图形的平移与坐标变换
平移与旋转的坐标变换
平移与旋转的坐标变换在平面几何中，平移和旋转是常见的坐标变换操作。
它们可以通过对坐标系中的点进行一系列运算来实现。
本文将介绍平移和旋转的概念与原理，并详细讨论它们在坐标变换中的应用。
一、平移的概念与原理平移是指在平面上将对象沿着指定的方向移动一定的距离。
在坐标系中，平移可以通过对点的坐标进行简单的加减运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其沿着(x轴方向移动a个单位，y轴方向移动b个单位)，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
二、平移在坐标变换中的应用平移在计算机图形学和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在图形学中，平移可以用来实现物体的移动和动画效果。
在计算机视觉中，平移可以用于图像配准和目标跟踪等任务。
三、旋转的概念与原理旋转是指围绕某一点或某一轴线，将对象按一定角度进行转动。
在坐标系中，旋转可以通过对点的坐标进行复杂的数学运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其按顺时针方向旋转θ角度，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x * cosθ - y * si nθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦值和正弦值。
四、旋转在坐标变换中的应用旋转在计算机图形学和机器人导航等领域有广泛的应用。
在图形学中，旋转可以用来实现物体的旋转、变形和特效。
在机器人导航中，旋转可以用于定位和路径规划等任务。
五、平移与旋转的联合应用在坐标变换中，平移和旋转通常是同时应用的。
为了实现平移和旋转的组合变换，可以先对点进行旋转变换，然后再进行平移变换。
假设有一个点P(x, y)，首先对其进行旋转变换，得到新的坐标P'(x', y')：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ然后，再对新的坐标P'进行平移变换，得到最终的坐标P''(x'', y'')：x'' = x' + ay'' = y' + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离，θ表示旋转的角度。
1用坐标表示平移
7.2.2 用坐标表示平移
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教学新知
点平移与坐标变化规律： 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得 到对应点的坐标是（x+a ，y） 或（x-a ，y）；将点（x，y）向上（或下） 平移b个单位长度，可以得到对应点的坐标是（x，y+b）或（x，y-b）.
知识梳理
答案：解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移 后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4） 平移后点的坐标为：（-1，1）；（5）平移后点的坐标为：（3，-4）．
中考在线 考点：坐标与图形变化——平移。
【例1】（2015•大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2） 向右平移2个单位，所得的点的坐标是（ D ）.
【例2】（2015•济南）如图7-2-51，在平面直角坐标系中， △ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个 单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的 对应点A1的坐标为（ D ）.
A.（4，3） B.（2，4） C.（3，1） D.（2，5）
知识梳理
图7-2-51
课堂练习
6.点P（a，b）向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到点（3，-4），则a=__4__，b=___-_5__.
讲评：本题考查了图形的平移变换.根据点的坐标的平移规律可得a-1=3， b+1=-4，再解可得a、b的值.
课堂练习
图7-2-54
课堂练习
讲评：考查了坐标与图形性质，坐标与图形变化-平移.（1）根据长方形 形状求出BC到y轴的距离，CD到x轴的距离，然后写出点B、C、D的坐标即 可；（2）根据图形写出平移方法即可.
高中数学中的坐标系与平移变换
高中数学中的坐标系与平移变换在高中数学中，坐标系和平移变换是两个非常重要的概念。
坐标系是一种表示点在平面上位置的方式，而平移变换则是一种改变点位置的操作。
本文将对这两个概念进行详细讨论。
一、坐标系的基本概念1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，由两条垂直的直线（通常称为x轴和y轴）交叉而成。
通过定义一个原点和单位长度，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系使用径向距离和极角来描述点的位置。
其中，径向距离表示点到原点的距离，极角则表示点与正向x轴之间的夹角。
3. 其他坐标系此外，还有柱面坐标系、球面坐标系等其他不同形式的坐标系，它们在特定的数学领域和物理领域中具有重要的应用。
二、平移变换的基本原理在数学中，平移是一种将图形沿着指定方向移动的变换方式。
它通过将所有点的坐标值分别增加或减少一个常数来实现。
平移变换的基本原理如下：1. 平移向量平移变换通过一个平移向量来描述移动的方向和距离。
平移向量由两个分量组成，分别表示在x轴和y轴上的移动距离。
2. 平移的公式设点P(x, y)进行平移变换，平移向量为(a, b)，则点P'的坐标可以表示为：P'(x', y') = P(x+a, y+b)三、坐标系与平移变换的关系坐标系与平移变换密切相关，它们之间的关系主要体现在以下几个方面：1. 坐标系对平移变换的作用坐标系为平移变换提供了基础。
在直角坐标系中，通过改变点的坐标值，可以实现平移变换。
而在极坐标系中，则需要通过改变径向距离和极角来实现平移。
2. 平移变换对坐标系的作用平移变换改变了图形中每个点的位置，从而影响了坐标系的布局。
在平移变换之后，原有的坐标系会随之发生改变，因此我们需要根据新的图形位置重新确定坐标系。
3. 坐标系和平移变换的综合应用在几何图形的研究中，我们经常会用到坐标系和平移变换。
通过在坐标系中进行平移变换，我们可以研究图形的性质、计算图形的参数等。
坐标与位置变化
伸长：新图案的坐标变为原图案坐标的a倍，则将原图案伸长a倍，便可得新图案．
压缩：新图案的坐标变为原图案坐标的 (a＞1)，则将原图案压缩 ，便可得新图案．
【例5】 下面的方格 纸中画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1.
(2)如果将各顶点的纵坐标都加上3，横坐标不变，顺次连接各顶点，所得图形与原图形的位置有什么变化？
(3)将各顶点的横坐标都加上4，纵坐标都加上5，顺次连接各顶点，所得的图 形与原图形的位置有怎样的变化？
图1
解：(1)A，B，C，D，E点的横坐标都加上3，所得顶点的坐标分别是A1(1,0)，B1(4,2)，C1(5,1)，D1(6,2)，E1(5,0)，依次连接各点得图形A1B1C1D1E1，图形A1B1C1D1E1相当于图形ABCDE向右平移了3个单位长度后得到的(如图2)．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为_______，B4的坐标为_______.
