八年级数学上册 平行线的证明 人教版
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第七章 平行线的证明
专题一 运用平行线的判定和性质进行证明
专题解读
平行线的判定和性质在证明题中运用广泛，常与三角 形、平行四边形（后面要学习）等结合起来综合考查，是 本章的重要内容之一.
源自文库
例1 如图7-1，直线AB与直线CD平行，E是AB上的一点， G是CD上的一点，∠BEF=35°，FC平分∠EFG，若 ∠FCG=20°，求∠FGD的度数.
因为FH∥CD，
所以∠FGD=∠GFH=75°.
专题二 三角形内角和定理及其推论的运用 专题解读
三角形是最基本的几何图形，一些复合图形都是以三 角形为基础的，三角形内角和定理及其推论是研究几何图 形的基础知识，应熟练掌握.
例2 如图7-2，∠AOB=90°，点C，D分别在射线OA，OB上，
CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交 于点F. （1）当∠OCD=50°〔图7-2（1）〕时，试求∠F的度数.
图7-7（2）
（3）如图7-7（3），∠CAE和∠DBF互 补.理由如下：
因为AC∥BD，AE∥BF，
所以∠CAE=∠1（两直线平行，内错角 相等）， ∠DBF+∠1=180°（两直线平行，同旁 内角互补）， 所以∠DBF+∠CAE=180°，即∠CAE和 ∠DBF互补. 综上所述，∠CAE和∠DBF相等或互补.
图7-7（3）
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
例3 如图7-3（1），已知∠EAC=90°，∠1+∠2=90°， ∠1=∠3，∠2=∠4.
（1）证明：DE∥BC.
（2）若将图形改变为图7-3（2）（3）（4），其他条件不变， （1）的结论是否成立？若成立，请选择一个图形予以证明， 若不成立，请说明理由.
（1）
（2）
（3） 图7-3
（4）
（1）证明：因为∠1=∠3，∠2=∠4， 所以∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2）. 因为∠1+∠2=90°， 所以∠1+∠3+∠2+∠4=180°. 因为（∠D+∠2+∠4）+（∠B+∠1+∠3） =180°+180°=360°， 所以∠D+∠B=180°，
如何才能想得开？哲学大师冯友兰曾提出“人生四重境界”说，其中最高那层境界正是道家境界，所以正是路径所在。 一是自然境界。有些人做事，可能只是顺着他的本能或者社会的风俗习惯，而对所做的事并不明白或者不太明白。这种“自然”并非道家那个自然，而是指混沌、盲目、原始，那些人云亦云、随波逐流的人就是这种人。
二是功利境界。有些人，会为了利己而主动去思考和做事，虽然未必不道德，却必定是功利的，而且很容易走向自私自利、损人利己。 三是道德境界。有的人，已经超越了自身，而开始考虑利人，譬如为了道义、公益、众生福祉而去做事。他们的眼界已经超越自身而投向了世间，胸中气象和站立高度已经抵达精神层次。 四是天地境界。当一个人的视野放到了整个天地宇宙，目光投向了万物根本，他就抵达了天人合一。这时他就已经不需要动脑子了，因为天地宇宙就是他的脑子，已经事事洞明，就像电脑连接到了互联网。这种境界，正是道家境界。这四重境界，境界越高就越想得开。想开到什么程度，则决定于人的视野放到多大，眼界拔到多高。人处平地，到处都会遮眼阻路；人登顶峰，世间便能一览通途。这就是想得开的秘密——眼界大了，心就宽了；站得高了，事就小了。想不开，往往都是画地为牢、作茧自缚。
眼光和思维所涉及的面，尽量往大了走、往高了去，则是人人可以努力靠近的。 综上：儒家拿得起、佛家放得下、道家想得开，合起来其实就是一句话：带着佛家的出世心态，凭着道家的超世眼界，去做儒家入世的事业。这也正是南怀瑾所说的人生最高境界：佛为心，道为骨，儒为表，大度看世界。车水马龙的闹市里，双眸里闪烁着都市的霓虹，衣服上沾满着汽车 曾经有一个人，她永远占据在你心最柔软的地方，你愿用自己的一生去爱她，这个人，叫“母亲”；有一种爱，它可以让你随意的索取、享用，却不要你任何的回报，不会向你抱怨，总是自己一个人默默地承受着这一切。这种爱，叫“母爱”！
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子以自强不息”。 第三重境界是“众里寻她千百度，蓦(mò)然回首，那人却在，灯火阑珊处”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
2
2
因为∠ECD=∠F+∠CDF，
所以∠F=90°-
1 2
∠OCD-45°-
1 2
∠OCD=45°.
