空间向量及其线性运算
【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算1.空间向量及其线性运算【知识点的认识】1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.f f2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I, II特别地：f①规定长度为0的向量为零向量，记作0;②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.ff4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为. _5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.6.注意：f①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.1.加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.BA = OA - OB = a - b2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.(1)交换律：+3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1 .空间向量的数乘运算④|入|=|入|・加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则 一 的长度是 的长度的|入|倍.(2)结合律：(+ ) ++( + )•1 2 +2 3 + 3 4 +一 + 一1=0.实数入与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算. ①当入 >0时 一与的方向相同;②当入<0时 一与的方向相反; ③当入=0时 一 0.空间向量的数乘满足分配律及结合律.一②(入+P )=+一一 (2)结合律：()=( )A<0(1)分配律:一 一 ①（+ ）= + 注意：实数和空间向量可 行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算.。
111空间向量及其线性运算课件-2023高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
第一章 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算
1.1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算[学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．(重点)导语你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？一、空间向量的有关概念问题1平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？提示平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致．知识梳理1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量用字母a ，b ，c ，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)空间向量不能比较大小．(4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)．例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同答案D解析A 中，单位向量长度相等，方向不确定；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量不能比较大小．(2)(多选)下列命题为真命题的是()A ．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bB ．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→C ．若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析A 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A 中向量a 与b 的方向不一定相同；B 为真命题，AC →与A 1C 1—→的方向相同，模也相等，故AC →＝A 1C 1—→；C 为真命题，向量的相等满足传递性；D 为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1(多选)下列说法错误的是()A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等答案BCD解析对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．二、空间向量的加减运算问题2空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．(3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n A 1—→＝0.例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是()A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→答案AB解析A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→；B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.(2)对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，其中一定不成立的是()A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－AC →＝BC →C ．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|D ．|AB →|－|AC →|＝|BC →|答案B解析根据空间向量的加减法运算，对于A ，AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于C ，当AB →，BC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于D ，当AB →，AC →方向相同且|AB →|≥|AC →|时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|；对于B ，由向量减法可知AB →－AC →＝CB →，又BC →为非零向量，所以B 一定不成立．反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →；(2)AB →－DG →－CE →.解(1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)如图，连接GF ，GF →＝12BC →，AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.三、空间向量的数乘运算知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0λa 与向量a 的方向相反λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa )＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度．(3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3(1)(多选)已知m ，n 是实数，a ，b 是空间任意向量，下列命题正确的是()A ．m (a －b )＝m a －m bB ．(m －n )a ＝m a －n aC ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n 答案AB解析m (a －b )＝m a －m b ，A 对；(m －n )a ＝m a －n a ，B 对；若m ＝0，则a ，b 不一定相等，C 错；若a ＝0，则m ，n 不一定相等，D 错．(2)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →；②A 1N —→；③MP →.解①∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1—→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .②∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC→＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .③∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝121A —→＋AP→＝－12a ＋12b ＋＝12a ＋12b ＋c .延伸探究1．本例(2)的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →.解因为P ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1—→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1—→)－12AD a ＋12b －12c .2．若把本例(2)中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是棱BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)CB →＋BA 1—→；(2)AC →＋CB →＋12AA 1—→；(3)12AA 1—→－12B 1B —→－AC →－CB →.解(1)CB →＋BA 1—→＝CA 1—→.(2)∵M 是BB 1的中点，∴BM →＝12BB 1—→，又AA 1→＝BB 1—→，∴AC →＋CB →＋12AA 1—→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)12AA 1—→－12B 1B —→－AC →－CB →＝12(AA 1—→＋BB 1—→)－(AC →＋CB →)＝AA 1—→－AB →＝BA 1—→.1．知识清单：(1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是()A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是()A.PM →B.NP →C ．0D.MN→答案C解析PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是()A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形答案A解析∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形．