黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系Word版

分类号O172.2

编号 2012010644

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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.

关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数.

The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Lévesque

Integral

Abstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Lévesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lévesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented.

Keywords: Riemann integral; Lévesque integral;measurable function; integral function

目录

1引言 (2)

1.1 微积分的发展史 (2)

1.2 黎曼积分与勒贝格积分的引入 (2)

2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 (5)

2.1 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 (5)

2.2 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较 (7)

2.3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较 (9)

2.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类 (12)

2.5 黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较 (13)

3 黎曼积分与勒贝格积分的主要联系 (15)

4文章总结和展望 (16)

4.1文章总结 (16)

4.2 文章展望 (16)

参考文献 (18)

致谢 (19)

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

1引言

1.1 微积分的发展史

积分学的历史很早,它起源于求积问题,真正成为积分学萌芽的当属阿基米德的工作,他在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积,其方法是逐次做出与该弓形 同底等高的三角形,然后将这些三角形的面积加起来,之后的很多年虽然微积分的奠基工作一直在紧锣密鼓的进行着,但其中还是存在不少的缺陷,直到17世纪下半叶,牛顿和莱布尼茨创立了微积分学,关于积分中怎样理解无穷小的困扰直至柯西,海涅等人的实数理论及一致连续性的提出,才完成了微积分严密化的任务.

牛顿将微分的思想用到积分上,得出积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算,也发展了不定积分的思想,莱布尼茨从积分思想看出积分运算是微分运算的逆,得到了牛顿—莱布尼茨公式,即设)(x F 是)(x f 的不定积分,则有成立

⎰-=b

a

a F

b F dx x f )()()(.

此公式使得积分的计算大为简便,是积分运算系统的处理方法.微积分成了真正可以应用的理论了.

1.2 黎曼积分与勒贝格积分的引入

数学史上提出用分割区间,做和式的极限来明确的定义积分的是 A. Cauchy,他考察的积分对象是在[]b a ,上的连续函数.并用连续函数的中值性质推导积分的存在性,A. Cauchy 所做的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形,于是对无穷多个不连续点的函数的存在性问题引起很多专家学者的兴趣,对积分发展起推动作用的是J.Fourier 关于三角级数的工作,它指出定义在[]b a ,上的函数)(x f 可表示为

)sin cos (2

)(10nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=.

其中,

π1

=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(. ⎰-=π

ππnxdx

x f b n sin )(1 ,2,1=n . 这一结果虽然缺乏严格的论证,但当时在物理学上的成功应用引起了数学界的极大重视,后来Ddrboux 又得出如下结论.

设)(x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,做划分:∆,10b x x x a n =<<<=

且{},),(sup 1i i i x x x x f M ≤≤=-{}i i i x x x x f m ≤≤=-1),(inf ,2,1=i ,()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ,

()11-=-=∑i i n i i x x m s 下积分()⎰=-

b a S dx x f inf ,上积分()s dx x f b a sup =⎰-,若有

()⎰=-b a S dx x f inf =()s dx x f b a

sup =⎰-

则)(x f 在[]b a ,上是黎曼可积的.

黎曼积分的重要性是显然的,它对处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的函数是足够的,并至今仍突然是微积分课程的主要内容,然而，随着理论工作的深入,人们越来越多的接触到具有各种“奇特”现象的函数,这对在研究函数的可积性及积分理论出现了很多困难.比如

(1)可积函数的连续性

我们知道,函数的可积性等价于0lim 1=∆∑=i n

i i x w ,它涉及分割子区间的长度及函数

在其上的振幅两个因素,若上是成立即就是在分割加细时,其振幅不能缩小的那些相应项的子区间的长度之和可以很小,由以前知识,函数振幅的大小与其连续性有关,即函数的不连续点可用长度很小的区间包围,所以黎曼积分的理论基础是以“基本”连续的函数为对象的.

⑵极限与积分交换次序问题

在处理极限与积分交换次序问题中黎曼积分的数学期望不是很高.

例 1.1