随机信号处理(计算)总结
“随机信号分析与处理”研究型教学实践总结
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Ｔｈ ｕ ｅＳ ｍｍａ ｉａ ｉｎ ｏ ‘ ｎ ｏ Ｓ ｇ ａ ａ ｙ ｉ ｄ Ｐ ｏ ｅ ｓｎ ’ ｒｚ ｔ ｆ‘ ｏ Ｒａ ｄ ｍ ｉ ｎ ｌＡｎ ｌ ｓｓａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｇ ’Ｒｅ ｅ ｃ － ｅ ｃ ｉ ｇ ｎ ｓａ ｈ Ｔ ａ ｈ ｎ ｒ
ＸＩ ａ — ｉ ＺＨＡＮＧ ａ Ｅ Ｘｉｏｘａ， Ｑｕ ｎ
在 国 际 上 ， 佛 大 学 、 坦 福 大 学 、 津 大 学 和 哈 斯 牛 剑 桥 大 学 等 世 界 著 名 大 学 都 非 常 注 重 研 究 型 教 学 的
目前 我 校 也 正 积 极 开 展 研 究 型 教 学 的 探 索 与 研
究 。“ 随机信 号分 析与处 理” 是一 门理论 与应用 紧密 结 合 的专 业基 础课 ， 多 理 论 的 应用 需 要 在课 堂 中 许 讨论 ， 如果 在教 学 中不 注重 工 程 教 育 ， 注重 应用 ， 不 就会 成为 一 门抽象 的 数 学课 程 ， 为此 我 们在 课 程教 学 中开展 了研究 型 教 学实 践 ， 教 学 与研 究 相 结合 将
随机信号处理
参数功率谱估计的实现及其与经典谱估计的比较参数功率谱估计的实现及其与经典谱估计的比较一、摘要频域分析是从频率角度对信号进行分析研究，对于确定性信号来说，通常使用傅立叶变换或者傅立叶技术展开得到频域表达，但对随机信号而言，由于其时域波形的随机性及能量无限，没有确定的时域表达式，无法用傅立叶变换直接将其变换到频域中去研究。
表达随机信号通常使用概率密度函数，根据维纳-辛钦定理，广义随机过程的功率谱与自相关函数是一对傅立叶变换，所以自然想到可以用功率谱来研究随机过程的频域性质。
对随机信号的功率谱估计方法通常分为两大类：经典谱估计和现代谱估计经典谱估计是基于维纳-辛钦定理，从自相关函数出发通过傅立叶变换得到功率谱，而现代谱估计则将随机信号看成白噪声通过一个滤波器的输出。
现代谱估计就是通过记录的信号序列估计滤波器参数，从而得到其频率响应，最后通过22|)(|)(S jw m jw e H e σ=得到其功率谱。
从频率分辨率来看，经典谱估计效果一般不如参数谱估计好，而且参数谱估计的不同算法对不同的采样序列也有不同的效果，本文将对周期图法，基于L-D 快速递推算法的Y-W 法和Burg 算法使用Matlab 进行编程实现并做比较。
二、关键字功率谱估计 周期图法 L-D 递推Y-W 算法 Burg 算法三、原理1.经典谱估计广义平稳随机信号经典谱估计基于维纳-辛钦定理：广义平稳随机的自相关函数与其功率谱是一堆傅立叶变换。
所以要求功率谱，只需由随机序列求出自相关函数然后进行傅立叶变换即可，∑-=∧+=1n )()(1)(R N m n x n x Nm m=0，1，2，……N-1))(()(S m R FFT k =∧周期图法：截断RN （n ）周期图法谱估计运算框图虽然经典谱估计方法比较直观简单，但由于随机序列相当于对信号加床，所以求自相关函数后傅立叶变换的功率谱往往受到窗函数影响，不是信号真实谱，所以就产生了以下的现代谱估计。
随机信号处理实验报告讲解
随机信号处理实验报告目录一、实验要求： (3)二、实验原理： (3)2.1 随机信号的分析方法 (3)2.2 随机过程的频谱 (3)2.3 随机过程的相关函数和功率谱 (4)（1）随机信号的相关函数： (4)（2）随机信号的功率谱 (4)三、实验步骤与分析 (5)3.1实验方案 (5)3.2实验步骤与分析 (5)任务一：（s1 变量）求噪声下正弦信号的振幅和频率 (5)任务二：（s1 变量）求噪声下正弦信号的相位 (8)任务三：（s1 变量）求信号自相关函数和功率谱 (11)任务四：（s变量）求噪声下信号的振幅和频率 (14)任务五：（s变量）求信号的自相关函数和功率谱 (17)3.3实验结果与误差分析 (19)（1）实验结果 (19)（2）结果验证 (19)（3）误差分析 (21)四、实验总结和感悟 (22)1、实验总结 (22)2、实验感悟 (23)五、附低通滤波器的Matlab程序 (23)一、实验要求：（学号末尾3，7）两个数据文件，第一个文件数据中只包含一个正弦波，通过MA TLAB 仿真计算信号频谱和功率谱来估计该信号的幅度，功率，频率和相位？对第二个文件数据估计其中正弦波的幅度，功率和频率？写出报告，包含理论分析，仿真程序及说明，误差精度分析等。
第一文件调用格式load FileDat01_1 s1，数据在变量s1中；第二文件调用格式load FileDat01_2 s ，数据在变量s 中。
二、实验原理：2.1 随机信号的分析方法在信号与系统中，我们把信号分为确知信号和随机信号。
其中随机信号无确定的变化规律，需要用统计特新进行分析。
这里我们引入随机过程的概念，所谓随机过程就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。
随机过程的统计特性一般采用随机过程的分布函数和概率密度来描述，他们能够对随机过程作完整的描述。
但由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等来描述它们。
随机信号分析课程总结
随机信号分析课程总结随着工业生产和社会经济的迅速发展，对工业生产过程中产生的各种复杂大时延信号提出了新的要求。
由于大时延信号中所包含的随机干扰信息往往十分丰富且数量巨大，从而使得原来常规的时域处理算法和存储技术受到了挑战，为了适应这种需求，各种各样的复合域处理方法和分析方法就应运而生，其中最主要的有：随机域滤波、时频局部均值化（ FFT）、随机域插值（ SAD）、自适应频谱分析（ AFCA）等。
但是无论哪种处理方法都必须将实时采集到的时间序列转换成一个随机序列，然后再进行各种分析。
数学在工程科学中有很多应用，例如：计算机视觉，图像处理，金融市场分析，流体动力学，运筹学，医疗诊断，信号处理和许多其他的专业。
这里我们主要介绍的是其中信号处理的几个重要应用领域：signal processing，自动控制，生物医学和图像处理。
随机信号分析在信号处理应用领域中有三种不同的形式：信号通路模型、随机信号分析与其他信号分析。
这三种不同的应用领域都是建立在统计信号处理基础上，而不是建立在各种线性系统的数学理论基础上。
1、信号处理：信号调理是目前信号处理领域研究的热点之一，在很多高科技领域，如通信，雷达，卫星定位，遥感等等都需要有信号处理的手段来提取有用信息。
随机信号分析在其中也起到至关重要的作用，甚至比传统的方法更加重要。
