空间直线和平面总结知识结构图+例题

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

期中复习

［知识串讲］

空间直线和平面： （一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化：

线线∥

线面∥

面面∥

公理

4

(a//b,b//c a//c)

线面平行判定 αβ

αγβγ

//,//I I ==⇒⎫⎬⎭

a b a b

面面平行判定1

a b a b a //,//⊄⊂⇒⎫

⎬⎭ααα

面面平行性质 a b a b A a b ⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭

⎪ααββαβ

,//,////I 线面平行性质

a a

b a b

////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪

⎭

⎪I 面面平行性质1

αβαβ

////a a ⊂⇒⎫

⎬

⎭

面面平行性质

αγβγαβ

//////⎫⎬

⎭⇒

A b

α a

β a

b

α

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理

PA AO PO

a

a OA a PO

a PO a AO

⊥

⊂

⊥⇒⊥

⊥⇒⊥

α

α

α

,为

在内射影

则

线面垂直判定1面面垂直判定

a b

a b O

l a l b

l

,

,

⊂

=

⊥⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

α

α

I

a

a

⊥

⊂

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

线面垂直定义

l

a

l a

⊥

⊂

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

面面垂直性质，推论2

αβ

αβ

β

α

⊥

=

⊂⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

I b

a a b

a

,

αγ

βγ

αβ

γ

⊥

⊥

=

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

I a

a

面面垂直定义

αβαβ

αβ

I=--

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

l l

，且二面角

成直二面角

3. 平行与垂直关系的转化：

线线∥线面⊥面面∥

线面垂直判定2面面平行判定2

面面平行性质3

a b

a

b

//

⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

a

b

a b

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

α

//

a

a

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

//

αβ

α

β

//

a

a

⊥

⊥

⎫

⎬

⎭

a

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5. 唯一性结论：

（三）空间中的角与距离

1. 三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体：

（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）

性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =⨯=⨯=⨯⎧⎨

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪

（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）

h

S 31

V ⋅=底锥

定理：截面与底面平行

则有221h h S S =底

截

正棱锥的性质

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎨⎧∆=+=-=∆α=+=+=∆θ=α=-=∆OEB Rt n 180sin

2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOB

Rt 22

22222222ο

图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是

O O O

O S S 11

221=λ是两个平行截面且、如图

）

（与定比分点公式比较则λ+λ+=1S

S S 21