清华大学材料力学范钦珊主讲第五章应力状态分析

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范钦珊教育教学工作室.

韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
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为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
TSINGHUA UNIVERSITY
第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
应力状态的概念——过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态（State of
the Stresses of a Given Point）
第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态？
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范钦珊教育教学工作室
Qin-Shan FAN s Education & Teaching Studio
清华大学范钦珊
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材料力学
(7)
2020年1月28日
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材料力学基础篇之七
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第7章应力状态分析
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第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念平面应力状态任意方向面上的应力应力状态中的主应力与最大剪应力应力圆及其应用广义胡克定律承受内压薄壁容器的应力状态应变能与应变能密度结论与讨论
应力状态的基本概念
什么是应力状态？
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材料力学第三版范钦珊

材料力学第三版范钦珊介绍《材料力学》是材料科学与工程专业的一门基础课程。

该课程主要介绍了材料在受力、变形和断裂等方面的基本理论和方法。

本文档是对《材料力学第三版范钦珊》这本教材的简要概述，并对其中的一些重要内容进行了详细介绍。

章节概述本教材共分为十个章节，涵盖材料力学的各个方面。

下面将对每个章节的内容进行简要介绍。

第一章弹性力学基础该章节介绍了材料的弹性行为，主要内容包括材料的应力、应变、弹性模量等基本概念和理论模型。

还介绍了应力分析、应变分析以及应力应变关系的数学描述方法。

第二章塑性力学基础该章节介绍了材料的塑性行为，包括材料的静态硬化、动态硬化和塑性流动等内容。

还介绍了塑性变形的本构模型和塑性应变的数学描述方法。

第三章蠕变力学基础该章节介绍了材料的蠕变行为，主要包括蠕变现象、蠕变变形规律以及蠕变破坏机理等内容。

还介绍了蠕变本构模型和蠕变应变的数学描述方法。

第四章疲劳力学基础该章节介绍了材料的疲劳行为，包括疲劳现象、应力循环和疲劳寿命等内容。

还介绍了疲劳本构模型和疲劳强度的计算方法。

第五章断裂力学基础该章节介绍了材料的断裂行为，主要包括断裂现象、断裂力学参数以及断裂韧性等内容。

还介绍了断裂力学的基本理论和断裂模式的判定方法。

第六章材料力学的数值模拟该章节介绍了材料力学的数值模拟方法，主要内容包括有限元方法、分子动力学模拟以及统计力学方法等。

还介绍了计算实例和常用的数值模拟软件。

第七章材料力学的实验方法该章节介绍了材料力学的实验方法，主要包括材料力学实验的基本原理和常用实验设备。

还介绍了实验数据的处理和分析方法。

第八章金属的力学行为该章节主要介绍了金属材料的力学行为。

包括金属材料的结晶性质、力学性质以及相变行为等内容。

第九章非金属材料的力学行为该章节介绍了非金属材料的力学行为，包括非金属材料的力学性质、结构性质以及应用性质等内容。

还介绍了一些特殊类型的非金属材料。

第十章新型材料的力学行为该章节介绍了一些新型材料的力学行为，包括复合材料、纳米材料、智能材料等。

FXQ-材料力学-第5章

FQ
例题1
FP l 4
5 4
2
1
x
1
2
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3 2
Mz
S平面
2
x
2
1
3
3
5
一点处应力状态描述及其分类
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l
FP
例题2
S
a
5
一点处应力状态描述及其分类
y
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1 例题2
4 2

q
x'y'
x´
x'
5

平面应力状态任意方向面上的应力
微元的局部平衡
用 q 2 斜截面截取
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y
´ y x'y'
y x
x'
x´
q
q 2
x
y
y y x
x'y'
x y y x
杆件横截面上正应力与剪应力分析结果表明，一般情形下，杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。因此，当提及应力时，必须指明“哪一个面上、哪一点”的应力或者“哪一点、哪一个方向面”上的应力。此即“应力的点和面的概念”。所谓应力状态又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。
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y
y
yx
y'
xy
y'x'
x

清华出版社工程力学答案-第5章杆件的内力分析与内力图

eBook工程力学习题详细解答教师用书(第5章)2011-10-1范钦珊教育教学工作室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题5－1 习题5－2 习题5－3 习题5－4 习题5－5 习题5－6工程力学习题详细解答之五第5章杆件的内力分析与内力图5－1 试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图。