现代化的系统正在进入网络化、智能化和多功能化阶段，而系统工程师们在设计这些系统时就已经开始考虑应该用什么方法来实现它们的控制和决策。
特别是一些对象，在单个元件或单一设备失效的情况下，根本无法实现预期的功能，甚至会造成灾难性的事故。
因此，我们要充分认识到时间序列处理和特征提取的重要性。
对大时延系统进行分析和综合，可以有效地预测其未来的行为。
但这里我们需要先把大时延系统描述成由一组时间序列组成的，尽管如此，大时延系统仍然可以具有“随机”的特征，在这一特征下，人们发明了随机信号分析的方法。
以下将对这些方面进行总结，并给出一个整体的框架，帮助读者理解随机信号分析在大时延系统中的应用。
随机信号分析与处理
一、基本概念1、随机过程随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬时的精确值，任一次观测值只代表在其变动范围内可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机信号的描述必须采用概率和统计学的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。
在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。
在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，以{x(t)}表示，即2、随机信号类型3、平稳随机过程平稳随机过程就是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。
例如，对某一随机过程的全部样本函数的集合选取不同的时间t进行计算，得出的统计参数都相同，则称这样的随机过程为平稳随机过程，否则就是非平稳随机过程。
如采样记录的均值不随时间变化4、各态历经随机过程若从平稳随机过程中任取一样本函数，如果该单一样本在长时间内的平均统计参数(时间平均)和所有样本函数在某一时刻的平均统计参数(集合平均)是一致的，则称这样的平稳随机过程为各态历经随机过程。
显然，各态历经随机过程必定是平稳随机过程，但是平稳随机过程不一定是各态历经的。
各态历经随机过程是随机过程中比较重要的一种，因为根据单个样本函数的时间平均可以描述整个随机过程的统计特性，从而简化了信号的分析和处理。
但是要判断随机过程是否各态历经的随机过程是相当困难的。
一般的做法是，先假定平稳随机过程是各态历经的，然后再根据测定的特性返回到实际中分析和检验原假定是否合理。
由大量事实证明，一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。
虽然有的不一定是严格的各态历经过程，但在精度许可的范围内，也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本(理论上应为无限多)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
第四讲随机信号处理
m X (t ) = E ( X (t )) = E (V sin ω 0t ) = sin ω 0tE (V ) = 0
2 σ X (t ) = D ( X (t )) = sin 2 ω 0tD (V ) = sin 2 ω 0t
R X (t1 , t 2 ) = E ( X (t1 ) X (t 2 )) = sin ω 0t1 sin ω 0t 2 E (V 2 ) = sin ω 0t1 sin ω 0t 2
P{X k = 1} = P{X k = −1} = 1 / 2
求随机过程 Yn = 解、
k = 0,1,2,⋯, n
∑X
k =1
n
k
n ∈{1,2,3,⋯} 的一维分布。
Xk的特征函数为： Yk的特征函数为： ＝
Φ X k (ω ) =
1 jω 1 − jω e + e 2 2 1 Φ Yn (ω ) = n (e jω + e − jω ) n 2
第四讲 主要内容： 随机过程的基本概念及定义； 随机过程的统计描述；
1
1
2.1 随机过程的基本概念及定义
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
j ( n − k )ω
1 2n
∑C
k =0
n
k n
e
e
− jkω
1 k j ( n − 2 k )ω = ∑ n Cn e k =0 2
n
24
由特征函数的定义可得：
随机信号处理实验报告一
《随机信号分析与处理》实验报告指导教师：廖红华班级：0309411学号：030941103姓名：钱进红2011-12-7实验一 熟悉MA TLAB 的随机信号处理相关命令一、实验目的1、熟悉GUI 格式的编程及使用。
2、掌握随机信号的简单分析方法3、熟悉语音信号的播放、波形显示、均值等的分析方法及其编程 二、实验原理 1、语音的录入与打开在MATLAB 中，[y,fs,bits]=wavread('Blip',[N1 N2]);用于读取语音，采样值放在向量y 中，fs 表示采样频率(Hz)，bits 表示采样位数。
[N1 N2]表示读取从N1点到N2点的值。
2、时域信号的FFT 分析FFT 即为快速傅里叶变换，是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅里叶变换的算法进行改进获得的。
在MATLAB 的信号处理工具箱中函数FFT 的一种调用格式为其中X 是序列，Y 是序列的FFT 。
3、均值随机变量X 的均值也称为数学期望，它定义为对于离散型随机变量，假定随机变量X 有N 个可能取值，各个取值的概率为则均值定义为上式表明，离散型随机变量的均值等于随机变量的取值乘以取值的概率之和，如果取值是等概率的，那么均值就是取值的算术平均值，如果取值不是等概率的，那么均值就是概率加权和，所以，均值也称为统计平均值。
4、方差定义为随机过程的方差。
方差通常也记为D 【X （t ）】 ，随机过程的方差也是时间 t 的函数, 由方差的定义可以看出，方差是非负函数。
5、希尔伯特变换及性质x (t ) 的希尔伯特变换为x (t ) 与1/πt 的卷积，即因此，对x (t ) 的希尔伯特变换可以看作为x (t ) 通过一个冲击响应为1/πt 的线性滤波器。
希尔伯特变换器在整个频域上具有恒为1 的幅频特性，为全通网络，在相位上则引入−π/2 和π/2的相移 6、自相关函数设任意两个时刻1t ，2t ，定义121212121212(,)[()()](,,,)X R t t E X t X t x x f x x t t dx dx +∞+∞-∞-∞==⎰⎰为随机过程X （t ）的自相关函数，简称为相关函数。
随机信号处理
随机信号的处理1.信号的概念及分类确定信号是指能用明确的数学关系式表达的信号。
确定信号可分为周期信号和非周期信号两类。
