相似三角形中的求面积的问题

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相似三角形的面积关系总结

相似三角形的面积关系总结
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在研究相
似三角形时，我们可以得出一些有用的面积关系。

1. 面积比例：相似三角形的面积与它们对应边长的平方成正比。

设两个相似三角形的边长比为a:b，则它们的面积比为a²:b²。

2. 高度比例：相似三角形的高度与它们对应边长的比例相等。

设两个相似三角形的边长比为a:b，则它们的高度比为a:b。

3. 面积差比例：如果在一个相似三角形的每条边上分别取等比
例的线段，则这些线段所分割出的新三角形的面积比等于相似三角
形的边长比的平方。

4. 面积和比例：如果一个相似三角形的每条边上分别取等比例
的线段，则这些线段所分割出的新三角形的面积比等于相似三角形
的边长比的平方。

这些面积关系对于解决与相似三角形有关的几何问题非常有用。

我们可以利用它们来计算未知三角形的面积，比较不同三角形的面
积大小，以及推导出其他有用的几何关系。

总结了相似三角形的面积关系，我们能更好地理解三角形的性质，并在解决实际问题时灵活运用。

相似三角形的面积问题题型总结+答案

相似三角形的有关面积问题复习引入：求三角形面积常用方法1、面积公式：2、等高法：3、相似三角形：【精选例题】【例题】如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3，则S △APE:S △CPD=______.解答：4:25。

【例题】如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，且BE=EF=FD, 求S △AMH: S 平行四边形ABCD 的值。

解答：∵平行四边形ABCD ，∴AB//CD ，AD//BC ∴△BME ∽△DAE ，△DHF ∽△BMF ∴BM ：DA=BE ：DE,DH ：BM=DF ：BF 又∵BE=EF=FD,所以BE ：DE=DF ：BF=1：2 ∴AD=2BM,BM=2DH,所以AD=4DH,∴AH=43AD ∴S △AMH:S 平行四边形ABCD=83。

变式：如图，在平行四边形ABCD 中，AE:EB=2:3.则△AEF 和△CDF 的周长比______.解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD ， ∴∠EAF=∠DCF ，∠AEF=∠CDF ，∴△AEF ∽△CDF ，S ΔABD S ΔACD =a bh b a H D CBAh a S=12ah E S ΔADE S ΔABC =a 2b 2b a DCBA P ED CBAM 1F 1E 1M EFA BC∴△AEF 的周长：△CDF 的周长=AE ：CD=2：5.变式：如图,E 为平行四边形ABCD 的边AB 延长线上的一点,且BE:AB=2:3，△BEF 的面积为4,则平行四边形ABCD 的面积为_________.答案∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB,CB//AD,BC//AB ∴△DEF ∽△AEB ， ∵DE:AB=2:3，∴DE:AE=2:5，∴S △DEF:S △AEB=4:25， ∵△BEF 的面积为4，∴S △AEB=25， ∴S 四边形ABFD=S △AEB−S △DEF=21， ∵AD=CB ，DE:AD=2:3，∴DEBC=23，∵AB//CD ，∴△BEF ∽△CDF ，∴S △DEF:S △CBF=4:9，∴S △CBF=9， ∴S 平行四边形ABCD=S 四边形ABFD+S △CBF=21+9=30【例题】如图,EE 1//FF 1//MM 1//BC,若AE=EF=FM=MB,则S △AEE 1:S 四边形EE 1F 1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB 为_____.答案:设S △AEE 1=x∵ EE 1//FF 1∴ △AEE 1∽△AFF 1 (平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似)∴ 2211AF AE AFF S AEE S =∆∆ (相似三角形面积比等于对应边的平方比) ∵ AE=EF ∴ 21=AF AE ∴ 4111=∆∆AFF S AEE S ∴ S △AFF1=x 4 ∴ S 四边形EE 1F 1F=x 3同理可得 S 四边形FF 1M 1M=x 5 S 四边形MM1CB=x 7∴ S △AED:S 四边形EE1F1F:S 四边形FF 1M 1M:S 四边形MM 1CB=1:3:5:7变式：如图，在△ABC 中，FG//DE//AB ，且AF=FG=CG 。

