【纯Word版含答案】2013年普通高等学校招生统一考试——文科数学(江西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)word完整版有答案
准考证号____________________姓名____________（在此卷上答题无效）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）语文本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页，满分150分。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
在试卷上作答，答案无效。
3.考试结束后，监考员将试题、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共36分）本卷共12小题，每小题3分，共35分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、（18分，每小题3分）1.下列词语中，加点的字读音全部正确的一组是A.衣着．（zhuó）果脯．（fǔ）给．（gěi）养揆情度．（duó）理B.蟊．（máo）贼呵．（hē）护湍．（tuān）急模棱．（léng）两可C.载．（zài）体供．（gòng）认涔．（cén）涔呱．（guā）呱坠地D.愠．（yùn）色角．（jiǎo）色畏葸．（xǐ）殒身不恤．（xù）2.下列词语中，没有错别字的一组是A.松弛回溯卫戍皇天后土B.辨认影牒荣膺残羹冷炙C.豆蔻聘礼修葺金璧辉煌D.城阙编纂恻隐亭亭玉立3.依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是(1)家庭的______使他从小对美就有敏锐的感悟，乡村丰富的色彩和生动的线条使他陶醉不已。
(2)那个时候的中国，社会动荡，经济秩序极为混乱，物价______，人民苦不堪言。
(3)沈阳飞机制造公司全体职工都______总经理罗阳献身国防事业的崇高精神______打动。
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2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π9．（5分）已知点A （2，0），抛物线C ：2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=（ ） A ．2：B ．1：2C ．1：D ．1：310．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= ．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1． （1）求证：a ，b ，c 成等差数列； （2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．20．（13分）椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为，MN 的斜率为m ，证明2m ﹣为定值．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令=时，代入＜＜2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当=时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除C；当=2时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2： B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为==﹣，过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt △MPN 中，tan ∠MNP=﹣=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C ．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA ，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，的变化率由大变小，又y=cos是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2 ．【分析】求出函数的导函数，求出=1时的导数值，写出曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=a+1，得y′=a a﹣1．=a，则曲线y=a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：所以y′|=1y﹣2=a（﹣1），即y=a﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 6 ．是以2为首项，以2为公比的等【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s≥100，解不n等式可求是以2为首项，以2为公比【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an的等比数列==2n+1﹣2≥100sn∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2 ．【分析】构造函数F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，利用正弦函数的特点求出，从而可得答案．F（）ma【解答】解：∵不等式|f（）|≤a对任意实数恒成立，令F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，．则a≥F（）ma∵f（）=sin3+cos3=2sin（3+）∴﹣2≤f（）≤2∴0≤F（）≤2F（）=2ma∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 ．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an }，直接求数列{an}的通项公式an ；（2）利用数列的通项公式化简bn =，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由正项数列{an }满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an ﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因为an =2n，bn=，所以bn===，Tn===．数列{bn }的前n项和Tn为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin 2B ．再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列． （2）若C=，由（1）可得c=2b ﹣a ，由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2ab •cosC=a 2+b 2+ab ．化简可得 5ab=3b 2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1， （2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种， 数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P 1=，去唱歌的概率P 2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P 2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，算出BF 、EF 、FC 的长，从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长，由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC ，结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理，可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1，算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A 1C 1=EC 1=3、A 1E=2，从而得到等腰△A 1EC 1的面积=3，设B 1到平面EA 1C 1 的距离为d ，可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V=××d=d ，从而得到=d ，由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离．【解答】解：（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC ﹣EF=3﹣1=2在Rt △BEF 中，BE==；在Rt △BCF 中，BC==因此，△BCE 中可得BE 2+BC 2=9=CE 2 ∴∠CBE=90°，可得BE ⊥BC ， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥BB 1，又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线， ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=×AA 1×=在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1==3同理可得EC 1==3，A 1E==2∴等腰△A 1EC 1的底边A 1C 1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积为V=××d=d ，可得=d ，解之得d=即点B 1到平面EA 1C 1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为m，证明2m﹣为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣化简整理即可得到2m﹣为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（42+1）2﹣162+162﹣4=0．