拓扑学课件
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《点集拓扑》课件
点集拓扑的基本性质
01
02
03
04
性质1
任意两个不同的点不能是等价 的。
性质2
有限多个开集的并集仍然是开 集。
性质3
闭集的补集是开集。
性质4
连续映射下的开集和闭集保持 不变。
点集拓扑的重要性
应用广泛
点集拓扑在数学、物理学、工程 学等领域都有广泛应用，如微分 几何、代数几何、微分方程等领
域。
基础学科
点集拓扑是数学的一门基础学科， 为其他学科提供了数学工具和语言 ，促进了数学的发展。
理论意义
点集拓扑的研究有助于深入探讨数 学中的一些基本问题，如连续性、 连通性、紧致性等，推动了数学理 论的发展。
02
拓扑空间与基
拓扑空间的定义
总结词
抽象的空间
详细描述
拓扑空间是一个由点集构成的空间，这些点集通过集合的并、交、补等运算形 成。它是一个抽象的概念，不依赖于度量或连续性的具体性质。
连通性与道路连通性
连通性的定义与分类
总结词
连通性是描述点集拓扑空间中点之间的相互关系的重要概念，它分为三种类型：强连通 、弱连通和道路连通。
详细描述
连通性定义为一个点集拓扑空间中任意两点可以通过一系列连续变换（如移动、旋转、 缩放等）相互到达。根据连通性的不同性质，可以分为强连通、弱连通和道路连通三种 类型。强连通是指任意两点都相互可达；弱连通是指任意两点至少有一个可达；道路连
基的定义与性质
总结词
定义与性质
详细描述
基是拓扑空间中一个特殊的子集系统，它具有一些重要的性质，如基的任意并仍 属于基，基的有限交仍属于基等。基是定义拓扑空间的重要工具。
基在拓扑空间中的应用
拓扑学课件
定义 7.2.2 设 ( X ,T ) 是一个拓扑空间,如果对 于 X 中 任 意 一 对 满 足 条 件 F1 F2 的 闭 集 F1 , F2 , 存 在 X 中 互 不 相 交 的 开 集 U1 ,U 2 使 得
F1 U1 , F2 U 2 ,则称拓扑空间 X 是一个正规空
8. 设 X 是一个满足第一可数性公理的空间， 证明:X 是 Hausdorff 空间当且仅当 X 中每一个收敛的序列只 有一个极限点. 9. 设 Y 是一个 Hausdorff 空间， 是一个拓扑空间， X g，f:X→Y 是连续映射，D X，证明如果 f |D=g|D. 则 f |D = g |D . 10. 设 Y 是一个 Hausdorff 空间， 是一个拓扑空间， X g，f:X→Y 是连续映射，证明： {x X | f ( x) g ( x)} 是 X 中的一个开集. 11. 设 X 是一个拓扑空间，证明 X 是 Hausdorff 空 2 {( x, x) X 2 | x X } 间当且仅当积空间 X 的对角线 是一个闭集.
