概率论应用题6
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率的应用题
概率的应用题1. 抛硬币问题假设有一枚公平的硬币，被抛一次，我们想知道出现正面的概率是多少。
解答：由于硬币是公平的，所以出现正面和反面的概率相等。
因此出现正面的概率是 0.5，即 50%。
2. 扑克牌问题一副标准扑克牌有52张牌，其中4张是A，4张是K，4张是Q，4张是J。
现在从扑克牌中随机抽取2张牌，我们希望知道这两张牌中至少有一张是A的概率是多少。
解答：首先计算两张牌都不是A的概率，即没有A的牌共有48张，从中随机抽取2张牌的概率是 C(48, 2) / C(52, 2)。
然后计算至少有一张是A的概率，即全为A的概率加上其中一张是A的概率。
全为A的概率是 C(4, 2) / C(52, 2)，其中一张是A的概率是C(4, 1) * C(48, 1) / C(52, 2)。
最后将这两个概率相加即可得到答案。
3. 生日问题在一个房间里，假设有23个人，我们想知道至少有两个人生日相同的概率是多少。
解答：假设每个人的生日是独立的并且等概率地分布在一年中的365天。
首先计算第一个人的生日不同于其他22个人的概率，即（364/365）^22。
然后计算至少有两个人生日相同的概率，即1减去前面计算得到的概率。
最后将这个概率转化为百分数即可得到答案。
4. 信号灯问题某交叉路口的信号灯的工作时间为8小时，其中绿灯亮6分钟，黄灯亮3分钟，红灯亮1分钟。
现在我们想知道在一小时内，某一时刻通过该交叉路口时看到的是绿灯的概率是多少。
解答：该问题涉及到信号灯的周期和每个颜色灯亮起的时间比例。
根据给定的条件，一个周期为10分钟，其中绿灯亮6分钟。
所以在一小时内，绿灯出现的次数是 60 / 10 * 6，总次数是 60 / 10 * 10。
因此通过该交叉路口时看到的是绿灯的概率是 (60 / 10 * 6) / (60 / 10 * 10)。
以上是关于概率的应用题的介绍。
通过学习和理解这些问题，读者可以更好地应用概率知识解决实际问题。
概率论与数理统计试卷及问题详解
模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论习题答案及答题范例PPT课件
P114，习题37
7
C7k 0.6k 0.47k 0.71
k 4
精选
P115，习题41
P( A)
1
20 0!
e 2
5
0.484
P(B)
5 k3
C5k
1
20 0!
e 2
k
20 0!
e 2
5k
=0.98
精选
P115，习题47
• 某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验人员从该 车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品， 能否据此断定该车间谎报合格率？
0.043
0.1 0.05 0.7 0.1 0.2 0.2
精选
P112，习题12
精选
故可得： P(C ) P( A1B1 ) P( A1B2 ) P( A1B3 ) P( A2B2 ) P( A2B1 ) P( A3B1 ) 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.7 0.2 0.2 0.2 0.1 0.7 0.1 0.23
精选
根据贝叶斯公式有：
P(A B)P(B) P(B A)
P(A B)P(B) P(A B)P(B)
0.98 0.95
0.97
0.98 0.95 0.55 0.05
答：若某天早上第一件产品合格，则机器调整得良好的概率是 97%。
精选
P( AB) P(1G2B) 3 1 3 88
P( AB) P( A)P(B)精选
对于4个孩子之家： P( A) P{4B} P{1G3B} 1 4 1 5 16 16 16 P(B) P(1G3B) P(2G2B) P(3G1B) 4 6 4 7 16 16 16 8 P( AB) P(1G3B) 4 16 P( AB) P( A)P(B)
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn n ii i P X k X k X k P Xk ======∏L 1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为1121,0(,,,)0,.nii ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L MP X P X N N==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X N N ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X N N -===⋅- 若N →∞时M p N →，则1Lp N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率论第5、6、7、8章真题练习
概率论第5、6、7、8章真题练习(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2013年4月2012年10月6.设X 1，X 2，…，X n …为相互独立同分布的随机变量序列，且E (X 1)=0，D (X 1)=1，则1lim 0n i n i P X →∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑7.设x 1,x 2，…，x n 为来自总体N (μ，σ2)的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是 A.1ni i x μ=-∑B.211nii x σ=∑C. 211()ni i x n μ=-∑ D. 211n i i x n =∑ 8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是 A.置信度越大，置信区间越长 B.置信度越大，置信区间越短 C.置信度越小，置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关9.在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是 A. H 1成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 1成立，拒绝H 110．设一元线性回归模型：201(1,2,),~(0,)i i i i y x i n N ββεεσ=++=…,且各i ε相互独立.依据样本(,)(1,2,,)i i x y i n =…得到一元线性回归方程01ˆˆˆy x ββ=+，由此得i x 对应的回归值为ˆi y，i y 的平均值11(0)ni i y y y n ==≠∑，则回归平方和S 回为 A ．21(-)ni i y y =∑B ．21ˆ(-)ni i i y y=∑C ．21ˆ(-)ni i yy =∑ D ．21ˆni i y=∑ 21.设m 为n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 为事件A 的概率，则对任意正数ε，有lim n m P p n ε→∞⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭=____________.22.设x 1，x 2，…，x n 是来自总体P (λ)的样本，x 是样本均值，则D (x )=___________.23.设x 1，x 2，…，x n 是来自总体B (20，p )的样本，则p 的矩估计ˆp=__________. 24.设总体服从正态分布N (μ，1)，从中抽取容量为16的样本，u α是标准正态分布的上侧α分位数，则μ的置信度为的置信区间长度是_________.25.设总体X ～N (μ，σ2)，且σ2未知，x 1，x 2，…，x n 为来自总体的样本，x 和S 2分别是样本均值和样本方差，则检验假设H 0:μ =μ0;H 1:μ≠μ0采用的统计量表达式为_________.