高一下学期数学期中考试试题(doc 9页)
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,3,4A =，{}0,1,2B =，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）A ．{}0B ．{}0,1,2C ．{}3,4D ．{}1,2 2．用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形3．已知()2i i z +=，i 为虚数单位，则z =（ ）A ．15B ．13CD 4．已知平面向量()2,0a =r ，()1,1b =-r ，且2ma b a b -=+r r r r ，则m =（ ）A ．1-BCD ．05．下列说法正确的是（ ）A ．过空间中的任意三点有且只有一个平面B ．四棱柱各面所在平面将空间分成27部分C ．空间中的三条直线a ，b ，c ，如果a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面D ．若直线a 在平面α外，则平面α内一定存在直线与a 平行6．若平面向量m u r ，n r ，p u r 均是非零向量，则“()()m n p m n p ⋅=⋅u r r u r u r r u r ”是“向量m u r 与p u r 共线”的（ ） A ．充要条件B ．充分且不必要条件C ．必要且不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔顶A 在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ）A ．B ．50米C ．25米D ．50米 8．已知函数()()2ln 1,143,1x x f x x x x ⎧+>-⎪=⎨---≤-⎪⎩，若函数()()22312y f x af x a =++-有6个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ）A ．3-B ．3C ．2e -D ．2e二、多选题9．对于ABC V ，有如下说法，其中正确的是（ ）A ．满足条件AB =1AC =，30B =o 的三角形共有两个B ．若sin cos A B =，则ABC V 是直角三角形C ．若222cos cos sin 2A B C ++<，则ABC V 为锐角三角形D ．若ABC V 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立10．已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线AB 长为2，E 为母线AB 中点，则下列结论正确的是（ ）A ．圆台的高为2B ．圆台的侧面积为6πC ．圆台外接球的体积是32π3D ．在圆台的侧面上，从C 到E 的最短路径的长度为511．关于函数()sin cos 2f x x x =+（x ∈R ），如下结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是π2B ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．函数()f x 的值域是(]0,2D ．函数()f x 在π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题12．如图所示，长方形O A B C ''''的边长2O A ''=，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．13．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222a c ac b ++=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且4BD =，则4a c +的最小值为．14．已知正三角形ABC 的边长为1，P 是平面ABC 上一点，若2225PA PB PC ++=，则P A 的最大值为．四、解答题15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上、下底面圆的圆心，且339cm AC AB BD ===，现有一箱这种的陀螺共重6300g （不包含箱子的质量），陀螺的密度为35g /cm 6（π取3）(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少2cm 的颜料？ 16．已知复数1z ，2z 是方程210z z -+=的解，复平面内表示1z 的点A 在第四象限，O 是原点．(1)点A 关于虚轴的对称点为点B ，求向量OB u u u r 对应的复数；(2)将复数2z 对应的向量OC u u u r 绕原点逆时针旋转2π得到向量OD u u u r ，OD u u u r 对应的复数为3z ，求223i z z +的值； 17．如图，在△ABC 中，已知2AC =，3AB =，60BAC ∠=︒，且0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r．(1)若AG AC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，求2λμ+的值(2)求cos AGC ∠．18．已知向量()cos ,1a x =-r，1,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r ． (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)已知ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足()1f B =-，如图．（ⅰ）若33c a ==，求ABC V 的面积；（ⅱ）若30CAM ∠=o ，120BCM ∠=o ，CM ，求ACB ∠的值．19．若()(),f x g x 是定义在[],a b 上的增函数，其中[][),0,a b ⊆+∞，存在函数()()()2M x f x =，()()()2N x m g x =⋅，且函数()M x 图像上存在两点,A B ，()N x 图像上存在两点,C D ，其中,A C 两点横坐标相等，,B D 两点横坐标相等，且AB CD u u u r u u u r ∥，则称()f x 在[],a b 上可以对()g x 进行“m 型平行追逐”，即()f x 是()g x 在[],a b 上的“m 型平行追逐函数”. 已知()141x a f x =-+是定义在R 上的奇函数，()22x x g x b -=+⋅是定义在R 上的偶函数． (1)求满足()()83f xg x =的x 的值； (2)设函数()()()()()()22k x n f x g x g x =-+，若不等式()0k x <对任意的[)1,x ∞∈+恒成立，求实数n 的取值范围；(3)若函数()f x 是()g x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“m 型平行追逐函数”，求正数m 的取值范围．。
青海省海东市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
海东市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.4.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知中，内角所对的边分别，若，，，则（ ）A.B.C.D.2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）A. 长方体B. 圆锥C. 棱锥D. 圆台3. 复平面内表示复数的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ）A. B. 6C.D. 5. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）ABC V ,,A B C ,,a b c 1a =2b =1sin 6A =sin B =231356121iiz -=21,e e 1212e 3e ,2e e a b k =+=-+ a bk 6-3232-ABCD M N BC CD AC AM BN λμ=+λμ+=A. 2B.C.D.6. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ）A. B. 75C. D. 7. 若水平放置四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC 的面积为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，AB 是底部不可到达一座建筑物，A 为建筑物的最高点，某同学选择地面CD 作为水平基线，使得C ，D ，B 在同一直线上，在C ，D 两点用测角仪器测得A 点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB 的高度为（ ）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上皆不可能10. 已知为虚数单位，复数，则（）的的8365858π25π16πO A C B '''',4,8A C O B A C O B ''''''''==∥10CD=5+i 312312i,2i,i z z z =+=-=A. 与互为共轭复数B.C. 为纯虚数D.11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则只有一解C. 若，则直角三角形D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知复数，则______．13. 有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为_________.14. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 已知是虚数单位，复数，．（1）当复数为实数时，求的值；（2）当复数为纯虚数时，求的值；16已知平面向量满足，其中.（1）若，求实数m的值；（2）若，求向量与的夹角的大小.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若的面积为a、b的值．为.1z2z12=z z123z z z++()1323iz z z+⋅=+ ABCVA B>sin sinA B>602 1.74A c a=︒==，，ABCVtanaAb=ABCVcos cos cos0A B C++>122i,1iz z=-=+12z z=4cm1cm2cmA C45︒B C15︒Ci()()22562iz m m m m=-++-m∈Rz mz ma b，(1,2),(4,1)a m b=--=-m∈Ra b∥a b⊥2a b-bABCV222ab c a b=--ABCV c=18. 如图，圆锥中内接一个圆柱，是的中点，，圆柱的体积为.（1）求圆锥母线长；（2）求图中圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比.19. 在平面四边形中（在的两侧），.（1）若，求；（2）若，求四边形的面积的最大值.的PO 1O OP 24OB OA ==1O O 16πPO 1O O ABCD ,B D AC 1,120AD CD ADC ∠===90,DAB BC ∠==ABC ∠2AB BC =ABCD海东市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【15题答案】【答案】（1）或 （2）【16题答案】【答案】（1）9 （2）【17题答案】【答案】（1）；（2），或，．【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1） （2）3i +24+24+0m =2m =3m =3π423C π=2a =4b =4a =2b =45ABC ∠= 1。
安徽省合肥市2022-2023学年高一下学期期中考试数学含解析
2022~2023学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.复平面内表示复数1ii z -=的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】化简复数可得1i z =--，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解()1i i 1i i 11i i i i 1z --+====--⋅-，所以，复平面内表示该复数的点为()1,1--，所以，复平面内表示复数1iiz -=的点位于第三象限.故选：C.2.平面向量a 与b的夹角为π3，若()2,0,1a b == ，则2a b += （）A.B. C.4D.12【答案】B 【解析】【分析】确定2= a ，计算22224412a b a a b b +=+⋅+=，得到答案.【详解】()2,0a =r ，则2= a ，222π2444421cos 4123a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，故2a b +=故选：B3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A.34B.33C.32D.【答案】D 【解析】【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可..【详解】设底面棱长为2(0)a a >，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角形，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为()()2232442a a ⨯=.故选：D4.定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA 级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度MN ，在观音塔的正北方向找到一座建筑物AB ，高约为22.5m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，观音塔顶部M 30°和45°，在A 处测得观音塔顶部M 的仰角为15°，观音塔的高度约为（）A.32mB.39mC.45mD.55m【答案】C 【解析】【分析】先在Rt ABC △中求出AC 的长度，然后再求出ACM △中CAM ∠，AMC ∠，利用正弦定理求出MC ，最后利用三角函数定义求出MN 的长度.【详解】由题意得，在Rt ABC △中，45sin 30ABAC ==︒，在ACM △中，301545CAM ∠=︒+︒=︒，1804530105ACM ∠=︒-︒-︒=︒，30AMC ∴∠=︒.由正弦定理得，sin sin AC MC AMC CAM =∠∠，得sin 45452sin 30ACMC =⋅︒=︒，在Rt CMN 中，sin 4545MN MC =⋅︒=.故选：C.5.已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（）A.23B.15C.4D.32【答案】B 【解析】【分析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高.【详解】如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为r ，下底面圆的半径为3r ，底面圆周长为6πr ，因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6，因为圆台展开图所在扇形的圆心角为π2，所以π66π2r ⨯=，得12r =，如图，圆台的高224415h r =-=故选：B6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n => ，则14m n+的最小值为（）A.2B.3C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到122m n+=，再利用基本不等式求出最小值.【详解】若,,C D E 三点共线，FC FD FE λμ=+，则1λμ+=，理由如下：因为,,C D E 三点共线，则有CD xDE =，即()FD FC x FE FD -=- ，即()1FC x FD xFE =+-，故1,x x λμ=+=-，故1λμ+=，其中1()2AO AB AC =+ 22m n AM AN =+ ，M 、O 、N 三点共线，∴122m n+=，∴14145259()()2222222m n n m m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当22n m m n=，即423n m ==时，等号成立．故选：C ．7.ABC 中，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC ，则()AB DA DB ⋅+等于()A.2 B.4C.-4D.-2【答案】A 【解析】【分析】根据正、余弦定理求出A ；根据三角形面积公式求出bc ；再根据D 是BC 边的中点，将DA，DB 用AB 和AC表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．【详解】∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，∴()()()sin sin sin b c B a c A C +=+-，∴()()()b c b a c a c +=+-，即222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，又角A 是ABC 的内角，∴23A π=，又1sin 2ABC bc S A ==122bc =⨯，∴4bc =；又D 是BC 边的中点∴()11=()22AB DA DB AB AB AC CB ⎡⎤⋅+⋅-++⎢⎥⎣⎦111()()cos 42222AB AB AC AB AC AB AC bc A ⎡⎤⎛⎫=⋅-++-=-⋅=-⋅=-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．8.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.23,32⎛⎫⎪⎝⎭C.34,43⎛⎫⎪⎝⎭D.35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tan2A,进而求得A 的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得b c关于C 的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到022C A ππ<-<<，利用三角函数的性质求得取值范围即可．【详解】解：△ABC 中2222cos a b c bc A =+-，1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，∴sin 2(1cos )A A =-；即22sincos 4sin 222A A A =，∵sin 02A >，∴1tan 22A =，∴21242tan 3112A ⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴43sin ,cos 55A A ==，∴sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+，∵△ABC 为锐角三角形，∴2A C π+>,∴022C A ππ<-<<，∴140tan tan tan 23C A C π⎛⎫<=-<= ⎪⎝⎭，∴34344325555tan 5535153C <+<⨯+==,∴35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的是（）A.平面向量的一个基底{}12,e e 中，1e ，2e一定都是非零向量.B.在平面向量基本定理中，若0a =，则120λλ==.C.若单位向量1e ､2e 的夹角为23π1e 在2e 方向上的投影向量是212e - .D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC 【解析】【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可【详解】选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此1e ，2e一定都是非零向量，故A 正确；选项B ：12000a e e ==⋅+⋅，由在同一基底下向量分解的唯一性，有120λλ==，故B 正确；选项C ：1e 在2e 方向上的投影向量为：1222212||e e e e e ⋅=-，故C 正确；选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC10.已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数3i z =+，则13i 1010z =-.B.复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=.C.