所以，． 则． 所以P （）．又直线AD 的方程为． 联立，解得M （）．由三点D （0，1），P （），N （，0）共线， 得，所以N （）．所以MN 的斜率为=． 则．所以2m ﹣为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s （a ）的表达式，再借助导数工具研究s （a ）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f （）=，故f （f （））=f （）=2（1﹣）=（2）f （f （））=当0≤≤a 2时，由=，解得=0，因为f （0）=0，故=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜≤a 时，由=，解得= 因为f （）==≠，故=是函数的二阶周期点；当a ＜≤a 2﹣a+1时，由=，解得=∈（a ，a 2﹣a+1），因为f （）=，故得=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a+1＜≤1时，由，解得=∈（a 2﹣a+1，1），因为f （）=≠，故=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，1=，2= （3）由（2）得A （，），B （，） 则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s ′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s ′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数， 故s （a ）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。
2013年高考真题江西卷(文科数学)word版(无答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A=｛x∈R|ax2+ax+1｝其中只有一个元素，则a=A.4B.2C.0D.0或43.若sin=，则cosa=A.-B.-C.D.4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是A B. C. D.5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.016.下列选项中，使不等式x ＜＜x 2成立的x 的取值范围是A.（，-1）B. （-1，0）C.0，1）D.（1，+）7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜118.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为A.200+9πB. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π9.已知点A （2，0），抛物线C ：x2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=A.2:B.1:2C. 1:D. 1:310.如图。
2013年高考文科数学江西卷
数学试卷 第1页（共9页） 数学试卷 第2页（共9页） 数学试卷 第3页（共9页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数i)i(z 2--=(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.若集合2{|}10A x ax ax R ++=∈=中只有一个元素,则a =( )A .4B .2C .0D .0或43.若sin2α=,则cos α= ( )A .23-B .13-C .13D .234.集合{2,3}A =,{1,2,3}B =,从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A .23 B .12C .13D .165.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A .08B .07C .02D .016.下列选项中,使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是 ( )A .(1),--∞B .()1,0-C .(0,1)D .(1,)+∞7.阅读如下程序框图,如果输出4i =,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A .8S <B .9S <C .10S<D .11S <8.一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A .200+9πB .200+18πC .140+9πD .140+18π9.已知点()2,0A ,抛物线24C x y ：=的焦点为F .射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||=FM MN( )A.2B .1:2C .D .1:310.如图,已知12l l ⊥,圆心在1l 上、半径为1 m 的圆O 在=0t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令=cos y x ,则y 与时间t （0≤t ≤1,单位：s ）的函数()y f t ＝的图像大致为 ( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共9页）数学试卷 第5页（共9页） 数学试卷 第6页（共9页）A .B .C .D .第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若曲线1()y x R αα=∈+在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 12.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数*()n n N ∈等于 . 13.设sin s33c (3o )f x x x =+,若对任意实数x 都有|()|f x a ≤,则实数a 的取值范围是 .14.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线=1y 相切,则圆C 的方程是 . 15.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足：2210(2)n nn a a n ---=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin sin A B B C ++cos21B =.（Ⅰ）求证：a ,b ,c 成等差数列；（Ⅱ）若2π3C =,求ab的值.18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A （如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若0X >就去打球,若=0X 就去唱歌,若0X <就去下棋. （Ⅰ）写出数量积X 的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率.19.（本小题满分12分）如图,直四棱柱1111ABCD A B C D —中,AB CD ∥,AD AB ⊥,=2AB ,=2AD ,1=3AA ,E 为CD 上一点,=1DE ,=3EC .（Ⅰ）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求点1B 到平面11EA C 的距离.20.（本小题满分13分）椭圆C ：2222=1(0)a x y a bb +>>的离心率3e =,3a b +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图,A ,B ,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m . 证明：2m k -为定值.21.（本小题满分14分）设函数1, 0,11,.)11(=x x a ax a x a f x ≤≤＜≤⎧⎪⎪⎨⎪(-)⎪-⎩a 为常数且(0,1)a ∈.数学试卷 第7页（共9页） 数学试卷 第8页（共9页） 数学试卷 第9页（共9页）（Ⅰ）当12a =时,求1(())3f f ；（Ⅱ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为()f x 的二阶周期点.证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点1x ,2x ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的1x ,2x ,设11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,2(0),C a ,记ABC △的面积为()S a ,求()S a 在区间11[,]32上的最大值和最小值.。