5－2 圆轴上安有5个皮带轮，其中轮2为主动轮，由此输入功率80 kW ；1、3、4、5均为从动轮，它们输出功率分别为25 kW 、15 kW 、30 kW 、10 kW ，若圆轴设计成等截面的，为使设计更合理地利用材料，各轮位置可以互相调整。

1．请判断下列布置中哪一种最好？(A) 图示位置最合理；(B) 2轮与5轮互换位置后最合理； (C) 1轮与3轮互换位置后最合理； (D) 2轮与3轮互换位置后最合理。

2．画出带轮合理布置时轴的功率分布图。

30kN 20kN10kN20kN10kN 5kNBAD CB A DC BACBA C(a)(b)(c)(d)F NF ACBF N xDACB102030ACF N x210ADCF N -10习题5－1图解： 1. D2. 带轮合理布置时轴的扭矩图如图（b ）所示。

5－3 一端固定另一端自由的圆轴承受4个外力偶作用，如图所示。

各力偶的力偶矩数值均示于图中。

试画出圆轴的扭矩图。

固定固定(kN.m)习题5－3图P x (kW)2540(b)习题5－2图5－4 试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。

（a）题解：取1-1截面左段为研究对象，1-1截面处的剪力和弯矩按正方向假设：22222211qa qa qa a qa M M qaF Q =−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−=−= 取2-2截面左段为研究对象，2-2截面处的剪力和弯矩按正方向假设：222222222qa qa qa a qa M M qaqa qa F Q =−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−=−=−−= （b）题解：取1-1截面右段为研究对象，1-1截面处的剪力和弯矩按正方向假设：21P 12322qa a qa a qa M qa qa qa qa F F Q −=⋅−⋅−==+=+= 取2-2截面右段为研究对象，2-2截面处的剪力和弯矩按正方向假设：2222222qa qa a qa a qa M qaF Q −=+⋅−⋅−== （c）题解：（1）考虑整体平衡，可解A 、C 支座约束力0m kN 5.4124m kN 4,0)(=⋅××−×+⋅=∑C i A F F M得 kN 25.1=C F0kN 12,0=×−+=∑C A iyF F F得 kN 75.0=A F（2）取1-1截面左段为研究对象，1-1截面处的剪力和弯矩按正方向假设：BB5kN1 m34AAB(b)(a)(c)(d)习题5－4图0,01=−=∑Q A iyF F F得 kN 75.01=Q F02,0)(11=+×−=∑M F F MQ i A得 m kN 5.11⋅=M(3) 取2-2截面左段为研究对象，2-2截面处的剪力和弯矩按正方向假设：0,02=−=∑Q A iyF F F得 kN 75.02=Q F0m kN 42,0)(22=+⋅+×−=∑M F F M Q i A得 m kN 5.22⋅−=M(4) 取3-3截面右段为研究对象，3-3截面处的剪力和弯矩按正方向假设：0kN 12,03=×−+=∑C Q iyF F F得 kN 75.03=Q F0m kN 1221,0)(23=⋅××−−=∑M F M i C得 m kN 13⋅−=M (5) 取4-4截面右段为研究对象，4-4截面处的剪力和弯矩按正方向假设：0kN 12,04=×−=∑Q iyF F得 kN 24=Q F0m kN 1221,0)(24=⋅××−−=∑M F Mi C得 m kN 14⋅−=M （d）题解：（1）考虑整体平衡，可解A 、B 支座约束力03m kN 2m kN 15,0)(=×+⋅+⋅×−=∑B i A F F M 得 kN 1=B F0kN 5,0=+−=∑B A iyF F F得 kN 4=A F（2）取1-1截面左段为研究对象，1-1截面处的剪力和弯矩按正方向假设：0,01=−=∑Q A iyF F F得 kN 41=Q F01,0)(11=+×−=∑M FF M Ai得 m kN 41⋅=M(3) 取2-2截面左段为研究对象，2-2截面处的剪力和弯矩按正方向假设：0kN 5,02=−−=∑Q A iyF F F得 kN 12−=Q F01,0)(22=+×−=∑M F F M A i得 m kN 42⋅=M(4) 取3-3截面右段为研究对象，3-3截面处的剪力和弯矩按正方向假设：0,03=+=∑B Q iyF F F得 kN 13−=Q F1m kN 2,0)(33=×+⋅+−=∑B iF M F M得 m kN 33⋅=M(5) 取4-4截面右段为研究对象，4-4截面处的剪力和弯矩按正方向假设：0,04=+=∑B Q iyF F F得 kN 14−=Q F1,0)(44=×+−=∑B i F M F M得 m kN 14⋅=M5－5 试写出以下各梁的剪力方程、弯矩方程。