若复数1z ，2z 满足12z z =，则120z z ≥.D.复数3i 1z =-+的虚部是1.【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，直接利用复数的除法运算求解，对于B ，利用复数的模求解，对于C ，直接复数的乘法运算求解判断，对于D ，利用虚部的定义判断【详解】对于A ，因为3i z =+，所以113i 3i 3i 3i (3i)(3i)101010z --====-++-，所以A 正确，对于B ，因为z 在复平面内对应的点为(),x y ，所以2i (2)i z x y -=+-，因为2i 1z -=，所以()2221x y +-=，所以B 正确，对于C ，令2i(,)z a b a b R =+∈，因为12z z =，所以1i(,)z a b a b R =-∈，所以()()2212i i 0z z a b a b a b =-+=+≥，所以C 正确，对于D ，复数3i 1z =-+的虚部为3-，所以D 错误，故选：ABC11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）.A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形B.若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若AB =1AC =.π6B =，则ABC 的面积为2【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由正弦值相等，得到22A B =或22πA B +=，故A 错误；B 选项，由锐角三角形和正弦函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行求解；C 选项，先由正弦定理得到222a b c +<，再使用余弦定理即可求出C 为钝角；D 选项，先用余弦定理得到BC ，进而利用面积公式进行求解.【详解】在ABC ，πA B C ++=，A 选项，∵sin 2sin 2AB =，∴22A B =或22πA B +=，∴A B =或π2A B +=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形，A 错误，B 选项，∵ABC 是锐角三角形，则ππ022B A <-<<，又()sin f x x =在02π⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，∴πsin sin()cos 2A B B >-=即sin cos A B >恒成立，B 选项正确，C 选项，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，由正弦定理可得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，则ABC 为钝角三角形，C 对，D 选项，∵AB =.1AC =.π6B =，设BC x =，由余弦定理可得2221cos6x π=+-⋅，化为2320x x -+=，解得1x =或2，经检验，均符合要求，则11sin 264ABC S π=⨯=或Δ12sin 262ABC S π=⨯=，D 错误，故选：BC.12.棱长为1的正方体1111A B C D ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111D Q D A λ=，[]0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，下列命题中正确的是（）A.三棱锥A DMN -的体积与λ的取值无关B.当12λ=时，点Q 到直线AC 的距离是4C.当14λ=时，0AM QM ⋅=D.当13λ=时，过,,A Q M 三点的平面截正方体所得截面的周长为3【答案】ABD 【解析】【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对选项A ：由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值12，且ADM △的面积为定值14，所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关，所以A 正确；对选项B ：当12λ=时，Q 是11A D的中点，53,22AQ AC QC =====，59244cos QAC +-∠==，所以QAC ∠为锐角，所以sin QAC ∠==,所以点Q 到直线AC的距离是sin 24AQ QAC ⨯∠==，所以B正确.对选项C ：当14λ=时，134AQ =，可得212AM =，2221192511616AQ AA A Q =+=+=，取11,AD A D 的中点分别为,N E ，连接,EN EM ，则222EM MN EN =+，在直角三角形MEQ 中，222222112112416QM EM EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22222212921616AM QM AQ ⎛+=+=> ⎪⎝⎭，所以0AM QM ⋅= 不成立，所以C 不正确．对选项D ：当13λ=时，取11113D H D C =uuuu r uuuu r ，连接HC ，则11//HQ AC ，又11//AC AC ，所以//HQ AC ，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正方体的截面为ACHQ ，由3AQCH ===，则ACHQ 是等腰梯形，且111233QH AC ==，所以平面截正方体所得截面的周长为2l ==，所以D 正确；故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x '轴，底角为45︒，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．【答案】8+8+【解析】【分析】根据斜二测画法规则画出原平面图形，即可求出其面积【详解】由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示：这个平面图形的面积：4(2282⨯++=+故答案为：8+14.已知锐角三角形ABC 内接于单位圆，且BC =ABC 面积的最大值是___________.【答案】12【解析】【分析】由题意可知90BOC ∠=︒，由圆的性质可知45BAC ∠=︒，在ABC 中，使用余弦定理和基本不等式，可得2AB AC ⋅≤+，再根据三角形面积公式1=sin 2ABC S AB AC BAC ⋅∠ ，即可求出结果.【详解】如图，设圆O 的半径为1，因为BC =BOC 是直角三角形，即90BOC ∠=︒，所以角45BAC ∠=︒，由余弦定理可知2222cos 4BC AB AC AB AC π=+-⋅由基本不等式可知(2222cos24AB AC AB AC AB AC π=+-⋅≥-⋅，当且仅当AB AC =时，取等号；所以2AB AC⋅≤=+，又(11=sin=2+=2442ABCS AB AC BAC AC+⋅∠⋅≤⨯.所以ABC的面积的最大值为12.15.根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______cm．1.26≈）【答案】1.48【解析】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为2π4116πV=⨯⨯=水，相应圆台的体积为()()()3224π1164ππ44π443333hh h-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-=-，所以()34π64π16π33h-=-，解得44421.26 1.48h==-≈-⨯=cm，故答案为：1.4816.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若1247SS=，则12VV=______．【答案】47【解析】【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积，由条件求出1r ，2r 之间的关系，结合球的体积公式求12V V .【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系设圆台的母线长为l ，高为h ，上、下底面圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，()212r r r <，球的球心为O ，半径为R ，作出该组合体的轴截面如图所示，连接12O O ，易知点O 为12O O 的中点，则122O O h R ==．设D 为球O 与圆台侧面的一个切点，连接OD ，根据切线长定理可得12l r r =+，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）所以()()()22221122R r r r r +-=+（勾股定理的应用）所以212R r r =，第二步：用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积则21124π4πS R r r ==，()()2222212121122πππ2πS r r l r r r r r r =+++=++，（圆台的表面积公式）第三步：根据1247S S =得到1r ，2r 之间的关系故()1121222222112211224π2472πS r r r r S r r r r r r r r ===++++，第四步：求出12V V 所以()()3311222222221122112211224π2443172π3R V r r R V r r r r R r r r r r r r r h ====++++++．故答案为：47.三､解答题（本大题共5小题，共70分）17.已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数．（1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值．【答案】(1)12 z z +=(2)m=0,n=-1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为12z m i =－为纯虚数，所以0m =．又1n =，所以12z i =-，21z i =-，从而1213z z i +=-．因此12z z +==（2）因为()212z z =，所以()221m i ni -=+，即()2212m i nni -=-+．又m ，n 为实数，所以21,22,m n n ⎧=-⎨-=⎩解得0,1.m n =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知向量()()1,2,4,3a b ==-.（1）若向量//c a，且c = ，求c 的坐标；（2）若向量a kb + 与a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）()2,4c = 或()2,4c =-- （2）55k =±【解析】【分析】（1）因为//c a r r，所以可以设c a λ= 求出c 坐标，根据模长，可以得到参数λ的方程.（2）由于已知条件()()1,2,4,3a b ==- 可以计算出a kb + 与a kb -坐标（含有参数k ）而两向量垂直，可以得到关于k 的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设c a λ=，则222c a λ=，所以()222221λ=+解得2λ=±所以()2,4c =r或()2,4c =--r 法二:设(),c x y =，因为//c a r r ，()1,2a =，所以2x y =，因为c =r，所以2220x y +=解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4c =r或()2,4c =--r （2）因为向量a kb + 与a kb -互相垂直所以()()0a kb a kb +-= ，即222a k b 0-= 而()1,2a =r ，()4,3b =- ，所以225,25a b == ，因此25250k -=，解得55k =±【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.19.如图，一个圆锥的底面半径3cm R =，高4cm H =，在其内部有一个高为cm x 的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．（1）求圆锥的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【答案】（1）215cm π（2）当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm 【解析】【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值.【小问1详解】圆锥的母线长为5cm ===L ，所以圆锥的侧面积为23515cm =⋅⋅=⨯⨯=侧S R L πππ．【小问2详解】设圆柱的底面半径为r ，如图可得-=x R r H R ，即343-=x r，得33(04)4=-<<r x x ．所以圆柱的侧面积()223324=(2)4(04)22S r x x x x x πππ⎡⎤=⋅⋅=⋅-+⋅--+<<⎣⎦．所以当2(0,4)x =∈时，S 取得最大值6π．即当2x =时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm ．20.在①cos cos a b c B b C +=-cos )sin c A b a C -=，sinsin 2A Bc A +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_________．（1）求角C 的大小；（2）若c =，sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）23C π=；（2【解析】【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C 的三角函数值，即可得结果；（2）由已知及正弦定理可得a b ab +=，再由余弦定理有222122a b c ab +-=-，进而求得4ab =，最后应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】选①：由正弦定理得：sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-，而sin sin()A B C =+，所以sin sin cos cos sin sin cos sin cos B B C B C C B B C +-+=，整理得：2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，可得1cos 2C =-，而0C π<<，则23C π=.cos sin )sin sin C A B A C -=，而sin sin()B A C =+，cos sin cos cos sin )sin sin C A A C A C A C --=，则cos sin sin A C A C =，而sin 0A >，可得tan C =而0C π<<，则23C π=.sin sin sin 2A BA C A +=，而sin 0A >且ABC π+=-，sin()2sin cos 22222C C C C π-==，又022C π<<，所以sin22C =，则23C π=，即23C π=.【小问2详解】由c =，则4sin sin sin a b cA B C ===，故1414,sin sin A a B b==，而sin sin 4sin sin A B A B +=⋅，则11444sin sin A B a b+=+=，可得a b ab +=，又2221cos 22a b c C ab +-==-，整理得22120a b ab ++-=，则22()12()12(4)(3)0a b ab ab ab ab ab +--=--=-+=，可得4ab =，所以ABC的面积为112πsin 4sin 223S ab C ==⨯⨯=.21.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中,,2AB a B BC π=∠==.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M 与点,A B 均不重合，A '落在边BC 上且不与端点,B C 重合，设AMN θ∠=.（1）若3πθ=，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，,AN A N '的长度最短，求此时绿地公共走道MN 的长度.【答案】(1)29a ；(2)23a .【解析】【详解】分析：（1）由题意可得1122BM A M AM ='=，23AM a =，则22329AMN S S a ∆==；（2）由题意可得22aAM A M sin θ='=，由正弦定理有223aAN sin sin πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，记2122362t sin sin sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合三角函数的性质可得3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.详解：（1）由图得：23BMA ππθ∠=-='∴1122BM A M AM ='=，又BM AM a AB +==∴32AM a =∴23AM a =，∴222142223929AMN S S AM sin a a π∆==⋅⋅⋅=⋅=；（2）由图得：()2AM A Mcos AB a πθ-='+=且AM A M ='，∴()212122a a aAM A M cos cos sin πθθθ====+--'，在AMN ∆中，由正弦定理可得:3ANAMsin sin πθπθ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴22233AMsin aAN sin sin sin θππθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记22222333t sin sin sin sin cos cos sin πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121222262cos cos sin sin θπθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴262ππθ-=，∴3πθ=时，t 取最大，AN 最短，则此时23MN AM a ==.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22.在平面直角坐标系中，已知()23,,8,8,7,0,,,02A t B m m C m t m R t t ⎛⎛⎫---∈≠ ⎪⎭ ⎪⎝⎝⎫⎭．（1）若1,4,t m Р==为x 轴上的一动点，点()1,2'-A ．①当,,A P B '三点共线时，求点P 的坐标；②求PA PB +的最小值﹔（2）若()sin ,0,t θθπ=∈，且CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求m 的取值范围．【答案】（1）①5,02⎛⎫⎪⎝⎭；②5；（2）5m <．【解析】【分析】（1）①设(),0P x ，根据题意，可得,A P A B ''坐标，根据,,A P B '三点共线，可得A P ' 与AB '共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案；②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A ，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，代入两点间距离公式，即可得答案.（2）根据题意，求得,CA CB 坐标，根据题意可得0CA CB ⋅>恒成立，根据数量积公式，化简整理，可得()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，利用换元法，可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案.【详解】解：（1）①设(),0,1,4P x t m ==，则(4,2)B ，所以()()1,2.3,4A P x A B ''=-= ，因为A P ' 与A B ' 共线所以()416x -=，解得52x =，所以当,,A P B '三点共线时，点P 的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭②因为()1,2A 关于x 轴的对称点为()1,2'-A 所以AP PB PA PB '+=+，所以当,,A P B '三点共线时，PA PB '+取得最小值，最小值即为5A B '== 所以PA PB +取得最小值5.（2）因为()sin ,0,t θθπ=∈，所以2sin ,sin A θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，第21页/共21页所以23sin 7,,1,8sin 2CA m CB m θθ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以0CA CB ⋅> 恒成立，所以32sin 7802sin CA CB m m θθ⎛⎫⋅=+-+-> ⎪⎝⎭，又因为()0,θπ∈，所以sin 0θ>，所以2sin 7sin sin 1630m m θθθ-++->，即()23sin sin 7sin 16m θθθ-<-+恒成立，又因为3sin 0θ->，所以()2sin 7sin 16,0,3sin m θθθπθ-+<∈-恒成立，令3sin k θ-=，则[2,3)k ∈，换元可得2441k k m k k k++<=++，[2,3)k ∈，因为4115k k++≥+=，当且仅当2k =时等号成立，所以当2k =时，41k k ++有最小值5，所以m 的取值范围是：5m <【点睛】解题的关键是熟练掌握向量共线、数量积公式、对勾函数等知识，并灵活应用，易错点为，在应用换元法时，应写出新元的范围，再根据自变量范围，结合对勾函数的性质求解，属中档题。