2013年高考江西卷(文理合卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第一卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i2．函数的定义域为A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]3．等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A ．-24 B.0 C.12 D.244．总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为5．(x 2-32x)5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-406．若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<7．阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.2*2S i =-B.2*1S i =-C.2*S i =D.2*4S i =+8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A.8B.9C.10D.119.过点引直线l 与曲线y =A,B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于A.y EB BC CD=++3 B.3- C.3± D.10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧 FG的长为(0)x x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是[来源:学&科&网]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2013年江西高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学 第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i(2i)z =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【测量目标】复数的四则运算及复数的几何意义.【考查方式】给出复数z ,通过计算化简判断复数的实部和虚部对应的象限. 【参考答案】D【试题解析】因为i(2i)z =--12i =-，所以复数z 对应的点在第四象限.2.若集合A =｛x ∈R |ax 2+ax +1＝0｝其中只有一个元素，则a = （ ）A.4B.2C.0D.0或4 【测量目标】集合的 基本运算和性质【考查方式】用描述法给出集合A ，通过集合的性质分类讨论确定未知字母的值. 【参考答案】A【试题解析】当0a =时，方程化为10=，无解，集合A 为空集,不符合题意；（步骤1）当0a ≠时，由240a a =-= ，解得4a =.（步骤2）3. sincos 2αα==若 （ ）A. 23-B. 13-C. 13D.23【测量目标】三角恒等变换.【考查方式】给出角的正弦值，求解角的余弦值. 【参考答案】C【试题解析】2221cos 12sin121233=-=-⨯=-=αα4.集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 ( )A ．23 B.13 C.12 D.16【测量目标】随机事件的概率和古典概型【考查方式】通过给出的两个集合列出所有可能的基本事件，利用古典概型求出满足条件事件的概率. 【参考答案】C【试题解析】从A,B 各任取一个数有（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3）6个基本事件，（步骤1） 满足两数之和等于4的有（2,2,），（3,1）2个基本事件，所以21.63P ==（步骤2）5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ( )（第5题图）A.08B.07C.02D.01 【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】通过读取表格数据，有随机数表法的随机抽样过程得到结果.. 【参考答案】D【试题解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体编号是01.6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是 （ ） A.（，1-） B. （1-，0） C.（0，1） D.（1，+） 【测量目标】分式不等式的解法和不等式组的解法.【考查方式】给出含有分式的不等式转化为不等式组，解出未知数. 【参考答案】A【试题解析】由21x x x <<可得21,1,x x x x⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩（步骤1）即2310,10,x xx x⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得10101x <x<x x <-⎧⎨<>⎩或或综合知 1.x <-（步骤2）7.阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )(第7题图)A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜11 【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】给定程序框图，通过推理判断得出输出的结果. 【参考答案】B【试题解析】根据程序框图，2,22+1=5,i S ==⨯不满足条件；（步骤1）3,23+2=8,i S ==⨯不满足条件；（步骤2）4,24+1=9,i S ==⨯此时输出4i =，所以填9S <.（步骤3）8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 ( ) A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π(第8题图)【测量目标】由几何体的三视图求体积.【考查方式】将三视图还原为原来的几何体，再利用几何体体积公式求解体积. 【参考答案】A【试题解析】由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体.长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积211045π32=200+9π.2V =⨯⨯+⨯⨯⨯9. 已知点A （2，0），抛物线C ：42x =y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相【考查方式】已知抛物线方程和已知点，建立直线与抛物线之间的位置关系， 求解线段长度的比例. 【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的定义和相识三角形的判定及性质求解.如图所示，由抛物线定义知,MF MH =所以::.MF MH MH MN =（步骤1） （第9题图） 由于MHN ∽FOA ,则12MHOFHNOA ==，则:MH MN =:MF MH =（步骤2）10.如图.已知12l l ⊥，圆心在1l 上、半径为1m 的圆O 在t =0时与2l 相切于点A ，圆O 沿1l 以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x，令cos y x=，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s ）的函数()yf t =的图象大致为 ( )（第10题图） 【测量目标】弧长公式、倍角公式.【考查方式】通过数形结合把圆心角α、弧长x 与时间t 联系起来，建立关于时间的函数关系式从而判断函数图象.【参考答案】B【试题解析】通过圆心角α将弧长x 与时间t 联系起来.(第10题图)圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则x α=，（步骤1） 如图所示，cos1,2t α=-即cos1,2xt =-则222cos 2cos 12(1)12(1)1(01).2xy x t t t==-=--=--剟其图象为开口向上，在[]0,1上的一段抛物线.（步骤2）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线1y x α=+（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= . 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出已知两点和曲线函数关系式，利用导数的几何意义，求出函数关系式中未知字母的值.【参考答案】2【试题解析】因为1'y xαα-=⋅，所以在点（1,2）处的切线斜率,k α=则切线方程为2(1).y x α-=-（步骤一）又切线过原点，故02(01)α-=-，解得 2.α=（步骤二）12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈*N ）等于 . 【测量目标】等比数列的概念及其前n 项和公式.【考查方式】给出关于等比数列的实际问题，利用等比数列公式求解. 【参考答案】6【试题解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和11(1)2(12)2 2.112n n n n a q S q +--===---（步骤1） 由122100,n +-…得12102.n +…（步骤2）由于67264,2128,==则17,n +…即 6.n …（步骤3）13设()cos3,f x x x +，若对任意实数x 都有|()f x |≤a ，则实数a 的取值范围是 . 【测量目标】辅助角公式化简和不等式的恒成立.【考查方式】给出三角函数，根据三角函数的值域确定未知数的取值范围. 【参考答案】[)2,+∞【试题解析】由于π()sin 3cos 32sin(3),6f x x x x =+=+则π()2sin(3)2,6f x x =+…（步骤1）要使()f x a …恒成立，则 2.a …（步骤2）14.若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线1y =相切，则圆C 的方程是 . 【测量目标】圆与直线的位置关系及圆的弦的性质.【考查方式】给出未知圆的轨迹经过的已知点和已知直线的位置关系，求解圆的方程. 【参考答案】22325(2)()24x y -++=【试题解析】根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解. 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点（0,0）和（4,0），所以设圆心为（2,m ）.（步骤1） 又因为圆与直线1y =相切，所以22(42)(0)1,m m -+-=-（步骤2） 所以22421,m m m +=-+解得3,2m =-所以圆的方程为22325(2)().24x y -++=（步骤3）15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a 上，且AB //CD ,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .（第15题图）【测量目标】线面垂直的判定和线面平行的判定.【考查方式】给出已知正方体和正四面体棱长之间的位置关系，判断正四面体的一条棱与正方体各个面的位置关系.【参考答案】4【试题解析】根据直线与平面的位置关系求解.取CD 的中点H ,连接EH 、FH .（步骤1）在正四面体CDEF 中，由于,,CD EH CD HF ⊥⊥所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥面EFH ,（步骤2）则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交.（步骤3）三．解答题本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(1)n nb n a =+，求数列｛n b ｝的前n 项和T n .【测量目标】数列的通项公式和数列的前n 项和的求法.【考查方式】给出n a 与n 之间的关系式，化简得到通项公式n a ；根据求出的n a ，求出n b 的前n 项和n T .【试题解析】解：(21)20n n n n a n a n a n a ---=2（1）由得（-2)(+1）=0（步骤1）由于｛n a ｝是正项数列，则2n a n =.（步骤2）（2）由（1）知2n a n =，故11111()(1)(1)(2)21n n b n a n n n n ===-+++（步骤3）11111111(1...)(1)222312122n T n n n n ∴=-+-++-=-=+++n （步骤4）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B+sin B sin C+cos2B=1.（1）求证：a ，b ，c 成等差数列；（2） 若C =23π，求ab的值. 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角函数恒等关系式，利用正弦定理余弦定理把已知条件中角的关系转化为边的关系，从而证明三角形三边成等差数列求出边的值.【试题解析】解：（1）由已知得sin A sin B +sin B sin C +1-2sin 2B =1.故sin A sin B+sin B sin C =2sin 2B （步骤1）因为sin B 不为0，所以sin A +sin C =2sin B （步骤2）再由正弦定理得2,a c b +=所以a ，b ，c 成等差数列.（步骤3）（2）由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222π(2)2cos3b a a b ac -=+-化简得35a b =.（步骤4）18．（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O 为起点，再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X =0就去唱歌，若X <0就去下棋.（第18题图）（1） 写出数量积X 的所有可能取值 （2） 分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率 【测量目标】向量的数量积，随机事件古典概型.【考查方式】构造数学模型把向量与概率相结合，考查随机事件发生概率. 【试题解析】解：（1） X 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1. （2）数量积为-2的只有25OA OA ∙一种（步骤1）数量积为-1的有15OA OA ∙，1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种（步骤2）数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种（步骤3）数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种（步骤4） 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715P =（步骤5） 因为去唱歌的概率为2415P =，所以小波不去唱歌的概率2411111515P P =-=-=（步骤6）19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB //CD ，AD ⊥AB ，AB =2，AD 1AA =3，E 为CD 上一点，DE =1，EC =3（1） 证明：BE ⊥平面11BB C C ;（2） 求点1B 到平面11EAC 的距离【测量目标】立体几何【考查方式】给出直四棱柱棱长的值及其之间的位置关系，证明直线与平面之间的位置关系及点到平面的距离. 【试题解析】解.（1）证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，（步骤1）则1,2BF AD EF AB DE FC ==-==（步骤2）在Rt Rt BFE BE BFC BC △中，，△中，（步骤3）在2229BCE BE BC EC +△中，因为＝＝，故BE BC ⊥（步骤4）由1BB ⊥平面ABCD ，得1BE BB ⊥，所以BE ⊥平面11BB C C （步骤5）（2）三棱锥111E A B C -的体积111113A B C V AA S ∙△＝6）在111Rt A D C △中11AC ，（步骤7） （第19题图）同理，1EC ，1EA 8）由余弦定理的11112cos ,sin 33AC E=AC ∠∴∠因此11111111sin 2A C E S AC EC AC E =⨯⨯⨯∠=△设点1B 到平面11EAC 的距离为d ，则三棱锥111B EAC -的体积.1113A EC V d S ∙∙△＝d ==9）20.（本小题满分13分）椭圆C :22221x y a b += (a >b >0)的离心率2e =3a b +=(1) 求椭圆C 的方程；(2) 如图，A,B,D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m k -为定值.(第20题图)【测量目标】椭圆方程，直线与椭圆之间的位置关系.【考查方式】给出椭圆离心率及a 、b 的关系，求出椭圆方程，已知直线与椭圆之间的位置关系，求两条直线斜率的关系式为定值.【试题解析】解：(1)因为c e a==故22222222314c a b b e a a a -===-=， 所以2a b =（步骤1）再由3a b +=得a =2,b =1,（步骤2）∴椭圆C 的方程为2214x y +=：（步骤3）（2）因为B （2，0），点P 不为椭圆顶点，则直线1)2BP y k x k k ≠≠±方程为=(-2)(0且①（步骤4）将①代入2214x y +=，222(41)161640,k x k x k +-+-=22164,241B p B k x x x k -==+ ， 222824,4141P P k k x y k k -∴==-++，得222824(,)4141k k P k k --++（步骤5） 又直线AD 的方程为112y x =+ ②（步骤6）①与②联立解得424(,)2121k kM k k +--（步骤7） 由222824(0,1),(,),(,0)4141k kD P N x k k --++三点共线可解得42(,0)21k N k --（步骤8） 所以MN 的斜率为m =214k +，则211222k m k k +-=-=（定值）（步骤9）21．（本小题满分14分）设函数1,0()1(1),11x x a af x x a x a ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪-⎩剟… a 为 常数且a ∈（0，1）.（1） 当a =12时，求1(())3f f ；（2） 若0x 满足0(())f f x = 0x ,但0()f x ≠0x ，则称0x 为()f x 的二阶周期点，证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点12,x x ；（3） 对于（2）中12,x x ，设11(,(()))A x f f x ，22(,(()))B x f f x ,2(,0)C a ，记△ABC 的面积为S （a ），求()S a 在区间[13,12]上的最大值和最小值. 【测量目标】分段函数求值，利用导数求函数最值.【考查方式】给出分段函数关系式，根据自变量的取值和二阶周期点的定义利用数形结合，求出二阶周期点及函数最值. 【试题解析】解：（1）当12a =时，121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝（步骤1） （2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧⎪⎪⎪-<⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+⎪-⎩剟…剟（步骤2）当20x a 剟时，由21x x a=解得0x =,由于()00f =,故0x =不是()f x 的二阶周期点；（步骤3）当2a x a <…时由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈（步骤4）因222211()1111a a af a a a a a a a a a =∙=≠-++-++-++-++故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点；（步骤5）当21a x a a <<-+时，由21()(1)x a x a -=-解得12x a =-2(,1)a a a ∈-+（步骤6） 因1111()(1)2122f a a a a =∙-=----故12x a=-不是()f x 的二阶周期点；（步骤7） 当211a a x -+剟时，1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+（步骤8）因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =∙-=≠-++--++-++-++故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点.（步骤9） 因此，函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++.（步骤10） （3）由（2）得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++ 则2322221(1)1(222)(),'()212(1)a a a a a a S a S a a a a a ---+=∙=∙-++-++（步骤11） 因为a 在[13,12]内，故'()0S a >，则()S a 在区间11[]32，上单调递增，（步骤12）故()S a 在区间11[]32，上最小值为11333S ()=，最大值为11220S ()=.（步骤13）。