四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N (75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.五、应用题(10分)30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量X～N(500，22)(单位：g)，生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值x=502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常(α=(附：=2012年4月9．设总体2~(2,3),X N x 1,x 2,…，x n 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( ) A.23x - B.29x -10．设样本x 1,x 2,…，x n 来自正态总体2(,)N μσ，且2σ未知．x 为样本均值，s 2为样本方差．假设检验问题为01:1,:1H H μμ=≠，则采用的检验统计量为( )xx21．设随机变量X ~N (1，1)，应用切比雪夫不等式估计概率{}P ()2X E X -≥≤______.22．设总体X 服从二项分布B (2，，x 为样本均值，则()E x =______． 23．设总体X ~N (0，1)，123x x x ，，为来自总体X 的一个样本，且2222123~()x x x n χ++，则n =______．24．设总体~(1)X N μ，，12x x ，为来自总体X 的一个样本，估计量1121122x x μ=+，2121233x x μ=+，则方差较小的估计量是______． 25．在假设检验中，犯第一类错误的概率为，则在原假设H 0成立的条件下，接受H 0的概率为______．四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)29．设总体X 的概率密度(1),01,(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩ 其他，其中未知参数>1,θ-12,,,n x x x ⋯是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计．2012年1月10. 从一个正态总体中随机抽取n= 20 的一个随机样本，样本均值为17. 25，样本标准差为,则总体均值μ的95％的置信区间为（ ）。
概率论试题及答案
试卷一一、填空每小题2分,共10分１．设是三个随机事件,则至少发生两个可表示为______________________;２. 掷一颗骰子,表示“出现奇数点”,表示“点数不大于3”,则表示______________________;３．已知互斥的两个事件满足,则___________;４．设为两个随机事件,,,则___________;５．设是三个随机事件,,,、,则至少发生一个的概率为___________;二、单项选择每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内;每小题2分,共20分1. 从装有2只红球,2只白球的袋中任取两球,记“取到2只白球”,则 ;A取到2只红球B取到1只白球C没有取到白球D至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为 ;A随机事件B必然事件C不可能事件D样本空间3. 设A、B为随机事件,则 ;A AB BC AB Dφ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是 ;A与互斥B与不互斥C D5. 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ;A BC D6. 设相互独立,则 ;A BC D7.设是三个随机事件,且有,则;A 0.1B 0.6C 0.8D 0.78. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为 ;A p21–p3B4 p 1–p3C5 p21–p3D4 p21–p39. 设A、B为两随机事件,且,则下列式子正确的是 ;A BC D10. 设事件A与B同时发生时,事件C一定发生,则 ;A PAB = PC B P A + P B–P C≤1C P A + P B–P C≥1D P A + P B≤P C三、计算与应用题每小题8分,共64分1. 袋中装有5个白球,3个黑球;从中一次任取两个;求取到的两个球颜色不同的概率;2. 10把钥匙有3把能把门锁打开;今任取两把;求能打开门的概率;3. 一间宿舍住有6位同学,求他们中有4个人的生日在同一个月份概率;4. 50个产品中有46个合格品与4个次品,从中一次抽取3个,求至少取到一个次品的概率;5. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2,0.1,0.1,并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关;求该种零件的次品率;6. 已知某品的合格率为0.95,而合格品中的一级品率为0.65;求该产品的一级品率;7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的;开箱检验时,从中随机抽取10件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收;若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率;8. 某厂的产品,按甲工艺加工,按乙工艺加工,两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9;现从该厂的产品中有放回地取5件来检验,求其中最多有一件次品的概率;四、证明题共6分设,;证明试卷一参考答案一、填空1. 或2. 出现的点数恰为53.与互斥则4. 0.6故5.至少发生一个,即为又由得故二、单项选择1．2. A3. A利用集合的运算性质可得.4．与互斥故5．故6．相互独立7.且则8.9. B10. B故P A + P B–P C≤1三、计算与应用题1. 解：设表示“取到的两球颜色不同”,则而样本点总数故2. 解：设表示“能把门锁打开”,则,而故3. 解：设表示“有4个人的生日在同一月份”,则而样本点总数为故4. 解：设表示“至少取到一个次品”,因其较复杂,考虑逆事件=“没有取到次品”则包含的样本点数为;而样本点总数为故5. 解：设“任取一个零件为次品”由题意要求,但较复杂,考虑逆事件“任取一个零件为正品”,表示通过三道工序都合格,则于是6. 解：设表示“产品是一极品”,表示“产品是合格品”显然,则于是即该产品的一级品率为7. 解：设“箱中有件次品”,由题设,有,又设“该箱产品通过验收”,由全概率公式,有于是8. 解：依题意,该厂产品的合格率为,于是,次品率为设表示“有放回取5件,最多取到一件次品”则四、证明题证明, ,由概率的性质知则又且故试卷二一、填空每小题2分,共10分1. 若随机变量的概率分布为 ,,则__________;2. 设随机变量,且,则__________;3. 设随机变量,则__________;4. 设随机变量,则__________;5. 若随机变量的概率分布为则__________;二、单项选择每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内;每小题2分,共20分1.设与分别是两个随机变量的分布函数,为使是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ;A BC D2.设随机变量的概率密度为,则 ;A BC D3.下列函数为随机变量分布密度的是;A BC D4.下列函数为随机变量分布密度的是;A BC D5. 