广东第二师范学院番禺附属中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
2018-2019学年第二学期广东二师附中中段测试高一级试题数 学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡和答卷一并交回．试卷要自己保存好，以方便试卷评讲课更好开展.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1、直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）A .30°B ．60°C ．120°D ．150°2、已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12l l ⊥, 则a 的值为（ ） A . 2- B. 2 C. 12-D. 8 3、在△ABC 中，060B =，2b ac =则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4、将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（ ）A ．43π B ． 4π C ． 3π D ． 3π 5、设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）A ．,//m n m n αα⊥⇒⊥B ． ,//m n m n αα⊥⊥⇒C ．,//m m n n αα⊥⇒⊥D ．//,////m m n n αα⇒ 6、一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:),则该几何体的表面积为( )A ．224cm πB ．218cm πC ．245cm πD ． 248cm π 7、球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 ( ) A ．3π B ．4π C ．2πD ．π 8、在ABC ∆中，已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --=．求B 的度数（ ）．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9、.如图所示,在正方体D C B A ABCD 111-中,若E 是A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( )A.AC B.BD C.1A D D.11A D . 10、已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=，422=+c b ，则ABC ∆的面积为（ ）． A.38B.34C. 3D. 2311、已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿对角线折起，使得平面ABC ⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（ ）A. 直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BDB. 直线AB ⊥平面BCD ，且直线AC ⊥平面BDEC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDED. 平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ACD ⊥平面BDE12、如图所示，已知两点),(04A ),(40A ，从点),(02P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A ．210 B ．6 C ．33 D ．25第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）． 13、锐角ABC ∆中，若面积ab S 43=，则角C =___________ 14、如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：__________时，SC ∥平面EBD.15、如图所示，设,A B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m ，0045,105ACB CAB ∠=∠=后，就可以计算出,A B 两点的距离为________16、设点P 在直线30x y +=上,且P 到原点的距离与P 到直线32x y +=的距离相等,则点P 的坐标为 .三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 三、解答题(本大题共6题,共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.)17、（本小题满分10分）已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18、（本小题满分12分）如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于A B ，的一点，12AA AB ==．求证：（1）11AAC BAC ⊥平面平面；（2）求几何体1A ABC -的最大体积V ．19、（本小题满分12分）设ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且3,1,2b c A B ===．（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值．20、（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=,∠A 的平分线所在的直线方程为0y =,若点B 的坐标为（1，2）， 求：（1）点A 和点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．21． （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.22、（本小题满分12分）已知向量()()()2sin ,sin cos ,3cos ,sin cos (0)a x x x b x x x λλλ=+=->，函数()f x a b =⋅的最大值为2.（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为2,cos 2b aa b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围.2018-2019学年第二学期中段测试高一级试题答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 B ADDCACDBBDA二、 填空题13.14.E 为SA 中点/SE=EA 15. 502m 16. 3131(,)(,)5555--或三、解答题 17、【答案】（1）由12l l ⊥知()320a a +-=，解得32a =； ……………4分 （2）当12l l ∥时，有()()230320a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得3a =， (6)12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=， ……………8分距离为229142333d -==+ ……………10分 18、【答案】 （1）证明：C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径，∴ AC⊥BC． ……………1分AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC， ……………2分又AC∩AA 1=A ， ……………3分∴BC⊥平面AA 1C ． ……………4分又BC ⊂平面BA 1C ， ……………5分∴平面AA 1C⊥平面BA 1C ． ……………6分（2）解：在Rt△ABC 中，当AB 边上的高最大时，三角形ABC 面积最大，此时AC=BC. 此时几何体1A ABC -取得最大体积. ……………8分090,2ACB AB ∠==，则由AB 2=AC 2+BC 2， ……………10分 AA 1⊥平面ABC ， AA 1是几何体1A ABC -的高所以体积max 11112332ABC V S AA ⎛=⋅=⨯⨯= ⎝23． ……12分19．解：（1）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==， ………1分∴22222a c b a b ac+-=⋅， ………3分∵3,1b c ==，∴212a =，∴a = ………5分2）由（1）可得2221cos 23b c a A bc +-==-， ………7分∵0A π<<，∴sin A ………9分 ∴sin()sin cos +cos sin444A A A πππ+=13=-= ………12分 20、【答案】（1）解：由⎩⎨⎧==+-.0,012y y x 得顶点(1,0)A -． ………2分又AB 的斜率2011(1)AB k -==--．∵x 轴是A ∠的平分线，故AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为(1)y x =-+① ………3分 已知BC 上的高所在直线的方程为210x y -+=，故BC 的斜率为2-， BC 所在的直线方程为22(1)y x -=--② ………4分解①，②得顶点C 的坐标为(5,6)-． ………6分 （2）()()22152645BC =-++= ………7分又直线BC 的方程是240x y +-=A 到直线的距离24655d --==………10分 所以ABC ∆的面积1164512225BC d =⋅=⨯⨯= ………12分 21、解：（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，∴所以//BC AD . ………1分又BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面PAD ， ………3分∴//BC 平面PAD ………4分（2）取AD 的中点M ，连结,PM CM .12AB BC AD ==及//BC AD ，90ABC ∠= ∴ 四边形ABCM 为正方形，∴CM AD ⊥. ………5分因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，所以,PM AD PM ⊥⊥底面ABCD . ………6分 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥.… ………7分 设BC x =，则,2,3,2CM x CD x PM x PC PD x =====.取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以142PN x =………8分 因为PCD ∆的面积为27，所以11422722x x ⨯⨯=， 解得2x =-（舍去），2x =.………10分 于是2,4,23AB BC AD PM ====.所以四棱锥P ABCD -的体积12(24)32V +=⨯⨯=………12分22、试题解析：（1）函数()•23sin cos f x a b x x λ==+()sin cos x x λ+()sin cos x x - ………1分()22sin cos sin cos x x x x λ=+-)cos2x x λ=-12cos22x x λ⎫=-⎪⎪⎝⎭2sin 26x πλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ………2分 因为()f x 的最大值为2，所以解得1λ=. ………3分 则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由3222262k x k πππππ+≤-≤+， ………4分 可得：3522223k x k ππππ+≤≤+，536k x k ππππ+≤≤+， 所得函数()f x 的单调减区间为()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，. ………6分 （2）由2222cos 22b a b c d A c bc-+-==，可得22222b ab b c a -=+-，即222b a c ab +-=. 解得1cos 2C =，即3C π=. ………8分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ………10分因为()2sin 206f A m A m π⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭恒成立， 则2sin 26A m π⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，即1m ≤-. ………12分。
2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期中检测数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期中检测数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数等于()A.B.2iC.D.2.已知平面向量，若，则()A. B.C.D.23.在中，若，则()A.B.C.D.4.在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是()A.三棱锥B.三棱台C.四棱锥D.组合体5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，，，则()A.B.C.D.6.已知，，均为非零向量，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知非零向量满足，且，则是()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.在四边形ABCD 中，若P 为线段CD 上一动点，则的最大值为()A.1B.3C.5D.79.已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则()A.B.C.4D.10.在中，a，b，c分别为，，的对边，给出下列四个条件：①，，；②，，；③，，；④，，能判断三角形存在且有唯一解的是()A.①④B.②③C.①②③D.②③④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若复数z满足，则__________.12.方程在复数范围内的解为__________.13.已知向量，，，则的坐标可以是__________.14.已知向量，，，与的夹角为，则__________，当的值最小时，实数x的值为__________.15.给出下列命题：①一个棱柱至少5个面；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；⑤有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台.其中，所有正确命题的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
高一数学下学期期中试题(含解析)
，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
湖南省常德市德善高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
德善高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷时量120分钟满分150分一、单选题（本大题8小题，共40分）1. 已知向量，，则（ ）A. B. C. D. 52. 设，则（ ）A. B. C. D. 3. 在△ABC 中，角对边分别是，若，，则A. B. C. D. 4 中若（ ）A. B. C.或 D. 或5. 表示点，,表示线，表示平面，下列命题中是真命题的为（ ）A 若点平面，点平面，则与平面相交B. 若.则与必异面C. 若平面平面，则平面D. 若平面平面，则6. 圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为（ ）A. B. C. D. 7. 中，若，则的周长为（ ）A. B. 12 C. D. 8. 在中已知，且则为（ ）的..()2,0a = 1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2a b += 1i 1i -=+z z z +=1i --1i +1i -1i -+,,A B C ,,a b c a =2A B =cos B =ABC V ()222tan ,a c b B B +-=∠=π6π3π65π6π32π3,A B a b αA ∈αB ∉αAB α,a b αα⊂⊂/a b A ∈,a B ∉a //AB a//a ,b α⊂αa bP 81π100π14π168πABC V 60A ∠=︒=V ABC S 2sin 3sin B C =ABC V 10+55+ABC V 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭12||||AB AC AB AC ⋅= VA. 等腰B. 直角C. 等边D. 三边均不相等的二.多选题（本大题3小题，共18分）9. 下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（ ）A. 若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C. 直线a ，b 分别和异面直线c ，d 都相交，则直线 a ，b 是异面直线D. 正方体中，点是的中点，直线交平面于点，则A ，M ，O 三点共线，且A ，M ，O ，C 四点共面10. 已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）A. 与的夹角为钝角B. 向量在方向上的投影向量为C.D. 最大值为211. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（ ）A. 球的表面积为B. 球的内接正方体的棱长为1C. 球的外切正方体的棱长为D. 球的内接正四面体的棱长为2三.填空题（本大题共3小题共15分）12. 已知是实数，是纯虚数，则 ___________.13. 若向量满足，的夹角为___________.14. 中有，则______.四、解答题（本大题共5道题，共77分）15. 已知复数，是纯虚数（1）求复数的共轭复数的V V V V 1111ABCD A B C D -O 11B D 1AC 11AB D M (2,1)a = (1,1)=- b (2,)cm n =-- ,m n ()//a b c - a ba b 2b 24m n +=mn A B C O 2AB BC CA ===O ABC 13O 6πO O 43O a i 2i a -+=a ,a b a b = 2a b += ,a b ABC V 222,b ac a bc c ac =+=+sin c b B=i(R)z b b =∈21iz -+z z（2）若复数所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.16. 已知且（1）若为中点，求证：；（2）若为的中点，连接延长交于，用表示，并求.17. 如图所示正方体中棱长为，连得到三棱锥（1）求三棱锥表面积与正方体表面积之比（2）求三棱锥的体积18. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若求的面积．19. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝，AB ⊥AD ，AB ＝1．的2()m z +m ||,||CB n CA m == 0(0,0)CB CA m n ⋅=>> D AB 12CD AB = E CD AE BC F ,CB CA AF ||AF 1111ABCD A B C D -a 111111,,,,,A C A D A B BD BC C D 11A BC D-11A BC D -11A BC D -C ∆AB A B C a b c ()m a = ()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB 34π（1）若AC，求的面积；（2）若∠ADC ＝，CD ＝4，求sin ∠CAD ．ABC V 6德善高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 简要答案一、单选题（本大题8小题，共40分）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二.多选题（本大题3小题，共18分）【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三.填空题（本大题共3小题共15分）【12题答案】【答案】##0.5【13题答案】12【答案】【14题答案】四、解答题（本大题共5道题，共77分）【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）证明略（2）【17题答案】【答案】（1（2）【18题答案】【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ【19题答案】【答案】（1）；（2．23π2i -()0,213AF CB CA =- 33a 3π12。
浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期4月期中测试数学试题含答案
杭州市西湖2024年4月高一数学测试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}3,2,0,1,3,5A x x B =∈≤=-N ，则A B = （）A.{}0,3 B.{}0,1,3 C.{}1,3 D.{}2,1,3-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为{}{}{}30,1,2,3,2,0,1,3,5A x x B =∈≤==-N ，则{}0,1,3A B = .故选：B2.若i 为虚数单位，复数1iiz +=，则z =（）A.1i -+B.1i-- C.1i- D.1i+【答案】D 【解析】【分析】首先化简复数，再求共轭复数.【详解】()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--，则1i z =+.故选：D3.已知()2,3a =r ，()26,2a b += ，则b =（）A.()2,4- B.()2,4- C.12,2⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量b的坐标.【详解】因为()2,3a =r，()26,2a b += ，则()()()()6,226,222,32,4b a =-=-=- .故选：A.4.如图，一个水平放置的三角形ABO 的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若B A ''=B O ''=2，那么原三角形ABO 的周长是（）A.2+B.2+C.4 D.8+【答案】D 【解析】【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解.【详解】因为B A ''=2''=B O ，由直观图可知，O A ''=，所以还原平面图形中，OA =2OB O B ''==，在Rt AOB △中，6AB =,则三角形ABO 的周长为268++=+.故选：D5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为圆心角为π2的扇形，则该圆锥的底面半径为（）A.12B.2C.1D.【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥的几何量和展开图几何量的关系，以及扇形的弧长公式，即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长为2πr ，所以圆心角为2ππ22r =，则12r =.故选：A6.已知非零向量,a b满足||2||a b =，且|2||4|a b a b -=+，则,a b的夹角为（）A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可.【详解】由已知|2||4|a b a b -=+可得222244816a a b b a a b b -⋅⋅+=+⋅+ ，即20a b b ⋅+= ，又因为||2||a b =，所以21cos ,2b a b a b-==-⋅ ，所以夹角为2π3.故选：C7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x ax =+，若()38f -=，则不等式()14f x >的解集为（）A.510124⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， B.5100124⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，C.51124⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D.510124⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件可得3a =-，再由函数的奇偶性可得0x <时的解析式，然后分情况解出不等式即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()338f f -=-=，则()38f =-，则318a +=-，即3a =-，即当0x >时，()31f x x =-+，设0x <，则0x ->，则()()()3131f x f x x x =--=---+=--⎡⎤⎣⎦，则当0x >时，由()14f x >可得1314x -+>，解得104x <<，当0x <时，由()14f x >可得1314x -->，解得512x <-，所以不等式得解集为510124⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，.故选：A8.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC OA AB =+= ，，则向量AB 在向量BC 上的投影向量为（）A.14BCB.34BCC.14BC-D.34BC-【答案】C 【解析】【分析】根据条件作图可得为ABO 等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为2AO AB AC =+，所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又AB AO =，所以ABO 为等边三角形，则60ABC ∠=，故cos 60AB BC =，所以向量AB在向量BC 上的投影向量为：2222·cos120·cos 60··1·4AB BC BC BC BC AB BC BC BC BC BC BC BC︒-︒===-．故选：C ．二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若1z =，则1z =±或iz =±B.若点Z 的坐标为(1,1)-，则z 对应的点在第三象限C.若2i z =-，则z 的模为7D.若1z ≤≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π【答案】BD 【解析】【分析】由复数的模判断AC ；由复数的基本概念和几何意义判断BD ．【详解】对A,由||1z =，可得i(,R)z a b a b =+∈，且221a b +=，故A 错误；对B,若点Z 的坐标为(1,1)-，则1i,1i,z z =-+=--故z 对应的点的坐标为(1,1)--，在第三象限，故B 正确；对C,若2i z =，则z =C 错误；对D,设i(,R)z c d c d =+∈,若1||z ≤≤2212c d ≤+≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为22ππ1π⨯-⨯=，故D 正确．故选：BD ．10.已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<，其部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的是（）A.1π()2sin(28f x x =+B.()f x 在区间[π,2π]上单调递减C.()f x 的图象关于直线π4x =-对称D.()f x 的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数1()2sin()2g x x =图象【答案】AB 【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合函数解析式，利用五点法作图求出参数，再逐项分析判断得解.【详解】对于A ，观察图象，得2A =，周期7π3π4()4π44T =-=，则2π12T ω==，又3π(24f =，则3ππ2π,Z 1242k k ϕ++⋅=∈，又0πϕ<<，于是π0,8ϕ==k ，因此1π()2sin()28f x x =+，A 正确；对于B ，当[π,2π]x ∈时，1π5π9π[,]2888x +∈，而正弦函数sin y x =在5π9π[,88是递减，因此()f x 在区间[π,2π]上单调递减，B 正确；对于C ，πππ(2sin()0488f -=-+=，()f x 的图象关于直线π4x =-不对称，C 错误；对于D ，()f x 的图象向右平移π8个单位长度得1ππ1π2sin[()]2sin(288216y x x =-+=+，D 错误.故选：AB11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AA C C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的侧面积是4+B.直三棱柱的外接球表面积是4πC.三棱锥1E AA O -的体积与点E 的位置无关D.1AE EC +的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC ==，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接圆的半径R ==则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AA C C ，1AA ⊂平面11AA C C ，所以1//BB 平面11AA C C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AA C C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为12222⨯⨯=，则三棱锥1E AA O -的体积为定值131332212⨯=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数()()2log ,02,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则()7f -=______．【答案】0【解析】【分析】借助分段函数的性质计算即可得.【详解】()()()()()275311log 10f f f f f -=-=-=-===.故答案为：0.13.已知D 为ABC 的边AC 上一点，3AD DC =，AB =，π23ADB DBC ∠=∠=，则sin ABC ∠=______．【答案】7【解析】【分析】由已知可得π6DBC BCD ∠=∠=，则DB DC =，设DC x =，然后在ADB 中利用余弦定理可求出x ，再在ABC 中，利用正弦定理可求得结果【详解】因为π23ADB DBC ∠=∠=，所以π6DBC ∠=，所以由π3ADB DBC BCD ∠=∠+∠=，得π6DBC BCD ∠=∠=，所以DB DC =．设DC x =，则DB x =，3DA x =，在ADB 中，由余弦定理得2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅∠，即()22211432372x x x x x =+-⋅⋅⋅=，解得x =．所以DC =，4AC DC ==．在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC ABABC ACB=∠∠，故1sin 2sin 7AC ACBABC AB∠∠==．故答案为：714.已知ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使的DE EF =，则AF BC ⋅的值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】以,AB AC 为基底，将,AF BC表示出来，从而求得数量积.【详解】因为点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，所以12DE AC=，因为DE EF =，所以2DF DE AC ==，所以12AF AD DF AB AC =+=+ .因为BC AC AB=-，60BAC ∠=︒，1AC AB ==，所以()12AF BC AB AC AC AB⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22222111111111222224AC AB AC AB =--⋅=-⨯-⨯⨯=.故答案为：14四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知i 是虚数单位，当实数m 满足什么条件时，复数22(3)(56)i z m m m m =-+-+分别满足下列条件？（1）z 为实数；（2）z 为虚数；（3）z 为纯虚数；【答案】（1）2m =或3m =；（2）2m ≠且3m ≠；（3）0m =.【解析】【分析】（1）（2）（3）利用复数分别表示实数、虚数、纯虚数的充要条件列式计算即得.【小问1详解】复数22(3)(56)i z m m m m =-+-+是实数，则2560m m -+=，所以2m =或3m =.【小问2详解】复数22(3)(56)i z m m m m =-+-+是虚数，则2560m m -+≠，所以2m ≠且3m ≠.【小问3详解】复数22(3)(56)i z m m m m =-+-+是纯虚数，则2230560m m m m ⎧-=⎨-+≠⎩，所以0m =.16.如图，在菱形ABCD 中，,132BE BC CF FD ==.（1）若EF xAB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6,60AB BAD =∠=︒ ，求AC EF ⋅.【答案】（1）54-（2）272-【解析】【分析】（1）借助平面向量线性运算与平面向量基本定理计算即可得；（2）借助平面向量线性运算及数量积的计算公式计算即可得.【小问1详解】因为在菱形ABCD 中，,132BE BC CF FD == ，故1324EF EC CF AD AB =+=- ，故31,42x y =-=，所以5324x y +=-；【小问2详解】()1324AC EF AB AD AD AB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 22311424AB AD AB AD =-+-⋅ ，在菱形ABCD ，且6,60AB BAD ∠︒== ，故6AD = ，,60AB AD =︒ ，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯︒=.故223112766184242AC EF ⋅=-⨯+⨯-=- .17.已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC的中点；（1）求该三棱柱的体积与表面积；（2）求三棱锥11D AB C -的内切球半径．【答案】（1）1113-=ABC A B C V，111ABC A B C S -=（2）7．【解析】【分析】（1）直接利用体积公式求解即可，直接求解表面积，（2）利用等体积法求法【详解】（1）11123234ABC A B C V Sh -==⨯=，1112222324ABC A B C S S S -=+=⨯⨯+=底侧．（2）111111112132D AB C B AB C C ABB V V V ---===⨯=111111AB D AC D B C D AC B S S S S ==== ，则三棱锥11D AB C -的表面积为+．设三棱锥11D AB C -的内切球半径为r ，则113r ⨯+⨯=，则7r =18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan b A a B =；（1）求B ；（2）若2a c b +=，试判断ABC 的形状.（3）若b =，求ABC 的面积的最大值．【答案】（1）π3B =（2）ABC 为等边三角形（3）4【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解；（2）根据题意结合余弦定理分析求解；（3）根据题意利用基本不等式可得7ac ≤，代入面积公式运算求解.【小问1详解】因为2sin tan b A a B =，由正弦定理可得sin sin 2sin sin sin tan cos A B B A A B B ==，因为(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B >>，可得12cos B =，即1cos 2B =，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可知：π3B =，由余弦定理可得：222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，又因为2a c b +=，即2a cb +=，可得2222a c a c ac +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，整理得()20a c -=，即a c =，所以ABC 为等边三角形.【小问3详解】由（2）可知：222b a c ac ac =+-≥，即7ac ≤，当且仅当a c ==时，等号成立，所以ABC 的面积的最大值为17224⨯⨯=.19.对于函数1()f x ，2()f x ，()h x ，如果存在实数a ，b ，使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称函数()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数．（1）已知1()sin f x x =，2()cos f x x =，π()sin 6h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，是否存在实数a ，b ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若不存在，试说明理由；（2）当1a b ==，()e x h x =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（3）设函数()21()ln 65f x x x =++，2()ln(2)f x x m =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）102[,)33--【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦化简()h x 后可得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数；（2）根据奇函数和偶函数的性质可求1()f x 与2()f x 的解析式；（3）根据生成函数的定义可求()h x ，利用对数的运算性质可求得226506523x x x x x a ⎧++>⎨++=-⎩有且只有一个实数解，结合二次函数的图象可求参数的取值范围.【小问1详解】因为πππ31()sin sin cos cos sin sin cos 66622h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭()()12122f x f x =-，取1,22a b ==-，故()()()12h x af x bf x =+，故存在实数1,22a b ==-，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数.【小问2详解】若存在，则()()12e x f x f x +=，故()()12e x f x f x -+-=，所以()()12e xf x f x -+=，故()()12e e e e ,22x x x xf x f x ---+==.【小问3详解】依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--，令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453x x a ++=-（5x <-或1x >-），令2()45g x x x =++（5x <-或1x >-），结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点，所以，实数a 的取值范围为102[,33--.。
