三角函数综合讲义

三角函数1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任 意 角1 角的概念平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2 角的分类 (1)正角：按逆时针方向旋转形成的角；(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角； (3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角； 规定:正角>零角>负角；画法：画角时，用带箭头的螺旋线加以标注； 记法：ααα∠、角；意义：用“旋转”定义角之后，角的范围扩大了：角有正负之分；角可以任意大；还有零角。

3 象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角． 4 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ 5 象限角的集合表示第一象限角的集合 第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合6 αk kα⋅、所在象限的判定 方法一 代数推导法；方法二 图示法例： α是第三象限的角，求2α的范围，并在坐标系内表示出来，同时指出它在哪一象限.（代数推导法）(图示法){}Z k ,180360k 90360k |∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅αα{}Z k ,270360k 180360k |∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅αα{}Z k ,90360k 360k |∈︒+︒⋅<<︒⋅αα{}Z k ,360360k 270360k |∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅αα 是第二、四象限角；2135180290180270360180360α∴∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅∴∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅Z ,k k αk Z,k k αk7 角的终边对称问题（1）终边与α角的终边关于x 轴对称：{}Z k k ∈⋅+-=,360 αββ （2）终边与α角的终边关于y 轴对称：{}Z k k ∈⋅+-=,360180 αββ （3）终边与α角的终边关于原点对称：{}Z k k ∈⋅++=,360180 αββ （4）终边与α角的终边关于y=x 对称：{}Z k k ∈⋅+-=,36090 αββ （5）终边与α角的终边关于y=-x 轴对称：{}Z k k ∈⋅+-=,360270 αββ （6）α与β的终边关于x 轴对称：Z k k ∈⋅=+,360 βα （7）α与β的终边关于y 轴对称：Z k k ∈+⋅=+,180360 βα （8）α与β的终边关于原点对称：Z k k ∈+⋅=-,180360 βα1．1.2 弧 度 制1 角度制 将圆周的3601作为1度的角，记作1°，这种用度作单位来度量角的单位制叫角度制． 2 弧度制将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角，记作1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．3 角度、弧度的换算 180°= π rad1°= 180π rad ≈ 0．01745rad ； 1 rad = ()︒π180≈︒30.574 一些特殊角的弧度数5：扇形弧长及面积公式222121360180rn 角度制r lr S rl r n S l ααππ=====弧度制：；： 6：终边相同的角},k 2|{},360k |{Z k Z k ∈+=∈︒⋅+=παββαββ弧度制：；角度制：7 用弧度制写出满足下列条件的角的集合{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=∈+=∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k Z k k Z k k Z k k Z k k k αZ k k k αZ k k k αZ k k k α,232:轴非正半轴上y 终边在,22:轴非负半轴上y 终边在,2半轴轴非x 终边在,2:轴非负半轴上x 终边在,22232:象限内的角第,2322:象限内的角第,222:象限内的角第,222:第一象限内的角ππββππββππββπββππαππππαππππαππππαπ；上正；四；三二；1 任意角三角函数的定义定义一：如图所示，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x ，y)，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α＝y. (2)x 叫做α的余弦，记作cos α＝x. (3)y x 叫做α的正切，记作tan α＝y x. 定义二：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)， 其坐标为(x ，y)，且OP ＝r ，则：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.三角函数定义域值域αsin =y R []1,1- R[]1,1- R3 三角函数值在各象限的符号(2)符号的记忆口诀：一全正、二正弦，三正切，四余弦(为正) 4 特殊角的三角函数5 诱导公式一απααπααπαtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=⋅+=⋅+=⋅+k k kαcos =yαtan =y⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2ππαα上正下负横为0 左负右正纵为0 交叉正负 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1不存在 不存在 0一：三角函数线用有向线段的数量来表示。