两个相似三角形的面积之差

两个相似三角形的面积之差
摘要：
1.相似三角形的定义和性质
2.相似三角形面积的计算方法
3.两个相似三角形面积之差的求解
4.实际应用和举例
正文：
1.相似三角形的定义和性质
相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例的图形。

相似三角形有一个重要的性质，就是它们的面积之比等于它们任意一条对应边的长度的平方之比。

2.相似三角形面积的计算方法
相似三角形的面积计算方法是：如果两个相似三角形的对应边长之比为a:b，那么它们的面积之比就是a:b。

3.两个相似三角形面积之差的求解
假设有两个相似三角形ABC 和DEF，它们的对应边长之比为a:b，那么它们的面积之比就是a:b。

如果ABC 的面积是S1，DEF 的面积是S2，那么S1-S2=S1(1-b/a)。

4.实际应用和举例
这个公式在实际生活中有很多应用，比如在建筑设计中，如果我们知道一个建筑的模型，想要求出另一个相似建筑的面积，就可以使用这个公式。

相似比与面积比的关系

相似比与面积比的关系
面积比=（相似比）的平方，相似三角形的面积比等于相似比的平方。

设小三角形的面积为s，底长为a高为h，则小三角形的面积为s=1/2*a*b。

设大三角形的面积为S，底长为ka高为kh，则大三角形的面积为
S=1/2*ka*kb=1/2*k^2ab。

S/s=(k^2ab)/(a*b)=k^2。

扩展资料：
相似三角形的性质：
1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3. 相似三角形周长的比等于相似比。

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。

6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项。

专题：相似三角形的面积问题

变式一：变式二：变式三：变式四：变式五：变式六：变式七：中考习题：作业题：在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．A B C M N P图 1O A B C M N D图 2 OAB M N 图 3O A MNPOBD 图 2∴ AN ＝43x ． ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ………………3分（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC ．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 …………………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．图 4P 图 3∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………………11分综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． ……………………………12分总结：1.直接法:根据三角形的面积公式解题2.等积法:等底等高的两三角形面积相等.3.等比法:将面积比转化为线段比.①等底(或同底)的三角形面积之比等于高之比. ②等高(或同高)的三角形面积之比等于对应底之比. ③相似三角形的面积比等于相似比的平方.。

初中数学如何使用相似三角形的性质计算三角形的面积

初中数学如何使用相似三角形的性质计算三角形的面积
要使用相似三角形的性质计算三角形的面积，可以利用相似三角形的面积比来求解。

当两个三角形相似时，它们的对应边的长度比相等，而对应角的度数也相等。

假设有两个相似的三角形ABC和DEF，它们的对应边长比为a:b，面积比为S₁:S₂。

如果已知三角形DEF的面积S₂和对应边长比a:b，那么可以使用以下公式计算三角形ABC的面积S₁：
S₁ = (a²/b²) * S₂
具体计算步骤如下：
1. 已知三角形DEF的面积S₂和对应边长比a:b。

2. 计算面积比的平方。

根据相似三角形的性质，面积比的平方等于对应边长比的平方：
(S₁/S₂)² = (a/b)²
3. 求解S₁。

将已知的面积比带入公式，可以得到三角形ABC的面积S₁：
S₁ = (a²/b²) * S₂
通过以上公式，可以利用已知相似三角形的面积比和对应边长比来计算另一个三角形的面积。

需要注意的是，在使用相似三角形的性质计算面积时，要确保两个三角形确实是相似的，并且对应边长比已知准确。

总结起来，可以利用相似三角形的面积比来计算三角形的面积。

根据已知的面积比和对应边长比，使用相似三角形的面积比公式计算另一个三角形的面积。

相似三角形的边长比例与面积比例

相似三角形的边长比例与面积比例在几何学中，相似三角形是一种非常重要的概念。

相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。

这意味着它们的内角度数相等，并且边长之间存在一定的比例关系。

本文将讨论相似三角形的边长比例与面积比例，并介绍相应的定理和证明。

一、相似三角形的边长比例相似三角形的边长比例是指两个相似三角形中对应边的比例关系。

根据比例的性质，相似三角形中任意两条对应边的比值相等。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边长分别为AB、BC、CA和DE、EF、FD，边长比例可以表示如下：AB/DE = BC/EF = CA/FD这个比例关系可以通过相似三角形的定义进行证明。