浙江省金华市金东区重点中学2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题及参考答案
金东区重点中学2022－2023学年第二学期期中考试高一年级数学试题卷考试总分：150分 ；考试时间：120分钟；考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()2,1,,1a b x =-=，且a b ∥，则x 等于（ ）A.-2B.2C.12-D.122.设复数1i z =--（i 为虚数单位），则2z -的模等于（ ）A.5B.5C.10D.103.已知ABC 中，::1:3:2a b c =，则::A B C ∠∠∠等于（ ） A.1:2:3 B.2:3:1 C.1:3:2 D.3:1:24.直径为6cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.275.若m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）A.若m α∥，m β，那么αβ∥B.若m α∥，n α⊂，那么m n ∥C.若m n ∥，n α∥，那么m α∥D.若αβ∥，m α⊂，那么m β∥6.如图，为了测量某湿地A ，B 两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得67.5ADC ∠=︒，从C 点测得45ACD ∠=︒，75BCE ∠=︒，从E 点测得60BEC ∠=︒．若测得23DC =，2CE =（单位：百米），则A ，B 两点之间的距离为( )A ．6B ．3C ．22D ．23第6题7.在ABC ∆中，点D ，E 满足,2,BD DC AE EC BE ==与AD 交于点P ，若AP xAB y AC =+，则(xy = )A ．25B ．23C ．49 D ．4258. A B 点、在单位圆O 上，,OA OB 是两个给定的夹角为120︒的向量，P 为单位圆上动点，设OP mOA nOB =+，且设m n +的最大值为M ,最小值为N ,则M N -的值为（ ） A. 2B. 22C. 4D. 23二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） A.若A B >，一定有sin sin A B >.B.若2220a b c +-<，那么ABC △一定是钝角三角形C.一定有cos cos b C c B a +=成立.D.若cos cos a A b B =，那么ABC △一定是等腰三角形.10.已知直线a 与b 异面，则 ( )A.存在无数个平面与a ，b 都平行B.存在唯一的平面a ，使a ，b 与α都相交C.存在唯一的平面α，使a α⊂，且b ∥αD.存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且α∥β11. 已知向量，，则 ( )A. B. 向量在向量上的投影向量为 C.与的夹角余弦值为D. 若，则第7题12. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且，请判断下列命题正确的是 ( )A.周长为 B. C.的外接圆半径为D.中线的长为第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，则______．14.的内角的对边分别为,若,则.15．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是11A B 和11A C 的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于________．16．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π．已知P 为ABC ∆的费马点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2sin cos 6A C B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，且22()6b a c =-+，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅的值为_______．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图ABCD 是直角梯形，以上底边CD 为轴将梯形旋转一周，得到一个旋转体，求它的表面积和体积．18. （本小题满分12分）已知复数112i z =-，243i z =+．（i 为虚数单位） （1）求12z z ；（2）若||2z =，且复数z 的虚部等于复数123z z -的实部，复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，求复数z ．19. 本小题满分12分如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．若，求，的值；求的值．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 22sin cos cos 2cos A A B Ca b ⋅+=，C 为锐角． （1）求角C ；（2）若7c =，a b >，ABC ∆的面积为332，求cos(2)3B π-的值． 21.（本小题满分12分） 在正方体中，分别是和的中点，第17题求证：(1)∥ (2)∥平面．(3)平面∥平面．22.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3cos sin C A B A B +=，D 是边BC 上的点，满足2CD DB =，2AD =.（1）求角A 大小；（2）求三角形面积S 的最大值.参考答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2023-2024学年北京市东直门中学高一下学期期中考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市东直门中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为A.2B.1C.D.2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状为()A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.下列函数中，最小正周期为的奇函数是()A. B.C. D.5.设向量，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的部分图象如图所示，则()A. B. C. D.7.函数的图像()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于直线对称D.关于点对称8.下列说法正确的是()A.棱台的侧棱长都相等B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D.棱台的两个底面相似9.已知点，，若，则点C的坐标为()A. B. C. D.10.由下列条件解，其中有两解的是()A. B.C. D.11.已知边长为3的正方形ABCD，点E是边BC上动点，则的最大值是()A. B.9 C. D.1012.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为()A. B. C. D.1二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.与向量方向相反的单位向量是__________.14.__________.15.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________.16.已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为__________.17.已知矩形ABCD中，，当每个取遍时，的最小值是__________，最大值是__________.18.已知a为常数，关于的方程有以下四个结论：①当时，方程有2个实数根；②存在实数a，使得方程有4个实数根；③使得方程有实数根的a的取值范围是；④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合为M，那么，其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
泰安第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题2023.5一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()1i 1i z -=+，则z = A.22B.1C.D.22.若,m n 表示两条不重合的直线,,,αβγ表示三个不重合的平面,下列命题正确的是A ．若m αγ⋂=,n βγ= ,且//m n ,则//αβB ．若,m n 相交且都在,αβ外,//m α,//n α,//m β,//n β,则//αβC ．若//m n ,n α⊂,则//m αD ．若//m α,//n α,则//m n4.已知2a =，3b =．若a b a b +=-，则23a b +=425.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ），从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为A. B.16mC. D.12m6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n =>，则m n +的值为A ．2B ．3C ．92D ．57.已知4sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=A.210 B.3210C.22D.72108.函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移()0θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为A.3πB.6πC.12π D.724π二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是A ．22i 1=B ．复数32i z =-的共轭复数的虚部为2C ．若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-D ．若复数z 满足i 1z -=，则z 的最大值为210.下列说法正确的是A ．已知向量()1,3a = ，()cos ,sin b θθ= ，若a b ⊥ ，则3tan 3θ=-B ．已知向量()2,3a = ，(),2b x = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“3x >-”的充要条件C ．若向量()()4,31,3a b =- = ，，则a 在b 方向上的投影向量坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2(4)(2)i m m +-+ (R)m ∈是纯虚数，则m =___________.14.需要测量某塔的高度，选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则塔高CD 为__________米.15.公元前6世纪，毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值，这一数值近似可以表示为2sin18m =︒,若24m n +=，则cos 27m =︒______.四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知,,a b c是同一平面内的三个向量，()1,2a = .(1)若c = ，且//c a ，求c的坐标；(2)若52b = ，且2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ.．19.（12分）已知ABC 中，D 是AC 边的中点．3BA =，7BC =，7BD =(1)求AC 的长；(2)BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．20.（12分）已知函数()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围．泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题解析2023.5一､单项选择题：1.B2.B3.D4.A5.C6.A7.A8.C二､多项选择题：9.BD 10.ACD 11.ACD 12.ACD11.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin C B B C A a A +==，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1a =，若2B C A +=，且πB C A ++=，所以π3A =，由余弦定理得22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===，由0,0b c >>，可得2212b c bc bc +=+³，即1bc ≤，则ABC面积11sin 22bc A ≤=ABC，故A 正确；对于B ，若π4A =，且1a =，由正弦定理得1πsin sin 4b B=，所以πsin sin4B b b =，当sin 1B =1=，所以b =时有一解，故B 错误；对于C ，若C =2A ，所以π2π3B A A A =--=-，且ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以2cos 2A ⎛∈ ⎝⎭，由正弦定理sin sin a cA C =得1sin sin 22cos sin sin C A c A A A⨯===∈，故C 正确；对于D ，做OD BC ⊥交BC 于点D 点，则D 点为BC 的中点，且1BC =，设OBD αÐ=，所以cos BDBOα=，所以211cos 22BD BC BO BC BO BC BO BC BD BC BOα⋅=⋅=⋅⨯=⋅==，故D 正确.12.【详解】由题意，PC 的中点O 即为-P ABC 的外接球的球心，设外接球的半径为R ，则34108π33R π=，得3R =，在Rt PAB 中，222PA AB PB +=,故222PB BC PC +=,即222224PA AB BC PC R ++==，而2AB =，所以2232PA BC +=，鳖臑-P ABC 的体积()()22111116232663P ABC V AB BC PA BC PA BC PA -=⨯⋅⋅=⋅⋅≤⋅+=，当且仅当4BC PA ==时，取得等号，故max 16()3P ABC V -=，故A 项正确，B 项错误;而1823C ABO O ABC V V V --===，故C 项正确;设-P ABC 的内切球半径为r ，由题意知三棱锥-P ABC 的四个侧面皆为直角三角形，由等体积法1111116322223P ABC V AB BC PA AC PA PB BC r -⎛⎫=⨯⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭，而2AC ==6PC =,得(1632r +⋅=，所以r =，故D 项正确,三､填空题：13.214.15.16.216【详解】以ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边ABC21sin BCr r A=⇒=，设11(1,0),(,(,),(cos ,sin )2222A B C P αα---，则1(1cos ,sin ),(cos sin )2PA PB αααα=--=---，1(cos ,sin )2PC αα=--，所以(12cos ,2sin )PC PB αα+=---，所以()1cos PA PB PC α⋅+=-，因为1cos 1α-≤≤，所以01cosα2£-£，所以()PA PB PC ⋅+的最大值为2．四､解答题：17.【详解】（1）设向量(),c x y = ，因为()1,2a = ，c =r ，c a ∥，所以2x y==⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩,所以()2,4c =r 或()2,4c =-- ；（2）因为2a b + 与2a b -垂直，所以()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以222420a a b a b b -⋅+⋅-= 而52b =，a == ，所以5253204a b ⨯+⋅-⨯= ，得52a b ⋅=- ，a 与b的夹角为θ，所以52cos 12a b a bθ-⋅===-⋅，因为[]0,θπ∈，所以θπ=.18.【详解】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h.由题意，得：2r π=，∴r =，∴3h =∴圆锥的侧面积16S rl ππ===,底面积223S r ππ==,∴表面积129S S S π=+=.（2）由（1）可得：圆锥的体积为211133333V r h πππ==⨯⨯=.又圆柱的底面半径为2r =322h =，∴圆柱的体积为2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.∴剩下几何体的体积为12915388V VV πππ=-=-=.19.【详解】（1）设AD DC x ==，由余弦定理可得22cosADB CDB∠=∠==又cos cos ADB CDB ∠∠=- 2=1x ∴=，即2AC =.（2）由（1）知223271cos 2322A +-==⨯⨯，因为0A π<<，所以3A π=，由ABE ACE ABC S S S += 可得，1113sin 302sin 3032sin 60222AE AE ︒︒︒⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯，即5AE =，解得5AE =.20.【详解】(1)()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2coscos 2sin 2cos sin 6644x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 222222x x x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭1sin 2cos 2sin 2+226x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，所以,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数()y f x k =-在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，即曲线sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线y k =在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点.设26t x π=+，则sin ,y t =且,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又因为1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由图象可知，若要使sin y t =与y k =区间,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，则()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭.21.【详解】（1）选择①，在ABC 中，由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a+-+-=+⋅=+，整理得222a b c ab +-=，则2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,πC ∈，所以π3C =.选择②，可得sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，在ABC中，由正弦定理得，2sin cos sin sin cos cos A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，则sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，因为πA B C ++=，因此sin cos C C =，即tan C =又()0,πC ∈，所以3C π=.选择③，在ABC22(2cos1)2cos 2CC C =--=-，cos 2C C +=，即πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，所以ππ7π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ62C +=，从而π3C =.（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π03θ<<，在ABI △中，由正弦定理得，4π2πsin sin sin()sin33BI AI AB AIB θθ====∠-，所以)4sin π3(BI θ=-，4sin AI θ=，所以ABI △的周长为3234sin(4si π)n θθ-+3123cos sin )4sin 22θθθ=-+π23232sin 4sin()233θθθ=++=++由π03θ<<，得ππ2π333θ<+<，所以当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值423+22.【详解】（1）记F 为AB 的中点，连接,DF MF ，如图1，因为,F M 分别为,AB AE 的中点，故//MF EB ，因为MF ⊄平面,EBC EB ⊂平面,EBC 所以//MF 平面EBC ，又因为ADB 为正三角形，所以60DBA ∠=︒，DF AB ⊥，又BCD △为等腰三角形，120BCD ∠=︒，所以30DBC ∠=︒,所以90ABC ∠=︒，即BC AB ⊥，所以//DF BC ，又DF ⊄平面,EBC BC ⊂平面,EBC 所以//DF 平面EBC ，又DF MF F ⋂=，,DF MF ⊂平面DMF ，故平面//DMF 平面EBC ，又因为DM ⊂平面DMF ，故//DM 平面BEC .（2）延长,CD AB 相交于点P ，连接PM 交BE 于点N ，连接CN ，过点N 作//NQ AE 交AB 于点Q ，如图2，因为//DM 平面ECB ，DM ⊂平面PDM ，平面PDM 平面ECB CN =，所以//DM CN ，此时,,,D M N C 四点共面，由（1）可知，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥，得30,4CPB PC ∠=︒=，故4263PN CP PM DP ===，又因为//NQ AE ，所以23NQ PN AM PM ==，则有3112223NQ NQ AE AM ==⨯=，故13BN NQ BE AE ==.N。