当信号按一定时间间隔周而复始重复出现时称为周期信号，否则称为非周期信号。
频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。
一般周期信号是由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。
准周期信号也是由多个频率成分叠加的信号，但叠加后不存在公共周期。
一般周期信号是在有限时间段存在，或随时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。
随机信号又称为非确定性信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。
如加工零件的尺寸、机械振动、环境的噪声等，这类信号需要采用数理统计理论来描述，无法准确预见某一瞬时的信号幅值。
随机信号是工程中经常遇到的一种信号，其特点为：时间函数不能用精确的数学关系式来描述；不能预测它未来任何时刻的准确值； 对这种信号的每次观测结果都不同。
但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来描述和研究。
根据是否满足平稳随机过程的条件，又可以分为平稳随机信号和非平稳随机信号。
平稳随机信号又可分为各态历经和非各态历经两类。
2.随机信号的分析与处理由于测试系统内部和外部各种因素的影响，必然在输出信号中混有噪声。
有时由于干扰信号的作用，使有用信息甚至难于识别和利用，必须对所得的信号进行必要地分析和处理，才能准确地提取它所包含的有用信息。
信号分析和处理的目的是：（1）、剔除信号中的噪声和干扰，即提高信噪比；（2）、消除测量系统误差，修正畸变的波形；（3）、强化、突出有用信息，消弱信号中的无用部分；（4）、将信号加工、处理、变换，以便更容易识别和分析信号的特征，解释被测对象所变现的各种物理现象。
2.1 随机信号的时域分析随机信号通常是从一个做随机运动的随机信源产生的。
每一个记录是随机信号的一个实现，称为它的一个样本函数。
所有时间连续的样本函数的总集组成连续随机信号{}{}()()(),1,2,3,i x t x t i ==⋅⋅⋅对连续随机信号做等时距采样可得到离散随机信号{}(1)(2)(3)(),(),(),(),x n x n x n x n =⋅⋅⋅需要从统计意义上对离散随机信号进行描述，概率描述是一种最基本的统计描述方法，实际上更常用的方法：求出一些时域量或频域量的统计平均值，由此把握离散随机信号所遵循的统计规律。
随机信号处理实验报告
随机信号处理实验报告院系名称学生姓名学号指导教师目录一、实验要求： (3)二、实验原理： (3)2.1 随机信号的分析方法 (3)2.2 随机过程的频谱 (3)2.3 随机过程的相关函数和功率谱 (4)（1）随机信号的相关函数： (4)（2）随机信号的功率谱 (4)三、实验步骤与分析 (5)3.1实验方案 (5)3.2实验步骤与分析 (5)任务一：（s1 变量）求噪声下正弦信号的振幅和频率 (5)任务二：（s1 变量）求噪声下正弦信号的相位 (8)任务三：（s1 变量）求信号自相关函数和功率谱 (11)任务四：（s变量）求噪声下信号的振幅和频率 (14)任务五：（s变量）求信号的自相关函数和功率谱 (17)3.3实验结果与误差分析 (19)（1）实验结果 (19)（2）结果验证 (19)（3）误差分析 (21)四、实验总结和感悟 (22)1、实验总结 (22)2、实验感悟 (23)五、附低通滤波器的Matlab程序 (23)一、实验要求：（学号末尾3，7）两个数据文件，第一个文件数据中只包含一个正弦波，通过MA TLAB 仿真计算信号频谱和功率谱来估计该信号的幅度，功率，频率和相位？对第二个文件数据估计其中正弦波的幅度，功率和频率？写出报告，包含理论分析，仿真程序及说明，误差精度分析等。
第一文件调用格式load FileDat01_1 s1，数据在变量s1中；第二文件调用格式load FileDat01_2 s ，数据在变量s 中。
二、实验原理：2.1 随机信号的分析方法在信号与系统中，我们把信号分为确知信号和随机信号。
其中随机信号无确定的变化规律，需要用统计特新进行分析。
这里我们引入随机过程的概念，所谓随机过程就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。
随机过程的统计特性一般采用随机过程的分布函数和概率密度来描述，他们能够对随机过程作完整的描述。
但由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等来描述它们。
随机信号处理
随机信号处理引言功率谱估计是信息学科中的研究热点, 在过去的30 多年里取得了飞速的发展。
现代谱估计主要是针对经典谱估计( 周期图和自相关法) 的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其内容极其丰富, 涉及的学科和领域也相当广泛, 一个随机信号本身的傅里叶变换是不存在的，因此无法像确定信号那样用数学表达式来精确地描述它，而只能用各种统计平均量来表征它。
其中，自相关函数最能完整地表征它的特定统计平均量值。
而一个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅里叶变换，可以用功率谱密度来表征它的统计平均谱特性。
所以，要在统计意义下描述一个随机信号，就需要估计它的功率谱密度（PSD）。
功率谱估计有多种算法，主要分为两大类。
通常，将以傅里叶分析为理论基础的谱估计方法叫做古典谱估计或经典谱估计；把不同于傅里叶分析的新的谱估计方法叫做现代谱估计或近代谱估计。
经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零, 相当于数据加窗。
经典功率谱估计方法分为: 相关函数法( BT 法) 、周期图法以及两种改进的周期图估计法即平均周期图法和平滑平均周期图法, 其中周期图法应用较多, 具有代表性。
现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。
主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。
主要方法有最大嫡谱分析法(AR 模型法)、Pisarenko 谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony 谱线分解法以及Capon 最大似然法等其中AR 模型应用较多, 具有代表性。
常用的模型有ARMA 模型、AR 模型、MA 模型。
谱估计的主要用途是设定模型，这些模型可将数据描述为宽带的或窄带的，平稳的或非平稳的，低通的或高通的，等等。