材料力学课后答案范钦珊

材料力学课后答案范钦珊第一篇：材料力学课后答案范钦珊材料力学课后答案范钦珊普通高等院校基础力学系列教材包括“理论力学”、“材料力学”、“结构力学”、“工程力学静力学材料力学”以及“工程流体力学”。

目前出版的是前面的3种“工程力学静力学材料力学”将在以后出版。

这套教材是根据我国高等教育改革的形势和教学第一线的实际需求由清华大学出版社组织编写的。

从2002年秋季学期开始全国普通高等学校新一轮培养计划进入实施阶段新一轮培养计划的特点是加强素质教育、培养创新精神。

根据新一轮培养计划课程的教学总学时数大幅度减少为学生自主学习留出了较大的空间。

相应地课程的教学时数都要压缩基础力学课程也不例外。

怎样在有限的教学时数内使学生既能掌握力学的基本知识又能了解一些力学的最新进展既能培养学生的力学素质又能加强工程概念。

这是很多力学教育工作者所共同关心的问题。

现有的基础教材大部分都是根据在比较多的学时内进行教学而编写的因而篇幅都比较大。

教学第一线迫切需要适用于学时压缩后教学要求的小篇幅的教材。

根据“有所为、有所不为”的原则这套教材更注重基本概念而不追求冗长的理论推导与繁琐的数字运算。

这样做不仅可以满足一些专业对于力学基础知识的要求而且可以切实保证教育部颁布的基础力学课程教学基本要求的教学质量。

为了让学生更快地掌握最基本的知识本套教材在概念、原理的叙述方面作了一些改进。

一方面从提出问题、分析问题和解决问题等方面作了比较详尽的论述与讨论另一方面通过较多的例题分析特别是新增加了关于一些重要概念的例题分析著者相信这将有助于读者加深对于基本内容的了解和掌握。

此外为了帮助学生学习和加深理解以及方便教师备课和授课与每门课材料力学教师用书lⅣ程主教材配套出版了学习指导、教师用书习题详细解答和供课堂教学使用的电子教案。

本套教材内容的选取以教育部颁布的相关课程的“教学基本要求”为依据同时根据各院校的具体情况作了灵活的安排绝大部分为必修内容少部分为选修内容。

05工程力学（静力学和材料力学）第2版课后习题答案_范钦珊主编_第5章_轴向拉伸与压缩

eBook工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第5章)范钦珊唐静静2006-12-18第5章轴向拉伸与压缩5－1试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图。

解：(a)题(b)题(c)题(d)题习题5－1图F NxF N(kN)x-3F Nx A5－2 图示之等截面直杆由钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处粘接而成。

直杆各部分的直径均为d ＝36 mm ，受力如图所示。

若不考虑杆的自重，试求AC 段和AD 段杆的轴向变形量AC l Δ和AD l Δ解：()()N N 22ssππ44BCAB BC AB ACF l F l l d dE E Δ=+33321501020001001030004294720010π36.××+××=×=××mm ()3N 232c100102500429475286mm π10510π364..CDCD AD AC F l l l d E ΔΔ×××=+=+=×××5－3 长度l ＝1.2 m 、横截面面积为1.10×l0－3 m 2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；-10F N x习题5－2图刚性板固定刚性板A E mkN习题5－4解图直径d ＝15.0mm 的钢杆BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。

若在钢杆的C 端施加轴向拉力F P ，且已知钢和铝的弹性模量分别为E s ＝200GPa ，E a ＝70GPa ；轴向载荷F P ＝60kN ，试求钢杆C 端向下移动的距离。

解： a a P A E l F u u ABB A −=−（其中u A = 0）∴ 935.0101010.11070102.1106063333=×××××××=−B u mm钢杆C 端的位移为33P 32s s601021100935450mm π20010154...BC C B F l u u E A ×××=+=+=×××5－4 螺旋压紧装置如图所示。