当角的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ，MP 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段.（正切线）（余弦线）（正弦线）AT xyM x MP y ======αααtan 0cos sin(一)α终边不在坐标轴上时2 相关结论① ④ ②③⑤（二）α终边在坐标轴上时 ①终边在x 轴上时：正弦线、正切线分别变成了一个点. 此时sin α tan α都为0；cos α=1± ②终边在y 轴上时：余弦线变成了一个点，正切线不存在.此时cos α=0，sin α=1±， tan α不存在)2,0(,1cos sin tan sin )2,0(tan sin ⎪⎭⎫⎝⎛∈>+<⎪⎭⎫ ⎝⎛∈<<παααααπαααα终边不在坐标轴上时，1．2.2 同角三角函数的基本关系式(第一课时)1 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1 ；(2)商数关系：αααcos sin tan = （ )(2Z k k ∈+≠ππα ）2 变式公式(1)sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)αα2-±=cos 1sin ; αα2sin 1cos -±= (±号由角α终边所在象限来确定)(3)1＝sin 2α＋cos 2α（1的代换）；()ααααcos sin 21cos sin (4)2+=+; ()ααααcos sin 21cos sin 2-=-(5)sin α＝tan α·cos α ；αααtan sin cos =；（)(2Z k k ∈+≠ππα）1．2.2 同角三角函数的基本关系式(第二课时)1 三个基本思想方法： （1）“1”的代换： （2）切化弦：利用商数关系把正切化为正弦和余弦 （3）整体代换：将式子适当变形使条件可以整体代入2 化简的结果要求(1) 函数的种类尽可能少； (2)次数尽可能低；(3)项数尽可能少； (4)尽可能不含字母； (5)尽可能地将根号中的因式移到根号外． 3 证明三角恒等式基本原则：由繁到简常用方法：(1)从左证到右 (2)从右证到左 (3)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子1.3 三角函数诱导公式1 诱导公式()()()()()()()()()()()()α-αα-αααα-αααπα--αα-απα-αααπα--αααπαk παα-απαk παααπαk παsin 2cos sin 2cos cos 2sin cos 2sin ：公式tan --tan tan tan cos -cos cos cos sin -sin sin sin 公式三：tan tan tan 2tan cos cos cos 2cos sin -sin ：公式sin 2sin 公式一：=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛=======+=+=+=+=+=+ππππ公式四：五公式四：二口诀：“奇变偶不变，符号看象限”所有诱导公式可以概括为：Z k k ∈±,2απ的各三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值；然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1.4.1正弦函数、余弦函数的图象1 正弦曲线的画法 (1)几何法(了解即可)正弦函数的图象叫做正弦曲线． (2)五点法在函数y ＝sinx ，x ∈[0，2π]的图象上起关键作用的点主要有五个：()()()0,2,1,23,0,,1,2,0,0ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛．描出这五个点后，用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图． 2 余弦曲线的画法(1)平移法：因为()R x x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+==,2sin cos π，所以把y ＝sinx 的图象向左平行移动π2个单位就得到y ＝cosx 的图象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线形状相同，只是位置不同．(2)五点法:在函数y ＝cosx ，x ∈[0，2π]的图象上起关键作用的点主要有五个：(0，0)，()()()1,2,0,23,1,,9,2,1,0ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛．描出这五个点后，用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图． 余弦函数的图象叫做余弦曲线 3：正弦曲线、余弦曲线的特征图像的特点：①延展性：图象可以左右无限延展;②界性：图象夹在直线1±=y 之间，即正余弦函数的值域都是[]1,1-;③平衡位置：x 轴，整个图象在x 轴附近上下波动; ④凸性：x 轴上方的图象为上凸，下方的图象为下凸; ⑤呈周期性变化：每间隔π2图象循环出现;⑥对称性：正弦曲线关于原点对称； 余弦曲线关于y 轴对称(正弦曲线、余弦曲线的对称中心点一定是与x 轴的交点，纵坐标为0 正弦曲线、余弦曲线的对称轴与曲线的交点要么是最高点要么是最低点，即把对称轴代入函数，值为1或-1)1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（1）1 函数的周期性的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，T 叫做这个函数的周期． 