4．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，点P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，若OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →，则x ＝________，y ＝________.答案－12－12解析由图可知，因为OQ →＝PQ →－PO→＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是()A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案D解析向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反．2．下列说法中正确的是()A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案C解析对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误；对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D 错误．3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于()A.32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG→答案B解析MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c 答案C解析A 1B —→＝AB →－AA 1—→＝(CB →－CA →)－AA 1—→，∵AA 1—→＝CC 1—→＝c ，∴A 1B —→＝b －a －c .5.在空间四边形OABC 中，若E ，F 分别是AB ，BC 的中点，H 是EF 上的点，且EH →＝13EF →，记OH →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )等于()，12，，16，，16，，13，答案A解析连接OE ，OF (图略)，因为EH →＝13EF →，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以OH →＝OE →＋EH→＝OE →＋13EF →＝OE →＋13(OF →－OE →)＝23OE →＋13OF →＝23×12(OA →＋OB →)＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋12OB→＋16OC →，故(x ，y ，z )，12，6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列选项中正确的有()A.AB →－CB →＝AC→B.AC ′—→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→C.AA ′—→＝CC ′—→D.AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′—→答案ABC解析作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC ′—→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________.答案AD→解析AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________.答案－a －b ＋12c解析∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →，又∵M 是AA 1的中点，∴AM →＝12AA 1—→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1—→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为5的所有向量；(3)试写出AA 1—→的所有相反向量．解(1)由题意知，AA 1＝1，所以向量AA 1—→，A 1A —→，BB 1—→，B 1B —→，CC 1—→，C 1C —→，DD 1—→，D 1D —→，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)易知A 1D ＝AA 21＋AD 2＝5，所以模为5的向量有AD 1—→，D 1A —→，C 1B —→，BC 1—→，B 1C —→，CB 1—→，A 1D —→，DA 1—→.(3)根据相反向量的定义，可得向量AA 1—→的所有相反向量为A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→.10.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解∵AE →＝AB →＋BC →＋CE→＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC→＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32→，又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于()A.DB →B.AB →C.AC→ D.BA→答案D 解析方法一DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.方法二DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于()A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′—→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′—→C.12AB →＋16AD →＋23AA ′—→D.12AB →－16AD →＋13AA ′—→答案C解析因为BM ＝2MC ′，所以BM →＝23BC ′—→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′—→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′—→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′—→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′—→.13.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝____________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.14.如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案12a ＋14b ＋14c 解析在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB→＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c .15．(多选)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列选项正确的为()A.AP →＝12(a ＋b ＋c )B.AP →＝12(a ＋2b ＋c )C.AQ →＝12a ＋b ＋cD ．AQ ＝15a ＋15b ＋45c答案AD解析因为P 是CA 1的中点，所以AP →＝12(AA 1—→＋AC →)＝12(AA 1—→＋AB →＋AD →)＝12(a ＋b ＋c )，故A正确，B 错误；因为点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，所以AQ →＝AA 1—→＋A 1Q —→＝AA 1—→＋15A 1C —→＝AA 1—→＋15(AC →－AA 1—→)＝15AC →＋45AA 1—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA 1—→＝15a ＋15b ＋45c ，故C 错误，D 正确．16．在平面四边形ABCD 中，E ，F 分AB →，DC →所成的比为λ，即AE EB ＝DF FC ＝λ，则有EF →＝11＋λAD→＋λ1＋λBC →.(1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD 类似的命题，并加以证明；(2)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，E ，F 分别为AB ，A 1C 的中点，利用上述(1)的结论表示EF →.解(1)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分AB →，DC →所成的比为λ，即AE EB ＝DF FC ＝λ，则有EF →＝11＋λAD →＋λ1＋λBC →.证明如下：EF →＝EB →＋BC →＋CF →＝11＋λAB →＋BC →＋11＋λCD →＝11＋λ(AD →＋DB →)＋BC →＋11＋λ(CB →＋BD →)＝11＋λAD→＋11＋λDB →＋BC →＋11＋λCB →＋11＋λBD →＝11＋λAD →＋λ1＋λBC →.(2)由(1)的结论可得EF →＝11＋1CB →＋11＋1A 1A —→＝12CB →＋12A 1A —→.。
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
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三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
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六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
空间向量及其线性运算
称为直线 l 的 05 __方__向__向__量____
(2)共面向量
定义
06 ___平__行__于__同__一__个__平__面__的__向__量___，叫做共面向量
充要 条件
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充 要条件是 07 _存__在__唯__一__的__有__序__实__数__对__(_x_，__y_)，__使___p_＝__x_a_＋__y_b___
章头图展示的是一个做滑翔伞
运动的场景，可以想象在滑翔过程
中，飞行员会受到来自不同方向大
资料
小各异的力，用图示法表示这些力
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(1)定义
01 ____在___空__间__，___我__们__把___具__有__大___小__和__方__向___的__量____叫做空间向量．
(2)长度
02 ___空__间___向__量__的___大__小____叫做空间向量的长度或 03模___.