（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，推测An的坐标为____________,Bn的坐标为________.
2.在直角坐标系 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平 行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为（ ）
⑶写出点B′的坐标．
5.李老师从“淋浴龙头”受到启发 ，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的线段 ，实数 对应 上的点 ，如图1；将 折成正三角形，使点 重合于点 ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于 轴对称，且点 的坐标为（0,2）， 与 轴交于点 ，如图3.当 时，求 的值.你解答这个题目得到的 值为（ ）
坐标变换和坐标系的平移
坐标变换和坐标系的平移坐标变换和坐标系的平移是数学中常见且重要的概念，它们在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍坐标变换和坐标系的平移的基本概念、原理和用途，以及如何进行坐标变换和坐标系的平移。
一、坐标变换的概念和原理坐标变换是一种将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中的点的坐标的过程。
在二维平面中，我们通常用x、y表示一个点在直角坐标系中的坐标。
当我们需要将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系时，我们需要知道两个坐标系之间的关系。
坐标变换的原理基于线性变换的基本原理。
在二维平面中，我们可以使用矩阵乘法来表示坐标变换。
假设有一个点P=(x, y)在坐标系A中的坐标，我们希望将其转换到坐标系B中。
那么我们可以使用一个2x2的矩阵M，表示从坐标系A到坐标系B的变换。
坐标变换的过程可以表示为：[P'] = [M] [P]其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
矩阵M的每个元素表示了坐标系的缩放、旋转和错切等变换。
通过选择不同的矩阵M，我们可以实现不同的坐标变换效果。
二、坐标系的平移坐标系的平移是指在原有坐标系的基础上，将整个坐标系沿着某个方向平移一定的距离。
在二维平面中，我们可以将一个坐标系中的点的坐标表示为(x, y)，将坐标系的平移表示为向量(t_x, t_y)。
那么在将点P从坐标系A平移到坐标系B时，我们可以使用以下公式进行计算：[P'] = [P] + (t_x, t_y)其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
在这个过程中，不仅点的坐标发生了变化，整个坐标系也随之平移。
三、坐标变换和坐标系平移的应用坐标变换和坐标系的平移在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
它们可以用于处理图像的旋转、缩放和平移，实现图像的变换和变形。
在物理学中，坐标变换可以用于描述和计算粒子在不同坐标系中的运动和相互作用。
在工程学中，坐标变换可以用于处理三维模型的变换和显示。
平面解析几何中的坐标变换
平面解析几何中的坐标变换在平面解析几何中，坐标系统是我们研究和描述平面上的点和图形的重要工具。
坐标变换是指将一个点的坐标转换为另一个坐标系统中的坐标的过程。
在本文中，我们将探讨平面解析几何中的常见坐标变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。
一、平移变换平移变换是指将平面上的点沿着指定的向量移动一定的距离，而保持点在平移之前的方向不变。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它平移d单位，那么它的新坐标为P'(x+d, y+d)。
平移变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡1 0 d⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢0 1 d⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣0 0 1⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为平移之后的坐标，d为平移的距离。
二、旋转变换旋转变换是指将平面上的点绕着一个给定的旋转中心顺时针或逆时针旋转一定的角度。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它绕旋转中心O旋转θ角度，那么它的新坐标为P'(x', y')。
旋转变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡cosθ -sinθ⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣sinθ cosθ⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为旋转之后的坐标，θ为旋转角度。
三、缩放变换缩放变换是指将平面上的点按照一定的比例扩大或缩小，而不改变点在所缩放前的方向。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它按照给定的比例水平缩放sx，垂直缩放sy，那么它的新坐标为P'(x', y')。
缩放变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡sx 0⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣ 0 sy⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为缩放之后的坐标，sx为水平缩放系数，sy为垂直缩放系数。
四、镜像变换镜像变换是指将平面上的点按照给定的镜像轴进行对称翻转。
图形在坐标系中的平移课件
平移的性 质
平移前后，图形上对 应点的距离保持不变。
平移过程中，图形上 各点移动的距离和方 向相同。
平移不改变图形的形 状和大小，只改变其 位置。
平移的分 类
水平平移
图形在水平方向上移动。
竖直平移
图形在竖直方向上移动。
斜向平移
图形在任意方向上移动。
02 图形在坐标系中的平移
点的平移
总结词
点的平移是指一个点在坐标系中沿着某一方向移动一定的距离。
图形在坐标系中的平移 课件
目录
Contents
• 平移的定义与性质 • 图形在坐标系中的平移 • 平移变换的应用 • 平移变换的数学表达 • 平移变换的物理意义
01 平移的定义与性质
平移的定 义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 直线移动一定的距离，而不改变 图形的大小和形状。
02
平移不改变图形上点的坐标，只 是使图形在坐标系内移动。
05 平移变换的物理意义
力的作用效果
物体在力的作用下产生加速度， 在坐标系中表现为图形的平移。
力的方向决定了平移的方向， 力的大小决定了平移的距离。
当物体受到多个力的作用时， 其平移效果是各个力作用效果 的合成。
运动的合成与分解
平移变换是运动的一种形式，可 以通过运动的合成与分解来理解。
在平面坐标系中，平移变换可以 看作是物体在两个方向上的分运
详细描述
在二维坐标系中，如果一个点 $(x, y)$ 沿着 $x$ 轴正方向移动 $a$ 个单位，其 新坐标变为 $(x+a, y)$；如果沿着 $x$ 轴负方向移动 $a$ 个单位，其新坐标变 为 $(x-a, y)$。类似地，沿着 $y$ 轴移动的情况也类似。
高中数学坐标变换与图形平移技巧
高中数学坐标变换与图形平移技巧在高中数学中，坐标变换与图形平移是一个非常重要的概念和技巧。
通过坐标变换，我们可以将一个图形在平面上进行平移、旋转、缩放等操作，从而得到新的图形。
这不仅有助于我们更好地理解几何形状的性质，还可以帮助我们解决一些与图形相关的数学问题。
一、平面上的点与坐标首先，让我们回顾一下平面直角坐标系。
在二维平面上，每个点都可以用一个有序数对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在 x 轴上的位置，y 表示点在 y 轴上的位置。
这个有序数对就是点的坐标。
以点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2) 为例，我们可以通过坐标变换来计算两点之间的距离。