当两个三角形的对应角度相等时，它们就是相似三角形。

而相似性可证得它们的对应边长存在比例关系。

根据上述定理，我们可以计算相似三角形边长比例的例子。

例如，已知两个相似三角形，它们的边长分别为3、4、5和6、8、10，我们可以得到以下比例关系：3/6 = 4/8 = 5/10这意味着两个三角形的边长之间的比例是相等的。

二、相似三角形的面积比例除了边长比例外，相似三角形的面积比例也是非常重要的。

根据相似三角形的性质，它们的面积比例等于边长比例的平方，即面积比例是边长比例的平方。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的面积分别为S1和S2，边长比例为a:b，面积比例可以表示如下：S1/S2 = (a/b)^2这个定理可以通过相似三角形的性质进行证明。

由于相似三角形的边长比例相等，我们可以通过边长的比例计算出这两个三角形的比例因子。

然后根据面积的性质，我们可以得到面积比例。

以一个具体的例子来说明这个定理。

假设有两个相似三角形，它们的边长比例为2:3，面积分别为4和9，根据面积比例的公式可以得到：4/9 = (2/3)^2 = 4/9这说明两个三角形的面积比例相等。

三、应用实例相似三角形的边长比例与面积比例在实际应用中有广泛的应用。

相似三角形的周长与面积

相似三角形的周长与面积一、知识要点1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

二、例题解析例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。

分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。

再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴ΔABD∽ΔA1B1D1∴例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。

证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线∴∠BAE＝∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1∴∠BAE＝∠B1A1E1∴ΔABE∽ΔA1B1E1∴例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。

解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴。

例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。

平面几何中的相似三角形与三角形面积的计算

平面几何中的相似三角形与三角形面积的计算相似三角形是平面几何中重要的概念之一，它在许多实际问题的解决中起着重要作用。

本文将讨论相似三角形的性质以及利用相似三角形计算三角形面积的方法。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

它们的对应角度相等，对应边长成比例。

根据相似三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. AAA相似性质：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似三角形。

2. 相似比：两个相似三角形中，任意两边的对应边长之比是相等的。

即若∆ABC ~ ∆A'B'C'，则有AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

3. 相似三角形的比值定理：若两个三角形相似，它们任意两边的对应边长之比等于它们对应高的比值。

即若∆ABC ~ ∆A'B'C'，则有AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C' = h/ h'。

4. 相似三角形的面积定理：若两个三角形相似，它们的面积之比等于它们任意两条对应边长的比值的平方。

即若∆ABC ~ ∆A'B'C'，则有[S(∆ABC)/S(∆A'B'C')] = (AB/A'B')^2 = (BC/B'C')^2 = (AC/A'C')^2。

二、利用相似三角形计算三角形面积的方法根据相似三角形的面积定理，我们可以得出一种利用相似三角形计算三角形面积的简便方法。

下面通过一个例题来介绍这种方法：例题：已知∆ABC中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm。

点D 在BC边上，且AD是∆ABC内角A的平分线。

连接AD并延长交BC 于点E。

求∆ADE的面积。

解答：首先，根据角平分线的性质，我们知道∠BAD = ∠DAC。

相似三角形面积之比

相似三角形面积之比
相似三角形的面积比
三角形相等且三边成比例的两个三角形称为相似三角形。

它是相似三角形几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的面积比等于相似比的平方可通过三角形面积公式进行解释：
1.三角形的面积等于底乘以高除以二。

2、两个三角形的面积比即为：两个三角形“底乘以高除以二”的比值。

3.这里的底边与高的比值就是对应边的比值，所以面积就是对应边比值的平方。

相似三角形的性质
定义:相似三角形对应的角相等，对应的边成比例。

定理:相似三角形中任意对应线段之比等于相似比。

定理:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的特殊情况
1.凡是全等的三角形都相似
全等三角形是一种特殊的相似三角形，相似比为1。

相反，当相似率为1时，相似三角形是全等三角形。

2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似
由此，所有的等边三角形都相似。

相似三角形中的面积问题

相似三角形中的面积问题教案
一、教学目标
1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：相似三角形的性质与运用．
2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．3．难点的突破方法
（1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比）
（2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是，它们的面积之比不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题．
（3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似必要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．如：如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．。