2013年高考真题——文科数学(江西卷)解析版 Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]：D[解析]：Z ＝-2i-i 2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2. 若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4 [答案]：A[解析]： 010a =≠∆当时，＝不合，当a 0时，＝0，则a=43. 3sin cos 2αα==若 （ ） A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin 12233αα=-=-⨯= 4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是A B. C. D.[答案]：C[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01[答案]：D[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D6. 下列选项中，使不等式x＜1x＜2x成立的x的取值范围是（）A.（，-1）B. （-1，0）C.0，1）D.（1，+）[答案]：A[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A。
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}（2） = ( )（A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A．12 B．13 C．14 D．164．已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )．A． B．C．12y x=± D ．5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．A．p∧q B．⌝p∧qC．p∧⌝q D．⌝p∧⌝q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n｝的前n项和为S n，则（）（A）S n=2a n-1 （B）S n =3a n-2 （C）S n=4-3a n（D）S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．[－3,4]B．[－5,2] C．[－4,3]D．[－2,5]8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为( )．A．2 B．．．49．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．A．10 B．9 C．8 D．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8π C．16＋16πD．8＋16π12已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝______.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.星期一已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 星期二如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．星期三为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？星期四已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 星期五已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．星期六（三选一）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(Ⅰ)证明：DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。
2013高考数学(文)试题(新课标Ⅱ卷)word版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=（A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）||=（A）2（B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）2+2 （B）（C）2（D）-1（5）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P 是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a（D）c＞a＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=-（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜； 当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，． 综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)Word版含答案
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = （ ）（A ）｛0｝ （B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)i i +=-（ ） （A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i - （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S属于（A ）[3,4]-（B ）[5,2]-（C ）[4,3]-（D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2 （B ） （C ） （D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10 （B ）9（C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考真题——文科数学(新课标II卷)Word版 含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）||=（A）2（B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）2+2 （B）（C）2（D）-1（5）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a （D）c＞a＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L 的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=-（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(江西卷)讲解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面积，h 为高。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若数(2)z i i =-- (i 为虚数单位) 在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若集合{}21A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =A ．4B ． 2C ．0D ．0或43.若sin 23a =，则cos a = A ．23-B ．13-C ．13D ．234.若集合{}2,3A =，{}1,2,3B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 A ．23 B ．12 C ．13 D ． 165.总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．下列选项中，使21x x x<<成立的x 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(1,0)- C ． (0,1) D ．(1,)+∞7．阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填入的条件是A ．8S <B ．9S <C ． 10S <D ．11S <8． 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2009π+B ．20018π+C ． 1409π+D ．14018π+9．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。