（﹡）代入 k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH
所以 E、F、G、H共面。
小结
1、空间向量的定义及表示方法 2、特殊的向量 3、向量的加减法 4、向量的数乘运算 5、共线向量与共面向量
作业
课本P9 复习巩固1、2
学习新知
知识点二 空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： 01 __a_＋_b__＝O→A＋A→B＝O→B； 02 _a_－_b___＝O→A－O→C＝C→A. (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝ 03 _b_＋__a__； ②结合律：a＋(b＋c)＝ 04 ____(_a＋__b_)_＋__c________.
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
空间向量的线性运算及距离计算
空间向量的线性运算及距离计算在数学和物理学中，向量是一种用来表示大小和方向的量，而空间向量则是指在三维空间中的向量。
空间向量的线性运算和距离计算是研究空间向量的重要内容。
一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括向量的加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，它们的加法可以表示为：c = a + b。
在三维空间中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到结果。
例如，如果a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的和c = (c1, c2, c3)可以表示为：c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，它们的减法可以表示为：c = a - b。
在三维空间中，向量的减法可以通过将被减向量的对应分量从减向量的对应分量中减去得到结果。
例如，如果a =(a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的差c = (c1, c2, c3)可以表示为：c1 = a1 - b1，c2 = a2 - b2，c3 = a3 - b3。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有一个向量a和一个实数k，它们的数乘可以表示为：b = k * a。
在三维空间中，向量的数乘可以通过将向量的每个分量乘以实数得到结果。
例如，如果a = (a1, a2, a3)和k为实数，则它们的数乘b = (b1, b2, b3)可以表示为：b1 = k * a1，b2 = k * a2，b3 = k *a3。
二、空间向量的距离计算空间向量的距离计算是指计算两个向量之间的距离。
在三维空间中，向量的距离可以通过欧氏距离公式来计算。
设有两个向量a和b，它们的距离可以表示为：d = √((a1 - b1)² + (a2 - b2)² + (a3 - b3)²)。
第01讲空间向量及其线性运算
2023暑假新高二第01讲空间向量及其线性运算2023.08【知识梳理】知识点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：AB 或a。
（要注意印刷体用a ，而手写体为a，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a 3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0 。
规定：0与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =.相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：①当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．知识点二、空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．运算律交换律：a b b a+=+ 结合律：()()a b c a b c ++=++要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n nA A A A A A A A A A -++++= 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；知识点三、空间向量的数乘运算1.定义：实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＞0时，λa 与a 方向相反；当λ=0时，λa=0．λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．如右图所示．2．运算律．分配律：λ(a+b)=λa+λb ；结合律：λ(μa)=(λμ)a ．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积λa （λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，λa=0；当λ≠0时．若a≠0时，有λa≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义．知识点四、共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b ．注意：0与任意向量是共线向量．2．共线向量定理．空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a // 的充要条件是存在实数λ，使b aλ=．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：注意:b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．3.共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的一个重要概念，它具有方向和大小。
在现实生活和科学研究中，我们常常需要对空间向量进行各种数学操作和运算。
本文将介绍空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及与数的乘法。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的加法运算可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的减法运算可以表示为：A -B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个标量k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与标量k的数量乘法运算可以表示为：kA = (kAx, kAy, kAz)4. 向量与数的乘法向量与数的乘法是指将一个向量的每个分量都与一个相同的数相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个数k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与数k的乘法运算可以表示为：A * k = (Ax * k, Ay * k, Az * k)空间向量的线性运算具有以下几个重要性质：1. 加法交换律对于任意的向量A和B，有A + B = B + A。