相似三角形的面积问题题型总结+答案

相似三角形的有关面积问题复习引入：求三角形而积常用方法1、面积公式:2、等髙法：3、相似三角形:【精选例题】【例题】如图，平行四边形ABCD中，AE:EB=2:3,则SΔAPE≡SΔCPD=解答:4:25。

【例题】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线, 且BE=EF=FD Z求SΔ AMH: S忖训边形ABCD的值。

解答：Y平行四边形ABCD…∙∙AB∕∕CD, AD//BC・•・△ BME〜A DAE, △ DHF〜心BMF・•・ BM： DA=BE: DE z DH: BM=DF: BF・・• BE=EF=FD z所以BE： DE=DF: BF=I: 23・•・ AD=2BM z BM=2DH^WAD=4DH z∕. AH=-AD43・・AMHZS ∙f⅛PK⅛J∣;ABCD=—G8变式：如图，在平行四边形ABCD中∙AE:EB=2:3.则厶AEF和厶CDF的周长比_____ 解答：∙.∙四边形ABCD是平行四边形,.∙. AB=CD,AB//CD, SAADE_a 2 SΔABC"b22SAABD aSΔACD'b又・•・ Z EAF=Z DCF, Z AEF=Z CDF, /. A AEF〜△ CDF,•••△AEF 的周长：Δ CDF 的周长=AE： CD=2: 5・变式：如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:3, Δ BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的而积为_________ ・答案T四边形ABCD是平行四边形，・•・AD=CB Z CB∕∕AD z BC∕∕AB.∙. △ DEF- △AEB, •・• DE:AB=2:3,・•・DE:AE=2:5> .Β.SΔ DEF:SAAEB=4:25,T ∆ BEF的面积为4,・•・SAAEB二25,・•・ S HI边形ABFD=SAAEB-SA DEF=21,TAD=CB, DE:AD二2:3, /. DEBC=23∙∙.∙AB∕∕CD, /. ∆ BEF^ Δ CDF,二S A DEF:SACBF=49 A SΔ CBF=9,.,.S 平行Pa边影ABCD=S 円边形ABFD+S° CBF=21+9=30【例题】如图,EE√∕FF√∕MM√∕BC,若AE=EF=FIVI=MB,则SA AEExSNgEEIHF:S啊边形FFiWM:SN奶MMlCB 为_____ 答案:设SA AEEI=X∙.∙ EE√∕FF1.∙. Δ AEE I- ∆ AFF1（平行于三角形一边的宜线和其它两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似）•・・WAEE = 竺（相似三角形而积比等于对应边的平方比）S S AF F； AF2•・• AE=EF/. ∆∆ = l ・•・S^AEE∖=I .・・SΔ AFFl= 4x .∙. Sl f Q边形 EE l F I F=3x AF 2 S s AFF y 4同理可得S w⅛mFFιMιM= 5x S UQ边形MMICB二IX/. SA AED:S JM边形EEIFIF:S Wi4® FFIMIM:S 曲边形MMiCB==1:3:5:7变式：如图，在Δ ABC中，FG//DE//AB,且AF=FG=CGo设Δ ABC被分成的三部分的面积分别为S“ S?和求Si: S2： S3C解答：∙∙∙F∖ G为AC边上的三等分点,D、E为AB边上的三等分点・•・ AF： AG： AC=I: 2： 3T FD//EG//BC 八SΔCFG:SΔ CDE： SΔ CAB=I: 4： 9, .β. SI： S2： S3=l: 3： 5变式：如图，DE//FG//BC,设ZkABC 被分成的三部分的而积分别为S1,S2,S3,且SI 二S2=S3,则AD:DF:FB 二答案：∖∙ S1=S2,・・ S A ADE:SAAFG=4:2,.β. DE 2:FG 2=1:2, .β. DE:FG=l:%/2 :同理，DE:BC=1：A /3, Λ DE ： FG ： BC=I: √2 : √3 o【例题】如图：在梯形ABCD 中,AD∕/BCBC=2AD,对角线AC 与BD 相交于点0,把4 ABO z Δ BCO,Δ COD z Δ DOA 的面积分别记作S1,S2,SXS4,则下列结论中,正确的是（）a・•・ ON:MN=2:3,・•・ 2S Δ AOB=S Δ OBC Z S2=2S1.同理 S2=2S3./. S2=2S1=2S3=4S4变式:如图表示一个梯形两条对角线相交于一点，则图中面枳相等的三角形共有（）o【例题】如图，点D 、E 、F 分别是△ ABC 三边上的中点•若△ ABC 的而积为12cm ∖则厶DEF 的而积为 cm 2.答：•••点D. E 、F 分别是AABC 三边上的中点， ••・DF 、DE 、EF 为Δ ABC 的中位线， ∙∙∙ Δ ABCS Δ DEF,相似比为1:2,所以而积比为1:2, S ΔABC: S Δ DEF=4:1=12:S A DEF> S Δ DEF=3cm 2・变式：如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D, E, F,得ADEE 若△ ABC 的边长为a.C. S1=S3・•・ ONzOM=AD:BC=I:2,D. S1÷S3=S2+S4ABOC, 答案：D即（1）∆ DEF与厶ABC相似吗?如果相似，相似比是多少?⑵分别求出这两个三角形的面积。