根据勾股定理，两点间的距离可以用以下公式表示：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]这个公式在解决几何问题时非常有用，例如求两点间的距离、证明三角形是否为等边三角形等。
二、图形的平移图形的平移是指将整个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变图形的形状和大小。
平移可以用坐标变换来实现。
以平移一个点为例，如果我们要将点 A(x, y) 沿着 x 轴正方向平移 a 个单位，y轴正方向平移 b 个单位，那么平移后的点 A' 的坐标为 (x+a, y+b)。
同样地，如果我们要平移一个图形，只需要将图形中的每个点都进行相同的平移操作即可。
例如，如果我们要将一个三角形 ABC 沿着 x 轴正方向平移 a 个单位，y 轴正方向平移 b 个单位，那么平移后的三角形 A'B'C' 的顶点坐标分别为 A'(x1+a, y1+b)，B'(x2+a, y2+b)，C'(x3+a, y3+b)。
通过图形的平移，我们可以解决一些与图形位置相关的问题，例如判断两个图形是否重合、证明两个图形是否全等等。
三、图形的旋转除了平移，我们还可以通过坐标变换实现图形的旋转。
图形的旋转是指将整个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，而不改变图形的形状和大小。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
平移旋转和翻折的坐标变换
平移旋转和翻折的坐标变换平移、旋转和翻折是数学中常用的坐标变换方法，可以通过这些变换将图形在平面上进行移动、旋转和翻折。
本文将深入探讨平移、旋转和翻折的坐标变换，介绍其原理和应用。
一、平移的坐标变换平移是一种简单的坐标变换方法，它可以将图形在平面上进行平移，即保持图形的形状和大小不变，在平面上沿着指定的方向移动。
平移操作的坐标变换公式为：(x', y') = (x + a, y + b)其中，(x, y)为原图形的坐标，(x', y')为平移后图形的坐标，a和b分别为图形在x轴和y轴方向上的平移距离。
以一个简单的例子来说明平移的坐标变换。
假设有一个正方形，其顶点坐标为A(0, 0)、B(0, 3)、C(3, 3)、D(3, 0)，现在需要将该正方形在x轴方向上平移4个单位，y轴方向上平移2个单位。
根据平移的坐标变换公式，可以计算出平移后的坐标：A'(0+4, 0+2) = A'(4, 2)B'(0+4, 3+2) = B'(4, 5)C'(3+4, 3+2) = C'(7, 5)D'(3+4, 0+2) = D'(7, 2)通过计算可得到平移后的新坐标。
二、旋转的坐标变换旋转是一种常用的坐标变换方法，它可以将图形在平面上绕着指定点旋转一定角度。
顺时针旋转的角度用负值表示，逆时针旋转的角度用正值表示。
旋转操作的坐标变换公式为：(x', y') = (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)其中，(x, y)为原图形的坐标，(x', y')为旋转后图形的坐标，θ为旋转的角度，(xc, yc)为指定的旋转中心点的坐标。
以一个简单的例子来说明旋转的坐标变换。
假设有一个三角形，其顶点坐标为A(0, 0)、B(3, 0)、C(0, 2)，现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转90度。
知识点4 坐标与图形的变化(含解析)
知识点4 坐标与图形的变化知识链接1、坐标与图形变化－－－对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，－y）．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（－x，y）．（3）关于直线对称①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m－a，b）②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n－b）2、坐标与图形变化－－－平移（1）平移变换与坐标变化向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x－a，y）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y－b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）3 坐标与图形变化－－－旋转（1）关于原点对称的点的坐标．即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（－x，－y）．（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．同步练习1．（2014•大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3）考点：坐标与图形变化－平移．分析：根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．解答：∵点（2，3）向上平移1个单位，∴所得到的点的坐标是（2，4）．故选：C．2．（2014•呼伦贝尔）将点A（－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：坐标与图形变化－平移．分析：先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减) ，,求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．解答：点A（－2，－3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，－3），故点在第四象限．故选D．3．（2014•牡丹江）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A．（－x，y－2）B．（－x，y+2）C．（－x+2，－y）D．（－x+2，y+2）考点：坐标与图形变化－平移．分析：先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（－x，y+2），即为P′点的坐标．解答：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（－x，y+2）．故选：B．4．（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（－2012，2）B．（－2012，－2）C．（－2013，－2）D．（－2013，2）考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化－对称、平移．专题：规律型．分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．解答：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（－2012，2）．故选：A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n 为偶数时为（2－n，2）是解此题的关键．5．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为．考点：坐标与图形变化－平移．分析：根据点向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x－a，y）进行计算即可．解答：∵点A坐标为（1，3），∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1－2，3），即（－1，3），故答案为：（－1，3）．6．（2014•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是．考点：坐标与图形变化－平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解答：点A（－1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（－1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，－2），故答案为：（2，－2）．7．