浙江省杭州2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
杭州2023学年第二学期高一年级期中考数学试卷命题高一数学组校审高一数学组（答案在最后）本试卷共150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,2,4,,a b x a b==⊥ ，则x =（）A.8- B.8C.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意由420a b x ⋅=+=，即可得解.【详解】由()()1,2,4,,a b x a b ==⊥，可得()()1,24,420a b x x ⋅=⋅=+=，所以2x =-.故选：C2.已知i 为虚数单位，若复数()2ii 1i z -=+，则（）A.复数z 为31i 22- B.z 2=C.复数z 虚部为1i2- D.在复平面内z 对应的点位于第二象限【答案】B 【解析】【分析】将复数z 利用复数的四则运算转化为i a b +的形式，逐项判断即可.【详解】()()()()()2i 1i 2i 2i3i 31i i 1i 1i 1i 1i 222z -------=====--+-+-+--对于A ，31i 22z =-+，故A 错误；对于B ，2z ==，故B 正确；对于C ，复数z 虚部为12-，故C 错误；对于D ，复数z 在复平面内对应的点是31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限，故D 错误.故选：B.3.在ABC 中，30,1A BC =︒=，则ABC 外接圆的直径为（）A.3B.12C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理有：122sin sin 30BC R A ===︒，解得：1R =，所以ABC 外接圆的直径为22R =.故选：C4.设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（）A.若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若m α⊥，//m β，则αβ⊥D.若//m n ，n ⊂α，则//m α【答案】C 【解析】【分析】由线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质、面面垂直的判定等判断各选项的正误.【详解】A ：由αβ⊥，αγ⊥，则//βγ或,βγ相交，错误；B ：由αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或,m β相交，错误；C ：由//m β，则存在直线l β⊂且//l m ，而m α⊥则l α⊥，根据面面垂直的判定易知αβ⊥，正确；D ：由//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，错误.故选：C5.在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD == ，，G 为EF 的中点，则DG =（）A.1122AD AB -B.1122AB AD -C.3142AD AB - D.3142AB AD -【答案】B 【解析】【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.【详解】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B.6.在正四面体S ABC -中，M 是SC 的中点，N 是SB 的中点，则异面直线BM 与AN 夹角的余弦值为（）A.16B.13C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】取SM 的中点E ，连接EN ，AN ，ANE ∠或其补角即为异面直线BM 与AN 所成的角，在ASE △中，利用余弦定理求出AE 的长，再在ANE 中，利用余弦定理的推论求出cos ANE ∠即可.【详解】取SM 的中点E ，连接EN ，AN ， N 是SB 的中点，∴//EN MB ，12EN MB =，∴ANE ∠或其补角即为异面直线BM 与AN 所成的角，设正四面体的棱长为4，M 是SC 的中点，N 是SB 的中点，SAB △和SBC △均为正三角形，∴BM SC ⊥，AN SB ⊥，且BM AN ==，∴EN =，在ASE △中，22212cos 161241132AE SA SE SA SE ASE =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，在ANE中，2221cos 26AN NE AE ANE AN NE +-∠===⋅⋅，∴异面直线BM 与AN 夹角的余弦值为16.故选：A.7.在三棱柱111ABC A B C -中，E 是AB 的中点，F 是AC 靠近点A 的三等分点，平面1EFB 将三棱柱分成体积分别为()1212,>V V V V 的两部分，则12V V 等于（）A.53B.74 C.85D.117【答案】D 【解析】【分析】取FC 的中点M ，11A C 上靠近1C 的一个三等分点D ，连接1B D ，MD ，MB ，FD ，证明1//EF B D ，112EF B D =，进而证明多面体11AEF A B D -为三棱台，设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AC a =，B 到AC 的距离为b ，分别求出11AEF A B D V -和11EFCB B DC V -即可.【详解】取FC 的中点M ，11A C 上靠近1C 的一个三等分点D ，连接1BD ，MD ，MB ，FD ，F 是AC 靠近点A 的三等分点，∴M 是AC 靠近点C 的三等分点， 三棱柱111ABC A B C -，∴1//DC MC ，1DC MC =，∴11////MD CC BB ，11MD CC BB ==，∴四边形1BMDB 是平行四边形，∴1//B D BM ，1B D BM =，E 是AB 的中点，F 是AM 的中点，∴1////EF BM B D ，11122EF BM B D ==，∴1,,,E F D B 四点共面，11//AE A B ，1112AE A B =，11//AF A C ，1113AF A C =，∴多面体11AEF A B D -为三棱台，设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AC a =，B 到AC 的距离为b ，则11112ABC A B C V abh -=，111123212AEF S a b ab =⋅⋅=，11121233A B D S a b ab =⋅⋅=，∴111117312336AEF A B DV ab ab h abh -⎛=+= ⎝，∴1111111171123636EFCB B DC AEF A C B ABC A D B V V V abh abh abh ---=-=-=， 12V V >，∴11136V abh =，2736V abh =，∴121111367736abhV V abh ==.故选：D.8.已知球O 的直径2SC =，A ，B 是球O 的球面上两点，π3ASC BSC ASB ∠=∠=∠=，则三棱锥S ABC -的体积为（）A.6B.3C.2D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可得90SAC SBC ∠=∠=︒，即可求出SA 、SB 、AB ，求出SAB △外接圆的半径，利用勾股定理求出球心O 到平面SAB 的距离d ，从而得到点C 到平面SAB 的距离，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】解：因为2SC =为球O 的直径，A ，B 是球O 的球面上两点，所以90SAC SBC ∠=∠=︒，又2SC =，π3ASC BSC ASB ∠=∠=∠=，所以πsin3AC BC SC ==⋅=，πcos 13SA SB SC ==⋅=，所以SAB △为等边三角形且1AB =，设SAB △的外接圆的半径为r，则12π3sin3r ==，所以33r =，则球心O 到平面SAB的距离3d ==，所以点C 到平面SAB 的距离2623h d ==，又1πsin 234SAB S SA SB =⋅=，所以1134363S S ABC C SAB AB V S h V --⋅=⨯=⨯==.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1z ，2z 则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅C.1212z z z z =⋅ D.22||z z z z =【答案】BCD 【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，a ，b ，c ，R d ∈，对于A ，分别计算21z 和21z ，即可判断；对于B ，由共轭复数及乘法运算即可判断；对于C ，由复数的乘法及模的运算即可判断；对于D ，由共轭复数及复数的除法即可判断.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，a ，b ，c ，R d ∈，所以()22221i 2i z a b a b ab =+=-+，22221z ab ==+，所以2211≠z z ，故选项A 不正确；因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅，故选项B 正确；()()()()12i i i a b c d ac bd a z d bc z ++=-==++=，12z z ⋅==所以1212z z z z =⋅，故选项C 正确；()()()22222i i 2ii i i a b z a b a b ab a b a b a b a b z ++-+===--++，()()22222222i 2i ||a b za b ab z a b +-+==+，所以22||z z z z =，故选项D 正确；故选：BCD .10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.若a b b c ⋅=⋅ ，则a c= B.若向量()2,1a = ，()3,1b =- ，则向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C.非零向量a 和b满足a b a b ==-r r r r ，则a 与a b + 的夹角为60︒D.点()1,3A ，()4,1B -，与向量AB 同方向的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，可以变形计算得到0b = 或0a c -=，或()b ac ⊥- ；B 选项，利用投影向量计算公式计算；C 选项，根据模长相等判断出以a ，b 为边对应的四边形为菱形，且a ，b 夹角为60︒，从而得到a与a b +的夹角；D 选项，利用公式求解以一个向量同方向单位向量.【详解】A 选项：若··,a b b c =即有()·0c b a -= ，则0b = 或0a c -=，或()b ac ⊥- ，故A 错；B 选项：()2,1a = ，()3,1b =- ，则·5a b =- ，b == 所以向量a 在向量b 上的投影向量为2·51102b a b b b b -==-，故B 正确．C 选项：非零向量a 和b 满足a a b b ==-，以a ，b为边对应的四边形为菱形，且a ，b夹角为60︒则a与a b +的夹角为30︒，故C 错；D 选项：点()1,3A ，()4,1B -，()3,4AB =-，可得与向量AB同方向的单位向量为34,55AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD ．11.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1BD 上的动点（含端点），则（）A.存在点M ，使得CM ⊥平面1A DBB.存在点M ，使得//CM 平面1A DBC.不存在点M ，使得直线1C M 平面1A DB 所成的角为30︒D.不存在点M ，使得直线1C M 平面1A DB 所成的角为45︒【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()()()1110,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,1,0,0,1C B A D D A C 设11D M D B λ=，则()(1,,1)[0,1]M λλλλ--∈，设平面1A DB 的法向量为(),,n x y z =，()()()11,1,0,1,0,1,1,,1DB BA CM λλλ=-==--，则有10000n DB x y x z n BA ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，()1,1,1n =-，假设存在点M ，使得CM ⊥平面1A DB ，所以有//CM n，所以有11111λλλ--==-，方程无解，因此假设不成立，因此选项A 不正确；假设存在点M ，使得CM ∥平面1A DB ，所以有0110CM n CM n λλλ⊥⇒⋅=⇒-+-+=，解得0[0,1]λ=∈，所以假设成立，因此选项B 正确；假设存在点M ，使得直线1C M 与平面1A DB 所成的角为30︒，()11,,C M λλλ=--，所以有1111sin 30cos ,2C M n C M n C M n︒⋅=〈〉==⋅，解得705λ-=<，715λ+=>，所以假设不成立，故选项C 正确；假设存在点M ，使得直线1C M 与平面1A DB 所成的角为45︒，()11,,C M λλλ=--，所以有111sin 45cos ,2C M n C M n C M n︒⋅=〈〉==⋅ ，解得53207λ-=<，53217λ+=>，所以假设不成立，故选项D 正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数z 满足1z =，i 是虚数单位，则i z +的最大值为_______．【答案】2【解析】【分析】设复数()i ,R z a b a b =+∈，由已知得221a b +=，所以11b -≤≤，又i z +=，即可求解.【详解】设复数()i ,R z a b a b =+∈，因为1z =1=，即221a b +=，所以()i 1i z a b +=++===，因为221a b +=，所以11b -≤≤，当1b =时，i z +最大，即i z +的最大值为2.故答案为：2.13.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2a C C b c +=+．则角A =_______．【答案】2π3【解析】【分析】利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求解即可.【详解】 πA B C ++=，()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+，cos sin 2a C C b c +=+,由正弦定理得sin cos sin sin 2sin A C A C B C +=+，即n s i in i s o i o c s c sin s 2s n o c s s n A C A C CA C A C +++=∴sin cos sin 2sin A C A C C =+，()0,πC ∈，sin 0C ∴≠，∴cos 2A A =+，∴2πcos 2si n 6in A A A -⎛⎫= ⎪⎝⎭=-，∴πsin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πA ∈ ，∴ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ62A -=，解得2π3A =.故答案为：2π3.14.正四面体-P ABC 的棱长为1，L ，M ，N 分别为棱PA ，PB ，PC 的中点，则该正四面体的外接球被平面LMN 所截得的截面面积为_______．【答案】π3##1π3【解析】【分析】设E 为ABC 的中心，连接PE ，与平面LMN 交于点F ，可知12PF PE =，设O 为正四面体-P ABC外接球的球心，则O 在PE 上，连接OC ，EC ，可得33EC =，3PE =，设正四面体-P ABC 外接球的半径为R ，由222OC OE EC =+可得R 的值，正四面体的外接球被平面LMN 所截得的截面图形为圆，设该圆的半径为r ，由222R OF r =+即可求解.【详解】设E 为ABC 的中心，连接PE ，与平面LMN 交于点F ，则PE ⊥平面ABC ，PF ⊥平面LMN ，由题意可知平面//ABC 平面LMN ，且12PF PE =，设O 为正四面体-P ABC 外接球的球心，则O 在PE 上，连接OC ，EC ，因为E 为正三角形ABC 的中心，所以21233EC =⨯⨯=，在Rt PEC 中，3PE ===，所以126PF PE ==，设正四面体-P ABC 外接球的半径为R ，则222OC OE EC =+，即()222R PE R EC =-+，解得4R =，所以6664612OF PO PF =-=-=，正四面体的外接球被平面LMN 所截得的截面图形为圆，设该圆的半径为r ，则222R OF r =+，所以3r =，所以截面圆的面积为2ππ3r =.故答案为：π3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60︒方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北30︒（以B 点为坐标原点，正东，正北方向分别为x 轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt ．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向．．．．追击，则恰好1小时与可疑船只相遇．（1）求a ，b 的值；（2）若巡逻船以/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由．【答案】（1）15a b ==（2）能够拦截成功拦截，时间为2小时【解析】【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C ，根据ABC 关于y 轴对称，且,120AB BC a ABC ==∠=︒，即可求解；（2）设t 小时后两船相遇于点D ，利用余弦定理列出方程，即可求解.【小问1详解】若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C ，如图所示，则AC x ∥轴，30AC =，且ABC 关于y 轴对称，所以,120AB BC a ABC ==∠=︒，所以1515cos30a b ==︒==︒.【小问2详解】若巡逻船以/小时进行追击，设t 小时后两船相遇于点D ，如图所示，则120ABD ∠=︒，15cos30t BD ==︒，AD =，AB =，因为2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，可得2221))22⎛⎫=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，整理得23440t t --=，解得2t =或23t =-（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.16.