一旦模型选定，并通过认为的判断或通过对数据进一步的统计检验加以证实，就可以由此给出新的认识，并可能提出解决问题的新方法。
本文主要介绍了功率谱估计中古典谱估计中的周期图法和现代谱估计中的AR模型Burg算法，对这两种算法进行了原理说明，并对其进行了仿真，通过结果分析比较其优缺点。
随机信号处理
ˆ， a k=0 k 1，…，p。
R(q 1) R(q p 1) a1 R(q) R(q 1) R(q 1) a R(q 2) R ( q ) R ( q p 2 ) 2 a R ( q p 1 ) R ( q p 2 ) R ( q ) R ( q p ) p
ARMA建模
ˆ k 带入下式，计算 c ˆ x (l ) 和 a ˆ k ，k=0，1，…，q。 （4） 0 i
p
p
j x
(k - i j) ，k=0,1,…q
（5）把
ˆk c
ˆ k 带入下左式，并令，m=0，1，…，M，即均匀取 和a
M个采样点，得到下面右式功率谱密度：
下面就是用ARMA（p,q）的两种参数普估计方法进行性能的比较。 首先采用ARMA（p,0）的形式，即AR模型进行估计。从理论上我们可以知 道由于AR模型为全极点模型，因此从功率谱上不会存在谱的谷点。 这里我们使用256个数据点，阶数为8，选择协方差法进行AR参数的估计。 得到下图：
可以看出，AR模型的谱估 计能够准确得到数据源中的在 0.3pi 和0.4pi两处的谱峰，而且 分辨率良好，但是，对于本该 在0.7pi位置出现的低谷，则无 法体现。
性能比较
然后采用ARMA（0,q）的形式，即MA模型进行估计。从理论上我们可以知 道由于AR模型为全零点模型，因此从功率谱上不会出现谱的尖峰。 这里我们使用使用Durbin算法对MA模型进行估计。即将时间序列数据用自 相关法得到AR（p）参数，然后将这组参数再次使用自相关法进行求解，即得 到MA（q）模型参数的估计，最后将估计值带入下式得到谱估计。如图：
信号处理知识点总结
第一章信号1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体2.信号的特性：时间特性，频率特性3.若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，则该信号为确定性信号若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，则该信号为随机信号4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限6.信号的频谱有两类：幅度谱，相位谱7.信号分析的基本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析第二章连续信号的频域分析1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数2.利用傅里叶三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性5.周期信号由无穷多个余弦分量组成周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值相频谱线大小表示谐波分量的相位6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换；非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集；非周期信号的频谱是连续的；非周期信号可以用其自身的积分表示10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积◊傅里叶级数◊离散谱非周期信号：无限区间绝对可积◊傅里叶变换◊连续谱12.周期信号的傅立叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, …..脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍周期信号的傅立叶变换也是离散的；谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同13.信号的持续时间与信号占有频带成反比14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转15.频域频移，时域只有相移，幅频不变；时域相移，只导致频域频移，相位不变第三章 连续信号分析1.正弦信号的性质：两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且频率不变，幅值和相位改变;频率比为有理整数的正弦信号合成为非正弦周期信号，以低频（基频f0）为基频，叠加一个高频 (频nf0)分量2.函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积: f(t)与冲激函数卷积，结果是f(t)本身; f(t)与冲激偶的卷积,δ(t)称为微分器 f(t)与阶跃函数的卷积, u(t)称为积分器 3. 函数正交的充要条件是它们的内积为0第二章 离散傅里叶变换及其快速算法1.时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列2.周期卷积特性：同周期序列的时域卷积等于频域的乘积同周期序列的时域乘积等于频域的卷积3.周期卷积与线性卷积的区别：线性卷积在无穷区间求和;周期卷积在一个主值周期内求和4.有限长序列隐含着周期性)()()(t f t t f '='*δ⎰∞-=*td f t u t f λλ)()()(5.有限长序列的循环移位导致频谱线性相移而对频谱幅度无影响6．FFT的计算工作量：FFT算法对于N点DFT,仅需(N/2)log2N次复数乘法运算和Nlog2N 次复数加法第三章随机信号分析与处理1 随机信号是随时间变化的随机变量，用概率结构来描述。
随机信号分析与处理
，然后对 y 求导得，
FX (x + Δx) − FX (x)
x + Δx
∫ fY|x<X ≤x+Δx ( y | x < X
≤ x + Δx) =
f (x, y)dx
x
≈
FX (x + Δx) − FX (x)
f (x, y)Δx f X (x)Δx
最后求Δx→0 的极限。
∫ ∫ 解答：
F(y
|
x1
f X1X 2 (x1 , x2 ) J
=
y1
y
2 2
பைடு நூலகம்
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )
∫ ∫ fY2 ( y2 ) =
+∞
−∞ fY1Y2 ( y1 , y2 )dy1 =
+∞ y1 y −∞ 2
2
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )dy1