必要性.设 x X ，并设 x 是 A 的一个极限点,但 x 有一 个 开邻 域 U 使得 U A 是 一个 有 限集 ， 则 集合 B U ( A {x}) 也是一个有限集. B U ( A {x}) = {x1, x2 , , xn } ， 令
则 B {x1 , x2 ,, xn } {x1} {x2} {xn } = i1{x1} ,又由于 X 是 { T1 空间， 因此由定理 7.1.2 知对于 i {1,2,, n} ，xi } {xi } ,
Hausdorff 空间必定是 T1 空间，但 T1 空间不必
图形拓扑的关系的构建课件共28页PPT资料
地图要素可以抽象为点、线、面来表示，这种归纳正好 适合于建立拓扑关系和建立拓扑表示。
1.若地图平面上反映一定意义的零维图形的附近没有其它图形 与之联系，则称这个零维图形为独立点（Point）。如水井
2.若在某个有一定意义的零维图形附近还存在另外有意义的 零维图形与之联系，则称这个零维图形为结点（Node）。
左右多边形表
弧线 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10
左多边形 右多边形
A
E
A
D
A
C
A
B
E
D
B
E
B
D
B
F
D
C
C
B
3.Arc/Info中左右多边形拓扑结构（存储在Arc文件中）
1.6 Arc／Info拓扑结构小结
Arc/Info利用拓扑结构在两个简单的坐标要素——弧线 和结点的基础上表示附加的地理信息。也就是说：地理数据 作为X，Y坐标对序列来存储，分别代表点、线、多边形。这 些地理特征之间的关系通过拓扑结构来表达。相关的表格数 据存储在表格中，通过内部标识号连接到地理特征上。
Polygon－arc表
多边形 弧 段
B 4－6－7－10－8
C 3－10－9
D 7－5－2－9
E 1－5－6
Arc坐标表
F 8（一条弧线组成）
弧线
坐标序列
e1
5,3 5,5 8,5
…
…
e6
7,4 6,3 …
…
…
2.Arc/Info多边形与弧线拓扑结构
弧线 e1 … e6 …
Arc坐标表 坐标序列 5,3 5,5 8,5 … 7,4 6,3 … …
1.7 拓扑关系是空间数据处理
1.若地图平面上反映一定意义的零维图形的附近没有其它图形 与之联系，则称这个零维图形为独立点（Point）。如水井
2.若在某个有一定意义的零维图形附近还存在另外有意义的 零维图形与之联系，则称这个零维图形为结点（Node）。
左右多边形表
弧线 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10
左多边形 右多边形
A
E
A
D
A
C
A
B
E
D
B
E
B
D
B
F
D
C
C
B
3.Arc/Info中左右多边形拓扑结构（存储在Arc文件中）
1.6 Arc／Info拓扑结构小结
Arc/Info利用拓扑结构在两个简单的坐标要素——弧线 和结点的基础上表示附加的地理信息。也就是说：地理数据 作为X，Y坐标对序列来存储，分别代表点、线、多边形。这 些地理特征之间的关系通过拓扑结构来表达。相关的表格数 据存储在表格中，通过内部标识号连接到地理特征上。
Polygon－arc表
多边形 弧 段
B 4－6－7－10－8
C 3－10－9
D 7－5－2－9
E 1－5－6
Arc坐标表
F 8（一条弧线组成）
弧线
坐标序列
e1
5,3 5,5 8,5
…
…
e6
7,4 6,3 …
…
…
2.Arc/Info多边形与弧线拓扑结构
弧线 e1 … e6 …
Arc坐标表 坐标序列 5,3 5,5 8,5 … 7,4 6,3 … …
1.7 拓扑关系是空间数据处理
《点集拓扑学》课件
映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖，则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的 形成和演化，需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的 闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。
一般拓扑学PPT模板
集子集余集并与交关系关系的运算等价关系函数序有序完备集链保序函数的扩张代数概念实数整数用归纳法定义b进展开可数集子集并实数的集基数schroederbernstein定理序数第一不可数序数笛卡儿乘积hausdorff极大值原理极大值原理kuratowskizorn引理选择公理良序原理拓扑与领域拓扑的比较点的领域系闭集聚点闭包kuratowski子内部边界基子基有可数基的拓扑lindelof定理相对化分离性连通集连通区
问题
m连续收敛
otietze扩张定理
q关于banach代数的 平方根引理
n线性赋范空间的共轭 空间
p关于c（x）的线性子 空间的稠密性引理
rstone-weierstrass 定理
第七章函数空间
问题
01
sc（x）的构造
02
t群的紧扩张； 殆周期函数
22
附录初等集论
附录初等 集论
分类公 理图式
集的存 在性
0 2
b关于函数的 收敛的习题
0 5
edini定理
0 3
c在稠密子集 上的点式收敛
0 6
f一种诱导映射 的连续性
第七章函数空 间
问题
1 g一致同等 连续性
h关于一致
2 结构 | 的习题
3 i计值映射 的连续性
jk空间的子
4 空间，乘 积空间和 商空间
5 k拓扑的k 扩张
6 l齐-连续性 的刻划
第七章函数空间
收敛类
03
子网和聚
04
点
序列和子序 列
第二章mooresmith收敛
第二章moore-smith收敛
有向集和网
极限的唯一性，累次极限
第二章moore-smith收敛
问题
m连续收敛
otietze扩张定理
q关于banach代数的 平方根引理
n线性赋范空间的共轭 空间
p关于c（x）的线性子 空间的稠密性引理
rstone-weierstrass 定理
第七章函数空间
问题
01
sc（x）的构造
02
t群的紧扩张； 殆周期函数
22
附录初等集论
附录初等 集论
分类公 理图式
集的存 在性
0 2
b关于函数的 收敛的习题
0 5
edini定理