设随机变量的概率密度为,,则的概率密度为 ;A BC D6. 设服从二项分布,则 ;A BC D7. 设,则 ;A BC D8．设随机变量的分布密度为, 则 ;A 2B 1C 1/2D 49．对随机变量来说,如果,则可断定不服从 ;A二项分布B指数分布C正态分布D泊松分布10．设为服从正态分布的随机变量,则;A9 B 6C 4 D-3三、计算与应用题每小题8分,共64分1. 盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个是旧球;采取不放回抽取,每次取一个,直到取到新球为止;求抽取次数的概率分布;2. 车间中有6名工人在各自独立的工作,已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车;求1在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少2若车间中仅有2台小吊车,则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少3. 某种电子元件的寿命是随机变量,其概率密度为求1常数；2若将3个这种元件串联在一条线路上,试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率;4. 某种电池的寿命单位：小时是一个随机变量,且;求1这样的电池寿命在250小时以上的概率；2,使电池寿命在内的概率不小于0.9;5. 设随机变量;求概率密度;6. 若随机变量服从泊松分布,即,且知;求;7. 设随机变量的概率密度为;求和;8. 一汽车沿一街道行使,需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,求红或绿两种信号灯显示的时间相等;以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数;求1的概率分布；2;四、证明题共6分设随机变量服从参数为2的指数分布;证明：在区间上,服从均匀分布;试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有即,得;2.,则3. 0.54.5. 0.25由题设,可设即0 10.5 0.5则二、单项选择1.由分布函数的性质,知则,经验证只有满足,选2.由概率密度的性质,有3.由概率密度的性质,有4.由密度函数的性质,有5.是单减函数,其反函数为,求导数得由公式,的密度为6.由已知服从二项分布,则又由方差的性质知,7.于是8. A由正态分布密度的定义,有9. D∴如果时,只能选择泊松分布.10. D∵X为服从正态分布N -1, 2,EX = -1∴E2X - 1 = -3三、计算与应用题1. 解：设为抽取的次数只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型,有1 2 3 42. 解：设表示同一时刻需用小吊车的人数,则是一随机变量,由题意有,,于是1的最可能值为,即概率达到最大的23. 解：1由可得2串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作,而这里三个元件的工作是相互独立的,因此,若用表示“线路正常工作”,则而故4. 解：1查正态分布表2由题意即查表得;5. 解:对应的函数单调增加,其反函数为,求导数得, 又由题设知故由公式知：6. 解:,则而由题设知即可得故查泊松分布表得,7. 解:由数学期望的定义知,而故8. 解:1的可能取值为且由题意,可得即0 1 2 32由离散型随机变量函数的数学期望,有四、证明题证明：由已知则又由得连续,单调,存在反函数且当时, 则故即试卷三一、填空请将正确答案直接填在横线上;每小题 2分,共10分1. 设二维随机变量的联合分布律为,则__________,__________.2. 设随机变量和相互独立,其概率分布分别为,则__________.3. 若随机变量与相互独立,且,,则服从__________分布.4. 已知与相互独立同分布,且则__________.5. 设随机变量的数学期望为、方差,则由切比雪夫不等式有__________.二、单项选择在每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内;每小题2分,共20分1. 若二维随机变量的联合概率密度为,则系数.A BC D2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和,则下列结论正确的是 .A BC D3. 设随机向量X , Y的联合分布密度为, 则 .A X , Y服从指数分布B X与Y不独立C X与Y相互独立D cov X , Y≠04. 设随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布,则下列随机变量中服从均匀分布的有 .A BC D5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是 .A B C D6．设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是 .A BC D7. 若随机变量是的线性函数,且随机变量存在数学期望与方差,则与的相关系数.A B C D8. 设是二维随机变量,则随机变量与不相关的充要条件是 .ABCD9. 设是个相互独立同分布的随机变量,,则对于,有 .A BC D10. 设,为独立同分布随机变量序列,且X i i= 1,2,…服从参数为λ的指数分布,正态分布N0, 1 的密度函数为, 则 .三、计算与应用题每小题8分,共64分1. 将2个球随机地放入3个盒子,设表示第一个盒子内放入的球数,表示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.2. 设二维随机变量的联合概率密度为1确定的值；2求.3. 设的联合密度为1求边缘密度和；2判断与是否相互独立.4. 设的联合密度为求的概率密度.5. 设,,且与相互独立.求1的联合概率密度；2；3.6. 设的联合概率密度为求及.7. 对敌人阵地进行100次炮击;每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.8. 抽样检查产品质量时,如果发现次品数多于10个,则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.四、证明题共6分设随机变量的数学期望存在,证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1.由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2.3.相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且,,∴4.5.二、单项选择1. B由即∴选择B.2. B由题设可知,故将标准化得∴选择B.3.C∴选择C.4. C∵随机变量相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布, 则∴选择C.5.A∴选择A.6. A∵由期望的性质知∴选择A.7. D∴选择D.8. B与不相关的充要条件是即则∴选择B.9. C∴选择C.10. AX i i = 1,2,…服从参数为λ的指数分布,则故∴选择A.三、计算与应用题1. 解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有即的联合分布律为2.解1由概率密度的性质有可得2设,则3. 解1即即,2当时故随机变量与不相互独立.4. 解先求的分布函数显然,随机变量的取值不会为负,因此当时,,当时,故的概率密度为5. 解1与相互独立的联合密度为236. 解于是由对称性故.7. 解设表示第次炮击命中目标的炮弹数,由题设,有,则次炮击命中目标的炮弹数,因相互独立,同分布,则由中心极限定理知近似服从正态分布于是8. 解设应检查个产品,其中次品数为,则由题设,这里,可以认为较大,则由棣莫弗—拉普拉斯定理知, 近似服从正态分布依题意,有即亦即查表得故至少应检查个产品,才能达到题设要求.四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质,得。