注：①T 为非零常数，表示的是区间长度；②定义是对定义域中的每个x 值来说的，如果只有个别x 值满足f(x+T)=f(x)，那么不能说T 是数f(x)的周期.例如：3sin )23sin(,4sin )24sin(ππππππ≠+=+但③对f(x+T)=f(x)的理解：横坐标x 每间隔T 函数值相等；自变量本身加的常数才是周期；例:若f(2x)=f(2x+T)=f(2(x+2T ))则f(x)的周期为2T . ④周期函数的周期有无数个，若T 是数f(x)的周期，则kT ()0,≠∈k Z k 也是f(x)周期； ⑤如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期（无特别说明，一般都是指函数的最小正周期）．y=sinx 和y=cosx 的最小正周期都为π2; ⑥不是所有的函数都有最小正周期，如常数函数f(x)=C(C 为常数)； ⑦周期函数的定义域必是一个无界区域；⑧若f(x)是周期为的T 函数，则b x af +)(也是周期为T 的函数.)(ϕω+x f 是周期为ωT 的周期函数；2：求周期的方法方法一：图像法例1(1)y ＝|sinx| T ＝π方法二：公式法ωπϕωωπϕωπ2)cos(2)sin(2cos sin )1(=+==+===T x A y T x A y x y x y 的周期的周期的周期为和 ωπϕωωπϕωπ=+==+===T x A y T x A y x y x y 的周期的周期的周期为和)(cos )(sin cos sin )2(2222(2)y ＝||cosx ＋12| T ＝2πωπϕωωπϕωπωπϕωωπϕωπ2)0()cos(2)0()sin(2)0(sin )4()(cos )sin(cos sin )3(=≠++==≠++==≠+==+==+===T B B x A y T B B x A y T B B x y T x A y T x A y x y x y 的周期的周期的周期的周期的周期的周期为和3：相关结论()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()aT a x f a T a x x f a T a x x f a T a x f a b T b a x x f a b T b a x f a b T b x a x x f c ab x b fc a x f ab x b f a x f ab x x b f a x fc ba x f xb fc a x f ba x f xb f a x f ba x x f xb f a x f a x x f x a f x f aT x f a x f aT x f a x f aT x f a x f a b T b x f a x f a T x f a x f 4)0,()(4)(2)(2)0,()(4)0,()(2)0,()0,()(2)(3),2(2)0,2(22-202-2)2()(22)(12)(121=⇒=⇒==⇒==⇒-=⇒=-=⇒-=⇒==⇒+⇒---+---+-=-++⇒-=++⇒-=++=⇒-=+=⇒-==⇒-=+=⇒=+=⇒-=+-=⇒+=+=⇒=+对称关于偶函数对称关于奇函数对称关于偶函数对称关于奇函数）（对称和关于）（对称和关于）（对称和关于周期）奇偶性周期（对称性）双对称（对称关于与对称关于与对称关于与两个函数之间的对称）对称，关于（）对称，关于（对称关于对称关于自身的对称：）对称性：（）周期性：（1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）一．定义：一般地，对于函数f(x)的定于域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x),那么称f(x)为偶函数； 一般地，对于函数f(x)的定于域内任意一个x ，都有f(-x)=-f(x),那么称f(x)为奇函数； 二．判断方法：1.定义法：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶;若对称，再看f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)（相等）则为偶函数，若f(-x)=-f(x)（相反）则为奇函数;2.图像法：奇函数关于原点对称 偶函数关于y 轴对称3. 奇偶性质法：奇+奇=奇； 偶+偶=偶奇•奇=偶； 偶•偶=偶； 奇•偶=奇 三．正弦函数、余弦函数的奇偶性是偶函数x y cos =是偶函数为非零常数）是奇函数（x A y x A y ωϕωωcos .sin )2(==是奇函数；x y sin )1(=为奇函数时奇奇偶时，当奇偶奇时，当)tan(22)3(ϕωπϕππϕπϕ+==⇒==+======x A y k y k y k y y1.4.2正、余弦函数的性质（3）1 正、余弦函数的性质函数名称函数性质y＝sinx y＝cosx相同处定义域值域周期性T＝T＝不同处图象单调性上递减在上递增在)(232,22)(22,22ZkkkZkkk∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππππππ最值()()122122minmax-=∈-==∈+=yZkkxyZkkx时，时，ππππ()()1212minmax-=∈+==∈=yZkkxyZkkx时，时，πππ对称性())(,2)(,0,ZkkxZkk∈+=∈πππ对称轴：对称中心：)(,)(,0,2ZkkxZkk∈=∈⎪⎭⎫⎝⎛+πππ对称轴：对称中心：奇偶性奇函数偶函数R[－1，1][－1，1]2π2πR[][]上递减在上递增在)(2,2)(2,2ZkkkZkkk∈+∈-ππππππ1.4.3正切函数的性质与图象1 正切函数的性质2 正切函数图像的特征3 正切函数的性质： ()时为奇函数，当为奇函数为奇函数奇偶性：2tan