范钦珊应力状态及强度理论

三
平
单向应力状态
向面应应力 Nhomakorabea力
状特例态
状态
特例
纯剪应力状态
第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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例题1
FP S平面
l/2
l/2
第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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5
FQ
FP 2
例题1
应力状态中的主应力与最大剪应力
因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。用主应力表达的形式最简单也是最本质的。
第7章应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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＝ x＋
x
2
y
＋ x－
2
y
cos2q－ xysin2q
将上式对q 求一次导数，并令其等于零，有
d x dq
＝－(
x－
y
)sin2 q
2
xy cos2q＝0
由此解出的角度
tan2q＝－ 2τxy x y
平面应力状态任意方向面上的应力
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平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力
利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：
x＝
x＋
2
y
＋
x－
2
y
cos2q－ xysin 2q
xy＝
x－
2
y
sin
2q
xy cos2q

高教范钦珊材料力学习题集有答案

材料力学习题集第1章引论1－1图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M。

关于固定端处横截面A －A上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。

A－A在(b-1)(a-1) (b-1)(a-2) (b-2)(c) (d)(c-2) (d-2)(e) (f)(e-1) (f-1)(e-2) (a) (b)(c) (d)(a-1)(c-1) (d-1)(f-2)（b ）0=∑A M ，022R 2=⋅+⋅+⋅--l F l ql lql ql B ， ql F B 41R =（↑） 0=∑y F ，ql F A 41R =（↓）， 2R 4141ql l ql l F M B C =⋅=⋅=（＋） 2ql M A =（c ）0=∑y F ，ql F A =R （↑） 0=∑A M ，2ql M A =0=∑D M ，022=-⋅-⋅+D M lql l ql ql（d ）0=∑B Mql F A 45R =（↑） 0=∑y F ，ql F B 43R =（↑）0=∑B M ，22l qM B =0=∑D M ，23225ql M D = （e ）0=∑y F ，F R C = 00=∑C M ，0223=+⋅+⋅-C M lql l ql0=∑B M ，221ql M B =0=∑y F ，ql F B =Q2max ||ql M =（f ）0=∑A M ，ql F B 21R =（↑）0=∑y F ，ql F A 21R =（↓）0=∑y F ，021Q =-+-B F ql ql0=∑D M ，042221=+⋅-⋅D M ll q l ql281ql M E =∴ ql F 21||max Q =2－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定max ||M 。

解：图（a ）：0=∑A M ，02P P R =⋅-⋅-⋅l F l F l F B P R F F B =（↑）0=∑y F ，P F F Ay =（↓） 0=∑x F ，P F F Ax =（←）弯距图如图（a-1），其中l F M P max 2||=，位于刚节点C 截面。

范钦珊工程力学-第5章

求得 FA＝5 kN
l
l
A
B
F1
C
F2
l
l
FA
A
B" B F1 B'
C
F2
解：2. 确定控制面
在集中载荷F2、约束力FA作用处
的A、C截面，以及集中载荷F1作用
点B处的上、下两侧横截面都是控制面。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用假想截面分别从控制面A、 B' 、B"、 C处将杆截开，假设横截面
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
MA＝0 MO=2FPl
A
FP
l
F
P
DB l
D
l
解： 3. 应用截面法确定D 截面上的内力分量
用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
MA＝0 MO=2FPl
A
FP
l
F
P
D B
l
FQD
D
l
MD
假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：
T＝P
考虑到：1 kW＝l000 N·m/s，上式可以改写为
T 2 n＝P *1000
60
T＝9549 P N m
n
其中功率 P 的单位为 kW；n 为轴每分钟的转数，用 r/min 表示。
轴力图与扭矩图
在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上将产生扭矩。
确定扭矩的方法也是截面法，即假想截面将杆截开分成两部分，横截面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所有外力偶矩组成平衡力系。据此，即可求得扭矩的大小与方向。

理论力学课后问题详解(范钦珊)

C(a-2)DR(a-3)(b-1)DR第1篇工程静力学基础第1章受力分析概述1－1 图a 、b 所示，Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。

试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。

习题1－1图解：（a ）图（c ）：11 s i n c o s j i F ααF F +=分力：11 cos i F αF x = ， 11 s i n j F αF y =投影：αcos 1F F x = ， αs i n 1F F y =讨论：ϕ= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。

（b ）图（d ）：分力：22)cot sin cos (i F ϕααF F x -= ，22sin sin j F ϕαF y = 投影：αcos 2F F x = ， )cos(2αϕ-=F F y讨论：ϕ≠90°时，投影与分量的模不等。