（1）若()1,1a = ，()1,2b = 求()()2a b a b -⋅- ；（2）若a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为60 ，求12a b - 和函数()f x a xb =- ，x ∈R 的最小值；（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法．．．．证明．①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．【答案】（1）3（2）1322a b -=，最小值为2（3）证明见详解【解析】【分析】（1）由()21,3a b -=-- ，()0,1a b -=- ，利用向量数量积的坐标运算求解即可；（2）由a ，b 为单位向量，所以1a = ，1b =，12a b -= 求解即可，由()f x a xb =-= （3）选①，设AB 为圆O 的直径，点C 在圆上，由AO BO =- ，AO OC = ，计算0AC BC ⋅= 即可；选②，作平行四边形ABCD ，根据AC AB AD =+ ，BD AD AB =- ，两式分别完全平方求解即可；选③，设AD ，CE 相交于一点1G ，可证得123AG AD = ，设AD ，BF 相交于一点2G ，同理可得223AG AD = ，即可得证.【详解】（1）因为()1,1a = ，()1,2b = ，所以()()()21,121,21,3a b -=-=-- ，()()()1,11,20,1a b -=-=- ，所以()()()()210313a b a b -⋅-=-⨯+-⨯-= ；（2）因为a ，b 为单位向量，所以1a = ，1b =，12a b -==2==，()f x a xb =-===，所以当12x =时，函数()f x a xb =-的最小值为2；选①：设AB 为圆O 的直径，点C 在圆上，证明：π2ACB ∠=.要证π2ACB ∠=，即证0AC BC ⋅= ，由AO BO =- ，AO OC = ，所以()()2AC BC AO OC BO OC AO BO AO OC OC BO OC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 220AO AO OC OC AO OC =-+⋅-⋅+= ，故⊥ AC BC ，所以π2ACB ∠=，所以直径所对的圆周角是直角；选②：在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，证明：222222AC BD AB DC AD BC+=+++ .根据条件作出图形，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC = ，AD BC = ，AC AB AD =+ ，所以()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+ ，因为BD AD AB =- ，所以()22222BD AD AB AD AD AB AB =-=-⋅+ ，所以2222222222AC BD AB AD AB DC AD BC +=+=+++ ，即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；选③：在ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 的中点，证明：AD ，CE ，BF 相交于一点.由题意作出图形，设AC a = ，BC b =，则AB CB CA b a =-=-+ ，12AD AC CD a b =+=- ，12BF BC CF b a =+=- ，设AD ，CE 相交于一点1G ，()101AG AD λλ=<< ，()101BG BF μμ=<< ，则11122AG AD a b a b λλλλ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，11122BG BF b a b a μμμμ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，又()1111122AG AB BG a b b a b a μμμμ⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪⎝⎭，所以112112λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得23λ=，23μ=，所以123AG AD = ，再设AD ，BF 相交于一点2G ，同理可证得223AG AD = ，即1G ，2G 重合，即AD ，CE ，BF 相交于一点，所以三角形的三条中线交于一点.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==.（1）求sin C ；（2）若ABC 的面积为372，求AB 边上的中线CD 的长.【答案】（1）4（2【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出CD ，最后利用求模公式即可求AB 边上的中线CD 的长.【小问1详解】因为2sin 3sin2A C =，所以2sin 6sin cos A C C =，所以26cos a c C =，即3cos a c C =，所以cos 3a C c=，由余弦定理及2c b =得：2222222243cos 222a b c a b b a b C ab ab ab+-+--===，又cos 36a a C c b==，所以222232926a b a a b ab b-=⇒=，即322a =，所以2cos 664b a C b b ===，所以sin 4C ===.【小问2详解】由24211sin 2ABC S ab C ab ===，所以ab =，由（1）2a b =，所以2,b a ==，因为CD 为AB 边上的中线，所以()12CD CA CB =+ ，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅ ()2212cos 4b a ab C =⨯++14182244⎛⎫=⨯++⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭7=，所以CD =所以AB 边上的中线CD 的长为：.18.（注意：本题若用向量解法将会适当扣分．．．．．．．．．．．．．．）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，点E ，F 分别为AB 和PB 的中点，2AB =，1PD PE ==．（1）证明：CF PE ⊥；（2）求平面PAD 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求直线CF 与平面PDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7（3）2【解析】【分析】（1）取PE 的中点H ，连接HD ，HF ，证明,,,H F C D 四点共面，再利用线线垂直证明PE ⊥平面DHFC ，即可证明CF PE ⊥；（2）取PD 的中点N ，连接AN ，BN ，得到AN PD ⊥，BN PD ⊥，进而得到ANB ∠为平面PAD 与平面PBD 所成的角，在ANB 中，利用余弦定理的推论即可求解；（3）取DC 上靠近C 的一个四等分点，连接HM ，证明//CF MH ，再证明DC ⊥平面PDE ，得到MHD ∠为直线CF 与平面PDE 所成的角，即可求解.【小问1详解】取PE 的中点H ，连接HD ，HF ，点E ，F 分别为AB 和PB 的中点，底面ABCD 是平行四边形，∴////HF AB DC ，111244HF EB AB DC ===，∴,,,H F C D 四点共面， DA DB ==，2AB =，∴ADB 为等腰直角三角形，∴1DE =， 1PD PE ==，∴PDE △为等边三角形，∴DH PE ⊥， PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，∴PE DC ⊥， DH DC D ⋂=，,DH DC ⊂平面DHFC ，∴PE ⊥平面DHFC ，CF⊂平面DHFC ，∴PE CF ⊥；【小问2详解】取PD 的中点N ，连接AN ，BN ，PA PB =，1PE=，2AB =，PE AB ⊥，∴PA PB ==，DA DB ==，1PD =，∴AN PD ⊥，BN PD ⊥，2AN BN ∴==，∴ANB ∠即为平面PAD 与平面PBD 所成的角，在ANB 中，222774144cos 2722AN BN AB ANB AN BN +-+-∠==-⋅⋅，∴sin 7ANB ∠==，∴平面PAD 与平面PBD所成角的正弦值为7；【小问3详解】取DC 上靠近C 的一个四等分点，连接HM ，由（1）知，////HF AB DC ，111244HF EB AB DC ===，∴//HF MC ，HF MC =，∴//CF MH ，∴直线MH 与平面PDE 所成的角即为直线CF 与平面PDE 所成的角， PA PB =，DA DB ==，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，DE AB ⊥， PE DE E = ，,PE DE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥平面PDE ，∴DC ⊥平面PDE ，∴MHD ∠为直线MH 与平面PDE 所成的角， 32DM =，2DH =，∴HM =，∴32sin 2DM MHD HM ∠===，∴直线CF 与平面PDE所成角的正弦值为2.19.凸多面体的顶点数V ，面数F ，棱数E 之间有很多有趣的性质．例如三棱锥的每个顶点处有3条棱，每条棱与2个顶点连接，故32V E =；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故32F E =；凸多面体的欧拉公式：2V F E +-=等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．（1）若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；（2）足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．（3）试求正多面体的个数，并证明；（4）若所有正多面体的表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．【答案】（1）正方体的体积大于正四面体的体积（2）顶点数为60个，棱数为90.（3）证明见解析（4）结论见解析【解析】【分析】（1）设正四面体的棱长为a ，正方体的棱长为b ，其表面积都为S ，根据棱锥和棱柱的体积公式，分别求得正四面体和正方体的体积，即可得到答案.（2）假设足球由x 个正五边形和y 个正六边形构成，得到35,,52V x F x y E x y ==+=+，代入欧拉公式得到24x y -=，结合53x y =，求得,x y 的值，即可求解；（3）假设正多面体的每个面都是正n 边形，且每个顶点出发的棱数为m ，结合欧拉公式，化简得到1212m n +>，再由3,3m n ≥≥，结合列举法，即可求解；【小问1详解】解：设正四面体的棱长为a ，正方体的棱长为b ，其表面积都为S ，可得244a S ⨯=，且26b S =，解得a b ==，则正四面体的高为33h a ==，所以正四面体的体积为31136223431212V a a a =⨯⨯==正方体的体积为32V b ==，因为()321V =，()322216S V =，可得()()2212V V <，所以12V V <，即正方体的体积大于正四面体的体积.【小问2详解】解：假设足球由x 个正五边形（黑色）和y 个正六边形构成，可得35,,52V x F x y E x y ==+=+，代入欧拉公式得35()(5)22x x y x y ++-+=，即122x y -=，即24x y -=，另一方面，所有正五边形的边数之和为53x y =，联立方程组2453x y x y-=⎧⎨=⎩，解得12,20x y ==，所以足球的顶点数为60V =个，棱数为90E =.【小问3详解】解：假设正多面体的每个面都是正n 边形，且每个顶点出发的棱数为m ，可得2E nF mV ==，则22,E E V F m n ==，代入欧拉公式，可得222E E E m n +-=，即1212E m n +=+，所以1212m n +>，结合3,3m n ≥≥，可得,m n 至少一个是3，所以所有可能的正整数解(,)m n 为(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)，即有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，共有5种.【小问4详解】解：若所有正多面体的表面积都相等，此时正二十面体的体积最大.。
山东省聊城市聊城一中2023-2024学年下学期期中考试高一数学试题(含答案)
2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（58分）一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中；只有一个选项符合题目要求．1．若复数是纯虚数，则的共轪复数（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图所示的中，点是线段上犁近的三等分点，点是线段的中点，则（）A ．B ．C ．D ．3．如下图；正方形的边长为．它是水平放罝的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（）A ．B ．C ．D ．4．已知是两个不共线的向量，．若与是共线向量，实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在等腰中，平分且与相交于点，则向量在上的投影向量为（）A．B ．CD6．下列命题正确的是（）A ．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线()i1ia z a -=∈+R z z =1-i-iABC △D AC A E AB DE =1136BA BC--1163BA BC--5163BA BC--5163BA BC-+O A B C ''''2cm 16cm 8cm 4+12,e e 12122,2e e b e e a k =-=+ a bk 6-5-4-3-ABC △120,BAC AD ∠=︒BAC ∠BC D BD BA32BA34BABA a b 、,αβ,a b αβ⊂⊂a b 、B ．四边形可以确定一个甲面C ．已知两条相交直线，且平面，则与的位置关系是相交D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面7．已知点在所在平面内，且，，则点依次是的（ ）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心8．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，求的余弦值．（）二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（多选）中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，透明望料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，其中正确的命题的是（）A ．没有水的部分始终呈棱柱形；B ．水面所在四边形的面积为定值；C ．棱始终与水面所在平面平行；D ．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．11．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a b 、a ∥αb αO N P 、、ABC △,0OA OBOC NA NB NC ==++=PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅O N P 、、ABC △ABC △2,5,60,,AB AC BAC BC AC ==∠=︒,AM BM P MPN ∠ABC △7,3,30b c c ===︒5,4,45b c B ===︒6,60a b B ===︒20,30,30a b A ===︒1111ABCD A B C D -BC EFGH 11A D BE BF ⋅，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足的面积）A ．的周长为B ．三个内角满足C ．D ．的中线的长为三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点，向旦，点是线段的三等分点，求点的坐标________．13．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在这四条线段中，有________对异面直线？14．如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M ，N ．设，则________．四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．,,a b c S =ABC △sin :sin :sin 2:3:A B C =ABC △S =ABC △10+ABC △,,A B C 2C A B=+ABC △ABC △CD ()0,0O ()()2,3,6,3O OA B ==-P AB P ,,,AB CD EF GH ABC △O BC O ,AB AC ,AB mAM AC nAN ==m n +=PO a PO O '16．（15分）在复平面内，点对应的复数分别是（其中是虚数单位），设向量对应的复数为．（1）求复数；（2）求；（3）若，且是纯虚数，求实数的值．17．（15分）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：（1）轮船D 与观测点B 的距离；（2）救援船到达D点所需要的时间．18．（17分）在等腰梯形中，，动点分别在线段和上（不包含端点），和交于点，且．（1）用向量,表示向量；（2）求的取值范围；（3）是否存在点，使得．若存在，求；若不存在，说明理由．19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的,A B 23i,12i ++i BAz z 2z z z +⋅1i z m =+1z zm A B 、(53+A 45,B ︒60︒D B 60︒B C ABCD ,60,1,2,3AB DC DAB CD AD AB ∠=︒===∥,E F BC DC AE BD μ(),1BC D BE DC F λλ=⋅=- AB AD ,AE AF 2AE AF +E 8AM DM BM EM =λABC △三个内角均小于120°时，使得的点O 即为费马点，当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，设点为的费马点，求；（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 二、多选题9．BC 10．ACD 11．ABC三、填空题12．或 13．3 14．2四、解答题15．解：（由于是的中点，所以圆杜的高，且圆柱的底面半径为圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以剩下几何体的体积为．剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，即．（3部分面积分值分别为2、2、3分）16．解：（1）因为点对应的复数分别是，所以，所以，故．（2）因为，所以．120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒ABC △120︒ABC △,,A B C ,,a b c cos2cos2cos21B C A +-=A2bc =P ABC △PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ P ABC △PB PC t PA +=t 14,13⎛⎫- ⎪⎝⎭10,13⎛⎫⎪⎝⎭O 'PO 12OO a '=4a231ππ3212a a a⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭231ππ4232a a a ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭33ππ5π123296a a ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ππ2π2242a a a a ⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭,A B 23i,12i ++()()2,3,1,2A B ()1,1BA =1i z =+1i z =+()()222(1i)1i 1i 2i 1i 22i z z z +⋅=+++-=+-=+==（3）因为，所以，由是纯虚数，可知且，解得．17．解：（1）由在的北偏东，在的北偏西，，由正弦定理得，又，代入上式得：，答：轮船与观测点的距离为海里；（2）中，海里，海里，，，，解得海里，（小时），答：救援船到达D 所需的时间为1小时．