在上式中令 u = y1 / y2 , 则
故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
D( X ) = E( X 2 ) − E 2 ( X ) = n(n − 1) p 2 + np − (np)2 = np(1 − p)
解法二：设 X1, X 2 ,…, X n 相互独立，且都服从 (0 −1) 分布，分布规律为 P{Xi = 0} = 1− p ， P{Xi = 1} = p ， i = 1, 2,…, n ，
（完整版）随机信号重要知识点整理
（完整版）随机信号重要知识点整理随机信号重要知识点整理1．能量信号和功率信号通常称2)(t x 为信号)(t x 的能量密度或瞬时功率。
信号的总能量是对2)(t x 在整个时间范围积分，即∞∞-=dt t x E x 2)( （1.6）同理，离散信号的总能量定义为∑∞-∞==n x n x E 2)( （1.7）如果信号的总能量有限，即E x <∞，则称)(t x 或()x n 为能量信号；如果信号的总能量⽆限，即E x >∞,但是其平均功率有限，即∞<=?-∞→222)(1lim T T dt t x TP T x （1.8）或（对于离散信号）∞<+=∑-=∞→NNn T x n x N P 2)(121lim （1.9）则称)(t x 或()x n 为功率信号。
然⽽，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。
⽽在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。
仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数1(21)N +。
2. 窄带信号与宽带信号时间信号可以⽤不同频率的正弦波展开（或傅⾥叶级数展开），即信号的傅⾥叶积分反变换：∞∞d e X t x t j )()(21π（1.10）其中)(ΩX 是)(t x 的傅⾥叶变换，⼜称为频谱，它等于∞∞-Ω-=Ωdt e t x X t j )()( （1.11）可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波t j e Ω相加（线性叠加）组成，)(ΩX 是)(t x 在频域或频率空间的表⽰。
如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。
与之对应的是，如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。
3. 信号处理的理论基础数字信号处理的理论基础：1）Nyquist —Shannon 采样定理；2）傅⽴叶级数；3）z －变换。
时域分析、频域分析。
(完整版)随机信号重要知识点整理
随机信号重要知识点整理1．能量信号和功率信号通常称2)(t x 为信号)(t x 的能量密度或瞬时功率。
信号的总能量是对2)(t x 在整个时间范围积分，即⎰∞∞-=dt t x E x 2)( （1.6）同理，离散信号的总能量定义为∑∞-∞==n x n x E 2)( （1.7）如果信号的总能量有限，即E x <∞，则称)(t x 或()x n 为能量信号；如果信号的总能量无限，即E x >∞,但是其平均功率有限，即∞<=⎰-∞→222)(1lim T T dt t x TP T x （1.8）或（对于离散信号）∞<+=∑-=∞→NNn T x n x N P 2)(121lim （1.9） 则称)(t x 或()x n 为功率信号。
然而，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。
而在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。
仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数1(21)N +。
2. 窄带信号与宽带信号时间信号可以用不同频率的正弦波展开（或傅里叶级数展开），即信号的傅里叶积分反变换：⎰∞∞-ΩΩΩ=d e X t x t j )()(21π（1.10）其中)(ΩX 是)(t x 的傅里叶变换，又称为频谱，它等于⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x X t j )()( （1.11）可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波t j e Ω相加（线性叠加）组成，)(ΩX 是)(t x 在频域或频率空间的表示。
如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。
与之对应的是，如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。
3. 信号处理的理论基础数字信号处理的理论基础：1）Nyquist —Shannon 采样定理；2）傅立叶级数；3）z －变换。
时域分析、频域分析。
FFT 算法，滤波器设计。
随机信号分析期末总结
随机信号分析期末总结随机信号分析是一门涉及信号处理、概率论和统计学的交叉学科，主要研究随机信号的特性、分析方法和应用。
随机信号是一种在时间和频率上都具有随机性质的信号，广泛应用于通信、图像处理、控制系统等领域。
在本学期的学习中，我系统地学习了随机信号的基本概念、统计特性和基本分析方法，并掌握了如何应用这些知识在实际问题中进行分析和处理。
首先，在学习随机信号的过程中，我对随机过程的概念和特性有了更深入的理解。
随机过程是一族具有随机性质的随时间变化的随机变量的集合，具有多种描述和分类方式。
我们可以用概率密度函数或累积分布函数来描述随机过程的概率特性，还可以通过均值函数、自相关函数和功率谱密度函数等统计特性来描述其时域和频域的特性。
通过学习，我了解了平稳性、宽带随机信号和高斯随机过程等重要的随机过程类别，并学会了如何从一个随机过程的统计特性来推断其所遵循的分布类型。
其次，在学习随机信号分析方法时，我掌握了基本的统计工具和频域分析方法。
在统计工具方面，我学习了矩阵运算、特征值分解和随机向量的概率特性等知识，这些工具在随机信号的统计分析和建模中有着广泛的应用。
在频域分析方法方面，我学习了傅里叶变换、功率谱密度估计和互相关函数等技术，这些方法能够有效地将随机信号转化为频域表示，并用于频域特性的分析和信号检测。
另外，在课程实践中，我通过编程和实验操作进一步巩固了所学的理论知识。
通过编写MATLAB程序，我实现了随机信号的生成、调制和解调过程，并对生成的信号进行了统计特性和频域特性的分析。
