三角函数综合讲义

三角函数

1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任 意 角

1 角的概念

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2 角的分类 (1)正角：按逆时针方向旋转形成的角；

(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角； (3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角； 规定:正角>零角>负角；

画法：画角时，用带箭头的螺旋线加以标注； 记法：αα

α∠、角；

意义：用“旋转”定义角之后，角的范围扩大了：角有正负之分；角可以任意大；还有零角。 3 象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角． 4 终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ 5 象限角的集合表示

第一象限角的集合 第二象限角的集合

第三象限角的集合

第四象限角的集合

6 αk k

α

⋅、所在象限的判定 方法一 代数推导法；方法二 图示法

例： α是第三象限的角，求2

α的范围，并在坐标系内表示出来，同时指出它在哪一象限.

（代数推导法）

(图示法)

{}Z k ,180360k 90360k |∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅αα{}Z k ,270360k 180360k |∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅αα{}Z k ,90360k 360k |∈︒+︒⋅<<︒⋅αα

{}Z k ,360360k 270360k |∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅αα 是第二、四象限角

；2

1351802

90180270360180360α

∴

∈︒+︒⋅<<

︒+︒⋅∴∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅Z ,k k α

k Z

,k k αk

7 角的终边对称问题

（1）终边与α角的终边关于x 轴对称：{}

Z k k ∈⋅+-=,360 αβ

β （2）终边与α角的终边关于y 轴对称：{}Z k k ∈⋅+-=,360180 αββ （3）终边与α角的终边关于原点对称：{}

Z k k ∈⋅++=,360180 αββ （4）终边与α角的终边关于y=x 对称：{}Z k k ∈⋅+-=,36090 αββ （5）终边与α角的终边关于y=-x 轴对称：{}Z k k ∈⋅+-=,360270 αββ （6）α与β的终边关于x 轴对称：Z k k ∈⋅=+,360 βα （7）α与β的终边关于y 轴对称：Z k k ∈+⋅=+,180360 βα （8）α与β的终边关于原点对称：Z k k ∈+⋅=-,180360 βα

1．1.2 弧 度 制

1 角度制 将圆周的

360

1

作为1度的角，记作1°，这种用度作单位来度量角的单位制叫角度制． 2 弧度制

将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角，记作1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．

3 角度、弧度的换算 180°= π rad

1°= 180π rad ≈ 0．01745rad ； 1 rad = ()

︒

π

180≈︒30.57

4 一些特殊角的弧度数

5：扇形弧长及面积公式

222

1

21360

180r

n 角度制r lr S r

l r n S l ααππ=====

弧度制：；： 6：终边相同的角

},k 2|{},360k |{Z k Z k ∈+=∈︒⋅+=παββαββ弧度制：；

角度制：

7 用弧度制写出满足下列条件的角的集合

{}{}

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=∈+=∈=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<

πππαππππαπ

πππαπ；上正；四；三二；

1 任意角三角函数的定义

定义一：如图所示，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x ，y)，那么：

(1)y 叫做α的正弦，记作sin α＝y. (2)x 叫做α的余弦，记作cos α＝x. (3)y x 叫做α的正切，记作tan α＝

y x

. 定义二：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)， 其坐标为(x ，y)，且OP ＝r ，则：

sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x

.

三角函数

定义域

值域

αsin =y R []

1,1- R

[]1,1- R

3 三角函数值在各象限的符号

(2)符号的记忆口诀：一全正、二正弦，三正切，四余弦(为正) 4 特殊角的三角函数

5 诱导公式一

απαα

πααπαtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=⋅+=⋅+=⋅+k k k

αcos =y

αtan =y

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧∈+≠Z k k ,2

ππαα

上正下负横为0 左负右正纵为0 交叉正负 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1

不存在 不存在 0