0 3
c在稠密子集 上的点式收敛
0 6
f一种诱导映射 的连续性
第七章函数空 间
问题
1 g一致同等 连续性
h关于一致
2 结构 | 的习题
3 i计值映射 的连续性
jk空间的子
4 空间，乘 积空间和 商空间
5 k拓扑的k 扩张
6 l齐-连续性 的刻划
第七章函数空间
收敛类
03
子网和聚
04
点
序列和子序 列
第二章mooresmith收敛
第二章moore-smith收敛
有向集和网
极限的唯一性，累次极限
第二章moore-smith收敛
【精品】拓扑变换PPTPPT课件
三、拓扑变换的应用
• 2.有限元网格划分
• 移除边是指从四面体网格中移除 一条边的变换，包括3-2和4-4的 变换以及其他能够移除四面体的 变换。所有包含这条边的面和四 面体都将被移除，并且由其他的 面和四面体来代替。图2演示了一 次移除边的变换，该变换中，由 10个新的四面体替换了原有的7个 四面体。
• 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就 被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的 数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只 要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓 扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
•
三、拓扑变换的应用
• 1.密码学——基于指纹特征点拓扑结构变换的非对称加解密方法
• 指纹特征点拓扑结构变换加解密原理
• 借助指纹传感器等设备, 针对某一幅具体的指纹提取一组指纹特征点 拓扑结构的矩阵向量,如表1所示。
•
表1 指纹特征点的拓扑结构数据
指纹特征点 端点 叉点
(39,39) (153,132) (65,235) (180,287) (58, 43) (200, 166)
一、五个有趣的拓扑变换问题
有趣的是，把轮胎的内表面翻出来之后，轮胎上的“经线” 和“纬线”也将会颠倒过来：
Wikimedia 上有一个巨帅无比的动画， 直接展示出了把一个圆环面的内表面 翻到外面来的过程。此动画看着非常 上瘾，小心一看就是 10 分钟！
一、五个有趣的拓扑变换问题
• 5.能否把左图连续地变形为右图？ 答案是可以的。首先，作出如下图所示的
三、拓扑变换的应用
ppt拓扑学起源
拓扑学概貌之连续变换
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
连续变换就是你可以捏、拉一个东西，但不能将其 扯破，也不能把原先不在一起的两个点粘在一起。 比如，对于26个（大写）英文字母，一些拓扑学家 就认为可将其分成3类 ： 类 第一类：A,D,O,P,O,R; 第二类：C,E,F,G,H,l,J,K,L,M,N,S,T,U,V,W,X,Y,Z; 第三类： B; 第一类在连续变换下都可以变成 O，第二类则都可 变成 I 。
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
七桥问题之问题的提出与解决
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
问是 否可能 从这四 块陆地 中任一块出发 ，恰好 通过每 是 座桥一次，再回到起点？ 欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为图 的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。他不仅解 决了这个问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件 是它们的奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数 为0或2。
庞加莱猜想之之七个“千禧难题”之一
拓扑学概貌 七桥问题 四色问题 庞加莱猜想 课程内容与学 时安排 参考文献
2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会 把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学 难题）之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问 题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定 建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解 决都可获得百万美元的奖励。 另外六个“千年大奖问题”分别是：NP完全问题，霍奇猜 想，黎曼假设，杨-米尔斯理论，纳维-斯托克斯方 程，BSD猜想。 提出这个猜想，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但 没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑 学家们开始了证明它的努力。
拓扑学课件
下面验证T 是X的一个拓扑. (i)显然 T ;对于任意 x X ,由条件(1),U x , 取
U U x , 显然有 x U X , 由条件(3)可知 X 是点 x
的邻域,因此 X T . (ii)设 A, B T,如果 x A B, 因此 x A, x B , 因此 必有 A, B U x ,由条件(2)可知 A B U x ,由 x 的任
T -(4),令 = {U X|如果x U,则U U x }, 则 T 是 X 唯一
的一个拓扑使得对于每一点 x X ,子集族U x 是点x在
拓扑空间(x,T )中的邻域系. 证明:
T {U X | 如果x U , 则U U x }
即 T {U X | U是它的每一点的邻域 }
X , T ;
(2) 如果 A, B T ，则 A B T ； (3) 若 T1 T ,则 AT A T1 .