（2014•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是，A1的坐标是．考点：坐标与图形变化－平移．分析：根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变解答．解答：∵点O （0，0），A （1，3），线段OA 向右平移3个单位，∴点O 1的坐标是（3，0），A 1的坐标是（4，3）．故答案为：（3，0），（4，3）．*8．（2014•巴中）如图，直线y =−34x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△A 0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是 ．考点：坐标与图形变化－旋转．分析：首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，B ′的横坐标等于OA +OB ，而纵坐标等于OA ，进而得出B ′的坐标．解答：直线y =－34x +4与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点， ∵旋转前后三角形全等，∠O ′AO =90°，∠B ′O ′A =90°∴OA =O ′A ，OB =O ′B ′，O ′B ′∥x 轴，∴点B ′的纵坐标为OA 长，即为3，横坐标为OA +OB =OA +O ′B ′=3+4=7，故点B ′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．点评：本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B 和点B ′位置的特殊性，以及点B ′的坐标与OA 和OB 的关系．9．（2013•梅州）如图，在平面直角坐标系中，A （－2，2），B （－3，－2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为______；（2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为______；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化－平移；概率公式．分析：（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；（2）把点A 的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D 的坐标；（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可．解答：（1）∵点C 与点A （－2，2）关于原点O 对称，∴点C 的坐标为（2，－2）；（2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A （－2，2），B （－3，－2），C （2，－2），D （3，2），∵在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（－1，1），（0，0），（1，－1），∴P =153=51． 点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化－平移，概率公式．难度适中，掌握规律是解题的关键．10．（黄冈）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标是A （－2，3），B （－4，－1），C （2，0），将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置，点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1，若点A 1的坐标为（3，1）．则点C 1的坐标为______．考点：坐标与图形变化－平移．分析：首先根据A 点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A 横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C 的横坐标加5，纵坐标－2即为点C 1的坐标．解答：由A （－2，3）平移后点A 1的坐标为（3，1），可得A 点横坐标加5，纵坐标减2，则点C 的坐标变化与A 点的变化相同，故C 1（2+5，0－2），即（7，－2）． 故答案为：（7，－2）．点评：本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律．11．（北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以31，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P ′．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A ′B ′，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′．如图1，若点A 表示的数是－3，则点A ′表示的数是______；若点B ′表示的数是2，则点B 表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E ′与点E 重合，则点E 表示的数是______．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），得到正方形A ′B ′C ′D ′及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F ′与点F 重合，求点F 的坐标．考点：坐标与图形变化－平移；数轴；正方形的性质；平移的性质．。
四年级下册平移旋转和轴对称知识点
四年级下册平移旋转和轴对称知识点一、平移知识点解析：平移是指在同一平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移后的图形与原图形完全相同，只是位置发生了变化。
扩展内容：1.平移的方向和距离：平移不仅涉及到移动的方向，还涉及到移动的距离。
例如，一个图形向右平移5个单位，意味着图形中的每一个点都向右移动了5个单位。
2.平移与坐标：在坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标来实现。
例如，一个点A(x, y)向右平移3个单位，其新的坐标变为(x+3, y)。
3.平移与日常生活：平移在日常生活中非常常见，如电梯的上下移动、火车在轨道上的直线行驶等。
二、旋转知识点解析：旋转是指图形绕某一点（旋转中心）转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转。
旋转后的图形与原图形在形状和大小上完全相同，只是方向发生了变化。
扩展内容：1.旋转的中心和角度：旋转涉及到旋转中心和旋转角度。
例如，一个图形绕点O旋转90度，意味着图形中的每一个点都绕点O转动了90度。
2.旋转与坐标：在坐标系中，旋转可以通过旋转矩阵或极坐标来实现。
例如，一个点A(x, y)绕原点O逆时针旋转90度，其新的坐标变为(-y, x)。
3.旋转与日常生活：旋转在日常生活中也很常见，如门的开关、风扇的转动等。
三、轴对称知识点解析：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
扩展内容：1.对称轴的数量和位置：不同的图形可能有不同的对称轴数量和位置。
例如，正方形有4条对称轴（两条对角线和两条中垂线），而圆形有无数条对称轴（任何经过圆心的直线都是其对称轴）。
2.轴对称与日常生活：轴对称在日常生活中也很常见，如建筑物的对称设计、自然界中的对称现象（如蝴蝶的翅膀）等。
3.轴对称与美学：轴对称在艺术和美学中有着重要的地位，因为它能给人一种平衡、和谐的感觉。
通过对平移、旋转和轴对称的深入学习和理解，学生不仅可以掌握这些基本的图形变换方法，还可以将其应用于日常生活和实际问题中，进一步拓展其数学思维和解决问题的能力。
高考数学中的坐标变换解析技巧
高考数学中的坐标变换解析技巧高考数学是考生必须面对的一项大考，而其中数学部分又是很多人感到头痛的难点。
尤其是在坐标系中的几何变换题目，常常让考生们懵逼。
今天，我将从解析的角度，为大家分享一下高考数学中的坐标变换技巧。
一、平移变换平移变换是最基本的一种坐标变换，它将一个图形沿着平行方向移动到另一个位置。
在二维坐标系中，平移变换可以用向量表示。
对于平面上一个点 P（x，y）和向量 a（u，v），它的平移点就是P′（x+u，y+v）。