专题三 作辅助线判定两直线平行 专题解读
添加辅助线，构建新图形，形成新的图形关系，使分 散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为容 易解决的类型，这是添加辅助线的目的.当判定两直线平行 时，若从已知条件无法直接或间接地加以判定时，则可以 考虑作辅助线求解.
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时， 必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下 相应的结论，这种解决问题的方法称为分类讨论思想.分类 讨论的目的是使复杂的问题简单化.分类讨论必须遵循两条 原则：（1）分类要按照同一标准进行；（2）做到不重复、 不遗漏.
例5 如果∠CAE和∠DBF的两条边互相平行，即AC∥BD， AE∥BF，那么这两个角有什么关系？为什么？
第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
则∠BEC=____.
图7-5
图7-6
解析：如图7-6，过点E作EF∥AB，所以
∠ABE+∠BEF=180°.因为∠ABE=120°，所以
∠BEF=60°.因为AB∥CD，所以EF∥CD.所以
∠FEC=∠DCE=35°.所以 ∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°.
方法二 分类讨论思想 方法解读
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
解：分以下三种情况：
（1）如图7-7（1），∠CAE=∠DBF. 理由如下：
因为AC∥BD，AE∥BF，
所以∠CAE=∠1，∠DBF=∠1（两直 线平行，同位角相等），所以
图7-7（1）
∠CAE=∠DBF.
（2）如图7-7（2）， ∠CAE=∠DBF.理由如下：
因为AC∥BD，AE∥BF，
所以∠CAE=∠1（两直线平行， 内错角相等）， ∠DBF=∠1（两直线平行，同 位角相等）， 所以∠CAE=∠DBF.
所以DE∥BC. 所以DE∥BC.
故（1）中的结论仍然成立.
（2）解：成立.证明如下： 选择图7-3（2）.如图7-4，连接
EC. 因为∠1=∠3，∠2=∠4，且 ∠1+∠2=90°， 所以∠3+∠4=∠1+∠2=90°. 因为∠EAC=90°， 所以∠AEC+∠ACE=180°90°=90°. 所以 ∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°， 即∠DEC+∠BCE=180°.
所以∠ECD=65°，∠CDF=20°.因为∠ECD=∠F+∠CDF，
所以∠F=65°-20°=45°.
（2）不变化.
因为∠AOB=90°，
所以∠CDO=90°-∠OCD，∠ACD=180°-∠OCD.
又因为CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
所以∠ECD=90°- 1 ∠OCD，∠CDF=45°- 1 ∠OCD.
（2）当点C，D分别在射线OA，OB上任意移动时（不与点O
重合）〔图7-2（2）〕，∠F的大小是否变化？若变化，请说 明理由；若不变化，求出∠F的度数.
（1）
（2）
图7-2
解：（1）因为∠AOB=90°，∠OCD=50°，
所以∠ACD=130°，∠CDO=40°.
因为CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
图7-1
解：如图7-1，过点F作FH∥AB. 因为AB∥CD， 所以AB∥FH∥CD，
所以∠EFH=∠BEF=35°，∠CFH=∠FCG=20°， 所以∠CFE=∠EFH+∠CFH=35°+20°=55°. 因为FC平分∠EFG， 所以∠CFG=∠CFE=55°. 所以∠GFH=∠CFG+∠CFH=55°+20°=75°.
图7-4
方法一 转化思想 方法解读
转化思想是指将所要解决的复杂问题通过某种方式 转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题.具体 说就是，把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知” 转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的一种思 想方法.转化思想在平行线问题中应用很广.