1
则称 T 是X的一个拓扑.
设T 是X的一个拓扑，由于T 中的每一个元素是拓
扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理
解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件： (1) X , 是开集 (2) 任意两个开集的交集是开集 (3) 任何开集族的并是开集.
第二章 拓 扑 空 间
§2.1
拓扑空间 §2.2 拓扑基与邻域系,邻域基 §2.3 度 量 拓 扑 §2.4 闭集,闭包 §2.5 导集,内 部, 边 界 §2.6 拓扑空间中的序列 §2.7序 拓 扑
§2.1 拓 扑 空 间
重点：拓扑空间定义的理解 难点：拓扑空间定义的理解
定义2.1.1 设X是一个集合,T P (X ) (P(X )表示X的幂 集),即 T 是X的一个子集族.如果T 满足如下条件: (1)
计算机网络拓扑结构PPT课件
C)可支持更多的网络协议
D)可兼容更多的应用软件系统
9、局域网采用星形拓朴结构的优点是( B )
A)容易增加新的工作站
B)容易查找网络连接故障
C)可支持更多的网络协议 D)可兼容更多的应用软件系统
精选ppt课件2021
21
10．从介质访问控制方法的角度来对局域网分类，它们有（ D ）
Ａ．快速以太网和慢速以太网 Ｂ．光纤局域网和铜线局域网
2、专用交换机PBX采用的拓扑结构为（ 星形）;光纤分布数据 接口FDDI采用的拓扑结构为（ 环形）。 3、局域网采用星形拓朴结构时,所有计算机都连接到一个中 心点,该中心点是 （集线器） 4、（ 星形 ）拓扑故障诊断容易，（ 总线形 ）拓扑使用的
线路短（ 可靠性 ）高。
5、以太网的拓扑结构是( 总线形 )。
星形、总线形、环形、网格形
精选ppt课件2021
6
3.1 网络拓扑结构
精选ppt课件2021
Hale Waihona Puke 73.1 网络拓扑结构
星形
环形
总线形
网格形
精选ppt课件2021
8
3.1 网络拓扑结构
常见网络拓扑介绍：
1、星型： （1）：特点：
星形结构以中央结点为中心，用单独的线路使中央结点与其 他各站点直接相连，采用集中式通信控制策略。
Ｃ．环形局域网和星形局域网 Ｄ．共享式局域网和交换式局域网
11.常用的网络拓扑结构是（ A.总线形、星形和环形
A ）。 B.总线形、星形和树形
C.星形和环行
D.总线形和树形
12．（ B ）决定局域网特性的主要技术要素有三点，其中下列
哪一点不是局域网特性的主要技术要素
Ａ．网络拓扑结构 Ｂ．网络的布线方法
拓扑学
B A
， .
6. 设A，B都是集合,证明:若 A B ，则 B (B A) A .
7. 设某一个全集已经给定，证明
① A B A B
② A B (A B) B A (A B)
③ 若 A B X，并且 A B ，则 A B, B A
④ ( A1 B1) ( A2 B2 ) A1 A2 (B1 B2 )
8. 设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性பைடு நூலகம்若正确，给出证明， 若不正确，给出反例.