其中向量 a 就是平移向量，它的起点和终点分别是两个点。
那么，在高考数学中，我们如何应用平移变换呢？举个例子，如果给出两个平面上的点 A（2，3），B（4，6），让我们求通过A、B 两点的一条直线上所有点的坐标，则可以通过平移变换来解决。
我们可以将点 A 平移到坐标系原点，此时点 B 就成了向量（2，3），然后我们再将向量（1，3）的所有倍数加到向量（2，3）上以获得直线上所有点的坐标。
最后再将所有坐标加上向量（2，3）即可得到直线上所有点的坐标。
二、旋转变换旋转变换指的是将一个图形绕坐标系的某个点旋转一定角度后，得到一个新的图形。
在二维坐标系中，旋转变换可以用矩阵表示。
对于任意一个点 P（x，y）和平面内的旋转中心 O（a，b），若点P 绕图形中心 O 逆时针旋转θ 角度，则点 P 的新坐标为：x' = (x - a)cosθ - (y - b)sinθ + ay' = (x - a)sinθ + (y - b)cosθ + b在高考数学中，我们经常遇到的旋转变换题目就是要求我们将某个图形按照一定的角度旋转后，再求出旋转后图形上某一点的坐标。
例如，如果给出一个点 P（2，3），它绕点 O（1，1）逆时针旋转 60 度后所得的新坐标是多少，我们可以通过上述公式进行计算。
三、对称变换对称变换具有两种，分别是关于 x 轴和 y 轴的对称变换。
它们可以分别表示为 Sx 和 Sy，它们分别将一个点的横纵坐标分别关于 x 轴或 y 轴取相反数得到新的点的坐标。
坐标表示平移PPT课件
• 引言 • 平移的坐标表示 • 平移的数学模型 • 平移的物理意义 • 平移的应用实例 • 总结与展望
01
引言
平移的定义与性质
总结词
平移是图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，但不改变其形状和大小。平移具有传 递性、周期性和向量性等性质。
详细描述
平移是图形在平面内的一种基本变换，它保持了图形的基本属性，如形状、大小和方向 等。平移具有传递性，即如果图形A经过平移得到图形B，图形B再经过平移得到图形C， 那么图形A经过平移也可以得到图形C。此外，平移还具有周期性和向量性，即图形可
三维平移的坐标表示
总结词
三维平移涉及三个方向的移动，需要使用三个平移向量来表示。
详细描述
在三维空间中，假设原点为 $O(x, y, z)$，平移后的点为 $P'(x', y', z')$，则三 个平移向量分别为 $Delta x = x' - x$、$Delta y = y' - y$ 和 $Delta z = z' z$。这些向量共同决定了三维空间中的平移。
06
总结与展望
平移的重要性和意义
平移是图形变换的一种基本形式，在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。通过平移，我们可以对图形进行位置调 整、拼接、组合等操作，从而实现图形的变换和运动。
平移不仅在理论上有重要的研究价值，在实际应用中也具有广泛的意义。例如，在计算机图形学中，平移被广泛应用于图像 处理、动画制作、游戏开发等领域；在机械工程中，平移可以用于设计图纸的绘制和机械零件的定位；在物理学中，平移可 以描述物体的运动轨迹和速度方向。
以沿同一方向无限平移下去，且平移的距离可以表示为一个向量。
坐标旋转变换和平移变换
坐标旋转变换和平移变换现代计算机图形学中，坐标旋转变换和平移变换是非常基础的变换操作，也是构建各种图形算法的重要基础。
在这篇文章中，我将会从基本概念入手，解析坐标旋转和平移变换的原理、应用和相互关系。
一、坐标旋转变换坐标旋转变换，简单地说就是将平面或空间中的点围绕某一轴心点旋转一定角度，从而改变其坐标位置。
坐标旋转变换可分为二维和三维，下面分别讲解。
1. 二维坐标旋转变换我们知道，二维坐标系中的每个点都有两个坐标值，分别表示在横轴和纵轴上的位置。
以原点 A(x, y) 为中心点，将第一个象限(x>0, y>0) 沿其上对称轴旋转α 角度，可以得到新点 B(x', y')。
其中，x' 与 y' 的计算方式如下：x' = xcosα - ysinαy' = xsinα + ycosα其中cosα 和sinα 是旋转角度α 对应的余弦值和正弦值。
以此类推，对于第二、三、四象限的点坐标变换，只需要考虑对称轴所在的二三象限、一四象限即可。
2. 三维坐标旋转变换三维坐标旋转变换也是类似的，只是需要绕各个坐标轴进行旋转。
以绕 Z 轴正方向为例，点 P(x, y, z) 绕该轴旋转α 角度后，可得到新的点 P'(x', y', z')。
其中，x'、y'、z' 的计算方式分别如下：x' = xcosα - ysinαy' = xsinα + ycosαz' = z其他绕 X 轴和 Y 轴的坐标旋转变换同理，只是需要改变对应的计算公式和旋转轴。
二、平移变换平移变换是指改变点或图形在坐标系中的位置，其实现方法是通过增加或减少图形的 x、y、z 坐标值来实现。
平移变换也分为二维和三维，下面分别讲解。
1. 二维平移变换在平面中，将坐标点 A(x, y) 沿 x 轴平移 Tx，y 轴平移 Ty，则新坐标点 A'(x', y') 计算方式如下：x' = x + Txy' = y + Ty其中，Tx 和 Ty 表示水平和垂直方向的平移距离。
新北师大版八年级数学下册《三章 图形的平移与旋转 1. 直角坐标系中图形的平移与坐标的变化》教案_12
第三章图形的平移与旋转3．1图形的平移第1课时平移的认识1．通过具体实例理解平移的概念，掌握平移的基本性质(重点)．2．通过观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，体会平移来源于生活．自学指导：阅读教材P65～66内容，完成下列问题．知识探究1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移．平移不改变图形的形状和大小，改变的是位置．2．平移的性质：(1)平移前后的两个图形大小、形状一样；(2)经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．自学反馈1．下列现象中，属于平移的是(1)(3)(5)．(1)火车在笔直的铁轨上行驶；(2)冷水受热过程中小气泡上升变成大气泡；(3)人随电梯上升；(4)钟摆的摆动；(5)飞机起飞前在直线跑道上滑动．2．如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是平行且相等．活动1小组讨论例1如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形．解：如图，过点B、C分别作线段BE、CF，使得它们与线段AD平行并且相等，连接DE，DF，EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形．设顶点B、C分别平移到了点E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行且相等”，可知线段BE、CF与AD平行且相等．例2如图，点A，B，C，D分别平移到了点E，F，G，H；点A与点E，点B与点F，点C与点G，点D与点H 分别是一对对应点，AB与EF是一对对应线段，∠BAD与∠FEH是一对对应角．(1)在下图中，线段AE、BF、CG、DH有怎样的位置关系？(2)在下面图中，有哪些相等的线段、相等的角？(3)由(1)(2)两个问题，你能归纳出什么结论？解：(1)四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，由演示可知：线段AE、BF、CG、DH是互相平行的，并且这四条线段又相等．(2)图中相等的线段：AB＝EF、BC＝FG、CD＝GH、AD＝EH、AE＝BF＝CG＝DH.图中相等的角：∠ABC＝∠EFG、∠BAD＝∠FEH、∠ADC＝∠EHG、∠BCD＝∠FGH.(3)平移的基本性质：经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等．这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小．活动2跟踪训练如图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH.填空：(1)CD＝GH；(2)∠F＝∠B；(3)HE＝DA；(4)∠D＝∠H．活动3课堂小结1．通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移．(在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．)2．总结出了平移的性质．(平移不改变图形的形状和大小．