概率理论应用题
概率理论应用题
随着概率理论在各个领域的应用日益广泛，人们对于概率理论的认识和理解也越来越深入。
在生活中，我们能够发现许多概率理论的具体应用，下面我们就来看一些实际的概率理论应用题。
1. 买彩票中奖概率
假设某个彩票中奖号码是由1至100的数字组成，每次抽奖从中抽取5个数字作为中奖号码。
那么如果小明买了一张彩票，他选定的数字正好和中奖号码一致的概率是多少呢？通过排列组合知识，我们可以计算出小明中奖的概率是1/20000。
2. 赌博输赢概率
在一场赌博中，小张押注100元，如果赢了就能赢得1000元，输了就损失100元。
假设小张每次赌博中奖的概率是0.1，输的概率是0.9。
那么在进行10次赌博之后，小张最终赢钱的概率是多少呢？我们可以通过二项分布来计算，最终得出小张至少赢钱的概率是0.3487。
3. 交通事故发生概率
假设某城市的道路交通事故发生概率是0.05，那么在连续5天内不发生交通事故的概率是多少呢？我们可以通过二项分布来计算，得出在5天内不发生交通事故的概率是0.7738。
4. 疾病检测准确率
某种疾病的检测准确率是0.99，发病率是0.01。
那么如果一个人接受了检测，并且结果显示他患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少呢？我们可以通过贝叶斯定理来计算，得出他真正患有该疾病的概率是0.495。
通过以上几个实际的概率理论应用题，我们可以看到概率理论在现实生活中的广泛应用，帮助我们更好地理解和预测各种事件的发生概率，为我们的决策提供科学依据。
希望大家在日常生活中能够更加重视概率理论的应用，提高我们的分析和决策能力。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论与数理统计习题及答案----第6章习题详解
习题六1•设总体X-N (60, 152),从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】“=60&=15%=100X-UZ = — ~N(0」)a/yjnP (IX-60l> 3) = P (IZI> 30/15) = l-P (IZI< 2)=2| 1-0(2)] = 2(1-0,9772) = 0.0456.2•从正态总体W(, 52)中抽取容量为“的样本，若要求苴样本均值位于区间C)内的概率不小于，则样本容量n至少取多大【解】X-4P(22 <X< 6.2) = P(22~42丽 < Z <'2-4.2庙)=2<1>(0・4皿-1 = 0・95,即力>,所以“至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X-N (1000. (单位：小时)，随机抽取一容量为9的样本.并测得样本均值及样本方差•但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S"=100S试求P ( X > 1062).【解】“刃000/=9, SJ1002S/亦 100/3P(X > 1062) = P(f > 1°62TOQQ)= p(f > 1 86) = 0,05100/34•从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以上，求总体的标准差.【解】Z =兰二£~N(O」)，由P(|XM>4A得<7/V/iP|Z|>4（（7/n ）sCT服从何种分布【解】/ - r （5）,* = zx ： - X\n-5） j-l r-l所以丫2 /qY= ,~F （5 丿-5）X ；/n-5■7•求总体X~N （20. 3）的容量分别为10, 15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的 概率.【解】令X 的容量为10的样本均值，r 为容量为15的样本均值•则X~N （20,310）,一 3—-r-A/（2o,—）.且X 与y 相互独立.1 ^5故所以"亜 5.43.2335•设总体X~N （“，16）, Xv X"Xg 是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S2 为其样本方差，且P （S2>a ）=,求0之值.oZ 【解】^'=77- Io~ r （9）, p （s2 > “）=/* > 纠=0.1.\ 16丿査表得 所以“ = 14S4X 16 = 26」O 5.96•设总体X 服从标准正态分布，Xn X2 X “是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统 讣量G - i ）fx ：Y=— _____ _____• n>5则戸亠屮才討= N(0O5),y _ y那么Z =牛丄~N(0,l),V0?5所以03 \P(ix-yi>o ・3)= p izi>-=I vo3J= 2(1-0.6628) = 0.6744.2 "8.设总体X~N (0, o^)凶…X IO ,...A I 5为总体的一个样本•则 匸 /1 2+X2 J …+Xio 2 服2(X|| + X]2 + …+ X]5 丿 从 ____ Y【解】 J~N(0J).kb2-・,：l5・b所以所以广F 分布，参数为（10,5） •9•设总体X-N （“小，总体仏血"X 斑和Kn Kz ................ 分別来自总体X 和Y的简单随机样本，则«| _ 勺 _E* -元)2+£⑴-叩r-ly-11 小 _ 1 恥 一【解】令SA 百尹-和Ar?-以Fl]___ Ih_则 乞(X 厂X)2 =(q -1)S ：E(丹一亍)2 =("厂i)s ；,<■!7-1= 2(1-0(0.424)]分布,参数为10 / y 那么r=Z ：(y15 / Y \2-r(io)，zr = X —r-U_ 吧 _ £（x 厂 X ）2+£（L ）2J-I;-1⑷一冏〜仙_ U 加=仝些〜才他_ 1), cr<T'那么= b ［E （z ；）+ E （/）］ "1 + 川2 一 22=—-—［（«|-1） + （心 _ 1）］ = b ，"1 + ”2 _ 2 ・— 1 2«10•设总体片N (如产〉，X1，X2,…，Xzn(n>2)是总体X 的一个样本，X =—,令2"(.1y=±（Xf + X”+j -2X ）2,求 EY. j-l【解】令ZG6+X 血，仁1,2严•山•则 ZrW{2p.2a2）（l</<nK 且Z 皿曲相互独立•n 7 « _z=£幺，5-=y （z^-z ）-/«-L11. 本, 解:故 那么所以 Z = 2Xy = f % +心-2乔=亍（乙一Z ）2=（”-i ）s2, J-IJ-I£（r ）= （«-l ）£S -=2（«-l ）<T\ 设总体X 的槪率密度为/何=丄丁卜1 (-oo<x<+co)X ，X2，…，Xn 为总体X 的简单随机样2其样本方差为宁，求E(9). 由题意，得齐口时坊+b 宪)E(S-} = D(X) = E(X-)-E\X)E(X)=匚灯(兀)血= ij2 xeT'Idv = 0£(X^) = J x -/(x)d.v = x^e~^*ldx = x-e~'^(lv = 2,i ； _em12所以 E(S2) = 2・于是。
《概率论与数理统计》模拟试题及答案
模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
初中数学概率与统计的应用题与训练
初中数学概率与统计的应用题与训练在初中数学的学习中，概率与统计是非常重要的一部分内容。
它不仅与我们的日常生活紧密相连，还为我们提供了一种理解和分析数据的方法。
接下来，让我们一起深入探讨概率与统计的应用题，并通过一些训练来提升我们的解题能力。
一、概率应用题概率是指某个事件发生的可能性大小。
在实际生活中，我们常常会遇到各种各样与概率相关的问题。