初中数学如何使用相似三角形计算三角形的面积

初中数学如何使用相似三角形计算三角形的面积在初中数学中，使用相似三角形计算三角形的面积是一个重要的技巧，它可以帮助我们快速求解不规则三角形的面积。

本文将详细介绍如何使用相似三角形计算三角形的面积。

相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等。

利用这个性质，我们可以通过相似三角形的面积比例来计算三角形的面积。

具体步骤如下：1. 已知两个相似三角形的面积比例和其中一个三角形的面积。

2. 计算另一个三角形的面积。

3. 通过面积的比例关系，计算出要求的三角形的面积。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF是相似的，已知三角形ABC的面积为20平方单位，我们可以通过相似三角形的面积比例计算出三角形DEF的面积。

解：根据相似三角形的性质，我们有：面积的比例= 边长的比例的平方已知三角形ABC和三角形DEF是相似的，设三角形ABC的面积为20平方单位，设边长比例为k，则有：面积ABC / 面积DEF = k^2代入已知条件，得到：20 / 面积DEF = k^2进一步化简，得到：面积DEF = 20 / k^2因此，通过计算面积比例和已知三角形的面积，可以得到要求的三角形的面积。

需要注意的是，面积比例和边长比例的平方成正比。

因此，在计算面积时，需要将边长比例的平方作为面积比例的值进行计算。

除了使用面积比例计算三角形的面积外，还可以利用相似三角形的边长比例和高度的关系来计算三角形的面积。

具体步骤如下：1. 已知两个相似三角形的边长比例和其中一个三角形的面积。

2. 计算另一个三角形的边长。

3. 利用边长和高度的关系，计算出要求的三角形的面积。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF是相似的，已知三角形ABC的边长比例为2:3，已知三角形ABC的面积为10平方单位，我们可以通过相似三角形的边长比例和高度的关系计算出三角形DEF的面积。

解：根据相似三角形的性质，我们有：边长的比例= 高度的比例已知三角形ABC和三角形DEF是相似的，设边长比例为2:3，设高度比例为h，则有：2 /3 = h进一步化简，得到：h = 2 / 3根据已知条件，三角形ABC的面积为10平方单位，设三角形DEF的面积为S，则有：面积DEF / 面积ABC = (边长DEF / 边长ABC)^2代入已知条件，得到：S / 10 = (h)^2S / 10 = (2 / 3)^2进一步化简，得到：S = 10 × (2 / 3)^2因此，通过计算边长比例和已知三角形的面积，可以得到要求的三角形的面积。