经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等．)第2课时沿x轴或y轴方向平移的坐标变化探究横向或纵向平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系．(重点)自学指导：阅读教材P68～69内容，完成下列问题．知识探究在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴正(负)方向平移a(a＞0)个单位长度后的图形与原图形相比，对应点的横坐标加上(减去)a，纵坐标不变；图形沿y轴正(负)方向平移a(a＞0)个单位长度后的图形与原图形相比，对应点的横坐标不变，纵坐标加上(减去)a．自学反馈1．如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个长度单位，那么平移后对应的点A′的坐标是(C)A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1)2．将点M(－1，－5)向左平移3个单位长度得到点N，则点N所处的象限是(C)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限活动1小组讨论例1在平面直角坐标系中，点A(－2，3)平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A(C) A．向右平移2个单位长度B．向左平移2个单位长度C．向右平移4个单位长度D．向左平移4个单位长度解析：关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，∴点A(－2，3)平移后的坐标为(2，3)．∵横坐标增大，∴点A是向右平移得到，平移距离为|2－(－2)|＝4.故选C.例2点P(－2，1)向下平移2个单位长度后，关于x轴对称的点P′的坐标为(C)A．(－2，－1) B．(2，－1)C．(－2，1) D．(2，1)沿x轴或y轴方向平移的坐标变化可简记为“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”．活动2跟踪训练1．将△ABC的各顶点的横坐标分别加上3，纵坐标不变，连接所得三点组成的三角形是由△ABC(B) A．向左平移3个单位长度得到的B．向右平移3个单位长度得到的C．向上平移3个单位长度得到的D．向下平移3个单位长度得到的2．将点P(2m＋3，m－2)向上平移1个单位长度得到P′，且P′在x轴上，则m＝1．3．线段AB是由线段CD平移得到，点A(－2，1)的对应点为C(1，1)，则点B(3，2)的对应点D的坐标是(6，2)．活动3课堂小结1．图形沿x轴平移的坐标变化：在平面直角坐标系中，如果把图形中点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着x轴向右(或向左)平移a个单位长度．2．图形沿y轴平移的坐标变化：在平面直角坐标系中，如果把图形中点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着y轴向上(或向下)平移a个单位长度．第3课时沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化探究一次平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点．(重点)自学指导：阅读教材P71～73内容，完成下列问题．知识探究一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．自学反馈1．将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是(D) A．(1，2)B．(1，－2)C．(－1，2) D．(－1，－2)2．在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度后，得到的点位于(D) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限活动1小组讨论例如图所示，四边形ABCD各顶点的坐标为A(－3，5)，B(－4，3)，C(－1，1)，D(－1，4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A′B′C′D′.(1)四边形A′B′C′D′与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A′，B′，C′，D′的坐标；(2)如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．解：(1)四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了3，A′(1，8)，B′(0，6)，C′(3，4)，D′(3，7)．(2)连接AA′，由图可知，AA′＝32＋42＝5，四边形A′B′C′D′可认为是由四边形ABCD沿着由A到A′的方向，平移5个单位长度得到的．一个图形一次沿x轴方向，y轴方向平移后所得的图形，可以看成是由原来图形经过一次平移得到的．活动2跟踪训练1．如果将平面直角坐标系中的点P(a－3，b＋2)平移到点(a，b)的位置，那么下列平移方法中正确的是(C) A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度2．在平面直角坐标系中，将点(3，－1)向下平移3个单位长度，可以得到对应点(3，－4)；将得到的点向右平移2个单位长度，可以得到对应点(5，－4)．3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，3)，B(－4，－1)，C(2，0)，将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，且点A1的坐标为(3，1)，请分别写出点B1，C1的坐标．解：B1(1，－3)，C1(7，－2)．活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？3．2图形的旋转第1课时旋转的认识掌握旋转、旋转中心和旋转角的概念，并理解旋转的性质．(重点)自学指导：阅读教材P75～76内容，完成下列问题．知识探究1．在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．旋转不改变图形的形状和大小．2．一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所组成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．自学反馈1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A)A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动2．线段MN绕点P进行旋转后，得到线段M1N1，则点M与点P距离＝点M1与点P的距离．(填“＞”“＜”或“＝”)活动1小组讨论例1如图，点A，B，C，D都在方格纸的点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(C)A．30°B．45°C．90°D．135°对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以旋转角∠BOD＝90°.例2如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AF的长度是多少？解：(1)旋转中心是A点．(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点．又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.(3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝42＋12＝17.∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝17.正确的理解旋转的定义和性质．活动2跟踪训练如图，已知P是等边△ABC内的一点，连接AP，BP，将△ABP旋转后能与△CBP′重合，根据图形回答：(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转角是几度？(3)连接PP′后，△BPP′是什么三角形？解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°.