2013年江西省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年江西省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素,则a＝( )A.4B.2C.0D.0或43.(5分)若sin＝,则cosα＝( )A.﹣B.﹣C.D.4.(5分)集合A＝{2,3},B＝{1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.5.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来6.(5分)下列选项中,使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)7.(5分)阅读如图所示的程序框图,如果输出i＝4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A.S＜8B.S＜9C.S＜10D.S＜118.(5分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200＋9πB.200＋18πC.140＋9πD.140＋18π9.(5分)已知点A(2,0),抛物线C：x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|：|MN|＝( ) A.2： B.1：2 C.1： D.1：310.(5分)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A,圆O沿l 1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y＝cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)若曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a＝.12.(5分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.13.(5分)设f(x)＝sin3x＋cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是.14.(5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,则圆C的方程是.15.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.三.解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)正项数列{an }满足：an2﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0.(1)求数列{an }的通项公式an；(2)令bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a,b,c成等差数列；(2)若C＝,求的值.18.(12分)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A 1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X＞0就去打球,若X＝0就去唱歌,若X＜0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB＝2,AD＝,AA1＝3,E为CD上一点,DE＝1,EC＝3(1)证明：BE⊥平面BB1C1 C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.20.(13分)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.21.(14分)设函数常数且a∈(0,1).(1)当a＝时,求f(f())；(2)若x0满足f(f(x))＝x,但f(x)≠x,则称x为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2；(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.2013年江西省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简可得复数z＝i(﹣2﹣i)＝﹣2i﹣i2＝1﹣2i,由复数的几何意义可得答案.【解答】解：化简可得复数z＝i(﹣2﹣i)＝﹣2i﹣i2＝1﹣2i,故复数在复平面内所对应的点的坐标为(1,﹣2)在第四象限,故选：D.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题.2.(5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素,则a＝( )A.4B.2C.0D.0或4【分析】当a为零时,方程不成立,不符合题意,当a不等于零时,方程是一元二次方程只需判别式为零即可.【解答】解：当a＝0时,方程为1＝0不成立,不满足条件当a≠0时,△＝a2﹣4a＝0,解得a＝4故选：A.【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定,以及根的个数与判别式的关系,属于基础题.3.(5分)若sin＝,则cosα＝( )A.﹣B.﹣C.D.【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα＝1﹣2sin2,代入已知化简即可.【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa＝1﹣2sin2＝1﹣2×＝1﹣＝故选：C.【点评】本题考查二倍角的余弦公式,把α看做的二倍角是解决问题的关键,属基础题.4.(5分)集合A＝{2,3},B＝{1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3＝6,由列举法可得符合条件的有2种,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解：从A,B中各取任意一个数共有2×3＝6种分法,而两数之和为4的有：(2,2),(3,1)两种方法,故所求的概率为：＝.故选：C.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.5.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读,第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,第三个数为08,符合条件,以下符合条件依次为：08,02,14,07,01,故第5个数为01.故选：D.【点评】本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.6.(5分)下列选项中,使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)【分析】通过x＝,,2验证不等式是否成立,排除选项B、C、D.即可得到正确选项.【解答】解：利用特殊值排除选项,不妨令x＝时,代入x＜＜x2,得到＜,显然不成立,选项B不正确；当x＝时,代入x＜＜x2,得到,显然不正确,排除C；当x＝2时,代入x＜＜x2,得到,显然不正确,排除D.故选：A.【点评】本题考查分式不等式的解法,由于本题是选择题,利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧.当然可以直接解答,过程比较复杂.7.(5分)阅读如图所示的程序框图,如果输出i＝4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A.S＜8B.S＜9C.S＜10D.S＜11【分析】由框图给出的赋值,先执行一次运算i＝i＋1,然后判断得到的i的奇偶性,是奇数执行S＝2*i＋2,是偶数执行S＝2*i＋1,然后判断S的值是否满足判断框中的条件,满足继续从i＝i＋1执行,不满足跳出循环,输出i的值.【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S＝0,i＝1,执行i＝1＋1＝2,判断2是奇数不成立,执行S＝2×2＋1＝5；判断框内条件成立,执行i＝2＋1＝3,判断3是奇数成立,执行S＝2×3＋2＝8；判断框内条件成立,执行i＝3＋1＝4,判断4是奇数不成立,执行S＝2×4＋1＝9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立,输出i＝4.而此时的S的值是9,故判断框中的条件应S＜9.若是S＜8,输出的i值等于3,与题意不符.故选：B.【点评】本题考查了程序框图,考查了循环结构,内含条件结构,整体属于当型循环,解答此题的关键是思路清晰,分清路径,属基础题.8.(5分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200＋9πB.200＋18πC.140＋9πD.140＋18π【分析】根据题意,该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成.根据所给出的数据可求出体积.【解答】解：根据图中三视图可得出其体积＝长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积＝10×4×5＋32π×2＝200＋9π.故选：A.【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高,左视图确定物体的宽和高,俯视图确定物体的长和宽.9.(5分)已知点A(2,0),抛物线C：x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|：|MN|＝( )A.2：B.1：2C.1：D.1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标,从而得到AF的斜率k＝﹣.过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|.Rt△MPN中,根据tan∠MNP＝,从而得到|PN|＝2|PM|,进而算出|MN|＝|PM|,由此即可得到|FM|：|MN|的值.【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为l：y＝﹣1,直线AF的斜率为k＝＝﹣,过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|∵Rt△MPN中,tan∠MNP＝﹣k＝,∴＝,可得|PN|＝2|PM|,得|MN|＝＝|PM|因此,,可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：故选：C.【点评】本题给出抛物线方程和射线FA,求线段的比值.着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.10.