1－2 试画出图a 和b习题1－2图比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之F R D 值大小也不同。

（c ）2x（d ）1－3 试画出图示各物体的受力图。

习题1－3图B或(a-2)(a-1)(b-1)F(c-1) 或(b-2)(e-1)F(a)1－4 图a 所示为三角架结构。

荷载F 1作用在铰B 上。

杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。

试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。

习题1－4图1－5 图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑，在构件C 点作用有一水平力F 。

试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E （如图示），是否会改为销钉A 的受力状况。

解：由受力图1－5a ，1－5b和1－5c 分析可知，F 从C 移至E ，A 端受力不变，这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D ，则A 端受力改变，因为HG 与ABC 为不同的刚体。

1(f-1)'A(f-2)1(f-3)F F'F 1(d-2)AF yB 21(c-1)F A B1FDx y(b-2)1(b-3)F yB 2 F A B1B F习题1－5图AxF'(b-3)E D(a-3)B(b-2)(b-1)F 'CDDF EFBC(c)AxF1－6 试画出图示连续梁中的AC 和CD 梁的受力图。

范钦珊版材料力学习题全解第5章梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图

题(c)
(0 ≤ x ≤ l ) ( l ≤ x ≤ 2l )
1 1. FQ ( x ) = ql − qx , M ( x ) = qlx + ql 2 − qx 2 2 2 2. FQ ( x ) = 0 , M ( x ) = ql
( 0 ≤ x ≤ 2l ) ( 2l ≤ x ≤ 3l )
6
题(d)
1. FQ ( x ) =
5 ql − qx , 4
M ( x) =
2. FQ ( x ) = − ql + q ( 3l − x ) ,
5 1 qlx − qx 2 4 2 1 2 M ( x ) = ql ( 3l − x )− q ( 3l − x ) 2
( 0 ≤ x ≤ 2l ) ( 2l ≤ x ≤ 3l )
习题 5－11
2
材料力学习题详细解答之五第 5 章梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
5－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及 Ox 坐标取向如图所示.请分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的：
习题 5－1 图（A）
dM ＝FQ ; dx dx dF dM （B） Q ＝－q ( x) , ＝－FQ ; dx dx dFQ dM （C）＝－ q( x) , ＝FQ ; dx dx dFQ dM （D）＝q ( x ) , ＝－FQ ; dx dx ＝q ( x ) ,
正确答案是 (B) 。
dFQ
5－2 对于图示承受均布载荷 q 的简支梁,其弯矩图凹凸性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪几种是正确的：
习题 5－2 图
正确答案是 b、c、d
3
。
5－3 已知图示梁的剪力图以及 a、e 两截面上的弯矩 M a 和M e ,现有下列四种答案, 试分析哪一种是正确的。

高教范钦珊材料力学习题集有答案完整版

高教范钦珊材料力学习题集有答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】习题1-2图习题1-4图材料力学习题集第1章引论1－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。

关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。

图示带缺口的直杆在两端承受拉力F P 作用。

关于A －A 截面上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。

正确答案是 D 。

B 处固定。

关于其两端的约束力有四种答案。

试分析等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力F P 。

关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。

正确答案是 D 。

1－5 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M ，力偶作用面与杆的对称面一致。

关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（对于左端，由A A '→；对于右端，由A A ''→），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。

习题2-1图第2章杆件的内力分析2－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。

试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

（A ）)(d d Q x q x F =；Q d d F xM=；（B ）)(d d Q x q x F -=，Q d d F xM-=；（C ）)(d d Q x q x F -=，Q d d F xM=；（D ）)(d d Q x q xF =，Q d d F xM-=。

正确答案是 B 。

2－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪几种是正确的。

习题2-3图习题2-4图 (a-1) (b-1)(a-2) (b-2)2－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。

清华大学材料力学-第5章

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G

圆轴扭转时横截面上的切应力
物性关系－剪切胡克定律
G
d dx
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d G G dx

圆轴扭转时横截面上的切应力
物性关系－剪切胡克定律
d G G dx

圆轴扭转时横截面上的切应力
圆轴扭转变形特征－反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面
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第一个结论
圆轴扭转时，横截面保持平面，平面上各点只能在平面内转动

圆轴扭转时横截面上的切应力
圆轴扭转变形特征－反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面
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第5章弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩（ Mx ）或剪力（ FQy 或 FQz ）时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。
分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。
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设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系： d dx
圆轴扭转时横截面上的切应力
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物性关系－剪切胡克定律

