知识讲解 物理学中微元法的应用

物理学中微元法的应用编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。

教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。

高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。

在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。

【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。

微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。

这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。

利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。

【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。

微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。

【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。

【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ∆极短，写出v t -图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。

【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ∆极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ∆时间内第i 段的位移为i i x v t =∆，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑∆，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。

当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ ，如图丙所示。

图线与轴所夹的面积，表示在时间t 内物体做匀变速直线运动的位移。

面积12S S S =+，又0P v v at =+，所以2012x v t at =+ 【总结升华】这是我们最早接触的微元法的应用。

总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t ∆极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式i i x v t =∆，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和， i i x x v t =∑=∑∆。

举一反三【变式1】加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度大小为（ ）A.cos g θB. tan g θC. cos g θD. tan g θ【答案】B【解析】如图所示，取水面上质量为m ∆的水元为研究对象，其受力如图所示，应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为m ∆的水元受到的合力为=tan F mg θ∆合，根据牛顿第二定律可知=F ma ∆合， 则tan a g θ=，方向与启动方向相同。

【变式2】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳子与 水平方向成θ角时，求物体A 的速度。

【答案】0cos A v v θ= 【解析】设物体A 在θ角位置t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧绳长缩短L ∆，如图，当绳水平方向的角度变化很小时，有cos L x θ∆=∆，两边同除以t ∆得cos L x t tθ∆∆=∆∆，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率 即收绳速率0cos A v v θ=所以物体A 的速率为0cos A v v θ=. 类型二、微元法在功和能中的应用例2、(2015 北京卷) 真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示。

光照前两板都不带电。

以光照射A 板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。

假设所有逸出的电子都垂直于A 板向B 板运动，忽略电子之间的相互作用。

保持光照条件不变。

a 和b 为接线柱。

已知单位时间内从A 板逸出的电子数为N ，电子逸出时的最大动能为E km 。

元电荷为e 。

(1)求A 板和B 板之间的最大电势差U m ，以及将a 、b 短接时回路中的电流I 短。

(2)图示装置可看作直流电源，求其电动势E 和内阻r 。

(3)在a 和b 之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U 。

外电阻上消耗的电功率设为P ；单位时间内到达B 板的电子，在从A 板运动到B 板的过程中损失的动能之和设为ΔE k 。

请推导证明:P =ΔE k 。

(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明)【答案】(1) km E e Ne (2) km E e km 2E Ne (3)外电阻两端的电压为U ，则电源两端的电压也是U 。

【解析】(1)由动能定理，E km =eU m ，可得km m E U e= 短路时所有逸出电子都到达B 板，故短路电流I 短=Ne(2)电源的电动势等于短路时的路端电压，即上面求出的U m ，所以km m E E U e ==电源内阻km 2=E E r I Ne =短 (3)外电阻两端的电压为U ，则电源两端的电压也是U 。

由动能定理，一个电子经电源内部电场后损失的动能ΔE k e =eU设单位时间内有N'个电子到达B 板，则损失的动能之和ΔE k =N'ΔE k e =N'eU根据电流的定义，此时电源内部的电流I =N'e此时流过外电阻的电流也是I =N'e ，外电阻上消耗的电功率P =IU =N'eU所以P =ΔE k举一反三 【变式】（2014 上海徐汇模拟）如图所示，一台农用水泵装在离地面的一定高度处，其出水管是水平的．现仅有一盒钢卷尺，请你粗略测出水流出管口的速度大小和从管口到地面之间在空中水柱的质量(已知水的密度为ρ，重力加速度为g )．(1)除了已测出的水管内径l 外，还需要测量的物理量是____________(写出物理量名称和对应的字母)；(2)水流出管口的速度v 0的表达式为________________(请用已知量和待测量的符号表示)；(3)空中水柱的质量m 的表达式为____________(请用已知量和待测量的符号表示)．【答案】(1)水的水平射程x ，管口离地的高度h (2) 0=2g v h (3) 24xl m πρ= 【解析】 根据平抛运动的规律知，水平方向上有x =v 0t ，竖直方向上有212h gt = ，联立以上二式可得初速度0=2g v x h ；空中水的质量204xl m Sv t πρρ==.例3、从地面上以初速度0v 竖直向上抛出一质量为m 的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t 1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为1v ，且落地前球已经做匀速运动．求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H ．【思路点拨】（1）（2）求解不难。

（3）用微元法求解，首先根据牛顿第二定律写出加速度的表达式，再用v a t∆=∆，取微元然后写出v ∆与t ∆关系式，最后求和。

【答案】见解析。

【解析】（1）球从抛出到落地重力做功为零，根据动能定理22101122f W mv mv -=- 克服空气阻力做功22011122f W mv mv =- （2）阻力与其速率成正比抛出瞬间阻力0f kv = 匀速运动时11f kv =抛出瞬间阻力的大小为01v f mgv = 根据牛顿第二定律0mg f ma += 解得抛出瞬间的加速度大小为0011v a g v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）上升时加速度为a ，根据牛顿第二定律()mg kv ma -+=k a g v m=-- 取极短时间t ∆，速度的变化量v ∆，有k v a t g t v t m∆=∆=-∆-∆ 式中v t h ∆=∆上升全过程对等式两边求和k v g t h m∑∆=-∑∆-∑∆ 左边求和 00v v ∑∆=- （末减初）1g t gt -∑∆=- k k h H m m-∑∆=- （h H ∑∆=） 代入解得010k v gt H m -=--，又前面已求出1mg k v = 所以球上升的最大高度()011v gt v H g -=.【总结升华】取微元，根据相应的物理规律写出所求问题用微元表示的函数表达式，最后求和，注意各物理量的物理意义，解析中已经写得很清楚了。

类型三、微元法在动量中的应用例3、一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？【思路点拨】在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.【答案】.332LMgx gx gx gx N ==+=ρρρ 【解析】设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间t ∆，在t ∆内又有M x ρ∆=∆落到地面上静止.地面对M ∆作用的冲量为x v p t Mg F ∆=∆=∆∆-ρ)( 因为0≈∆⋅∆t Mg所以x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x v F ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ， 故 2v F ρ=，链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的瞬时速度，即22v gx =，代入F 的表达式中，得gx F ρ2=即t 时刻链条对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力.所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgx gx gx gx N ==+=ρρρ【总结升华】通过取微元分析，把变速冲击问题转化为恒定速度的冲击问题，这就体现了“化变为恒”的思想。