第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案

第四章 随机变量的数字特征

1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。 得，

0010119

1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。

因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =⨯=。

2． 解：1500

3000

2220

1500

()()(3000)5001000150015001500x x

E X xf x dx dx x dx +∞

-∞

-=

=+-=+=⎰⎰

⎰。 3． 解：1

()(2)0.400.320.30.2k

k i E X x

p ∞

==

=-⨯+⨯+⨯=-∑；

2

21

(35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞

=+=+=⨯+⨯+⨯=∑

22(35)3()513.4E X E X +=+=。

4．解：（1）0

()(2)2()2

()22(|

)2x

x x E Y E X E X xf x dx x e

dx xe e dx +∞

+∞

+∞

--+∞

--∞

==== =-+=⎰⎰⎰.

（2）223300

1

1

33

()()()|X

x

x x E Y E e

e

f x dx e dx e +∞

+∞

----+∞

-∞

==

= =-=⎰⎰.

5．解：（1）3

33

1

1

1

()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p

x p •

====

==⨯+⨯+⨯=∑∑∑.

3

3

3

1

1

1

()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p •======-⨯+⨯+⨯=∑∑∑.

（２）

7

1

11

()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-⨯+-⨯++⨯+⨯=-∑。

2

2

1

()40.400.340.3 2.8

k k i E X x p ∞

===⨯+⨯+⨯=∑

（3）

5

1

()40.390.4160.010.200.15i i i E Z z p ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑。

6．解： 12004()(,)125

x

E X xf x y dxdy xy dydx +∞+∞-∞-∞=

==

⎰⎰⎰⎰ 1300

3()(,)125

x

E Y yf x y dxdy y dydx +∞+∞

-∞-∞

=

==

⎰⎰⎰⎰ 1300

1()(,)122

x

E XY xyf x y dxdy xy dydx +∞+∞

-∞-∞

===

⎰⎰⎰⎰

122

2

2

222

00

16()()(,)12() 1.06715

x

E X Y x y f x y dxdy x y y dydx +∞+∞

-∞-∞

+=

+=+=≈⎰

⎰⎰⎰

7．解： X 的分布密度为1/2,2,

()0,x f x 0<<⎧=⎨ ⎩

其他。 由题意知(10)A X X =⨯-，则

2

2

2

20126

()(10)(10)()(10)8.6723E A E X X x x f x dx x x dx +∞

-∞

=-=-=-=≈⎰⎰.

2

2

22

432011448

()(10)20100)215

E A E X X x x x dx =-=-+=⎰.

22964

()()(())21.4245

D A

E A E A =-=

≈ 8．解：以1X 和2X 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则12T X X =+，由条件概率知(1,2)i X i =的概率密度为

55,0,

()0,0x i e x f x x -⎧>=⎨≤⎩

.

两台仪器五故障工作的时间1X 和2X 显然相互独立。

利用两独立随机变量和密度函数公式求T 的概率密度，对0t >，有

55()5120

()()()2525.x t x t f t f x f t x dx e e dx te +∞

+∞

-----∞

=-==⎰

⎰

当0t ≤时，显然()0,f t =于是，得

525,0,()0,0.

t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩

由于(1,2)i X i =服从指数为5的指数分布，知

11

(),()(1,2).525

i i E X D X i =

== 因此，有

12122

()()()(),5

E T E X X E X E X =+=+= 由于1X 和2X 相互独立，可见

12122()()()()25

D T D X X D X D X =+=+=

. 9． 解：93年考研数学一。(1) 0, 2

(2) 不相关 (3)不独立

10．解：22

0017

()(,)()86X E X xf x dx xf x y dxdy x x y dxdy ∞

+∞+∞

∞-∞-∞

==+=⎰⎰⎰⎰⎰+-（）=

22

2

2

2

20015

()(,)()83X E X x f x dx x f x y dxdy x x y dydx ∞

+∞+∞

∞-∞-∞

==+=⎰⎰⎰⎰⎰+-（）=

则 2211

()()(())36

D X

E X E X =-=

. 由联合概率密度函数中X 、Y 的对称性，得 711

(),()636

E Y D Y =

=

22

0014

()83

E XY xy x y dxdy +=⎰⎰（）=，1(,)()()()36cov X Y E XY E X E Y ⇒ =-=-

111XY ρ=

=-，5

()()()2cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=.