圆轴扭转时横截面上的切应力

材料力学应力分析PPT课件

y yx
D
xy
A
x
d
(y ,yx)
(
x
-
y
)2
+
2 xy
2
R
a (x ,xy)
c
x + y
2
在 -坐标系中，标定与单元体A、D面上
应力对应的点a和d
连ad交轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。
第40页/共123页
§2 平面应力状态分析
yy
yx
DB
A
xx
xxyy
O
C
d(y ,yx)
正应力与切应力
第15页/共123页
§2 平面应力状态分析
1、正应力正负号约定
x
应力状态
x
x
拉为正
第16页/共123页
x
压为负
§2 平面应力状态分析
切应力正负号约定
xy
yx
应力状态
使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。
第17页/共123页
§2 平面应力状态分析
角正负号约定
由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。
yx
a (x ,xy)
A
x
p xy
2
tg 2
p
-
x
-
xy x
+
2
y
o 2
1
d
2p
c g 1
负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向
第48页/共123页
§2 平面应力状态分析
主应力与主方向的对应关系
应力状态
小（主应力中小的）偏小（σx和σy中小的）、大（主应力中大的）偏大（σx和 σy中大的），夹角不比450大。

材料力学第5章杆件的内力图材料力学

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A FQ
B
C D
确定控制面上的确定控制面上的确定最大弯矩值确定控制面确定约束力剪力、画剪力图弯矩、画弯矩图
ql 0
O a a
e
bc
－ql
0
x x
d
Mmax = M ( e) = M ( a) + A( F ) Q
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已知a点的弯矩M(a),利用微分已知a点的弯矩M(a),利用微分方程积分确定e点的弯矩M(e) 方程积分确定e点的弯矩M(e)
dM dM = FQ dx
e a
dM = FQdx
e a Q
a e
∫ dM = ∫ F dx M(e) − M(a) = A(F )
1 3 = ql 2 + ql ×l = ql 2 2 2
e a
O
ql2
e
b c
ql2
d
ql2
Mmax
M
第3类习题平衡微分方程反运算类习题平衡微分方程反运算(2)
已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承
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由剪力( 由剪力(FQ)图可以看出，全梁有向下均布载荷。均布载荷集度 q
0.5 = −0.2 kN/m（↓） 5 dx 4× 8 由于A 由于A、B、C三处FQ图有突变，因三处F 而A、B、C三处必然作用有向上集中力，其数值分别为： FA = 0.3 kN（↑） kN（ FC = 1 kN（↑） kN（ kN（ FB = 0.3 kN（↑） q= =−

工程力学(静力学与材料力学)范钦珊唐静静课后习题答案解析

= 114°35′
图（a）：A 平衡： ∑ Fy = 0 ， TA = 1⋅ sinϕ1
B 平衡： ∑ Fy = 0 ， TB = 2 ⋅ sin ϕ 2
∵ TA = TB
10
（1）
（2）（3）
∴ sin ϕ1 = 2 sin ϕ 2 sin ϕ1 = 2 sin(114°35′ − ϕ1) ϕ1 = 84°44′
d =3
（2）
y
4 G
C
E
θ2
Dθ d −4.5 F O
FR
3
Ax
2
习题 2－2 解图
∴ F 点的坐标为（-3, 0）合力方向如图所示，作用线过 B、F 点；
tan θ = 4 3
AG = 6 sinθ = 6 × 4 = 4.8 5
M A = FR × AG = FR × 4.8
FR
=
20 4.8
Fw
习题 1—9 图
FT1
F Fw
T2
FN
习题 1—9 解图
7
1 一 10 图示压路机的碾子可以在推力或拉力作用下滚过 100mm 高的台阶。假定力 F 都是沿着杆 AB 的方向，杆与水平面的夹角为 30°，碾子重量为 250 N。试比较这两种情形下，碾子越过台阶所需力 F 的大小。
习题 1－10 图
(1) 油缸的受力图； (2) 活塞铆枪的受力图； (3) 铆钳的受力图。
6
习题 1－8 图
p
q FQ
p q'
FQ'
(b)
(c)
习题 1－8 解图
1—9 安置塔器的竖起过程如图所示，下端搁在基础上，C 处系以钢绳，并用绞盘拉住；上端在 B 处系以钢缆，通过定滑轮 D 连接到卷扬机 E 上。设塔器的重量为 FW，试画出塔器的受力图。