① A (A B) B
② A (B A) A B
③ A (B C) (A B) (A C)
④ A (B C) (A B) (A C) ⑤ (A B) (A B) A,(A B) (A B)
点集拓扑学
主讲人：吴洪博
第一章 集合论初步
❖§1.1 集 合 ❖§1.2 关系,等价关系 ❖§1.3 映 射 ❖§1.4 集族及其运算 ❖§1.5 可数集，不可数集 ❖§1.6 基 数
§1.1 集 合
❖ 重点:熟悉有关集合的等式和性质 ❖ 难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质
❖ 集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里， 集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们 仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们 还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观 的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论 的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的， 不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓 朴学基础的学习程序.
D {x | x A 而且(x B或x C)}
E ，{x | (x A 而且x B)或x C}
F {x | x A 而且(x B xC)}
拓扑学课件
首先,B 首先 1 ⊗ B2 ⊆ T1 ⊗ T2 ,因此 B1 ⊗ B2 是乘积拓扑空 因此 间的一个开集族,其次设 间的一个开集族 其次设 W 是 X1 × X 2上的任意一个开 集,对 x∈W,由于 T1 ⊗ T2 是空间 X1 × X2的一个基,因此 对 ∈ 由于 的一个基 因此 存在 U1 ∈ T1 ,U2 ∈ T2 使得 x= ( x1 , x2 ) ∈ U 1 × U 2 ⊆ W , 又 Bi 是 Ti 的 拓 扑 基 , 因 此 对 x ∈ U 存 在 B ∈ Bi 使 得
1 2
Bρ1 ( x1,
2
2
ε ) × Bρ ( x2 ,
2
2
2
ε ) ⊆ Bρ ( x,ε ) ⊆ Bρ ( x1,ε )×Bρ ( x2 , ε ).
1
2
2 2 对于任意 y= ( y1, y2 ) ∈Bρ1 (x1, ε ) × Bρ2 (x2, ε ), 2 2 2 2 ε , ρ2 ( x2 , y2 ) < ε , 有 ρ1 ( x1 , y1 ) < 2 2
1 2
扑是由度量 ρ 诱导的拓扑 Tρ .
乘积拓扑空间X× §4.1 乘积拓扑空间 ×Y
下面这个定理说明这两种拓扑是一致的. 下面这个定理说明这两种拓扑是一致的 是两个拓扑空间, 定理 4.1.5 设 ( X 1 , ρ1 ), 和 ( X 2 , ρ 2 ) 是两个拓扑空间 则将 X 1 × X 2 作为 Tρ , Tρ 的拓扑积空间和将 X 1 × X 2 作为 度量积空间时所生成的两种拓扑是一致的. 度量积空间时所生成的两种拓扑是一致的 ρ : X 2 → R 如定义 4.1.2 所定义 首先我 所定义,首先我 证明:度量 证明 度量 我们有: 们验证对于任意 x= ( x1 , x2 )∈ X 2 和任意ε > 0 ,我们有 我们有
拓扑学课件(1)复习过程
S { pi1(Ui ) | Ui Ti ,i 1,2}
是 T 的一个子基.
§4.1 乘积拓扑空间X×Y 证明:根据拓扑积空间的定义,B={U1 U2 |Ui Ti} 是
积空间 X 的一个基,令 B 为 S 的所有非空有限子族之 交的全体构成的集族,即
B {S1 S2 Sn | Si S,i 1,2, n, n Z }.
(2) 对 于 U1 U2 , V1 V2 B , 及 (x1, x2 ) ∈ (U1 U2) I (V1 V2),由于(U1 U2 ) I (V1 V2 )=(U1 I V1) (U2 I V2 );必 有 x1 ∈ U1 I V1, x2 ∈ U2 I V2 , 以 及 U1 V1 T1 , U2 V2 T2 , (x1, x2 ) ∈ (U1 I V1) (U2 I V2 ) (U1 U2 ) I (V1 V2 ).
空间
X1
X
到第
2
i
个坐标空间
X
i
投射.
证明:
若 f :Y (X1 X2) 连 续 , 由 定 理 4.1.7 知 pi : X1 X 2 Xi 也 是 连 续 映 射 , 因 此 对 i {1, 2}, pi o f : Y X i是连续映射.
