第56届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试

ABC 的外心 O 。
2． 设 a1 , a2 , a3……为互不相等的正整数，c 是小于 数 k ，使得 ak , ak 1 ck
3 的正实数，证明：存在无穷多个正整 2
3． 设 n, k 为给定的正整数， 一个糖果售卖机里有许多不同颜色的糖果， 每种颜色的糖果有 2n 颗， 有一些小孩来买糖果， 每个小孩都从售卖机里恰买了两颗糖果， 且这两颗糖果颜色不同。 已知在任意 k 1 个小孩中均有两个小孩，他们至少有一颗糖果的颜色相同，求小孩总数的 最大可能值。
4. 设 n 是给定的正整数， f1 x , f 2 x , ……f n x 是 n 个定义在实数集上的实值有界函数，
a1 , a2 ,……an 是 n 个互不相同的实数，证明：存在实数 x ，使得
fi x fi x ai 1
i 1 i 1
i 1, 2, ……k 1 P i 1 1 A, P 2 B ）,使得 P i胜P
求证：存在 a b 1 个不同的人 Q1 , Q2 ,……Qab1 ，使得 Qi 胜 Qi 1 i 1, 2, ……a b
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2. 设 X 是非空有限集合， A1 , A2 ,……Ak 是 X 的 k 个子集，满足下列条件： （1） Ai 3, i 1, 2……k （2） X 中任意一个元素属于 A1 , A2 ,……Ak 中的至少 4 个集合 求证：可以从 A1 , A2 ,……Ak 中选出
3k 个集合，使得它们的并集为 X 7
n
n
5. 设 S 是集合 1, 2, ……2015 的一个 68 元子集，证明：存在 S 的三个互不相交的非空子 集 A, B, C ，满足： A B C ，且
a b c
aA bB cC
6. 证明：存在无穷多个正整数 n ，使得 n 1 无平方因子
2
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杭州 第二天 2015 年 3 月 14 日上午 8：00——12：30
4. 证明：对任意整数 n 3 ，存在正整数 a1 a2 …… an ，使得对 i 1, 2,……n 2 ， 以 ai , ai 1 , ai 2 为边长可构成一个面积为正整数的三角形
L ，线段 AB ， AC 内分别存在点 M ， N ，使得 MK BC ， NL BC ，设 是过
点 B ， C 且与 OB ， OC 相切的圆，求证： AMN 的外接圆与 相切
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杭州 第二天 2015 年 3 月 19 日上午 8：00——12：30
3. 设 a , b 是正整数，且 a 与 b 的最大公约数有至少两个不同的素因子，设
S n N n a mod b


对 S 中的元素 x ， 若 x 不能表示成 S 中两个或更多个元素的积 （这些元素允许相同） ， 则称 x 是不可约的，求证：存在正整数 t ，使得 S 中的每个元素均可表示为 S 中不超过 t 个不可约 元素的乘积
杭州 第一天 2015 年 3 月 18 日上午 8：00——12：30
1. 对正整数 n ，及 1, 2, ……2n 的一个非空子集 A ，如果集合 u v u, v A 不包含集 合 1, 2, ……n ，那么称 A 是好子集，求最小的实数，使得对于任意正整数 n ，及


1, 2,……2n 的任意一个好子集 A ，均有 A cn
杭州 第一天 2015 年 3 月 23 日上午 8：00——12：30
1. 如图， 在等腰 ABC 中，AB AC BC ，D 为 ABC 内一点， 满足 DA DB DC ， 边 AB 的中垂线和 ADB 的外角平分线交于 P ，边 AC 的中垂线和 ADC 的外角平分 线交于 Q ，求证： B, C , P, Q 四点共圆

n n xi i 1
n 1 2 n n!
5. 将 2015 阶完全图 G 的每条边染成红、蓝两色之一。对于 G 的顶点集 V 的任意一个二元 子集 u , v ，定义
L u , v u , v w V
以 u, v, w 为顶点的三角形中恰有两条红边
2. 设整数 n 2 ， a1 , a2 , ……an R ，求证：
+
1 n j j ak j 1 k 1 n aj j 1 1 n n n a i i 1 n 1 1 n n j j ak j 1 k 1 1
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杭州 第一天 2015 年 3 月 13 日上午 8：00——12：30
1． 如图，过 ABC 顶点 A 的圆 与边 AC, AB 分别交于 E, F ，交 ABC 的外接圆于另一 点 P ，求证：点 P 关于直线 EF 的对称点在直线 BC 上的充分必要条件是：圆 过
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杭州 第二天 2015 年 3 月 24 日上午 8：00——12：30
4. 给定正整数 n 2 ，设 x1 , x2 ,……xn 是单调不减的正数数列，并使 x1 , 一个单调不增的数列。求证:
x x2 ,…… n 构成 2 n
x
i 1
n
i 1 n
3. 如图，在锐角 ABC 中， AB AC ，点 O 和点 G 分别是 ABC 的外心和重心， D 为 边 BC 的中点，以 BC 为直径的圆上的一点 E 满足 AE BC ，且 A ， E 在直线 BC 的 同侧，延长 EG 交 OD 于点 F ，过 F 分别作 OB ，OC 的平行线，与 BC 分别交于 K ，
5. 给定正整数 n ，求证：对任意不超过 3n 4n 的正整数 a, b, c ，均存在绝对值不超过 2n
2
且不全为 0 的整数 x, y, z ，使得 ax by cz 0
6. 若干人举行乒乓球单打比赛，任意两人至多比赛一次，已知： （1）每个人胜了至少 a 个人，也负于至少 b 个人 a, b 1 （ 2 ） 对 于 任 意 两 人 A, B ， 均 存 在 若 干 个 不 同 的 人 P 1, P 2 , ……P k k 2 （ 其 中

Fra Baidu bibliotek
求证：当 u , v 取遍 V 的所有二元子集时，至少可以得到 120 个不同的 L u , v
6. 对正整数 n ， 定义 f n n !
n 1! ，这里 a 表示正整数 a 的正约数个数，
求证：存在无穷多个合数 n ，使得对于任意正整数 m n ，均有
f m f n