又∵将△ABP旋转后能与△CBP′重合，∴AB与CB重合．∴旋转中心是点B.(2)∵将△ABP绕点B顺时针旋转后能与△CBP′重合，∴旋转角等于∠ABC＝60°.(3)△BPP′是等边三角形．理由如下：∵旋转角为60°，即∠PBP′＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′是等边三角形．活动3课堂小结1．旋转的概念：将一个图形绕一个顶点按照某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．2．旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等．第2课时旋转作图能画出简单图形旋转后的对应图形．(重点)自学指导：阅读教材P78～79内容，完成下列问题．知识探究旋转作图的步骤：(1)确定旋转中心，旋转方向，旋转角；(2)找出图形的关键点；(3)作出关键点经旋转后的对应点；(4)按图形的顺序连接对应点，得到旋转后的图形．自学反馈1．如图，将左边叶片图案旋转180°后，得到的图形是(D)2．把如图所示的图形绕着O点顺时针旋转90°后，得到的图形是(C)活动1小组讨论例如图，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．解：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX＝60°；(2)在射线AX上取点C，使得AC＝AB.线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．解决这类作图题，紧扣旋转的特征即可．活动2跟踪训练1．对如图所示的图形，下列说法错误的是(C)A．图1绕点“O”顺时针旋转270°到图4B．图1绕点“O”逆时针旋转180°到图3C．图3绕点“O”顺时针旋转90°到图2D．图4绕点“O”顺时针旋转90°到图12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是(C)A．(1，4)B．(4，1)C．(4，－1)D．(2，3)3．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1，请用直尺和圆规作出旋转中心O.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示，点O为所作．4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)，将△ABC 绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′.解：如图所示，△A′BC′即为所求．活动3课堂小结根据旋转的性质，掌握旋转作图的步骤．3．3中心对称1．理解中心对称、对称中心、中心对称图形等概念，能识别中心对称图形．(重点)2．通过作图探索成中心对称的两个图形的性质．(重点)3．能运用中心对称的性质作出一个图形关于某点对称的图形，并确定对称中心的位置．(重点)自学指导：阅读教材P81～82内容，完成下列问题．知识探究1．如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．3．把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．自学反馈1．下列手机软件图标中，属于中心对称图形的是(D)2．关于中心对称的两个图形中，对应线段的关系是(D)A．相等B．平行C．相等且平行D．相等且平行或相等且在同一直线上活动1小组讨论例1如图，在中心对称的两个图形中，对称点A，A′和对称中心O在一直线上，并且AO＝OA′，另外分别在一直线上的三点还有B，O，B′和C，O，C′，并且BO＝B′O，CO＝C′O．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．也就是：(1)对称中心在任意两个对称点的连线上．(2)对称中心到一对对称点的距离相等．根据这个，可以找到关于中心对称的两个图形的对称中心，通常只需连接中心对称图形上的一对对应点，所得线段的中点就是对称中心，同时在证明线段相等时也有应用．例2如图，四边形ABCD和点O，画出四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于点O成中心对称．解：(1)连接AO并延长AO到A′，使OA′＝OA，于是得到点A的对称点A′.(2)同样画出点B、点C和点D的对称点B′，C′和D′.(3)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.四边形A′B′C′D′即为所求的四边形．活动2跟踪训练1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(B)2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，则AD＝EF，∠ABC＝∠FGH．3．如图，已知六边形ABCDEF是以点O为对称中心的中心对称图形，画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．解：作法如下：图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF.4．下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形．活动3课堂小结1．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心．2．识别中心对称的方法：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.3.4简单的图案设计1．能利用平移、旋转或轴对称以及它们的组合解决一些简单的图案设计问题，并会利用它们分析图案．(重点) 2．通过观察、交流、创作，培养学生的动手操作能力和创新能力．(难点)自学指导：阅读教材P85的内容，完成下列问题．自学反馈1．平移、旋转、对称的联系：都是平面内的变换，都不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．2．如图所示的图案由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其他方式吗？解：可以．归纳：图形的平移、旋转、对称是图形变换中最基本的三种变换方式．活动1小组讨论例欣赏图中的图案，并分析这个图案形成的过程．解：图中的图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”(形状、大小完全相同)．在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到的；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点．活动2跟踪训练1．国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到(D)A．轴对称B．平移C．旋转D．平移和旋转2．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°3．广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和旋转等．活动3课堂小结充分运用平移、旋转或轴对称，按照所要表达的意思，对基本图案进行操作，设计出相应图案．。
数学图形平移的知识点总结
数学图形平移的知识点总结数学图形平移是几何学中的一个重要概念，它是指将一个图形在平面上沿着某个方向和距离进行移动的操作。
平移操作可以改变图形的位置，但不改变其形状和大小。
平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
在平移操作中，我们需要了解一些概念以及相关的性质和定理。
一、平移的定义和性质1. 平移的定义平移是指把一个图形完全移动到另外一个位置，使得每一个点都保持原位置和原来的距禈。
可以用向量来描述平移的过程，如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
2. 平移的性质① 平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置；② 平移操作是可以叠加的，即若图形A经过平移得到了图形B，若再对图形B进行一次平移，则得到的图形和直接对图形A进行平移后得到的图形是一样的；③ 平移和原图形的面积、周长、角度等性质都是一样的；④ 平移是一个刚性变换，它保持了图形的相对位置和相似关系。