例4 如图7-5，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，
专题一 运用平行线的判定和性质进行证明
专题解读
平行线的判定和性质在证明题中运用广泛，常与三角 形、平行四边形（后面要学习）等结合起来综合考查，是 本章的重要内容之一.
源自文库
例1 如图7-1，直线AB与直线CD平行，E是AB上的一点， G是CD上的一点，∠BEF=35°，FC平分∠EFG，若 ∠FCG=20°，求∠FGD的度数.
因为FH∥CD，
所以∠FGD=∠GFH=75°.
专题二 三角形内角和定理及其推论的运用 专题解读
三角形是最基本的几何图形，一些复合图形都是以三 角形为基础的，三角形内角和定理及其推论是研究几何图 形的基础知识，应熟练掌握.
例2 如图7-2，∠AOB=90°，点C，D分别在射线OA，OB上，
CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交 于点F. （1）当∠OCD=50°〔图7-2（1）〕时，试求∠F的度数.
图7-7（2）
（3）如图7-7（3），∠CAE和∠DBF互 补.理由如下：
因为AC∥BD，AE∥BF，
所以∠CAE=∠1（两直线平行，内错角 相等）， ∠DBF+∠1=180°（两直线平行，同旁 内角互补）， 所以∠DBF+∠CAE=180°，即∠CAE和 ∠DBF互补. 综上所述，∠CAE和∠DBF相等或互补.
图7-7（3）
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
例3 如图7-3（1），已知∠EAC=90°，∠1+∠2=90°， ∠1=∠3，∠2=∠4.
（1）证明：DE∥BC.
（2）若将图形改变为图7-3（2）（3）（4），其他条件不变， （1）的结论是否成立？若成立，请选择一个图形予以证明， 若不成立，请说明理由.
（1）
（2）
（3） 图7-3
（4）
（1）证明：因为∠1=∠3，∠2=∠4， 所以∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2）. 因为∠1+∠2=90°， 所以∠1+∠3+∠2+∠4=180°. 因为（∠D+∠2+∠4）+（∠B+∠1+∠3） =180°+180°=360°， 所以∠D+∠B=180°，
如何才能想得开？哲学大师冯友兰曾提出“人生四重境界”说，其中最高那层境界正是道家境界，所以正是路径所在。 一是自然境界。有些人做事，可能只是顺着他的本能或者社会的风俗习惯，而对所做的事并不明白或者不太明白。这种“自然”并非道家那个自然，而是指混沌、盲目、原始，那些人云亦云、随波逐流的人就是这种人。
二是功利境界。有些人，会为了利己而主动去思考和做事，虽然未必不道德，却必定是功利的，而且很容易走向自私自利、损人利己。 三是道德境界。有的人，已经超越了自身，而开始考虑利人，譬如为了道义、公益、众生福祉而去做事。他们的眼界已经超越自身而投向了世间，胸中气象和站立高度已经抵达精神层次。 四是天地境界。当一个人的视野放到了整个天地宇宙，目光投向了万物根本，他就抵达了天人合一。这时他就已经不需要动脑子了，因为天地宇宙就是他的脑子，已经事事洞明，就像电脑连接到了互联网。这种境界，正是道家境界。这四重境界，境界越高就越想得开。想开到什么程度，则决定于人的视野放到多大，眼界拔到多高。人处平地，到处都会遮眼阻路；人登顶峰，世间便能一览通途。这就是想得开的秘密——眼界大了，心就宽了；站得高了，事就小了。想不开，往往都是画地为牢、作茧自缚。
眼光和思维所涉及的面，尽量往大了走、往高了去，则是人人可以努力靠近的。 综上：儒家拿得起、佛家放得下、道家想得开，合起来其实就是一句话：带着佛家的出世心态，凭着道家的超世眼界，去做儒家入世的事业。这也正是南怀瑾所说的人生最高境界：佛为心，道为骨，儒为表，大度看世界。车水马龙的闹市里，双眸里闪烁着都市的霓虹，衣服上沾满着汽车 曾经有一个人，她永远占据在你心最柔软的地方，你愿用自己的一生去爱她，这个人，叫“母亲”；有一种爱，它可以让你随意的索取、享用，却不要你任何的回报，不会向你抱怨，总是自己一个人默默地承受着这一切。这种爱，叫“母爱”！
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子以自强不息”。 第三重境界是“众里寻她千百度，蓦(mò)然回首，那人却在，灯火阑珊处”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
2
2
因为∠ECD=∠F+∠CDF，
所以∠F=90°-
1 2
∠OCD-45°-
1 2
∠OCD=45°.