18．解（1）因为，所以．又．（2），因为，所以1i z m =+()()()()()1i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m z m m mz +-++-++-====+++-1z z 102m +=102m -≠1m =-D A 45︒B 60︒45,30,105DAB DBA ADB ∴∠=︒∠=︒∴∠=︒,sin sin sin 45AB BD BD ADB DAB ==∠∠︒()sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin 660︒=︒+︒=︒︒+︒︒=BD =D B BCD △BD =BC =60DBC ∠=︒22212cos60300120022DC BD BC BD BC ∴=+-⨯⨯︒=+-⨯⨯2900DC ∴=30DC =30130t ∴==()1233BE BC BA A AD D DC AB AD AB AB λλλλλ⎛⎫==++=-++=-+ ⎪⎝⎭213AE AB BE AB AD λλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭()113AF A AD DF AD DC AB D λλ-=+=+-=+()542233A AE F AB AD λλ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭3,2,32cos603AB AD AB AD ==⋅=⨯⨯︒=()()22222254545422(2)22333333AE AF AB AB AD AD AB ADλλλλλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为动点分别在线段和上゙且不包含端点，所以，所以所以的取值范围是．（3）设，其中，则，因为，由平面向量基本定理，得解得，由，得，故，所以，解得，或．因为，所以．19．解：（1）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即；（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：()2254549624(2)3333λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251691230611244λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,E F BC DC 01λ<<24322AE AF AF <+<+<2A A E F +,tME B M D M M s A ==,0s t >()1111s s s s AB BM AB BD AB AD AB AB AD s s sM s A =+=+=+-=+++++ 21113t t AE AB AD t A t M λ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦121,113.11t s t s t s tλλ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪++⎝⎭⎨⎪=⎪++⎩3,323.s t λλλ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩8AM DM BM EM = 8AM DM t ME DM s MD EM ==8t s =33832λλλ=-12λ=34-01λ<<12λ=ABC △cos2cos2cos21B C A +-=22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=222sin sin sin A B C =+222a b c =+ABC △π2A =π2A =ABC 120︒，设，由，得，整理得，则；（3）点为的费马点，则，设，则由，得：由余弦定理得，，，故由，得．即，而，故，当且仅当，结合，解得时，等号成立．又，即有，解得（舍去）．故实数的最小值为120APB BPC APC∠=∠=∠=︒,,PA x PB y PC z===APB BPC APC ABCS S S S++=△△△△111122222xy yz xz++=⨯xy yz xz++=11112222PA PB PB PC PA PC xy yz xz⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P ABC△2π3APB BPC CPA∠=∠=∠=,,,0,0,0PB m PA PC n PA PA x m n x===>>>PB PC t PA+=m n t+=()22222222π||2cos13AB x m x mx m m x=+-=++()22222222π||2cos13AC x n x nx n n x=+-=++()2222222222π||2cos3BC m x n x mnx m n mn x=+-=++222AC AB BC+=()()()222222211n n x m m x m n mn x+++++=++2m n mn++=0,0m n>>222m nm n mn+⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭m n=2m n mn++=1m n==+m n t+=2480t t--≥2t≥+2t≤-t2。
重庆市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的代码填入答题卡上.） 1. 化简sin600°的值是A.12B.12-3 D. 32. 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝A.55 B.255 C ．525 3. α是第二象限角，则2α是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第一象限角或第三象限角D.第一象限角或第二象限角 4.已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是A.1B.2C.4D.1或45．甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是A ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定B ． x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C ． x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D ． x x >甲乙，乙比甲成绩稳定 6.如图，给出的是计算11111246822+++++L 的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是A. 11i <B. 11i >C. 22i <D. 22i >7. 已知圆221:23460C x y x y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切8. 某数据由大到小为10, 5, x ,2, 2, 1,其中x 不是5,该组数据的众数是中位数的23,该组数据的标准差为A. 3B.4C. 5D. 69．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为 A ．23 B ．25 C ．35 D ．31010.若a 是从区间0,3[]中任取的一个实数，则12a <<的概率是A ．23 B ．56 C ．13 D ．1611.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.7512.已知圆C ：22240x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以44a a(,-)为中点的弦长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．）13. 某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取50岁以上职工人数为 ． 14．若32)sin(-=-απ, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是___________．15. 在[]4,3-上随机取一个实数m ，能使函数在R 上有零点的概率为 ．16．已知直线l ： (0)y kx k =>，圆221:(1)1C x y -+=与222:(3)1C x y -+=，若直线l 被圆C 1，C 2所截得两弦的长度之比是3，则实数k = .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17题10分，其余均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）（Ⅰ）求值：()tan150cos 210sin 60sin(30)cos120︒-︒-︒o o； （Ⅱ）化简：sin()cos()tan(2)cos(2)sin()tan()απαπαπαπαα-+++--.18. （本小题满分12分）某公司为了解下属某部门对企业职工的服务情况，随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分，得到的频率分布表如下：（Ⅰ）求出频率分布表中m 、n 位置的相应数据，并画出频率分布直方图； (Ⅱ)同一组中的数据用区间的中点值作代表，求这50名职工对该部门的评分的平均分. 19. （本小题满分12分） 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.20．（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（结果保留两位小数）参考公式：1221ˆ=ni i i nii x ynx y bxnx ==-⋅-∑∑， ˆˆa y bx=-. 参考数据：5162.7i i i x y ==∑，52155i i x ==∑.21．（本小题满分12分）已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=. （Ⅰ）求sin cos x x -的值； （Ⅱ）求24sin cos cos x x x -的值. 22．（本小题满分12分）已知圆C 过点M (0，－2)，N (3，1)，且圆心C 在直线x ＋2y ＋1＝0上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)过点(6,3)作圆C 的切线，求切线方程；(Ⅲ)设直线:l y x m =+，且直线l 被圆C 所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆C 1过原点，求直线l 的方程.2019-2020学年山东省潍坊市下学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：DBCCB BDADC DA二、填空题13. 19 14.255- 15.3716.13三、解答题17.解：（Ⅰ）原式=00000tan30cos30) sin30(cos60)---（-）(-sin60tan60 3.=-=-…………………………………………5分（Ⅱ）原式sin(cos)tan sin cos tan=1cos sin(tan)cos sin tanαααααααααααα--==---.………………………………10分18.解:(Ⅰ)频率分布表如下:50(515128)10m=-+++=，…………………………………………3分150.350n==，………………………………………6分频率分布直方图如图所示：…………………………………………9分（Ⅱ）x =550.1650.2750.3850.24950.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯76.6=. …………………………………………12分19.解：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2.……4分 （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种. ………………………8分（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == …………………………………………12分 20．解：（Ⅰ） 11+2+3+4+5=35x =（）， 17+6.5+5.5 3.8 2.2)55y =++=（，………………2分5162.7i ii x y==∑，52155i i x ==∑.所以51522162.7535ˆ 1.235559i ii ii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ=5( 1.23)38.69ay bx =---⨯=，………………4分 所以所求的回归直线方程为ˆ 1.238.69yx =-+.…………………………………………6分 （Ⅱ）年利润……………………9分所以 2.72x ≈时，年利润z 最大. …………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）因为1sin cos 5x x +=，所以112sin cos 25x x +=， 242sin cos 25x x =-，…………………………………………3分 因为02x π-<<，所以sin 0, cos 0x x <>，所以sin cos 0x x -<，249(sin cos )12sin cos 25x x x x -=-=， 所以7sin cos 5x x -=-.…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 5x =-，4cos 5x =， 3tan 4x =-. …………………………………………9分24sin cos cos x x x -2224sin cos cos sin cos x x xx x-=+ 24tan 1tan 1x x -=+6425=-.…………………………………………12分22.解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－D2－E ＋1＝0，4－2E ＋F ＝0，10＋3D ＋E ＋F ＝0，解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. ……………………………………4分 （Ⅱ）圆C 的方程为22(3)(2)9x y -++=, 当斜率存在时，设切线方程为3(6)y k x -=-，则3=，解得815k =， 所以切线方程为83(6)15y x -=-，即81530x y --=. ………………7分 当斜率不存在时，6x =.所以所求的切线方程为81530x y --=或6x =. ……………………8分 （Ⅲ）直线l 的方程为y ＝x ＋m .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0，y ＝x ＋m ，消去y 得2x 2＋2(m －1)x ＋m 2＋4m ＋4＝0，(*)………………………………………9分∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 2＋4m ＋42，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2.∵AB 为直径，∴∠AOB ＝90°，∴|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0，……………………………11分 即m 2＋4m ＋4＋m (1－m )＋m 2＝0，解得m ＝－1或m ＝－4. 容易验证m ＝－1或m ＝－4时方程(*)有实根．所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝x －4.………………12分。
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高一下学期数学期中考试试题(doc 9页)
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2010级高一下学期数学期中考试试题
满分：160分时间：120分钟
一、填空题：（每题5分，共70分）
1、（周末作业6改编）若在等差数列中，，，则通项公式= ____.
2、（周末作业3改编）函数的最大值为.
3、（等比数列1作业纸改编）等比数列的公比为3，则的值为
4、（向量的数乘1作业纸改编）若是不共线向
量，，()，，则=.
5、（两角和与差的正弦2教学案改编）____________。
6、（余弦定理1作业纸）已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为
7、（等差数列1教学案改编）在等差数列中，
若，则等于________.
8、（向量数量积1教学案）已知是两个单位向
量，｜+｜＝1，则｜-｜等于_______.
9、（周末作业５改编）数列的前项和，则通项
10、（第七期报纸测试A改编）各项都为正数的
等比数列中，若=27，则=
11、若函数，，则的最大值为_________。
12、（正弦定理1教学案）已知在△ABC中，，
则△ABC的面积为_____________。
13、数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：
，
若存在整数，使，，则．
14、已知数列｛a n｝共有m项，记｛a n｝的所
有项和为s(1)，第二项及以后所有项和为s(2)，第三项及以后所有项和为s(3)，…，第n项及以后所有项和为s(n)，若s(n)是首
项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当n<m时，a n = .
二、解答题：（15、16题14分，17、18题15分，19、20题16分）
15、（本题满分14分）（两角和与差的正弦教学
案）已知cos（）=，cos=，，均为锐角，求
sin的值.
16、（本题满分14分）（周末作业３）已知，，且与夹角为120°求
⑴；⑵
17、（本题满分15分）（第七期报纸测试B改编）
公差不为0的等差数列中，，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式和它的前项和；
（2）求数列的前项和。
18、（本题满分15分）（余弦定理作业纸2改编）
在△ABC中，三个角的对边分别为，若，
求：（1）△ABC的面积；
（2）若求的值。
19、（本题满分16分）（等比数列5教学案改编）
数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）令，求数列的
前项和．
20、（本题满分16分）
已知数列是公差为的等差数列，
数列是公比为的(q∈R)的等比数列，若函数
，且,,，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，对一切，都有成
立，求
2010级高一下学期数学期中考试试题
参考答案及评分标准：
１、２、３、４、7５、６、７、50８、
９、１０、5１１、2１２、或１３、１４、
１５、解：，--------------------------2分
----------------------------5分
-------------------10分
------------------------14分
１６、解：（1）=
--------7分
（2）=
----------------------------14分
１７、解：（1）成等比数列，则-------------------------2分
即，即------------------------3分
，
又
------------------------5分
------------------------7分
（2）------------------------10分
------------------------13分
------------------------15分
１８、解：（1）--------------------------2分
--------------------------4分即，--------------------------6分
-------------------------8分
（2），-------------------------11分
即
-------------------------13分
-------------------------15分
１９、解：（1）当时，
则（）
即，而
故----------------------------------7分（2）=-------------9分
当为偶数时，
---------------------------------12分
当为奇数时，
-----------------------14分
综上；------------------------15分
２０、解：(1)数列是公差为的等差数列
，且
………………….4分
数列是公比为的(q∈R)的等比数列
，且,,
或1
或………………….8分
(2)
，………………….10分
，或………………….12分
①
设
②
………………….14分综上
或………………….16分。