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
定 理 4.1.8 设 X= X1 X 2 是 两 个 拓 扑 空 间 (X1,T1) , (X 2, T2 ) 的拓扑积空间,Y 也是一个拓扑空间,
则映射 f :Y (X1 X2) 连续当且仅当对于每一个
i {1,2},复合映射 pi o f : Y Xi连续.其中 pi是拓扑积
xi Bi Ui (i 1, 2).
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
因 此 ,x= (x1, x2 ) B1 B2 U1 U2 W . 从 而 对
是 T 的一个子基.
§4.1 乘积拓扑空间X×Y 证明:根据拓扑积空间的定义,B={U1 U2 |Ui Ti} 是
积空间 X 的一个基,令 B 为 S 的所有非空有限子族之 交的全体构成的集族,即
B {S1 S2 Sn | Si S,i 1,2, n, n Z }.
(2) 对 于 U1 U2 , V1 V2 B , 及 (x1, x2 ) ∈ (U1 U2) I (V1 V2),由于(U1 U2 ) I (V1 V2 )=(U1 I V1) (U2 I V2 );必 有 x1 ∈ U1 I V1, x2 ∈ U2 I V2 , 以 及 U1 V1 T1 , U2 V2 T2 , (x1, x2 ) ∈ (U1 I V1) (U2 I V2 ) (U1 U2 ) I (V1 V2 ).
空间
X1
X
到第
2
i
个坐标空间
X
i
投射.
证明:
若 f :Y (X1 X2) 连 续 , 由 定 理 4.1.7 知 pi : X1 X 2 Xi 也 是 连 续 映 射 , 因 此 对 i {1, 2}, pi o f : Y X i是连续映射.
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
定 理 4.1.8 设 X= X1 X 2 是 两 个 拓 扑 空 间 (X1,T1) , (X 2, T2 ) 的拓扑积空间,Y 也是一个拓扑空间,
则映射 f :Y (X1 X2) 连续当且仅当对于每一个
i {1,2},复合映射 pi o f : Y Xi连续.其中 pi是拓扑积
xi Bi Ui (i 1, 2).
§4.1 乘积拓扑空间X×Y
因 此 ,x= (x1, x2 ) B1 B2 U1 U2 W . 从 而 对
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莫比乌斯带
拓扑学之旅
Topology
小教4班 郑梦珂 朱桃
简介概要
应用实例
拓扑学
有趣游戏
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拓扑简介
拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数 学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变 化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为 数学中一个非常重要的领域。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了 。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学 的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥 问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓 扑学发展史的重要问题。除去七桥问题，四色 问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并 且很基本的问题。例如还有纽结问题，维数概 念，向量场问题，不动点问题。
解答与分析
妮薇先抓住绕在自己手上的绳子的中间部分，然后将绳子穿过诺曼右手 腕A的绳圈，穿越的方向是从手腕的内部顺着手肘的方向到手掌端，随 后将绳子回绕过手掌而伸出到手的外侧。此时妮薇就可和诺曼分开了， 在场的人也会惊讶不已。
他们的手腕仍然绑着，可是两人已经没有被绑在一起了。要注意的是，
如果没有完全依照文中的指示，将会使两条绳子纠缠得更严重。
纽结问题
纽结理论是数学学科代数 拓扑的一个分支，按照数 学上的术语来说，是研究 如何把若干个圆环嵌入到 三维实欧氏空间中去的数 学分支。纽结理论的特别 之处是它研究的对象必须 是三维空间中的曲线。在 两维空间中，由于没有足 够的维数，我们不可能把 让一根曲线自己和自己缠 绕在一起打成结；而在四 维或以上的空间中，由于 维数太多，无论怎么样的 纽结都能够很方便地被解 开成没有结的曲线。
网络应用
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克莱因瓶