通过实验操作，我用实际的信号进行了统计特性和频域特性的测量，加深了对随机信号的认识和理解。
最后，在应用方面，我了解了随机信号在通信、图像处理、控制系统等领域的应用。
例如，在通信系统中，随机信号在信道建模、信号检测和误码率分析等方面有着重要的应用；在图像处理中，随机信号的统计特性和频域特性能够用于图像的噪声去除和图像增强等任务；在控制系统中，随机信号的自相关函数和互相关函数可以用于系统辨识和控制性能分析。
随机信号处理
现代信号处理课程笔记整理第1章 离散时间信号处理基础1.1离散时间信号（在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列来表示。
记为{x(n)}，n 为整型变量，x(n)表示序列中的第n 个样本值。
）一、常用的离散时间信号：（1）单位脉冲序列： （2）单位阶跃系列：两者之间的关系为：（3）（4）实指数序列：0,)()(≠=a n a n x nμ （5）正弦序列：)sin()(ωn A n x = （6）复指数序列：)sin (cos )()(n j n Ae Ae n x an n j a ωωω+==+二、序列的基本运算 卷积和：∑∞-∞=-=*=k k n x k h n x n h n y )()()()()(1.2 离散时间系统 离散时间系统的分类：（1）线性系统：输入输出满足齐次性和叠加性。
)]([)]([)]()([2121n x bT n x aT n bx n ax T +=+ （2）时不变系统：输入延时，与之对应的输出也延时。
（3）因果系统：某时刻的输出只取决于该时刻以及此时刻以前的输入。
（4）稳定系统：对于任意有界的输入信号，输出有界。
1.3 傅里叶变换离散傅里叶变换：设信号下x(n)为长度是N 的有限长序列，则该序列的DTFT 为：若DTFT 为周期函数，在频域第一个周期均匀采样M 个点：令N = M, 得离散傅立叶变换（DFT ）：001)(≠=⎩⎨⎧=n n n δ0,,01)(<≥⎩⎨⎧=n n n μ)1()()()()(0--=-=∑∞=n u n u n k n n u k δδ ⎩⎨⎧≥<-≤≤=Nn n N n n R N或，矩形序列：0,0101)(dwe e X n x jwn jw ⎰-=πππ)(21)(离散傅里叶逆变换为：∑-=-=1)()(N n nj j e n x e X ωω∑-=-===102k )()()(,2w N n kn Mj jw jwe n x e X e X k M k ππ令∑∑-=--=-==1212)(1)(x ,)()(N k kn NjN n kn Njek X Nn IDFT en x k X ππ为其)()()(,)()(w j jw jw n jwnjwe e X e X en x e X ϕ-+∞-∞=-==∑也可表示为1.4 z 变换1.5数字滤波器（是一个可以用常系数差分方程描述的离散系统）差分方程：∑∑==-=-+qk kpk k k n x b k n y a n y 01)()()(Z 变换为：∑∑=-=-=+qK Kkpk kk Z b Z X Z a Z Y 01)()1)((该式子说明数字滤波器的特性取决于零极点的位置。
第8章 随机信号处理
（8-36）
2）Rx ( ) 是偶函数
Rx ( ) Rx ( )
（8-37） （8-38）
3）Rx (0) E[ x(t ) x(t )] mx
2
三、 相关函数和协方差
2 x(n)
（8-8）
二、 概率密度函数和概率分布函数
概率密度函数表示随机信号x(t)瞬时值落在x值附 近Δx范围内的概率密度，若对某一随机信号x(t) 进行观察，T为观察时间，Tx为T时间内x(t)落在 (x，x+Δx)区间内的总时间，其幅值落在(x， x+Δx)区间内的慨率可以用Tx/T反映，当T→∞， 其概率为 Tx （8-9） P[ x x(t ) x x] lim T T 而随机信号x(t)的概率密度函数定义反映了信号 幅值落在某一极小范围（Δx→0）内的概率，其 表达式
第一节 随机信号的基本概念
从第一章的信号分类中我们已经知道，随机信号 是一种不确定性信号，不能表示为一确定的时间 函数，即信号的变化不存在任何确定的规律，因 而不可能预见其未来任一时刻的数值，也就是说 它是一种在相同试验条件下，不能重复出现的信 号。显然，它与确定性信号是两类性质完全不同 的信号，对随机信号的描述、分析和处理方法也 完全不同于确定性信号。 随机信号在客观实际中普遍存在，在测试过程中 也相当常见。例如：陀螺的漂移、测试系统中电 子元器件产生的热噪声、机械传动中随机因素影 响引起的振动、以及测试过程中的随机误差等， 都可以抽象为随机信号。图8-1为某船舶在航行中 所产生的振动信号，这是一种典型的随机信号。
2 ˆx ˆ (n) mx
2
（8-30） （8-31） （8-32） （8-33） （8-34）
随机信号处理总复习
信号失真与畸变校正
信号失真与畸变识别
在信号处理过程中，失真和畸变是常见的问题。首先需要识别出失 真和畸变的类型和程度，以便采取相应的校正措施。
校正方法选择
针对不同类型的失真和畸变，选择合适的校正方法。如逆变换法、 频域校正法、同态滤波等。
01
导航系统
导航系统是用于确定和跟踪物体位置和方向的装置或设备 。常见的导航系统包括GPS、GLONASS、Galileo等。
02 03
基于信号估计的导航系统性能优化
基于信号估计的导航系统性能优化方法包括卡尔曼滤波器 、扩展卡尔曼滤波器、粒子滤波器等。这些方法能够利用 观测数据和先验信息，对导航系统中的误差进行估计和修 正，提高导航系统的精度和可靠性。
方差的大小决定了信号的稳定性，方差越小，信号越 稳定；方差越大，信号波动越大。
自相关函数与功率谱密度
自相关函数描述了随机信号取值与其滞后取值之间的相关性，反映了信号 的时间依赖性。
功率谱密度描述了随机信号在不同频率成分上的能量分布，是信号频域特 性的描述。
自相关函数和功率谱密度是随机信号处理中常用的分析工具，用于信号的 滤波、预测和模型化等处理。
环境监测
在环境监测中，随机信号处理用于分析地球物理场的变化，以监测地 质灾害、环境污染等情况。
地震预警与减灾
利用随机信号处理技术，可以进行地震预警和减灾工作，减少地震灾 害的影响。
生物医学工程
医学成像
在生物医学工程中，随机信号处理用于医 学成像技术，如超声成像、核磁共振成像
等，以提高图像质量和分辨率。
处理对象具有随机性，处理方法针对随机信号的统计特性，应用 领域广泛。
随机信号处理(计算)总结
例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。