二、平移的表示方法1. 向量表示法平移可以用向量来表示。
给定向量AB（a，b），将点P（x，y）平移到点P’（x+a，y+b）。
2. 坐标表示法平移也可以用坐标表示法来描述。
对于平面上的一个图形，如果将每一个顶点（x，y）移动到（x+a，y+b），那么这就是图形的平移。
三、图形的平移与原图形的关系1. 图形的位置关系在平移中，我们需要了解图形和它的平移图形之间的位置关系。
平移后的图形和原图形相对位置并没有改变，只是位置发生了平移。
2. 平移图形的坐标平移图形的坐标可以通过原图形的坐标和平移向量来计算。
如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
3. 平移图形的面积、周长等平移不改变图形的形状和大小，平移后的图形和原图形具有相同的面积、周长和角度等性质。
四、平移的实际应用平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
它在实际生活中有许多应用，比如地图上的标注、建筑设计、计算机图形学等方面。
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引入
探究一
探究二
议一议
做一做
试想：若各点横坐标保持不变，纵坐标分别加上2，所得各点坐
标分别是什么？观察所得的鱼与原来的鱼相比有什么变化？
图中的鱼坐标为：
y
5 4 3
(x, y) (0, 0) (5, 4) x (5, 1) (3, 0)
(x,y+2) (0, 2) (5, 6) (5, 3) (3, 2)
2
1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
(0, 0) (-2, 0) (5, 4) (3, 4)
(3, 0) (1, 0)
-2 -1
(5, 1) (3, 1)
(5,-1) (3, -1) (3, 0) (1, 0) (-2, 0) (4,-2) (2, -2)
原图形被向左平移2个单位
2
1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4
(3, 0) (3, 2)
5
6 7 8 9
(5,-1) (5, 1) (4,-2) (4, 0)
(0, 0) (0, 2) 原图形被向上平移 2个单位 同原图形比较你发现有什么变化？
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
y
5
4 3 2
y
5
4 3 2
1
0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9
图形沿x轴方向，向左平移a个单位 （x, y）→(x-a,y)
图形沿y轴方向，向上平移a个单位 （x, y）→(x,y+a)
图形沿y轴方向，向下平移a个单位 （x, y）→(x,y-a)
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
坐标的变化
图形位置的变化
（x,y）→(x+a,y) 当α ＞0时，图形沿x轴方向，向右 平移a个单位 当α ＜0时，图形沿x轴方向，向左 平移∣a∣个单位 （x,y）→(x,y+a) 当α ＞0时，图形沿y轴方向，向上 平移a个单位 当α ＜0时，图形沿y轴方向，向下 平移∣a∣个单位
y
5
4 3
（5,4） （8,2）
1、图中的“鱼” 是由原来的“鱼” 怎样变化而得到 的？
2 原图形各点的横坐标加 3，纵坐标 1 加-2，就得到了新图形的各点坐标 . -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2、它们的对应 “点”的坐标有 怎样的关系？
（0,0 –1 ）
–2 –3 –4 –5
0
-1 –2 –3 –4 –5
x
(5, 1) (3, 0) (0, 0)
(5,-1) (7,-4) (4,-2) (6,-5)
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
如果把一个图形沿x轴、y轴方向平移一次，图形上点的 坐标又有怎样的变化呢？
图形位置的变化 坐标的变化
图形沿x轴方向，向右平移a个单位 （x, y）→(x+a,y)
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
直击中考
：
如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC经过一定的变 换到达△A’B’C’的位置，在△ABC上有一点p，其坐标（a,b）, 那么这个点在△A’B’C’中的对应点p’的坐标是（ ）
y B’
B C 0 A’
C’
x
A、（a+2, b+4） B、（a+2, b-4） C、（a- 4, b+2） D、（a+4, b+2）
x
1
0 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
-3
-4
图形上点的横坐标不变，纵坐标加a. 图形上点的横坐标，纵坐标是怎样变化的？ 当a 是正数时，原图形形状、大小不变，向上平移a个单位长度. 它的变化与图形的形状、大小、位置有什么关系？ 当a 是负数时，原图形形状、大小不变，向下平移∣a∣个单位长度.
(0, 0)
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
y
5 4 3 2 1 5 4 3 2
y
0
-1 –2 –9
1
0
-1 –2 –3 –4 –5
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
图形上点的纵坐标不变，横坐标加a. 图形上点的横坐标，纵坐标是怎样变化的？ 当a 是正数时，原图形形状、大小不变，向右平移a个单位长度. 它的变化与图形的形状、大小、位置有什么关系？ 当a 是负数时，原图形形状、大小不变，向左平移∣a∣个单位长度.
A
小结
你觉得这节课有什么收获？
坐标 变化与图形的_____ 位置 变化之 知道了图形上点的_____ 间有着密切的关系!
当α＞0时, 图形向右平移a个单位
0 -1 –2 –3 –4 –5
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
若各点纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，所得各点坐标分别 是什么？并观察所得的鱼与原来的鱼相比有什么变化？ 图中的鱼坐标为：
y
5 4 3
(x, y)
(0, 0) (5, 4) x (5, 1) (3, 0)
(x+3,y)
(3, 0) (8, 4) (8, 1) (6, 0)
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
图形上点的横坐标加2，纵坐标减3， 会变成什么样？
y
5 4
图形
图中的鱼坐标为： (x, y) (0, 0) (5, 4) (x+2,y-3) (2,-3) (7, 1) (7,-2) (5,-3) (2,-3)
3
2 1
(3, 0) (5,-3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（3,0） （3,-2）
10 x
（6,-2）
由蓝色的鱼 向右平移3 个单位，再 向下平移了 2个单位得 到的
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
巩固练习： (1)若将一个图形各点的横坐标都加上5个单位
（纵坐标不变），则图形会向 平移 单位。
(2) 若将一个图形各点的纵坐标都减去5个单位
（横坐标不变），则图形会向 平移 单位。
北师大版 八年级《数学》 下
3.1 图形的平移（二）
西安工大附中 薛航
引入
探 究一
探究二
议一议
做一做
在直角坐标系中描出以下各点： (0, 0),(5,4),
y
5 4
(3, 0),(5,1),
(5,-1),(3,0),
3 2 1
(4,-2),(0,0)
并用线段依次连接． 你觉得它象什么?
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
1 -1 0 -1 -2 -3
(3, 0) (6, 0)
1 2 3 4
5
6
7
8
9
(5,-1) (8, -1) (4,-2) (7, -2)
(0, 0) (3, 0) 原图形被向右平移3个单位 同原图形比较你发现有什么变化？
引入
探究一
探究二
议一议
做一做
y
5 4 3
各点的纵坐标保持 不变,将横坐标加上 -2,图形会变成什么 样？ (x, y) (x-2, y)