清华大学材料力学复合材料杆横截面上的应力分布

复合材料杆横截面上的应力分布考虑如图１所示的杆，两种材料的杆作为一体受拉，拉力F 作用在组合截面的形心。

设两杆的横截面均为矩形，宽为b ，其它尺寸如图所示。

试分析横截面上正应力分布。

图１分析：由于该杆是由不同材料组成的，因此很可能是拉伸和弯曲的组合变形。

因此我们可以把该问题分解为拉伸和弯曲两种情况单独考虑，再叠加起来。

（１）求出力F 在横截面上的作用点A ，此时两杆只有拉伸变形建立坐标，如图1。

设力F 的作用点A 的坐标为y 。

由假设此时该杆的两部分都只发生拉伸变形。

这种情况下，可以理解为该杆两部分分别受到作用于各自横截面形心处的拉力1F 和2F ，如图1所示。

此时，两个拉力1F 和2F 与力F 是等效的，有12F F F += (1)121122F l F l E h b E h b= (2) 联立(1)、(2)两式求解得：11221211221122, E h F E h F F F E h E h E h E h ==++ (3)由假设此时只有拉伸变形，则力1F 和2F 对A 点的和力矩应该为0，即12122()()22h h F h y F y +-=- (4) 将(3)式代入(4)式，解得：221121122112211222()E h h E h E h y E h E h E h E h +=+++ (5) （２）将作用在组合截面形心的力F 向A 点平移，求出附加力偶。

由理论力学知识，可知将力F 向A 点平移，还必须附加一个力偶M 才能等效。

如图2所示，我们有1212121122()()22()h h E E h h M F y E h E h +-=-=+ (6)图 2(3) 计算横截面的正应力分布将力F 向A 点平移后，可以看作力F 和力偶M 的叠加。

当只考虑作用在A 点的力F 时，将只发生拉伸变形，两部分的正应力分别为1122121112221122, ()()t t F E F F E F bh E h E h b bh E h E h bσσ====++ (7)图 3 当只考虑力偶M 的作用时(谢老师已讲) ,设中性轴距z 轴的距离为h ,如图3所示,则有212222210111122211221122d d 22()h h h h E yb y E yb yE h E h h E h h E h b E h b E h E h ++++==++⎰⎰ (8) 设两部分对组合截面中性轴的惯性矩分别为1I 和2I ,则1223321221()()d 3h h hh h h h h h h I y b y b +--+---==⎰ (9)233222()d 3h hh h h h I y b y b ---+==⎰ (10) 所以,两部分的正应力分别为12b 21122112()(), b M y h M y h E E I I I I E E σσ--==++ (11)将拉伸和弯曲引起的正应力叠加就可以得到总的正应力分布: 111222, b t b t σσσσσσ=+=+ (12)。

工程力学(静力学和材料力学)范钦珊主编答案全集 (9)

−4 + (−1.6) −4 − (−1.6) + cos(2 × (−15°)) + 0 = −3.84 MPa 2 2
15D
（b）题平行于木纹方向的切应力：
τ θ = −1.25cos(2 × (−15°)) = −1.08 MPa
垂直于木纹方向的正应力：
x
1.25MPa
σ θ = −(−1.25)sin(2 × (−15°)) = −0.625 MPa
1.6MPa
15D 4MP a
x
- 15D
τ x' y' σ x' x'
习题 9－1 图
解：（a）题平行于木纹方向的切应力：
(a-1)
τθ =
−4 − (−1.6) sin(2 × (−15°)) + 0 ⋅ cos(2 × (−15°)) = 0.6 MPa 2
垂直于木纹方向的正应力：
σθ =
εt =
2 π ( r + Δ r ) − 2 πr Δ r = 2 πr r 1 Δr = ε t ⋅ r = [σ t −νσ m ] E 1 = (118.72 − 0.33 × 59.36 ) × 254 = 0.336mm 75 ×103
9－ 8
构件中危险点的应力状态如图所示。试选择合适的准则对以下两种情形作强度校
−ν
σ 135
E
D
利用 G =
E 2(1 + ν )
E ε 45D = 2Gε 45D = 2 × 200 × 10 −6 × 81 × 103 = 32.4MPa 1 +ν
τ x' y' σ
- 15 D