清华大学材料力学范钦珊主讲 第五章 应力状态分析

应力状态的概念及其描述
2、应力的三个重要概念



应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.
应力状态的概念及其描述
FQ
FN x
Mz
横截面上正应力分析和切应力分析的 结果表明：同一面上不同点的应力各 不相同，此即应力的点的概念。
应力状态的概念及其描述
x'y'
x'
xy

q x'y'
q
x´
xy
x'
yx
d A d A
y
平面应力状态的坐标变换
平衡原理的应用
F
y
0

x´y ´ dA + x (dA cos q ) sin q + xy (dA cos q ) cos q yx (dA sin q ) sin q
x
ｙ
q x'y'
应力状态的概念及其描述
3、一点应力状态的描述

微 元
（Element）
各边边长 dx , dy , dz
微元及其各面上的应力
应力状态的概念及其描述
三向（空间）应力状态
( Three-Dimensional State of Stresses )
z
z
zy yz
zx
x
x
xz
微元局部的平衡方程
平衡对象
——用q 斜截面截取的微 元局部
y´
x
参加平衡的量
——应力乘以其作用的 面积

q
x'y'
x´
xy
x'
dA
平衡方程——
F
x
0
F
y
0
yx
y
平面应力状态的坐标变换
平衡原理的应用
F
x
0
x
x´ dA x (dA cos q ) cosq + xy (dA cos q ) sin q + yx (dA sin q ) cos q y (dA sin q ) sin q 0
1、问题的提出 2、应力的三个重要概念 3、一点应力状态的描述
应力状态的概念及其描述
1、问题的提出
请看下面几段动画：
低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢和铸铁的扭转实验
应力状态的概念及其描述
铸 铁 低碳钢
韧性材料拉伸时为什么会出现 滑移线？
应力状态的概念及其描述
低碳钢 铸 铁
为什么脆性材料扭转时沿45º 螺 旋面断开？
应力状态的概念及其描述
三 平 向 面 应 应 力 力 状 特例 状 特例 态 态 单向应力状态
纯剪应力状态
应力状态的概念及其描述
示例一：
l/2
FP
S平面
l/2
应力状态的概念及其描述
5 4
3 2 1 1
x
1
FP 2
示例一
FP l Mz 4
5 4 3 2
S平面
2 2
1
x
2
2
坐标变换
平面应力状态的坐标变换
正负号规则
平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换矩
阵
平面应力状态的坐标变换
正负号规
则
平面应力状态的坐标变换
正负号规则
正 负 号 规 则
x
正 应 力
x
x
拉为正
x
压为负
平面应力状态的坐标变换
正负号规则
正负号规则
x'y'
3
3
3


应力状态的概念及其描述
l
示例二
S
FP a
应力状态的概念及其描述
y
1
示例二 z
4
2
3 S平面
x
应力状态的概念及其描述
y
示例二
FQy
1
1
Mx 1 Wp
4
4
Mz
Mx 3 Wp
x
x
z
Байду номын сангаас
1
Mz Wz
2
3
Mx
Mx 3 Wp
3
Mz x Wz
3
平面应力状态的
xy yx
y
y
应力状态的概念及其描述
平面（二向） 应力状态
( Plane State of Stresses )
y
x
yx
xy
x
y
应力状态的概念及其描述
y
x
y
yx
xy
x 纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
x
单向应力状态
( One Dimensional State of Stresses )
x'y'
yx
x'
x
微元平衡分析结果表明：即使同一 点不同方向面上的应力也是各不相同 的，此即应力的面的概念。
应力状态的概念及其描述
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
xy
yx
切
应 力
使微元或其 局部顺时针方 向转动为正； 反之为负。
平面应力状态的坐标变换
正负号规则
正负号规则
q 角
由 x正向 反时针转到x' 正向者为正； 反之为负。
y' y
q
x'
x
平面应力状态的坐标变换
平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
平面应力状态的坐标变换
平衡原理的应用
q
xy
xx''
y (dA sin q ) cos q 0
yx
d A d A
y
平面应力状态的坐标变换
y ´
平衡原理的应用
用 q + 2 斜截面截取
x'y' y y x x'

x´
q
x
q + 2
y
y y x
x'y'
x y
y x
x'
平面应力状态的坐标变换
平衡原理的应用
最后，得到以下四个方程：
x' x cos 2 q + y sin 2 q xy sin q cos q yx sin q cos q
y ' x sin 2 q + y cos 2 q + xy sin q cos q + yx sin q cos q
应力状态的概念及其描述
根据微元的局部平衡
y'
x
x'
x'y'
x'
x x 拉 中 有 切
应力状态的概念及其描述
y'
根据微元的局部平衡
yx
x'
xy xy
x'y'
yx
x'
切 中 有 拉
应力状态的概念及其描述
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截 面上也存在应力；不仅要研究横 截面上的应力，而且也要研究斜 截面上的应力。
第5章
应力状态分析
清华大学 范 钦 珊
2018年10月10日
第5章
应力状态分析

应力状态的概念及其描述 平面应力状态的坐标变换 应力圆 主应力、主方向、最大切应力 三向应力状态特例分析 广义胡克定律，应变比能 重要应用实例 结论与讨论

应力状态的概念 及其描述
应力状态的概念及其描述