求由各台车床加工时，出合格品的概率？解：由第一台加工出合格品的概率为，由第一台加工出合格品的概率为，由概率的古典定义：由条件概率公式求，121212()()0.350.5()0.875,()0.833()0.4()0.6P AB P ABP A B P A BP B P B===≈＝＝例1.5（例1.2续）求：取出的合格品是由第一台车床加工的概率？解：取出的合格品是由第一台车床加工的概率由贝叶斯公式，得：例 1.10已知：求：①○2解：①解②：由分布函数的图可得例1.15设二维随机变量( X,Y)的概率密度(),0,0(,)0,x ye x yf x y-+⎧<<∞<<∞=⎨⎩其它求：①分布函数？②落在如图所示的三角形域G内的概率？③求边缘分布函数(|)Xf x y和()YF y。
④求边缘概率密度()Xf x和()Yf y。
⑤求条件分布函数(|)XF x y和(|)YF y x。
⑥求条件概率密度(|)Xf x y和(|)Yf y x。
⑦X和Y是否统计独立？解：①分布函数②落在三角形域G内的概率1()P A B2()P A B1212()851000.85()401000.4,()601000.6()351000.35()501000.5P A P B P BP A B P A B==========，，1()P B A121112()0.35()0.5()0.35()0.41()()0.350.5P AB P ABP ABP B AP AB P AB====≈++，(0.5),(1 1.5),(1 1.5)P X P X P X≤<≤≤≤？()()(0)00(1)(0)1/301(2)(0)(1)1/212(2)(0)(1)F x P X xP x xP X P X xP X P X P X xP X P X P X P=≤<=<⎧⎪<===≤<⎪=⎨<==+==≤<⎪⎪>==+=+==≤⎩(0.5)(0.5)13(1 1.5)(1.5)(1)1210(1 1.5)(1.5)(1)(1)16P X FP X F FP X F F P X≤==<≤=-=-=≤≤=-+==00(,)(,)(,)0,0(1)(1),0,0x yXYx yx yF x y f u v dudvf u v dudv x ye e x y-∞-∞--=⎧<<∞<<∞⎪=⎨⎪⎩⎧--<<∞<<∞=⎨⎩⎰⎰⎰⎰其它，其它11()001111000111{(,)}(,)[](1)()120.2642yx yX YGyy x y yyP x y G f x y dxdy e dxdye e dx dy e e dye e dy e--+-----+---∈====⋅-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2()1g X X=+()?F x=例1.22 随机变量X 在区间(a,b)上均匀分布，求 的数学期望。
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例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。
求由各台车床加工时，出合格品的概率？解：由第一台加工出合格品的概率为，由第一台加工出合格品的概率为，由概率的古典定义：由条件概率公式求，121212()()0.350.5()0.875,()0.833()0.4()0.6P AB P ABP A B P A BP B P B===≈＝＝例1.5（例1.2续）求：取出的合格品是由第一台车床加工的概率？解：取出的合格品是由第一台车床加工的概率由贝叶斯公式，得：例 1.10已知：求：①○2解：①解②：由分布函数的图可得例1.15设二维随机变量( X,Y)的概率密度(),0,0(,)0,x ye x yf x y-+⎧<<∞<<∞=⎨⎩其它求：①分布函数？②落在如图所示的三角形域G内的概率？③求边缘分布函数(|)Xf x y和()YF y。
④求边缘概率密度()Xf x和()Yf y。
⑤求条件分布函数(|)XF x y和(|)YF y x。
⑥求条件概率密度(|)Xf x y和(|)Yf y x。
⑦X和Y是否统计独立？解：①分布函数②落在三角形域G内的概率1()P A B2()P A B1212()851000.85()401000.4,()601000.6()351000.35()501000.5P A P B P BP A B P A B==========，，1()P B A121112()0.35()0.5()0.35()0.41()()0.350.5P AB P ABP ABP B AP AB P AB====≈++，(0.5),(1 1.5),(1 1.5)P X P X P X≤<≤≤≤？()()(0)00(1)(0)1/301(2)(0)(1)1/212(2)(0)(1)F x P X xP x xP X P X xP X P X P X xP X P X P X P=≤<=<⎧⎪<===≤<⎪=⎨<==+==≤<⎪⎪>==+=+==≤⎩(0.5)(0.5)13(1 1.5)(1.5)(1)1210(1 1.5)(1.5)(1)(1)16P X FP X F FP X F F P X≤==<≤=-=-=≤≤=-+==00(,)(,)(,)0,0(1)(1),0,0x yXYx yx yF x y f u v dudvf u v dudv x ye e x y-∞-∞--=⎧<<∞<<∞⎪=⎨⎪⎩⎧--<<∞<<∞=⎨⎩⎰⎰⎰⎰其它，其它11()001111000111{(,)}(,)[](1)()120.2642yx yX YGyy x y yyP x y G f x y dxdy e dxdye e dx dy e e dye e dy e--+-----+---∈====⋅-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2()1g X X=+()?F x=例1.22 随机变量X 在区间(a,b)上均匀分布，求 的数学期望。
解：由于X 服从均匀分布，概率密度为函数的期望例2.4 设随机过程 式中， 皆为常数， 是在 上均匀分布的随机变量。
试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为： 因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均方值分别为可见，自相关函数仅与时间间隔 有关，均方值为“ ” 有限，故过程X( t )是宽平稳过程。
例2.6 已知平稳过程X(t)的自相关函数为24()3615X R t t=++，求X(t)得均值和方差。
解：由平稳随机过程自相关函数的性质，2()36X X m R =?6X m ?= 2(0)()40364XX X R R s=-?-=例3·4 已知平稳过程X(t) 具有功率谱密度： 求其自相关函数，平均功率，均方值。