趣味游戏
• 在一次聚会中，诺曼和妮薇如图中所示被两条
绳子缠绕在一起。大家试着把他们两个分开，
但不可以解开绳结或把绳子剪断。 • 现在将他们两人的处境说得更清楚一点，首先 绳子的一端绕在诺曼的右手腕A上，另一端绕着 他的左手腕B。另一条绳子的一端绕在妮薇的左 手腕P上，穿过诺曼的绳子后再将另一端系在她 的右手腕Q上。 • 你可以找个朋友试试看，乍看之下似乎不太可 能分得开，事实上有一个相当巧妙的方法可以 使你脱离困境，而且不需使用任何特殊技巧。
概念
考虑一个曲面到自身的连续 变换，即曲面的每一点被移 到该曲面上的新的位置，连 续是指互相邻近的点被移到 互相邻近的点，新旧位置相 同的点叫作这变换的不动点 。拓扑学家们发现，曲面到 自身的映射的不动点个数如 果是有限的，它们的指数的 代数和不会因对这映射做细 微的修改而改变，特别是对 于实心圆上的映射，指数和 恒为1，所以实心圆到自身的 映射总有不动点。
案例 想象你有一台精确的理想GPS ，但是屏幕严重变形，如此， 屏幕上显示一个变形且缩小的 中国地图。如果我们把中国国 土看作一个大的地图A，GPS 屏幕上的地图看作这个地图的 缩小B，那么屏幕上显示你当 前位置的点就是这个所谓的“ 不动点”。事实上，当你用地 图查找你所处的位置，就是寻 找不动点（附近）的过程，假 若你的地图又很不规则，那么 你正在做一件数学上很困难的 事情，找到不动点。
解析2：假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形， 那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后，我 们可以不放开手指，把圆环给解开来。
2.在一个轮胎的表面上打一个洞。能否通过连续变换，把这个
轮胎的内表面翻到外面来？
答案Байду номын сангаас析：
三维图解
谢
谢
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维数概念
什么是曲线？朴素的观 念是点动成线，随一个 参数（时间）连续变化 的动点所描出的轨迹就 是曲线。可是，皮亚诺 在1890年竟造出一条这 样的“曲线”，它填满 整个正方形！这激发了 关于维数概念的深入探 讨，经过20～30年才取 得关键性的突破。
皮亚诺曲线
向量场问题
考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每 一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续 的，其中向量等于0的地方叫作奇点。例如，地球 表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切 向量场，而奇点就是当时没风的地方。这是拓扑学 中的庞加莱-霍普夫定理。
例如，如果妮薇的绳子在回绕到P点时，从Q点下绕诺曼的绳子，然后妮
薇必须依上述方法在诺曼的左手上动作，而非右手。
注意游戏规则：我们假设所有物体都是用橡胶做成的，可 以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何 改变图形本质结构的操作。
1. 能否把左图连续地变形为右图？ 解析1： 答案是可以的，如下图所示：
建筑学应用
在西方当代建筑中,一股 以变形为形态和空间倾向 的建筑潮流正在悄然兴起 。连续和曲线性开始取代 断裂与冲突,成为新的建 筑话语。拓扑学提供给设 计者奇特的几何实体为灵 感来源和空间结构图示; 拓扑学的某些概念启发了 建筑师思考,催生了流动 的、粘质的和连续的建筑 形式;拓扑学的分析方法 是人们重新认识了空间结 构。拓扑学的思维方式和 设计过程式建筑获得了动 态性,反映了周边环境的 影响,重组了社会空间结 构。
拓扑学之旅
Topology
小教4班 郑梦珂 朱桃
简介概要
应用实例
拓扑学
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拓扑简介
拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数 学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变 化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为 数学中一个非常重要的领域。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了 。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学 的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥 问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓 扑学发展史的重要问题。除去七桥问题，四色 问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并 且很基本的问题。例如还有纽结问题，维数概 念，向量场问题，不动点问题。
