数
De (s) Ddc (s)e
sT / 2
e sT / 2
1 1 sT / 22
连续域-离散化设计的步骤如下：
第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前置滤波器。第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。
z
1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。 ④离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有相当大的畸变。
s与z之间的变换关系
z 1 1 z 1 s T Tz 1
图5-7 向前差分矩形积分法
z 1 Ts
7
2.一阶向前差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系 ②若D(s)稳定，则D(z) 不一定稳定[改进方法是适当减少采样周期T ]。
-1/T
z 1 Ts
平移放大关系
*
R *( j )
1 R( j ) T
R *( j ) / R( j )
计算机实现算法D(z)的计算表示：D(e D/A的频率特性： G ( j ) T 等效连续

离散系统的系统函数

设带通滤波器的3dB截频分别为c1、c2, 且c2 > c1，可证带通滤波器的3dB带宽为
Δ 3 dB c 2 c 1 arccos(
系统函数
2 1 2
)
简单数字滤波器
(5) 二阶IIR带通数字滤波器
1 0.8
0.309
二阶IIR带通数字滤波器的幅度响应
系统函数
简单数字滤波器
(1) 一阶FIR低通数字滤波器
H LP1 (e
j
H LP1 ( z ) 0.5(1 z 1 )
Im(z)
z ( 1) ) 0.5 z
z e j
H LP1 (e ) 1
j0
|
-1
| 1 + z
z=e j
H LP1 (e jπ ) 0
H LP1 (e jπ / 2 ) 2 / 2
ze j z
z e j
H LP2 (e j 0 ) 1
H LP2 ( e j )
cos c 2 1
2
H LP2 (e jπ ) 0
(1 ) 2 (1 cos ) 2(1 2 2 cos )
3dB截频
系统函数
-1

Re(z)
系统函数
a21 a22 a2 L
例：试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。 z 3 0.04z H ( z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128
%Determination of the factored form and %the second order section form of a % rational z-transform b =[1 0 0.04 0]; a =[1 -0.8 0.16 -0.128]; [z,p,k]=tf2zp(b,a); disp('Zeros are at'); disp(z); disp('Poles are at'); disp(p); disp('Gain constant');disp(k); sos=zp2sos(z,p,k); disp('Second-order sections'); disp(real(sos));

一阶全通滤波器系统函数推导

一阶全通滤波器系统函数推导关于这一判据做如下两点说明:首先为什么零极点要共轭出现?因为只有零极点共轭,全通滤波器的系数才是实数,接下来解释一下为什么零极点共轭时,该系统函数所对应的冲激响应系数是全实数我们知道,从S域到Z域的变换就是在时域从连续到离散的抽样.所以如果S域中系统函数所对应的冲激响应的系数是全实数,那么离散后,系数不可能突然变为虚数,也一定是全实数的.首先考虑全极点系统,为了便于讨论,我们可以将任意以系统函数拆分为一阶或二阶子系统的级联,通式如下H ( s ) = ∏ 1 s 2 + a i s + b i H(s)=\prod \frac 1{s^2+a_i s+b_i}H(s)=∏s2+ais+bi1对于任意一阶系统 H ( s ) = 1 s + n + m j H(s)=\frac 1{s+n+mj} H(s)=s+n+mj1不难得出其冲激响应为 h ( t ) = e − ( n + m j ) t h(t)=e^{-(n+mj)t}h(t)=e−(n+mj)t所以当且仅当 m = 0 m=0 m=0时,冲激响应为实数,此时极点为 s = − n s=-n s=−n,满足共轭出现的条件对于二阶系统来说 H ( s ) = 1 s 2 + n s + m H(s)=\frac 1{s^2+ns+m} H(s)=s2+ns+m1其中n,m为任意数,即可为实数,也可以是虚数.然后将系统写为如下形式 1 ( s + x ) 2 + y \frac 1{(s+x)^2+y} (s+x)2+y1,对应的冲激响应就是 e − x t sin ⁡ y t e^{-xt}\sin yt e−xtsinyt,因为要求是实数响应,所以此时的x,y均要求也是实数.现在该二阶子系统所对应的极点就是 s = − n ± m j s=-n\pm \sqrt{m}js=−n±mj,满足共轭条件综上,极点满足共轭出现的条件时,冲激响应为实数为什么零极点关于单位圆镜像对称这一点是全通滤波器系统函数所决定的，所以才可以作为全通滤波器的判据之一.全通滤波器可以拆解为多个子系统的级联 H a p ( z ) = K ∏ i = 1 N z − 1 − a i ∗ 1 − a i z − 1H_{ap}(z)=K\prod_{i=1}^N \frac{z^{-1}-a^*_i}{1-a_iz^{-1}} Hap(z)=Ki=1∏N1−aiz−1z−1−ai∗若当 z = a z=az=a时为极点,不难得出 z = 1 a ∗ z=\frac 1{a^*} z=a∗1为系统零点.结合上文给出的极点共轭出现的条件:极点共轭,而每一个极点在单位圆外对应着一个零点,因此零点也是共轭出现的.综上,对于全通来说,零极点共轭出现,而且关于圆周对称。