(5分)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A,圆O沿l 1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y＝cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A. B. C. D.【分析】通过t的增加,排除选项A、D,利用x的增加的变化率,说明余弦函数的变化率,得到选项即可.【解答】解：因为当t＝0时,x＝0,对应y＝1,所以选项A,D不合题意,当t由0增加时,x的变化率由大变小,又y＝cosx是减函数,所以函数y＝f(t)的图象变化先快后慢,所以选项B满足题意,C正好相反.故选：B.【点评】本题考查函数图象的变换快慢,考查学生理解题意以及视图能力.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)若曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a＝ 2 .【分析】求出函数的导函数,求出x＝1时的导数值,写出曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线方程,把原点坐标代入即可解得α的值.【解答】解：由y＝x a＋1,得y′＝ax a﹣1.＝a,则曲线y＝x a＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线方程为：所以y′|x＝1y﹣2＝a(x﹣1),即y＝ax﹣a＋2.把(0,0)代入切线方程得,a＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数,考查了直线方程点斜式,是基础题.12.(5分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 6 .是以2为首项,以2为公比的等比数列,根据等比数【分析】由题意可得,第n天种树的棵数an≥100,解不等式可求列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn【解答】解：由题意可得,第n天种树的棵数a是以2为首项,以2为公比的等比数列n＝＝2n＋1﹣2≥100sn∴2n＋1≥102∵n∈N*∴n＋1≥7∴n≥6,即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用,解题的关键是等比数列模型的确定13.(5分)设f(x)＝sin3x＋cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是a≥2 .【分析】构造函数F(x)＝|f(x)|＝|sin3x＋cos3x|,利用正弦函数的特点求出F(x),从而max可得答案.【解答】解：∵不等式|f(x)|≤a对任意实数x恒成立,令F(x)＝|f(x)|＝|sin3x＋cos3x|,.则a≥F(x)max∵f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋)∴﹣2≤f(x)≤2∴0≤F(x)≤2＝2F(x)max∴a≥2.即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2.【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想,考查恒成立问题,属于中档题.14.(5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,则圆C的方程是.【分析】设出圆的圆心坐标与半径,利用已知条件列出方程组,求出圆的圆心坐标与半径,即可得到圆的方程.【解答】解：设圆的圆心坐标(a,b),半径为r,因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,所以,解得,所求圆的方程为：.故答案为：.【点评】本题考查圆的标准方程的求法,列出方程组是解题的关键,考查计算能力.15.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 .【分析】判断EF与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可.【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.故答案为：4.【点评】本题考查直线与平面的位置关系,基本知识的应用,考查空间想象能力. 三.解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)正项数列{an }满足：an2﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0.(1)求数列{an }的通项公式an；(2)令bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(1)通过分解因式,利用正项数列{an },直接求数列{an}的通项公式an；(2)利用数列的通项公式化简bn ＝,利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn.【解答】解：(1)由正项数列{an }满足：﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0,可得(an ﹣2n)(an＋1)＝0所以an＝2n.(2)因为an ＝2n,bn＝,所以bn＝＝＝,Tn＝＝＝.数列{bn }的前n项和Tn为.【点评】本题考查数列的通项公式的求法,裂项法求解数列的和的基本方法,考查计算能力.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a,b,c成等差数列；(2)若C＝,求的值.【分析】(1)由条件利用二倍角公式可得sinAsinB＋sinBsinC＝2 sin2B,再由正弦定理可得 ab＋bc＝2b2,即 a＋c＝2b,由此可得a,b,c成等差数列.(2)若C＝,由(1)可得c＝2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2＝a2＋b2﹣2ab•cosC,化简可得5ab＝3b2,由此可得的值.【解答】解：(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1,∴sinAsinB＋sinBsinC＝2 sin2B.再由正弦定理可得 ab＋bc＝2b2,即 a＋c＝2b,故a,b,c成等差数列.(2)若C＝,由(1)可得c＝2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2＝a2＋b2﹣2ab•cosC＝a2＋b2＋ab.化简可得 5ab＝3b2,∴＝.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题.18.(12分)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A 1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X＞0就去打球,若X＝0就去唱歌,若X＜0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【分析】(1)由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2,﹣1,0,1,(2)列举分别可得数量积为﹣2,﹣1,0,1时的情形种数,由古典概型的概率公式可得答案. 【解答】解：(1)由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2,﹣1,0,1,(2)数量积为﹣2的有,共1种,数量积为﹣1的有,,,,,共6种,数量积为0的有,,,共4种,数量积为1的有,,,共4种,故所有的可能共15种,所以小波去下棋的概率P1＝,去唱歌的概率P2＝,故不去唱歌的概率为：P ＝1﹣P 2＝1﹣＝【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及平面向量的数量积的运算,属中档题.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB ∥CD,AD ⊥AB,AB ＝2,AD ＝,AA 1＝3,E 为CD 上一点,DE ＝1,EC ＝3(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1 的距离.【分析】(1)过点B 作BF ⊥CD 于F 点,算出BF 、EF 、FC 的长,从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长,由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC,结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理,可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1,算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝.根据线面垂直的性质和勾股定理,算出A 1C 1＝EC 1＝3、A 1E ＝2,从而得到等腰△A 1EC 1的面积＝3,设B 1到平面EA 1C 1的距离为d,可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V ＝××d ＝d,从而得到＝d,由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离.【解答】解：(1)过点B 作BF ⊥CD 于F 点,则： BF ＝AD ＝,EF ＝AB ＝DE ＝1,FC ＝EC ﹣EF ＝3﹣1＝2在Rt △BEF 中,BE ＝＝； 在Rt △BCF 中,BC ＝＝因此,△BCE 中可得BE 2＋BC 2＝9＝CE 2 ∴∠CBE ＝90°,可得BE ⊥BC, ∵BB 1⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD, ∴BE ⊥BB 1,又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线, ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1,得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝×AA 1×＝在Rt △A 1D 1C 1中,A 1C 1＝＝3同理可得EC1＝＝3,A1E＝＝2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于＝,可得＝×2×＝3设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V＝××d＝d,可得＝d,解之得d＝即点B1到平面EA1C1的距离为.