解答与分析
妮薇先抓住绕在自己手上的绳子的中间部分，然后将绳子穿过诺曼右手 腕A的绳圈，穿越的方向是从手腕的内部顺着手肘的方向到手掌端，随 后将绳子回绕过手掌而伸出到手的外侧。此时妮薇就可和诺曼分开了， 在场的人也会惊讶不已。
他们的手腕仍然绑着，可是两人已经没有被绑在一起了。要注意的是，
如果没有完全依照文中的指示，将会使两条绳子纠缠得更严重。
纽结问题
纽结理论是数学学科代数 拓扑的一个分支，按照数 学上的术语来说，是研究 如何把若干个圆环嵌入到 三维实欧氏空间中去的数 学分支。纽结理论的特别 之处是它研究的对象必须 是三维空间中的曲线。在 两维空间中，由于没有足 够的维数，我们不可能把 让一根曲线自己和自己缠 绕在一起打成结；而在四 维或以上的空间中，由于 维数太多，无论怎么样的 纽结都能够很方便地被解 开成没有结的曲线。
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• 在一次聚会中，诺曼和妮薇如图中所示被两条
绳子缠绕在一起。大家试着把他们两个分开，
但不可以解开绳结或把绳子剪断。 • 现在将他们两人的处境说得更清楚一点，首先 绳子的一端绕在诺曼的右手腕A上，另一端绕着 他的左手腕B。另一条绳子的一端绕在妮薇的左 手腕P上，穿过诺曼的绳子后再将另一端系在她 的右手腕Q上。 • 你可以找个朋友试试看，乍看之下似乎不太可 能分得开，事实上有一个相当巧妙的方法可以 使你脱离困境，而且不需使用任何特殊技巧。
概念
考虑一个曲面到自身的连续 变换，即曲面的每一点被移 到该曲面上的新的位置，连 续是指互相邻近的点被移到 互相邻近的点，新旧位置相 同的点叫作这变换的不动点 。拓扑学家们发现，曲面到 自身的映射的不动点个数如 果是有限的，它们的指数的 代数和不会因对这映射做细 微的修改而改变，特别是对 于实心圆上的映射，指数和 恒为1，所以实心圆到自身的 映射总有不动点。
案例 想象你有一台精确的理想GPS ，但是屏幕严重变形，如此， 屏幕上显示一个变形且缩小的 中国地图。如果我们把中国国 土看作一个大的地图A，GPS 屏幕上的地图看作这个地图的 缩小B，那么屏幕上显示你当 前位置的点就是这个所谓的“ 不动点”。事实上，当你用地 图查找你所处的位置，就是寻 找不动点（附近）的过程，假 若你的地图又很不规则，那么 你正在做一件数学上很困难的 事情，找到不动点。
解析2：假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形， 那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后，我 们可以不放开手指，把圆环给解开来。
2.在一个轮胎的表面上打一个洞。能否通过连续变换，把这个
轮胎的内表面翻到外面来？
答案Байду номын сангаас析：
三维图解
谢
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维数概念
什么是曲线？朴素的观 念是点动成线，随一个 参数（时间）连续变化 的动点所描出的轨迹就 是曲线。可是，皮亚诺 在1890年竟造出一条这 样的“曲线”，它填满 整个正方形！这激发了 关于维数概念的深入探 讨，经过20～30年才取 得关键性的突破。
皮亚诺曲线
向量场问题
考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每 一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续 的，其中向量等于0的地方叫作奇点。例如，地球 表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切 向量场，而奇点就是当时没风的地方。这是拓扑学 中的庞加莱-霍普夫定理。
例如，如果妮薇的绳子在回绕到P点时，从Q点下绕诺曼的绳子，然后妮
薇必须依上述方法在诺曼的左手上动作，而非右手。
注意游戏规则：我们假设所有物体都是用橡胶做成的，可 以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何 改变图形本质结构的操作。
1. 能否把左图连续地变形为右图？ 解析1： 答案是可以的，如下图所示：
建筑学应用
在西方当代建筑中,一股 以变形为形态和空间倾向 的建筑潮流正在悄然兴起 。连续和曲线性开始取代 断裂与冲突,成为新的建 筑话语。拓扑学提供给设 计者奇特的几何实体为灵 感来源和空间结构图示; 拓扑学的某些概念启发了 建筑师思考,催生了流动 的、粘质的和连续的建筑 形式;拓扑学的分析方法 是人们重新认识了空间结 构。拓扑学的思维方式和 设计过程式建筑获得了动 态性,反映了周边环境的 影响,重组了社会空间结 构。