例 1：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：袋子里一共有 8 个球，其中红球有 5 个，所以取出红球的概率为 5÷8 ＝ 5/8 。
例 2：抛一枚均匀的硬币，连续抛两次，两次都正面朝上的概率是多少？解：抛一次硬币，正面朝上的概率是 1/2 。
连续抛两次，两次都正面朝上的概率是 1/2 × 1/2 ＝ 1/4 。
例 3：在一个不透明的盒子里，装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同。
从盒子中随机摸出一个球，不是红球的概率是多少？解：盒子里一共有 6 个球，不是红球的球有 3 个，所以不是红球的概率是 3÷6 ＝ 1/2 。
通过以上几个例子，我们可以发现，解决概率问题的关键是要明确总的可能性和符合条件的可能性。
二、统计应用题统计主要是对数据的收集、整理、分析和描述。
例 1：某班 40 名学生的数学成绩如下：85，90，78，80，85，92，88，75，86，95，80，88，90，78，85，88，82，80，85，86，88，90，82，85，88，86，85，88，80，85，88，86，85。
请列出这组数据的频数分布表，并绘制频数直方图。
解：首先，对数据进行整理，将成绩从小到大排列。
然后，确定分组，比如可以分为 70 79 分，80 89 分，90 100 分。
接着，统计每个分数段的频数，列出频数分布表。
最后，根据频数分布表绘制频数直方图。
例 2：为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区 10 户家庭的月用水量，结果如下（单位：吨）：6，7，8，7，9，10，7，6，8，9。
概率论例题与详解
例题1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？解 设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯（1）由全概率公式()()()94.01.01.018.042041842041920≈⨯+⨯+⨯=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式85.0)()()()(000≈=B P A P A B P B A P2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解 设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件（1）由全概率公式4.02130********)()()()()(111=⨯+⨯=+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2129173018214995010)()()()()(212121⨯⨯+⨯⨯=+=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有 )()()(12112A P A A P A A P =4856.0)2129173018214995010(25=⨯⨯+⨯⨯= 3.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为163.03.07.03.07.03.054452335≈+⋅+⋅C C（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为353.07.03.07.03.07.0152276177≈⋅+⋅--C C4.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.解：设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙击中飞机，i B 表示有)3,2,1(=i i 个人击中飞机=)(1B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==)(2B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.05.04.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==)(3B P )(321A A A P)()()(321A P A P A P =14.07.05.04.0=⨯⨯=由全概率公式)()()(11B B P B P B P =)()(22B B P B P +)()(33B B P B P +458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯=5.随机地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率. 解：以D 表示半圆220x ax y -<<，由题设，点),y x （应该落在如图的阴影部分G ，G 的面积为（在极坐标系中计算）θθπθθπd r rdr d G S a a ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==40cos 202cos 204021)( θθπd a ⎰=4022cos 22402214)2cos 1(a d a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰πθθπ（或G 的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上41个圆的面积）故πππ12121214)()()(22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==a a D S G S A P 6.设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，证明：B A 、独立⇔1)|()|(=+B A P B A P . 证明：1)|()|(=+B A P B A P ⇔)()|(1)|(B A P B A P B A P =-= ⇔)(1)()()(B P B A P B P AB P -=⇔)()()()()(B A P B P AB P B P AB P =- ⇔)()()]()()[()(A P B P B A P AB P B P AB P =+=⇔B A 、独立7. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i B ={随机地取3件乐器，其中有i 件是音色不纯的}（3,2,1,0=i ）A={这批乐器被接收}30)99.0()(=B A P ，05.0)99.0()(21⋅=B A P ，22)05.0(99.0)(⋅=B A P33)05.0()(=B A P31003960)(C C B P =，3100142961)(C C C B P =，3100241962)(C C C B P =，3100343)(C C B P = 故由全概率公式有8629.0)()()(30==∑=i i i B P B A P A P8.一 猎人用猎枪射击野兔，第一枪距离200米，如果未击中就追到150米处第二次射击，如果仍未击中，再追到100米处第三次射击，此时击中的概率为0.5，如果猎人的命中率始终与距离的平方成反比，求猎人击中野兔的概率。