2. 加法结合律对于任意的向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 减法与加法的关系向量减法可以看作是加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B取相反数得到的向量。
4. 标量乘法分配律对于任意的向量A和标量k、m，有k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA。
1 1.1.1 空间向量及其线性运算
知识点二 空
→ OB
＝____O→_A__＋__A_→_B____
＝a＋b
减法
→ CA
＝___O→_A__－__O_→_C____
＝a－b
几何形式
运算律 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： a＋(b＋c)＝(a＋ b)＋c
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名称 数乘
代数形式
当 λ>0 时，λa＝
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段_________ 表示． (3)表示法： ②字母表示法：用字母表示，若向量a的 起 作点 __是 _A→_BA__，__终，点其是模B记，为则_向_|a_量|__a_也__可或以__记|_A→_B_|___．
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(4)几类特殊向量 特殊向量 零向量 单位向量
→ λOA
＝P→Q
；
当 λ<0 时，λa＝
→ λOA
＝M→N
；
当 λ＝0 时，λa＝0
几何形式
运算律
结合律： λ(μa)＝(λμ)a； 分配律： (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a ＋b)＝λa＋λb
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如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1 ＝
a，A→B ＝b，A→D ＝c，N，P 分别是 BC，C1D1 的中点，试
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共线(平行)向量
充要 条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0 )，
a∥b的充要条件是存在实数λ，使 __a_＝__λ_b_____
共面向量
如果两个向量a，b不共 线，那么向量p与向量a，
b共面的充要条件是存在 唯一的有序实数对(x，y)， 使__p_＝__x_a_＋__y_b_
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1.1.1空间向量及其线性运算
C
p
P
b
A aB
3.空间四点P、A、B、C共面 存在唯一实数对（x , y）, 使得AP x AB y AC
OP xOA yOB zOC(其中，x y z 1)
C'
C
p
P
b
A aB
O
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 a、b满足| a || b |，则 a b ；
长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同 一平面内？为什么？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向O量′ 都可以平移到同一个平面内，
内，成为同一平面内的两个向量。
说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们。
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC A1C1 ；
（4）若空间向量 m、n、p 满足m n, n p ，则 m p ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ C 4
例2 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：
O DC
⑴四点E、F、G、H共面； A
B
⑵平面EG//平面AC.
H
G
E
F
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
定理 a // b(a 0)
课件 1.1.1空间向量及其线性运算-高中数学选择性必修1(新教材同步课件)
D A
C B
解：（1）AA1 A1B1 = AB1 （2）AA1 A1M MB1 = AA1 A1M MD1 AD1 （3）AA1 A1B1 A1D1 AA1 A1C1 AC1 （4）AB BC CC1 C1A1 A1A 0
课堂小结
应用探究
【例】如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达
式，并在图中标出化简结果的向量. （1）AA'－CB （2）AA'＋AB＋B' C'
D' A'
D
C'
B' C
A
B
解：（1） AA'－CB＝AA'－DA＝AA'＋AD＝AD' （2）AA'＋AB＋B' C'＝( AA'＋AB)＋B' C'＝AB'＋B' C'＝AC'
应用探究
【例】给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 AC ＝ A1C1 ；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意
两个单位向量必相等．其中不正确的个数是（ C ）
知识海洋
（3）实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量， 称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝__|λ_||_a_| . ② 当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 __相__反__；当λ＝0时，λa＝0. （4）空间向量数乘运算满足以下运算律： ① λ(μa)＝__(λ_μ_)_a_； ② λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b_； ③ (λ1＋λ2)a＝_λ_1_a_＋__λ_2_a_（拓展）.