专题三 作辅助线判定两直线平行 专题解读
添加辅助线，构建新图形，形成新的图形关系，使分 散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为容 易解决的类型，这是添加辅助线的目的.当判定两直线平行 时，若从已知条件无法直接或间接地加以判定时，则可以 考虑作辅助线求解.
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时， 必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下 相应的结论，这种解决问题的方法称为分类讨论思想.分类 讨论的目的是使复杂的问题简单化.分类讨论必须遵循两条 原则：（1）分类要按照同一标准进行；（2）做到不重复、 不遗漏.
例5 如果∠CAE和∠DBF的两条边互相平行，即AC∥BD， AE∥BF，那么这两个角有什么关系？为什么？
第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
则∠BEC=____.
图7-5
图7-6
解析：如图7-6，过点E作EF∥AB，所以
∠ABE+∠BEF=180°.因为∠ABE=120°，所以
∠BEF=60°.因为AB∥CD，所以EF∥CD.所以
∠FEC=∠DCE=35°.所以 ∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°.
方法二 分类讨论思想 方法解读
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
解：分以下三种情况：
（1）如图7-7（1），∠CAE=∠DBF. 理由如下：
因为AC∥BD，AE∥BF，
所以∠CAE=∠1，∠DBF=∠1（两直 线平行，同位角相等），所以
图7-7（1）
∠CAE=∠DBF.
（2）如图7-7（2）， ∠CAE=∠DBF.理由如下：
因为AC∥BD，AE∥BF，
所以∠CAE=∠1（两直线平行， 内错角相等）， ∠DBF=∠1（两直线平行，同 位角相等）， 所以∠CAE=∠DBF.
所以DE∥BC. 所以DE∥BC.
故（1）中的结论仍然成立.
（2）解：成立.证明如下： 选择图7-3（2）.如图7-4，连接
EC. 因为∠1=∠3，∠2=∠4，且 ∠1+∠2=90°， 所以∠3+∠4=∠1+∠2=90°. 因为∠EAC=90°， 所以∠AEC+∠ACE=180°90°=90°. 所以 ∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°， 即∠DEC+∠BCE=180°.
所以∠ECD=65°，∠CDF=20°.因为∠ECD=∠F+∠CDF，
所以∠F=65°-20°=45°.
（2）不变化.
因为∠AOB=90°，
所以∠CDO=90°-∠OCD，∠ACD=180°-∠OCD.
又因为CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
所以∠ECD=90°- 1 ∠OCD，∠CDF=45°- 1 ∠OCD.
（2）当点C，D分别在射线OA，OB上任意移动时（不与点O
重合）〔图7-2（2）〕，∠F的大小是否变化？若变化，请说 明理由；若不变化，求出∠F的度数.
（1）
（2）
图7-2
解：（1）因为∠AOB=90°，∠OCD=50°，
所以∠ACD=130°，∠CDO=40°.
因为CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
图7-1
解：如图7-1，过点F作FH∥AB. 因为AB∥CD， 所以AB∥FH∥CD，
所以∠EFH=∠BEF=35°，∠CFH=∠FCG=20°， 所以∠CFE=∠EFH+∠CFH=35°+20°=55°. 因为FC平分∠EFG， 所以∠CFG=∠CFE=55°. 所以∠GFH=∠CFG+∠CFH=55°+20°=75°.
图7-4
方法一 转化思想 方法解读
转化思想是指将所要解决的复杂问题通过某种方式 转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题.具体 说就是，把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知” 转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的一种思 想方法.转化思想在平行线问题中应用很广.
例4 如图7-5，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，