概率论应用题6

概率论应用题

1%

P 173T 13（10分）设某一设备装有3个不同的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间服从参数为λ的指数分布.当3个元件都正常工作时，设备才正常工作.试求设备正常工作时间T 的概率分布.

解：i i i T T ,""有个元件正常工作第设=)(λExp 服从指数分布可得分布函数为：

3,2,10

,00,1)(=⎩⎨⎧≤>-=-i t t e t F t i λ （2分）

则设备正常工作时间}{

3,2,1min T T T T =，分布函数为： （1分） }{()t T T T T p t F ≤==3,2,1min )(

}{()t T T T T p >=-=3,2,1min 1

)()()(1321t T p t T p t T p >>>-=

)](1)][(1)][(1[1321t F t F t F ----= （3分） 0)(.0=≤t F t 时当 （1分） 当t t e e t F t λλ331)(1)(,0---=-=>时 （1分） 故设备正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布)3(λExp 密度函数为：

⎩⎨⎧<>==-0,00,3)()(3'

t t e t F t p t λλ （2分）

2%

P 120T 10（10分）某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台可盈利100元，而调换一台设备需要花费300元.试求每台设备的平均利润. 解：41

)(==λX E X 服从指数分布，且 （2分）

⎪⎩

⎪⎨⎧<≥=∴-0,00,41)(4x x e x p X x 的密度函数为 （3分）

设""每台设备的利润

=Y

200300100Y 1-=-=≤时，当X （1分） 100Y 1=>时，当X （1分） 故平均利润：)1(100)1(200)(>+≤-=X p X p Y E

20030041100412004114104-=+-=-∞+--⎰⎰e dx e dx e x x （3分）

3%

P 85T 9（12分）某人用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股，假设一年后该股票等可能的为1元 /股和4元/股.而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年后购买，试问理财顾问的建议是否正确？为什么？

解：设X 表示一年后该股票的价格，X 的所有可能取值为1，4. （2分)

若现在就购买所拥有的股票5000股，一年后股票市值为X 5000. （2分) 若一年后购买股票所拥有的股票数量为X

10000股，股票市值为10000元 （2分) 1000012500450005.0150005.0)5000(>=⨯⨯+⨯⨯=X E （2分) ∴现在就购买，则一年后所拥有的股票市值的数量期望达到最大。 （1分) 又500062504

100005.01100005.0)10000(>=⨯+⨯=X E （2分) 因此一年后购买股票，则所拥有的股票数量的数学期望达到最大。 （1分) 故建议合理。

4%

P 83例2.2.7（15分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从)500,300(上的均匀分布.每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）.问该公司该组织多少货源，可使平均收益最大？

解：设该公司组织该货源a 吨.则显然应该有500300≤≤a . （1分） 又记Y 为在a 吨货源的条件下的收益额（单位：千元），则收益额Y 为需求量X 的函数，即)(x g Y =.由题设条件知 （1分） 吨货源全部售出时，则此当a a ≥X ，共获利a 5.1. （2分） ）），（吨积压（获利，且还有获利吨时，则售出当X -a 5.0-X -a )X 5.1(X X a < 所以共获利)(5.05.1X a X --，由此知 （2分）

⎩⎨⎧<--≥=a

X X a X a X a X g ， ),(5.05.1,5.1)(

⎩⎨⎧<-≥=a

X a X a X a ,5.02,5.1 （3分） 故dx x g dx x p x g Y E X 200

1)()()()(500300⎰⎰+∞∞-== ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=⎰⎰500300)5.02(5.12001a a dx a x adx ()

223009002001-+-=a a （4分） 通过求极值可得：吨时当450=a ，能使)(Y E 达到最大，即公司应该组织货源450（2分）

5%

P 174例3.4.1（10分）在长为a 的线段上任取两个点X 和Y ,求此两点间的平均长度. 解：上的均匀分布都服从与),0(a Y X

且X 与Y 相互独立

),(Y X ∴的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<= 其他

,00,0,1),(2

a y a x a y x p （4分） 则两点间的平均长度为:

()dxdy a y

x Y X E a a ⎰⎰

-=-0201 （2分） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰⎰⎰a x a x a dydx x y dydx y x a )()(10002 3)2(102

22a dx a ax x a a =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎰ （3分） 故两点间的平均长度为

3a （1分）