第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析)

导数与导函数的概念

【基础知识点】1．函数

从

到

的平均变化率为①____________，若，

21x x x =-△，则平均变化率可表示为

．

21()()y f x f x =-△2．一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，

a b )(x f )(b a x o ，∈x ∆无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，x

x f x x f x y o o ∆-∆+=

∆∆)

()()(x f o x x =并称A 为在处的导数，记作或)(x f o x x =)('o x f o

x x x f =|)('3．几何意义：在处的导数就是在处的切线斜率。

)(x f 0x x =)(x f 0x x =4．导函数的概念：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数)(x f a b )(x f 也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为的导函数，记作

)(x f 。

)('x f 【典例解析】

【典例1】函数满足，则当x 无限趋近于0时，

)(x f 2)1('=f （1）

=-+x

f x f 2)

1()1(（2）

=-+x

f x f )1()21(变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）

无限趋近于1，则=___________

x

x f x x f ∆-∆+)

()4(00)(0x f '（4）

无限趋近于1，则=__________

x

x f x x f ∆-∆-)

()4(00)(0x f '（5）当△x 无限趋近于0，

所对应的常数与的

x

x x f x x f ∆∆--∆+)

2()2(00)(0x f ' 关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。【基础知识点】

1．基本初等函数的求导公式：

⑴ (k,b为常数) ⑵

(C为常数)

()

kx b k

'

+=0

)

(=

'

C

⑶⑷

()1

x'=2

()2

x x

'=

⑸⑹

32

()3

x x

'=

2

11

()

x x

'=-

⑺'=

⑻（为常数）

1

()

x x

αα

α-

'=α

⑼()ln (01)

x x

a a a a a

'=>≠

，

⑽

a a

11

(log x)log e (01)

x xlna

a a

'==>≠

，且

⑾⑿

x

x e

)

(e='

x

1

)

(lnx='

⒀⒁

cosx

)

(sinx=

'sinx

)

(cosx－

=

'

2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝（x－x0）；

)

('

o

x

f

3．求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．

4．函数的差、积、商的求导法则：

（1）[]

()()''()'()

f x

g x f x g x

±=±

（2）[]

()'()'

cf x cf x

=

（3）[]

()()''()()()'()

f x

g x f x g x f x g x

=+

（4）

'

2

()'()()()'()

(()0)

()()

f x f x

g x f x g x

g x

g x g x

⎛⎫-

=≠

⎪

⎝⎭

【典例解析】

【典例1】求下列函数的导数

（1）（2）

y=

4

1

y

x

=

（3）（4）

4

log

y x

=sin()

2

y x

π

=-

（5） （6）3cos(

)2

y x π

=+x x x y =题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线上一点,则过点的切线方程为

.331x y =

)3

8

,2(P P 解析：过点P 的切线的斜率为，那么切线方程为 ，即

()'

24k f ==()8423

y x -=- ．

123160x y --=变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线

在点(1,f (1))处的切线方程为________.2(1)1

()e (0)e 2

x f f x f x x '=

-+题型二：点不在曲线上

【典例3】过点作抛物线的切线，则其中一条切线为

)0,1(-12

++=x x y 解析：设切点为

，切线的斜率为

，则切线方程为：

()00,x y ()'

0021f

x x =+ ，因为点在切线上，故 ，解得

()()'000y y f x x x -=-)0,1(-()()'0001y f x x -=-- ，或 ，切点为 或 ，故切线方程为 或

00x =02x =-()0,1()2,3-20x y -+=

330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点.与函

()1,0-数(是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.

()x

f x e =e 2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系中,已知点P 是函数

xOy 的图象上的动点,该图象在P 处的切线交y 轴于点M ,过点P 作的

)0()(>=x e x f x l l 垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程

【典例4】求垂直于直线且与曲线相切的直线方程。0162=+-y x 532

3

-+=x x y 解析：设切点为 ，切线的斜率为，解得，切点

()00,x y ()'

2000363f

x x x =+=-01x =-为 ，切线方程为()1,3--360x y ++=题型四：已知切线求参数

【典例5】已知直线是的切线，则的值为

kx y =x y ln =k