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn ni ii P X k X k X k P X k ======∏1!ik ni i ek λλ-==∏112!!!nii n k n ek k k λλ=-∑=0,1,i k =，1,2,,,i n = 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.xex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X 的密度为1121,0(,,,)0,.ni i ix nn x i n i ex f x x x eλλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏其它 1,2,,i n = 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L M P X P X NN====于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X NN ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X NN -===⋅-若N →∞时M p N→，则1L p N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=- 012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=- 102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p pp +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率论与数理统计试卷及答案
模拟试题一一、填空题〔每空3分，共45分〕1、P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 那么P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 及B 独立，A 及B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率及B 发生且A 不发生的概率相等，那么A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 那么常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，假设{1}5/9P X ≥=，那么p = ，假设X 及Y 独立，那么Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 及Y 相互独立，那么D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，那么当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，那么θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题〔35分〕1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1〕{|21|2}P X -<；2〕2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3〕(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 及Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、〔11分〕设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论第六章习题解答(全)
1 P{0.3 2 ( X Y ) 2 0.3 2} 1 (0.3 2) (0.3 2) 2 2 (0.3 2) 2 2 (0.42) 2(1 0.6628) 2 0.3372 0.6744
4、 （1） 设 X 1 , X 2 , , X 6 样本是来自总体 N (0,1) ， Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 ) ，
(
1 10 i1 2 2 ) e 2
( xi )2
10
又
X
1 10 1 10 1 10 X i ， E( X ) E( X i ) E( X i ) 10 i 1 10 i 1 10 i 1 1 10 1 D( X ) D( X i ) 2 10 i 1 10
i 1 5 i 1 5 5
1 (1 P{
i 1 5
X i 12 10 12 }) 2 2
5
1 (1 (1)) 1 (1)
i 1 i 1
1 (0.8413)5 1 04215 0.5285
3、求总体 N (20,3) 的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的概率。 解 则 设容量为 10 的样本均值为 X ，样本容量为 15 的样本均值为 Y ，
且
X1 X 2 2 2 2 ， X 3 X 4 X 5 相互独立，于是由 t 分布的定义知 2 X1 X 2 X1 X 2 3 2 t (3) 2 2 2 2 X3 X4 X5 2 ( X X 2 X 2 ) 12 3 4 5 3
因此所求常数为
C
概率论课后习题第6章答案
第六章 数理统计的基本概念1.设样本均值为X ,则由题意,有6,4.1(~2n N X ,或)1,0(~/64.1N nX −,于是由1)3(2/64.34.5/64.3/64.34.1}4.54.1{95.0−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−<−<−=<<≤nn n X nP X P⇒ 975.03(≥Φn ⇒ 96.13≥n⇒5744.34≥n 故样本容量至少应取35. 2.由题意可知)1,0(~/2.0N na X n −,又122/2.01.0/2.0}1.0|{|95.0−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ=⎭⎫⎩⎨⎧<−=<−≤n n n a X P a X P n n 故有 975.0)2(≥Φn ⇒ 96.12≥n⇒ 3664.15≥n 因此至少应等于16.n 3. 由正态分布的性质及样本的独立性知,212X X −和4343X X −均服从正态分布,由于,0)2(21=−X X E 20)(4)()2(2121=+=−X D X D X X D以及,0)43(43=−X X E 100)(16)(9)43(4343=+=−X D X D X X D所以,有)20,0(~221N X X −⇒)1,0(~20221N X X −)100,0(~4343N X X − ⇒)1,0(~104343N X X −于是由分布的定义知,当2χ,201=a 1001=b 时,有 ()())2(~10432024322243221243221χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−+−=X X X X X X b X X a X 4. 由正态分布的性质及样本的独立性知, ⇒ )9,0(~2921N X X X +++")1,0(~)(91921N X X X +++" 又)1,0(~3N Y i, 9,,2,1"=i 所以 )9(~)(913332292221292221χY Y Y Y Y Y +++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛""由于两个总体是X 和Y 相互独立的,所以其相应的样本也是相互独立的,故)9(9121X X X +++"与)(21Y 912922Y Y +++"也相互独立,于是由t 分布的定义知,)9(~9/)(91)(91292191292191t Y Y X X YY X X U +++=++++=""""5.由题意知,)1,0(~2N X i,,故有 15,,2,1"=i )10(~22)(4122102121021χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=X X X X U "" )5(~22)(412215211215211χ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=X X X X V ""利用样本的独立性以及F 分布的定义,有)5,10(~5/10/)(221521121021F V U X X X X Y =++++="" 6.