数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器

数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器第五章数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器5.1 数字滤波器的基本概念1.数字滤波器与数字滤波滤波的涵义：将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、放大;对信号进行检测;对参数估计;数字滤波器：通过对输入信号的进行数值运算的方法来实现滤波模拟滤波器：用电阻、电容、电感及有源器件等构成滤波器对信号进行滤波2.数字滤波器的实现方法用软件在计算机上实现用专用的数字信号处理芯片用硬件3.数字滤波器的可实现性要求系统因果稳定设计的系统极点全部集中在单位圆内。

要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系数为实数系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。

4.数字滤波器的种类现代滤波器经典滤波器滤波特性?a?a数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；实现方法a?a无限脉冲响应滤波器，简称IIR (Infinite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路。

其系统函数为：a?a有限脉冲响应滤波器，简称FIR (Finite ImpulseResponse)它的单位脉冲响应为有限长，网络中没有反馈回路。

其系统函数为：5.2 理想数字滤波器理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到理想的效果，但是他只能近似实现。

设计的时候可以把理想滤波器作为逼近标准用。

本节主要讲述：理想滤波器的特点：在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零；具有线性相位；单位脉冲响应是非因果无限长序列。

理想滤波器的传输函数：幅度特性为：相位特性为：群时延为：则信号通过滤波器输出的频率响应为：其时域表达式：输入信号输出信号，表示输出信号相对输入信号没有发生失真。

假设低通滤波器的频率响应为式中，是一个正整数，称为通带截止频率。

其幅度特性和相位特性图形如下：滤波器的单位脉冲响应为：举例：假设由此图看出此理想低通物理不可实现理想滤波器可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器。

借助Z变换和零极点设计数字陷波器

! " #
!! 一个理想的点阻滤波器的频率响应要在消除的信号频率点处# 其值等于零 $ 而在其他频率处 # 其值不为零# 且要等于 ## 如图
修订日期 ! ! ) ) C A ) E A ) C$ ! ) ) C A # # A ) O # 收文日期 ! 浙江师范大学校级课题 ! " ! ) ) ! # ) " ) ! 基金项目 ( 冯华君 ! # 女# 浙江义乌人 # 讲师 ’ 研究方向 ( 电子与信息工程 ’ # E F BK " ! 作者简介 !
因此在完成了零极点的配置为了抵消零点引起的陷落对滤波器通带范围内幅频响应的影响还需要再配置相应的极点由于滤波器稳定性的要求极点必须配置在单位圆内显然极点离单位圆越近则极点对零点的抵消作用越明得到的滤波器的阻带就越窄过渡带就越陡峭陷波器设计的计算公式数字滤波器的传递公式可以表示为所示设二阶因式的极点pi滤波器的二级单元级联每一个二阶单元对应一个阻带实际滤波时再根据所需要的滤波器阻带个数位置及带宽分别计算各单元的参数最后将这些结构完全相同的二阶单元级联起来构成完整的滤波系所示
)! 引 ! 言
数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统 # 可以用软件或用硬件来实现 ’ 数字滤波器没有漂移 # 能处理低频信号 $ 可以做成没有插入损耗和有线性相位特性的滤波器 $ 还可相当简单地获得自适应滤波 # 因而使滤波器的设计者可以通过控制数字的字长来控制滤波器的精度 ’ 它最重要的优点是随着滤波器参数的改变而轻易地改变其性能 ’ 这一特点允许用一种程序的滤波器完成多重滤波任务 ’ 工频干扰是一种常见的谐波干扰 # 它由交流电产生 # 包括交流电的基频和各高次谐波 # 在保留有用信号分量的同时 # 如何尽可能彻底地消除这一干扰 # 对后期的信号处理是一个具有实际意义的问题 # 文献% & 都阐述了设计陷波器的不同方法及陷波器的应用 ’ 笔者采用 C 变换和零极点的方法设计了一 #"C 个陷波器 # 要求滤去电源的所有谐波干扰 # 并使阻带的带宽非常窄而且陡 # 但在其他频率上应具有平坦的特性 ’ 用 7/9 这一设计方法算法简单 # 易于修改 # 便于程序的实 0 / T 编程在计算机上进行仿真实现 ’ 现’