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a＋
13b＋
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ＜0)
PN
λa(λ＞0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
平面向量
空间向量
交换律
a＋b=b＋a
a＋b=b＋a
结合律 分配律
(a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， (a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形 法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结
高中数学选择性必修一课件：1.1.1空间向量及其线性运算
A．1
B．2
C．3
D．4
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
素养点睛：考查数学抽象的核心素养． 【答案】C
【解析】两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故① 不正确；若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则不一定能判断出 a＝b，故②不 正确；在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1成立，故③正确； ④显然正确；空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一 定相等，故⑤错误．
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 __互__相__平__行__或__重__合____，那么这些向量叫做共__线__向__量__或平 行向量
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【预习自测】
【预习自测】 思维辨析(对的画“√”，错的画“×”) (1)向量A→B与B→A的长度相等． (2)【不答相案】等(1)的√ 两(2个 )× 空间向量的模必不相等．
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
2．下列命题是真命题的是______(填序号)． ①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个 向量一定不相等； ②若|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝|b|； ③若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向则A→B>C→D.
给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别
相同；②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；③在正方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p， 则 m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是
1 空间向量及其线性运算 (解析版)
→
=
1 2
→
=
1 2
→，
6
、
→
∴
=
→
−
→
=
1 2
→−
1 2
→−
1 2
→
=
12（→
−
→−
→
）．故选：D．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查了数形结合，属于基础题．
【变式 3-1】（2021 春•成都期中）如图，在三棱锥 S﹣ABC 中，点 E，F 分别是 SA，BC 的中点，点 G 在
1
→ →→ →→ →
→
→
→
→
+ 1 = 1，故答案为： 1，
【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．
【变式 2-3】在四棱柱 ABCD﹣A'B'C'D'中，底面 ABCD 为矩形，化简下列各式．
→
→
→
→
→
（1） + ' − ' ' + ' − ．
→
→
→
→
（2） ' − + − '．
5
、
【分析】（1）利用向量三角形法则、向量相等即可得出．
→
棱 EF 上，且满足
=
，若 2
=，
=，
= ，则
=（
）
1→ 1→ 1→
1→ 1→ 1→
A． 3
−2
+6
B． 3
+6
+6
1→ 1→ 1→
1→ 1→ 1→
C． 6
−3
+2
D． 3
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空间向量及其线性运算目标认知学习目标：1．了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。
2．掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件.3．掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.重点：空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件.难点：空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件.学习策略：把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。
知识要点梳理知识点一：空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
注意：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。
单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
两个规定：（1）与任意向量平行；（2）与任意向量垂直。
注意：①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．4.两个向量的夹角已知两非零向量，在空间任取一点O，作向量，，则叫做与的夹角，记作。
规定：当或时，向量与平行，记作当时，向量与垂直，记作知识点二：空间向量的加减法因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。
（1）空间向量的加减法运算①如图,若，则=②如图，若则（指向被减向量），（2）空间向量的加法运算律：加法交换律：加法结合律：注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．知识点三：空间向量的数乘（1）实数与空间向量的积的定义：实数与向量的积是一个向量，记为，模和方向规定如下：当时，与向量的方向相同当时，当时，与向量的方向相反（2）实数与空间向量的积的运算律：设为实数，则有结合律：第一分配律：第二分配律：（3）共线向量定理和共面向量定理共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与、共面的充要条件是有且只有一对实数、使知识点四：空间向量的数量积（1）数量积定义已知空间两向量，则叫做的数量积，记作，即．注意：空间两向量的数量积是一个实数，实数与空间向量的积是一个向量。
（2）空间向量数量积的运算律①（交换律）；②（分配律）；③（3）空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则①；②；③或；④；⑤规律方法指导1．空间向量的加法与减法如何进行运算？空间向量中两个向量的加、减可以直接用三角形法则或平行四边形法则解决。