相似三角形与面积有关的问题-含详细参考答案

中考数学复习之相似三角形有关的面积问题（学案）知识与方法梳理处理面积问题的三种方法 1. 公式法2. 割补法（分割求和，补形作差）3. 转化法（相似类、同底类、共高或等高类）利用常见结构进行转化是在复杂背景下处理面积问题的通常思路，在转化过程中需要结合背景的特点．动态背景：要抓住变化过程中所求面积不变的特征；函数背景：优先考虑公式法，或者割补之后采用公式法，也可结合几何特征进行转化；探索规律背景：根据结构特征确定第一项的处理办法，后续进行类比．面积问题中的常见结构举例例1：如图，在Rt ABC △中，1D 是斜边AB 的中点.过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连接1BE 交1CD 于2D ，过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ，过3D 作33D E AC ⊥于3E ，连接3BE 交1CD 于4D …如此继续.11E BD 1S S ∆=22E BD 2S S ∆=33E BD 3S S ∆=nn E BD n S S ∆=则n S =____________ABC S △（用含n 的代数式表示）．32E 1D 4D 3D 2D 1CBA分析：题目中的相似三角形非常之多，三角形的面积关系也非常之多，这是面积问题同学们需要面对的第一大难题，处理好这些关系，才能最终解决问题；解：1.易知E 1为AC 的中点，S ∆ABE1=12S ∆ABC ，D1为AB 的中点，S ∆BD1E1=12S ∆ABE1，故S ∆BDE =14S ∆ABC ；2. D 1E 1||BC ，1112D E AC =，故E 2为E 1C 的三等分点，12113BE E BCE S S ∆∆=，D 2为BE 1的三等分点，故222123BD E BE E S S ∆∆=，112BE C ABC S S ∆∆=，故2219BD E ABC S S ∆∆=3. 易知221123D E D E =,111AC 2D E =，故221AC 3D E =，D 3为BE 2的四等分点，231211212BE E BE E ABC S S S ∆∆∆==，，而33116BD E ABC S S ∆∆=；综合上述，猜想S n =21(1)ABCS n ∆+练习题1. 如图，△ABC 的面积为63cm 2，D 是BC 上的一点，且BD :CD =2:1，DE △AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE :ED =2:1，连接CF ，则△CDF 的面积为．FED CBA2. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，G 为EC 的中点，连接DG 并延长交BC 的延长线于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为_______．G ODCAE BF3. 如图，在梯形ABCD 中，AB △CD ，AB =3CD ，对角线AC ，BD 交于点O ，中位线EF 与AC ，BD 分别交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．474. 如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1△A 2B 2△A 3B 3，A 2B 1△A 3B 2△A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中阴影部分的面积为_______．12345.如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP△BE，且AP=BE（点P，E在直线AB的同侧），若14BD AB，则△PBC的面积与△ABC的面积的比值是___________．ABCD EFPG6.如图，已知直线l1：y=23x+83与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG:S△ABC=____________．7.已知：如图，DE是△ABC的中位线．点P是DE的中点，连接CP并延长交AB于点Q，那么S△DPQ:S△ABC=_________．QP EDC BA8.如图，在△ABC中，CE:EB=1:2，DE△AC．若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为____________．9.如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC，CE，EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC，DC，DE于点P，Q，K．若△DQK的面积为2，则图中阴影部分的面积为__________．10.如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM交于点F．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为___________．参考答案1．422．7 4 S3．C4．21 25．3 46．8:9 7．1:248．2 9 S9．26 10．30cm2。

相似三角形中的面积问题

专题：相似三角形中的面积问题一、复习引入：求三角形面积常用方法1、面积公式：2、等高法：3、相似三角形：二、例题讲解：1、如图,DE ∥BC, AD ：BD=1：2 ，则△ADE 与△ABC 的面积之比是_______.2、如图, D 、E 、F 是△ABC 的各边的中点，设△ABC 的面积为S,求△DEF 的面积为 .3、（1）如图,DE ∥FG ∥BC, 且AD=DF=FB, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3, 则S1:S2:S3= .（2）如图,DE ∥FG ∥BC, 设△ABC 被分成的三部分的面积分别为 S1,S2,S3,且S1=S2=S3, 则AD:DF:FB=4、如图,DE ∥BC ,DF ∥AC, S △ABC =a , ，则四边形DFCE 的面积为______________.5、如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB=2:3, 则S △APE :S △CPD=_____________.6、如图,平行四边形ABCD 中,BE:AB=2:3, 且 S △BPE =4, 求平行四边形ABCD 的面积.7、如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,且AE=EF=FC, 求S △DMN: S △ACD 的值。