解法1 考虑n n n n X X X X X X 22211,,,+++++",将其视为取自正态总体的简单随机样本,则其样本均值为 )2,2(2σμN X X n X X n ni i n i i n i 21)(1211==+∑∑==+样本方差为 Y n 11−由于2211σ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Y n E ,所以 22)1(2)2)(1()(σσ−=−=n n Y E 解法2 记,11∑==′n i i X n X ,11∑=+=′ni i n X n X 显然有X X X ′′+′=2，因此[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧′′−+′−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=∑∑=+=+n i i n i n i i n i X X X X E X X X E Y E 1212)()()2()( []⎭⎬⎫⎩⎨⎧′′−+′′−′−+′−=∑=++n i i n i n i i X X X X X X X X E 122)())((2)(222)1(2)1(0)1(σσσ−=−++−=n n n 7.记（未知），易见2)(σ=X D )()(21Y E Y E =， ,6/)(21σ=Y D 3/)(22σ=Y D 由于相互独立，故有21,Y Y ,0)(21=−Y Y E 236)(22221σσσ=+=−Y Y D从而 )1,0(~2/21N Y Y U σ−=，又 )2(~22222χσχS =由于与相互独立,与独立,由定理 6.3.2,与独立,所以1Y 2Y 1Y 2S 2Y 2S 21Y Y −与独立,于是由t 分布的定义,知 2S )2(~2/)(2221t USY Y Z χ=−=8.由)1(~)1(222−−n S n χσ,其中由题意知,25=n , ,于是1002=σ}12)125({)1(50)1(}50{22222>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−>−=>χσσP n S n P S P975.0}12)24({2≥>=χP 上式中的不等式是查表得到的,所以所求的概率至少为0.9759. 本题要用到这样一个结论,即Γ分布),(βαΓ关于第一个参数具有可加性,即若),(~1βαΓU ,),(~2βαΓV ,且U 与V 相互独立,则),(~21βαα+Γ+V U ,其中),(βαΓ的概率密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=)(x f αβ>其它0,x βΓ−)(1/1e x α−0x α可利用卷积公式证明.回到本题,当λβα11＝，＝,分布就是参数为Γλ的指数分布,所以样本的独立性及Γ分布的可加性,有 )1,(~21λn X +X X n Γ++"即的概率密度为 ∑=ni i X 1⎪⎩⎪⎨⎧>−=−−其它00,)!1()(1x e x n x g x n nλλ 因此∑==ni i X n X 11的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−==−−0,00,)!1()()()(1y y e y n n ny ng y h ny n n λλ 10. (1) 根据正态分布的性质,与21X X +21X X −服从二维正态分布,所以要证明它们相互独立,只需它们不相关,由于0)()()])([(22212121=−=−+X E X E X X X X E 0)()(2121=−+X X E X X E 所以 0),(2121=−+X X X X Cov 即与相互独立21X X +21X X −(2) 由于0=μ,所以)2,0(~221σN X X +⇒)1,0(~221N X X σ+ ⇒)1(~212221χσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+X X⇒)2,0(~221σN X X −)1,0(~221N X X σ− ⇒)1(~212221χσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−X X由上面证明的独立性，再由F 分布的定义知)1,1(~2/2/)()(21221221221F X X X X X X X X F ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−+=σσ 所以 25.0}83.5{}4{4)()(221221=<<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−+F P F P X X X X P。
概率论在实际生活中的应用及概率综合练习题
Yibin University本科生毕业论文题目概率论在实际生活中的应用系别数学学院专业数学教育学生姓名学号年级指导教师职称教务处制表20 年6月3日概率论在实际生活中的应用摘要概率论是从数量上研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象进行演绎和归纳的科学。
本文介绍了概率统计的某些知识在实际问题中的应用,主要围绕古典概型，几何概型，全概率公式等相关知识，探讨概率统计知识在工业，保险行业，股票，体育等方面的广泛应用,进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系。
关键字概率论；随机事件；生活；应用正文概率论是一门相当有趣的数学分支学科，随着科学技术的发展与计算机的普及，它已广泛地应用于各行各业，成为研究自然科学，社会现象，处理工程和公共事业的有力工具。
目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域.本文就概率论与数理统计的方法与思想，在日常生活中的应用展开一些讨论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.1常见的重要概念的应用1.1 古典概型在实际问题中的应用古典概率通常又叫等可能概率，是指随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数，都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种发生结果的概率。
它是概率里最早的一种最简单的概率模型，也是应用最广泛的概率。
许多实际问题,都可以将其转化为古典概率加以解决。
古典概率的计算公式：如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；例1[1]：将15名新生（其中有3名优秀生）随机地分配到三个班级中，其中一班4名，二班5名，三班6名，求：(1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率;(2）3名优秀生被分配到一个年级的概率.解：15名新生分别分配给一班4名，二班5名，三班6名的分法有：（1）先将3名优秀学生分配给三个班级各一名，共有种分法，再将剩余的12名新生分配给一班3名，二班4名，三班5名，共有种分法.根据乘法法则，每个班级分配到一名优秀生的分法有种，所以其对应概率为：(2)用表示事件“3名优秀生全部分配到班”中所含基本事件个数中所含基本事件个数中所含基本事件个数由前面的分析知，所以因为互不相容，所以3名优秀生被分配到同一班级中的概率为:类似的利用古典概率求解的问题还有很多，比如博彩，产品抽样调查等。
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概率论应用题
1%
P 173T 13（10分）设某一设备装有3个不同的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间服从参数为λ的指数分布.当3个元件都正常工作时，设备才正常工作.试求设备正常工作时间T 的概率分布.