tan tan πϕϕωωk x A y x A y x y =+===1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图象1 “基本变换”法作图由函数y ＝sinx 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图象，途径一：先平移后伸缩①正切曲线由无穷多支曲线组成的，每个分支里都是递增的，每支曲线都是向上、下无限伸展的，且是被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2ππ 隔开的；②渐近线:Z k k x ∈+=,2ππ③凸性：x 轴上方图形下凸，x 轴下方图像上凸；④任意一条平行于x 轴的直线及x 轴，与相邻两条曲线的交点的距离都是π⑤对称性:关于原点对称（奇函数），对称中心: ⑥三点两线法作图：()221,41,40,0ππππ-==⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ()()()()ωπϕωπωπϕωπωϕω=+====+===+T x A y T xy T x A y T xy Tx f T x f tan tan tan tan 的周期为，则周期为若周期性：()()()0),sin(111>+=<>−−−−−−−−−−−−→−ωϕωωωωx y 纵坐标不变倍到原来的或伸长横坐标缩短()()()Bx A y B B B ++=<>−−−−−−−−→−ϕωsin 00个单位平移或向下所有点向上()()()）（横坐标不变倍到原来的或缩短纵坐标伸长0,sin 11>+=<>−−−−−−−−−−−→−A x A y A A A ϕω()())sin(00sin ϕϕϕϕ+=<>=−−−−−−→−x y x y 个单位平移或向右向左⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πk3 由函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的图象求解析式途径二：先伸缩后平移2 图象变换()()()()()()()()xfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyaxfyxfybxfyxfyaxfyxfyyxaaabbbaaa=−−−−−→−==−−−−−→−==−−−−→−==−−−−→−==−−−−→−=+=−−−−−−−→−=+=−−−−−−−→−=+=−−−−−−−→−=<><><>右不动，右翻左上不动，下翻上关于原点对称轴对称关于轴对称关于个单位平移或向右向左个单位平移或向下向上个单位平移或向右向左翻折变换对称变换平移变换)()()(.3)-(-)()-()()(-)(.2)()()()()()(.1ωω()()()BxAyBBB++=<>−−−−−−−−→−ϕωsin个单位平移或向下所有点向上()())0(),sin(>+=<>−−−−−−→−ωϕωωϕϕϕxy个单位平移或向右向左()()()）（横坐标不变倍到原来的或缩短纵坐标伸长,sin11>+=<>−−−−−−−−−−−→−AxAyAAAϕω()())0(),sin(111sin>=<>=−−−−−−−−−−−−→−ωωωωωxyxy纵坐标不变倍到原来的或伸长横坐标缩短()()()BxAyBBB++=<>−−−−−−−−→−ϕωsin个单位平移或向下所有点向上简单的三角恒等变换1.和差角公式S (α＋β)： sin α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β S (α－β) ：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin βC (α＋β)： cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βC (α－β)： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(:)(⋅-+=++T βαβαβαβαtan tan 1tan -tan )-tan(:)(⋅+=-T2.化一公式（辅助角公式）：acos α＋bsin α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)．3.倍角公式6.万能公式：sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α化的三角函数值之间的转、、、442παπααα+-7. )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 5)-4sin()sin (cos 22)4cos()-4cos()cos (sin 22)4sin()4()4cos(2)4sin(2cos sin )4cos(2)4sin(2cos sin )3()44cos()44cos(cos )44sin()44sin(sin 222sin 2cos 2-2sin 2cos 22cos -2sin 2-2cos 2sin 122ααααααααπαααπαπαααπαππαααπααπααππαπαπαππαπαπααπααπααπααπα-+=-==-=+=+=++=-=--=+=++-=-+=+-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=）（展开：；；化一公式：）（；，；，）变换：（ 4.升幂公式 ()2sin 2cos 12cos 2cos 1cos sin cos sin 2cos sin 2sin 122222ααααααααααα=-=++=±+=+ 5.将幂公式22cos 1sin 22cos 1cos .322αααα-=+=降幂公式：ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin -=-=-=-==。