12AD BD 且S ΔABD S ΔACD =a b h b a H D C B A h a S=12ah E S ΔADE S ΔABC =a 2b 2b a D C B AE D CB AF E D C B AG F E D C B A G F E D C B A P E D C B A FE D C B A PED C B A N M FE D C B A8、如图, △ ABC 中,AD ∥BC,联结CD 交AB 于点E,且，且 AE ：EB=1：3，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，S △ADE=2，求S △BCE 和S △AEF9、如图,点D 和E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,若 S △ADE=4 ,S △BCE=24,求 S △BDE9、如图,点D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，过点C 作CE ∥AB ，作DE ∥AC ，联结AE ，S △ABC=9 , S △CDE=4, 求S △ACE三、巩固拓展：在△ABC 中,D 为BC 边上的中点,E 为AC 边上任意一点,BE 交AD 于点O,请探究:根据以上规律,你能求 A OE D C B12AOB DOB S AE AC S ∆∆==如图(1),当时, 1(3),,4AOB DOBS AE AC S ∆∆==如图当时1,1AOB DOBS AE AC n S ∆∆=+当时的值吗?1,3AOB DOB S AE AC S ∆∆==如图(2),当时FE D C B A E D C B A DB A O E DC B A O ED C B AO E D CB。

相似三角形面积

相似三角形面积
相似三角形的面积比等于相似比的平方。

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形的面积比等于相似比的平方可通过三角形面积公式进行解释：
1、三角形的面积等同于底除以低除以二。

2、两个三角形的面积比即为：两个三角形“底乘以高除以二”的比值。

3、这里的底边和低的比值分别就是对应边的比，所以面积即为为对应边比的平方。

相似三角形的性质：
定义：相近三角形的对应角成正比，对应边变成比例。

定理：相似三角形任意对应线段的比等于相似比。

定理：相近三角形的面积比等同于相近比的平方。

相似三角形的特殊情况：
1.凡是全等的三角形都相近。

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。

反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。

2. 存有一个顶角或底角成正比的两个等腰三角形都相近。

由此，所有的等边三角形都相似。

相似三角形的性质--求面积

27.2.2(1.2)相似三角形的性质--求面积一．【知识要点】1.相似三角形的性质--求面积2.常见模型：二．【经典例题】1．如图，ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB＝2：3，S＝4，求S△CDF．△BEF2.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：23.已知:在ΔABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点EF//BC,交AC边于点F.点D为BC上一点,连接DE、DF.那么ΔDEF的面积的最大值为______________.4.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE的面积为S，试求四边形BOGC的面积.6.点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上，BE ＝DF ，点P 在边AB 上，AP ：PB ＝1：n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1 、S 2 的两部分，将△CDF 分成面积为S 3 、S 4 的两部分（如图），下列四个等式：①S 1 ：S 3 ＝1：n ；②S 1 ：S 4 ＝1：（2n ＋1）；③（S 1＋S 4 ）：（S 2＋S 3 ）＝1：n ； ④（S 3－S 1 ）：（S 2－S 4 ）＝n ：（n ＋1），其中成立的有（） A ．①②④B ．②③C ．②③④D ．③④三．【题库】【A 】1.如果ABC ∆∽DEF ∆且对应高之比为2:3，那么ABC ∆和DEF ∆的面积之比是．2．如图，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )A．21=BC DE B ．21=∆∆的周长的周长ABC ADEC ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31=【B 】1. 如图，已知D 、E 分别是的△ABC 的AB 、 AC 边上的点，DE ∥BC ，且△ADE 与四边形DBCE 的面积比为1:8，那么AE ：AC 等于（） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8D ．1 : 22.如图，点E 是平行四边形ABCD 边BC 的中点,平行四边形ABCD 的面积是3,则四边形ABEF 的面积是___________.(答案:15.考查：相似三角形的判定和性质）。

相似三角形中的求面积的问题

相似三角形的面积关系总结

相似三角形的面积问题题型总结+答案

两个相似三角形的面积之差

相似比与面积比的关系

专题：相似三角形的面积问题

初中数学 如何使用相似三角形的性质计算三角形的面积

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相似三角形面积之比

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