解：i i i T T ,""有个元件正常工作第设=)(λExp 服从指数分布可得分布函数为：
3,2,10
,00,1)(=⎩⎨⎧≤>-=-i t t e t F t i λ （2分）
则设备正常工作时间}{
3,2,1min T T T T =，分布函数为： （1分） }{()t T T T T p t F ≤==3,2,1min )(
}{()t T T T T p >=-=3,2,1min 1
)()()(1321t T p t T p t T p >>>-=
)](1)][(1)][(1[1321t F t F t F ----= （3分） 0)(.0=≤t F t 时当 （1分） 当t t e e t F t λλ331)(1)(,0---=-=>时 （1分） 故设备正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布)3(λExp 密度函数为：
⎩⎨⎧<>==-0,00,3)()(3'
t t e t F t p t λλ （2分）
2%
P 120T 10（10分）某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台可盈利100元，而调换一台设备需要花费300元.试求每台设备的平均利润. 解：41
)(==λX E X 服从指数分布，且 （2分）
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=∴-0,00,41)(4x x e x p X x 的密度函数为 （3分）
设""每台设备的利润
=Y
200300100Y 1-=-=≤时，当X （1分） 100Y 1=>时，当X （1分） 故平均利润：)1(100)1(200)(>+≤-=X p X p Y E
20030041100412004114104-=+-=-∞+--⎰⎰e dx e dx e x x （3分）
3%
P 85T 9（12分）某人用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股，假设一年后该股票等可能的为1元 /股和4元/股.而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年后购买，试问理财顾问的建议是否正确？为什么？
解：设X 表示一年后该股票的价格，X 的所有可能取值为1，4. （2分)
若现在就购买所拥有的股票5000股，一年后股票市值为X 5000. （2分) 若一年后购买股票所拥有的股票数量为X
10000股，股票市值为10000元 （2分) 1000012500450005.0150005.0)5000(>=⨯⨯+⨯⨯=X E （2分) ∴现在就购买，则一年后所拥有的股票市值的数量期望达到最大。
（1分) 又500062504
100005.01100005.0)10000(>=⨯+⨯=X E （2分) 因此一年后购买股票，则所拥有的股票数量的数学期望达到最大。
（1分) 故建议合理。
4%
P 83例2.2.7（15分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从)500,300(上的均匀分布.每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）.问该公司该组织多少货源，可使平均收益最大？
解：设该公司组织该货源a 吨.则显然应该有500300≤≤a . （1分） 又记Y 为在a 吨货源的条件下的收益额（单位：千元），则收益额Y 为需求量X 的函数，即)(x g Y =.由题设条件知 （1分） 吨货源全部售出时，则此当a a ≥X ，共获利a 5.1. （2分） ）），（吨积压（获利，且还有获利吨时，则售出当X -a 5.0-X -a )X 5.1(X X a < 所以共获利)(5.05.1X a X --，由此知 （2分）
⎩⎨⎧<--≥=a
X X a X a X a X g ， ),(5.05.1,5.1)(
⎩⎨⎧<-≥=a
X a X a X a ,5.02,5.1 （3分） 故dx x g dx x p x g Y E X 200
1)()()()(500300⎰⎰+∞∞-== ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎰⎰500300)5.02(5.12001a a dx a x adx ()
223009002001-+-=a a （4分） 通过求极值可得：吨时当450=a ，能使)(Y E 达到最大，即公司应该组织货源450（2分）
5%
P 174例3.4.1（10分）在长为a 的线段上任取两个点X 和Y ,求此两点间的平均长度. 解：上的均匀分布都服从与),0(a Y X
且X 与Y 相互独立
),(Y X ∴的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<= 其他
,00,0,1),(2
a y a x a y x p （4分） 则两点间的平均长度为:
()dxdy a y
x Y X E a a ⎰⎰
-=-0201 （2分） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰⎰⎰a x a x a dydx x y dydx y x a )()(10002 3)2(102
22a dx a ax x a a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎰ （3分） 故两点间的平均长度为
3a （1分）。