而多个向量的加减运算，通常可以利用三角形法则进行推广，在解决立体几何问题时，其中的某个向量经常多次使用三角形法则的方法用其他向量来表示，首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形，那么和向量为零向量。
2．共线向量定理的用途是什么？①判定两条直线平行；②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。
证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
3．如何利用向量知识求线段的长度？将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。
一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。
选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的、已知的或可以求出的。
具体求模时，可分为两种不同情况：（1）不建坐标系，直接进行向量运算；（2）建立坐标系，用距离公式求线段长度。
4．如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到，具体计算时可以用基向量表示，也可以用坐标运算进行。
但在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角经典例题精析类型一：空间向量的线性运算1、已知在平行六面体中，设，，，试用向量、、来表示向量、。
思路点拨：要想用、、表示所给向量，只需结合图形，充分运用空间向量加法运算即可。
解析：在平行六面体中，四边形ABCD是平行四边形，。
又因为四边形为平行四边形，∴。
总结升华：运用已知向量表示其他向量时，应充分运用向量加法、减法的三角形法则，平行四边形法则以及向量加法的交换律、结合律等，运用数形结合的数学思想解题。
举一反三：【变式1】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【变式2】如图，设四面体ABCD的三条棱，，，Q为△BCD 的重心，M为BC的中点，试用、、表示向量、。
【答案】∵M为BC的中点，∴。
【变式3】如图，平行六面体A1B1C1D1—ABCD，M分成的比为，N分成的比为2，设，，，试用、、表示。
【答案】如图，连结AN，则。
∵ABCD是平行四边形，∴，。
又∵N分成的比为2，∴。
∴。
2、如图，已知长方体，化简下列向量表达式：（1）；（2）。
思路点拨：化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。
解析：（1）；（2）。
总结升华：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。
表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。
举一反三：【变式1】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。
（1）；（2）；（3）；（4）。
【变式2】已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B；3、已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：（1）；（2）。
思路点拨：根据向量运算法则，用向量、、表示和，然后利用向量相等来确定x、y、z的值。
解析：（1）∵，又∵，∴x=1，y=－1，z=1。
（2）∵，又∵，∴，，。
举一反三：【变式】已知是平行六面体。
（1）化简，并在图中标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分点，设，试求、、的值。
【答案】（1）如图所示取的中点为E，则取F为的一个三等分点，则又，，∴。
（表示法不唯一）（2）∴，，。
4．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.思路点拨：先在ΔOBC中考虑中线OD,然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用表示即可.证明：如图所示，∵G是ΔABC的重心∴，D为BC的中点∴总结升华：(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；(2)此类例题常用到结论：若OD是ΔOBC的中线，则有举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：。
证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴，，，∴又由于，，∴∴。
【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：。
证明：①②①+②得。
∴。
类型二：共线向量定理的应用5、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。
（1）用向量法证明BD∥平面EFGH；（2）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有。
思路点拨：为了证明BD∥平面EFGH，只需要证明与平面EFGH内的一个向量共线即可。
要证第（2）问，应充分利用共线向量定理和向量的平行四边形法则和三角形法则。
证明：（1）∵∴EH∥BD又EH平面EFGH，BD平面EFGH，∴BD∥平面EFGH。
（2）连结OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG，由（1）知，同理可证，∴，∴∴EG、FH交于一点M，且被M平分。
∴即。
总结升华：用共线向量定理和向量的运算法及向量知识判定三点共线、直线和直线平行，直线和平面平行，平面和平面平行等，丰富了解题思路、方法，开阔了视野。
举一反三：【变式1】设、是平面上不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值。
解析：由共线的向量定理列出关系式。
∵，。
又∵A、B、D三点共线，由共线向量定理，得，∴。
【变式2】V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，，，。
求证：V A∥平面PMN。
证明：设，，，则。
由题意，知，。
∴。
∴∥平面PMN。
又∵V A平面PMN，∴V A∥平面PMN。
【变式3】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。
求证：平面EFG∥平面AB1C。
解析：用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行。
证明：设，，，则，∴，∴，∴EG∥AC又∵，∴∴，EF∥B1C。
又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，∴平面EFG∥平面AB1C。
类型三：空间向量的数量积的计算6、已知，，，求的值。
解析：。
∴。
举一反三：【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（）A．B．5 C．6 D．【答案】A∴。
【变式2】设，，，且，，，则向量的模是________。
【答案】∵，∴。
【变式3】已知：, ，试计算。
【答案】由,可得∵，∴。
类型四：利用空间向量的数量积求线段的长度7、在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。