解：利用部分分式法 利用傅氏变换对:∴自相关函数为： 平均功率为：均方值：2484()(0)51515XE X t R 轾==-=臌1,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它22221[()]()()(1)11()13b X ab aE g X g x f x dx x dx b ax dx a ab b b a∞-∞==+-+==+++-⎰⎰⎰0()cos()X t t a w F =+0,a w F (0,2)p F 1/2,02()0,f p f pf Fì<<ï=íïî其他200()[()]()()1cos()02X m t E X t x t f d t d p f fa w f f p F ¥- ===+?òò22[()](,)(0)2X X E X t R t t R a ===< t 22α1200200022000020(,)(,)[()()][cos()cos(())][cos cos(22)]21[cos cos(22)]22cos ()2X X X R t t R t t E X t X t E t t E t t d R p t t a w a w t a w t w w t aw t w w t f f pa w t t F F F =+=+=+?+=+++=+++==ò4216()1336X G w w w =++22222216()(4)(9)16164486554954159XG w w w w w w w =++=-=? ++++222e a t a a w 轾-犏Û犏+臌2348()515X R e ettt --=? (0)()2348484515515150X X R R e e P τττττ===⎡--⎤=⋅-⋅=-=⎢⎥⎣⎦=例4.3如图所示的低通RC 电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的 双侧信号，其均值为m X ，求输出均值。
解：由电路知识可得此系统的冲激响应为：h(t)=be -bt U(t)， 其中b=1/RC 。
则其输出均值为0|bu Y X X X bum m bedu m em ∞-∞-==-=⎰4.4 X(t)是相关函数为0()2N δτ的白噪声求：（1）输出的自相关函数。
（2）输出的平均功率 （3）输入与输出间的互相关函数()XY R τ()YX R τ 解：1）由题意知0()()2X N R τδτ=输出自相关函数0000()()[()()]2()()2Y N R h u u v h v dv duN h u h u duτδττ∞∞∞∴=+-⋅=+⎰⎰⎰当输入是白噪声时，该系统输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。
于是，00()()()()()()2Y N b u buR beU u beU u du τττ∞-+-=+⎰按 0τ≥ 与0τ< 两种情况求解： 当 0τ≥ 时，有20002()24Y N b N b b bub R eedu eτττ∞---==⎰利用自相关函数的偶对称性，则当 0τ< 时有：0()()4Y Y N b b R R e τττ=-=合并0τ≥ 和0τ< 的结果，得到输出自相关函数：0||()||4Y N b b R e τττ-=<∞，2）在上式中令 0τ= ，即可得输出的平均功率为20[()](0)4Y Y N b E Y t R ===P由于b 是时间常数RC 的倒数，它也与系统的半功率带宽 f ∆有关。
其中：1(H Z )22b f R Cππ∆==于是输出平均功率又可写为 ：2[()]2Y N E Y t f π==⋅∆P由此可见，该系统的输出平均功率随着系统的带宽变宽而线性的增大。
3）0000()()()()()222X Y N N N b b R u h u du h e U ττδτττ∞-=-==⎰0000()()()()()222YX N N N b b R u h u du h e U ττδτττ∞=+=-=-⎰例4.5在例4.4 中假设X(t)的自相关函数为0||()4X N R eβτβτ-= 式中b β≠，求输出的自相关函数。
解：2||()()()()4Y X u v bubvR R u v h u h v dudvN e b eedudvβτττβ∞∞∞∞-+---=+-=⋅⋅⎰⎰⎰⎰当0τ≥时，考虑到u ，v 均在0~∞之间变化，故先对v 积分方便。
2002022()()()04()04()Y u v u v bububu b N bu R ee e dv e e dv duu N bee b bβτβτβττβτττββτβ∞-+-+------⋅+∞⎡⎤=⋅+⋅⎢⎥+⎣⎦⋅=-≥-⎰⎰⎰，因自相关函数为τ的偶函数，所以0τ<时的()Y R τ表达式直接能直接由0τ≥时的表达式()Y R τ- 写出。
综合可得：2022||||()()4()Y b N bR eeb b βττββτβ--⋅=--例4.6、 利用频域分析法重做例4.4 解：因为 00()()()22X X N N R G τδτω=↔=()()()b bt h t be U t H b j ωω-=⋅↔=+2222()bH b ωω∴=+ 22022()()()2Y X N bG G H b ωωωω=⋅=⋅+0()4Y b N b R eττ-∴=⋅例4.7 利用频域分析法重做例4.5 解：20022||()()42()X X N N R eG βββττωβω⋅-=↔=+所以2220222220222222()()()2()()224()Y X N b G H G b N b b b b b βωωωωβωβββββωω⋅⋅==++⋅⎡⎤=⋅-⋅⎢⎥-++⎣⎦对上式两边取傅里叶反变换得：12110222222222()[()]22[][]4()||||4()Y Y R FG b N bF F b b b b N b e e b b τωβββββωωβββττβ---=⋅⎧⎫=⋅-⎨⎬-++⎩⎭⋅⎡⎤--=-⋅⎢⎥-⎣⎦例4.8 设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为： 2422549()109Y G ωωωω+=++解：()Y G ω的复频域表达式为 2424925()109Y sG s s s -=-+ 进行谱分解有：22(75)(75)(75)(75)()(1)(9)(1)(3)(1)(3)Y s s s s G s s s s s s s +-+-==⋅--++--令75()(1)(3)Y s G s s s ±=++ (75)()(1)(3)Y s G s s s -=--因()Y G s 位于S 平面的所有极点121,3s s =-=-均在左半平面，所以选()Y G s 为()H s 。