海南中学2020届高三第二次月考试题 (答案)

34Tn＝24＋422＋423＋424＋…＋42n－42nn＋1＝2
(
1 4

1 42

1 43

1 44

1 4n
)
－ 2n . 4n＋1
＝2×
1 4
(1

1 4n
1 1
)
－ 2n ＝2－ 2 － 2n ＝2－ 6n＋8 ， 4n＋1 3 3×4n 4n＋1 3 3×4n＋1
4
2
海南中学 2020 届高三第二次月考数学试题

AB sin 2
3
，
即
3
3 57

AB sin 2
，AB
19 ， AB2 PA2 PB2 2PA PB cos 2 ，
3
38
3
即19 PA2 9 3PA ， PA 2，故 BC 23 5 ， AC 2
S ABC

1 CACBsin 2
3
海南中学 2020 届高三第二次月考数学试题
命题教师：康天策 审核: 屈 韬
22.（本小题满分 12 分）
解析：（1）
f
( x)

1 x

a

0
在
(1,)
上恒成立，则
a

1 x
,
x

(1,)
，故
a 1 . g(x) ex a ，若1 a e ，则 g(x) ex a 0 在 (1,) 上恒成立，此时，
4
4
当 sin cos 0 时，有 (cos sin )2 5 ， 4
1
海南中学 2020 届高三第二次月考数学试题
命题教师：康天策 审核: 屈 韬
由 是第二象限角，知 cos sin 0 ，此时 cos sin 5 ． 2
综上， cos sin
g(x) ex ax 在 (1,) 上是单调增函数，无最小值，不合；若 a e ，则
g(x) ex ax 在 (1, ln a) 上是单调减函数，在 (ln a,) 上是单调增函数，
g(x)min g(ln a) ，满足，故 a 的取值范围 a e ................................................4 分
上是单调增函数，当 x 0 时， f (x) ；当 x 时， f (x) ，此时，
f
(x)
有
1
个零点.综上所述：当
a

1 e
或
a

0
时，
f
(
x)
有
1
个零点；当
0

a

1 e
时， f (x) 有 2 个零点.
.........................................................12 分
3

53 2
20.（本小题满分 12 分）
..............................................................12 分
解析： (1)∵an＋1＝3Sn＋4，∴an＝3Sn－1＋4(n≥2)， 两式相减，得 an＋1－an＝3an，即 an＋1＝4an 又 a2＝3a1＋4＝16＝4a1， ∴数列{an}是首项为 4，公比为 4 的等比数列， ∴an＝4n.............................................................................................................6 分 (2)证明：∵anbn＝log2an，∴bn＝24nn ，∴Tn＝421＋442＋463＋…＋24nn ， 14Tn＝422＋443＋464＋…＋42nn＋1，两式相减得，
P(X 1) P(CD CD) P(C)P(D) P(C)P(D)
0.4 (1 0.6) (1 0.4) 0.6 0.52 ，
P( X 0) P(CD) P(C)P(D) 0.24 ．
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.24 0.52 0.24
故 X 的数学期望 E( X ) 0 0.24 1 0.52 2 0.24 1．.........................................................8 分 （3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都 大于2000元”． 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于
1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付
金额大于1000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且
P(C )

93 30

0.4,
P(D) 14 1 0.6 ． 25
所以 P( X 2) P(CD) P(C)P(D) 0.24 ，
命题教师：康天策 审核: 屈 韬
∴Tn＝89－69n×＋48n ＜89
............12 分
21.（本小题满分 12 分）
解析：（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有
10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．
（2）
在
上恒成立, 则
a

ex
,
a

1 e
,
f
( x)

1 x

a

1 ax x
(x

0)
①若
,令
得增区间为
；令
得减区间为
,
当
时,
；当
时,
；
当
时,
,当且仅当
时取等号.
故:
时,
有 个 零点；当
时,
有 个零点.
②若 a 0, 则 f (x) ln x, 易得 f (x) 有 1 个零点；
③若 a 0 ，则 f (x) 1 a 0 在 (0,) 上恒成立，即： f (x) ln x ax 在 (0,) x
4
18.（本小题满分 12 分）
解析：（1）因为函数 y sin x 的单调增区间为[ 2k , 2k ], k Z ，
2
2
由 2k 3x 2k （ k Z ） 2k x 2k （ k Z ）
2
4
2
34
3 12
所以 f (x) 的单调递增区间为[ 2k , 2k ] （ k Z ）................5 分 3 4 3 12
（2）由已知，有 sin( ) 4 cos( ) cos 2
45
4
所以 sin cos cos sin 4 (cos cos sin sin )(cos 2 sin 2 )
sin
2C


3 2
，
cos

2C

6



3， 2
又 2C 7 C .
6
66
3
................................6 分
（2）由（1）可知 APC 为等边三角形，且 APB 2 ，
3
在APB中， PB
sin BAP
则由上个月的样本数据得 P(E)

1 C330

1 4060
．
wenku.baidu.com
答案示例1：可以认为有变化． 理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本 月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．........................................12 分
海南中学 2020 届高三第二次月考数学试题
命题教师：康天策 审核: 屈 韬
海南中学 2020 届高三第二次月考
数学试题
（参考答案）
一. 选择题（共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。请将答案填到答题卡，答在本试卷上无效。)
BBADB
DBCBC BD
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)
2 或 cos sin
5 ................12 分 2
19.(本小题满分 12 分)
解析：（1）2sin2
C

cos

2C

3


5 2
，1
cos
2C

cos

2C

3


5 2
cos 2C 1 cos 2C 2
3 2
所以从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概
40 0.4 率估计为 100 ．
................................................................................4 分
（2）X 的所有可能值为0，1，2．
4
45
4
4
即 sin cos 4 (cos sin ) 2(cos sin ) 5
当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，知 2k 3 ，（ k Z ） 4
此时 cos sin cos 3 sin 3 2 ．
ad1

3 2
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
即 an＝2n＋1......................................................................................................5 分 (2)由已知，得 bn＝ a2n ＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝411－－22n＋n＝2n＋2－4＋n...... .....................................................................10 分
13．答案：5
14. 答案： 21 2
15. 答案：3
16.答案：15 .
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
解析：(1)依题意，得
3a1

3 2 2
d
5a1

54 2
d

50, 解得
(a1 3d )2 a1(a1 12d )