【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直,并求点到平面的距离.着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识,属于中档题.20.(13分)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.【分析】(1)由题目给出的离心率及a＋b＝3,结合条件a2＝b2＋c2列式求出a,b,则椭圆方程可求；(2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出P点坐标,两直线方程联立解出M点坐标,由D,P,N 三点共线解出N点坐标,由两点求斜率得到MN的斜率m,代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值.【解答】(1)解：因为,所以,即a2＝4b2,a＝2b.又a＋b＝3,得a＝2,b＝1.所以椭圆C的方程为；(2)证明：因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为.联立,得(4k2＋1)x2﹣16k2x＋16k2﹣4＝0.所以,.则.所以P().又直线AD的方程为.联立,解得M().由三点D(0,1),P(),N(x,0)共线,得,所以N().所以MN的斜率为＝.则.所以2m﹣k为定值.【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了二次方程中根与系数关系,考查了由两点求斜率的公式,是中高档题.21.(14分)设函数常数且a∈(0,1).(1)当a＝时,求f(f())；(2)若x0满足f(f(x))＝x,但f(x)≠x,则称x为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2；(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.【分析】(1)当a＝时,根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；(2)根据二阶周期点的定义,分段进行求解,找出符号定义的根即为所求；(3)由题意,先表示出s(a)的表达式,再借助导数工具研究s(a)在区间[,]上的单调性,确定出最值,即可求解出最值.【解答】解：(1)当a＝时,求f()＝,故f(f())＝f()＝2(1﹣)＝(2)f(f(x))＝当0≤x≤a2时,由＝x,解得x＝0,因为f(0)＝0,故x＝0不是函数的二阶周期点；当a2＜x≤a时,由＝x,解得x＝因为f()＝＝≠,故x＝是函数的二阶周期点；当a＜x≤a2﹣a＋1时,由＝x,解得x＝∈(a,a2﹣a＋1),因为f()＝,故得x＝不是函数的二阶周期点；当a2﹣a＋1＜x≤1时,由,解得x＝∈(a2﹣a＋1,1),因为f()＝≠,故x＝是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点,x1＝,x2＝(3)由(2)得A(,),B(,)则s(a)＝S△OCB ﹣S△OCA＝×,所以s′(a)＝×,因为a∈(),有a2＋a＜1,所以s′(a)＝×＝＞0(或令g(a)＝a3﹣2a2﹣2a＋2利用导数证明其符号为正亦可)s(a)在区间[,]上是增函数,故s(a)在区间[,]上的最小值为s()＝,最大值为s()＝【点评】本题考查求函数的值,新定义的理解,利用导数求函数在闭区间上的最值,第二题解答的关键是理解定义,第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性,本题考查了方程的思想,转化化归的思想及符号运算的能力,难度较大,综合性强,解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学(缺填空题)
400-688-1789 传播先进教育理念 提供最佳教学方法2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面积，h 为高。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若数(2)z i i =-- (i 为虚数单位) 在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若集合{}21A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =A ．4B ． 2C ．0D ．0或43.若sin 2a =，则cos a = A ．23-B ．13-C ．13D ．234.若集合{}2,3A =，{}1,2,3B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 A ．23 B ．12 C ．13 D ． 165.总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，400-688-1789 传播先进教育理念 提供最佳教学方法选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．下列选项中，使21x x x<<成立的x 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(1,0)- C ． (0,1) D ．(1,)+∞7．阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填入的条件是A ．8S <B ．9S <C ． 10S <D ．11S < 8． 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2009π+B ．20018π+C ． 1409π+D ．14018π+9．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。
2013年高考文科数学江西卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，文1)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2013江西，文2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )．A ．4B ．2C ．0D ．0或4 3．(2013江西，文3)若sin2α=，则cos α＝( )．A ．23-B ．13-C ．13D ．234．(2013江西，文4)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )．A ．23B ．12C ．13D ．165．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )．A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜118．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )．A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π9．(2013江西，文9)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )．A．2．1∶2 C．1．1∶310．(2013江西，文10)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为( )．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．13．(2013江西，文13)设f(x)x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．14．(2013江西，文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{a n}满足：2na－(2n－1)a n－2n＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令1(1)nnbn a=+，求数列{b n}的前n项和T n.17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A sin B＋sin B sin C＋cos 2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若2π3C=，求ab的值．18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的离心率e =，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝1,0,11, 1.1x x aax a xa⎧≤≤⎪⎪⎨⎪(-)<≤⎪-⎩a为常数且a∈(0,1)．(1)当12a=时，求13f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2,0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D解析：z ＝i(－2－i)＝1－2i ，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D. 2． 答案：A解析：当a ＝0时，显然不成立；当a ≠0时．由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4.故选A. 3． 答案：C解析：cos α＝212sin 2α-211233⎛=-⨯= ⎝⎭.故选C. 4． 答案：C解析：从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为2163=.故选C. 5． 答案：D解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D. 6． 答案：A解析：原不等式等价于230,1,x x x >⎧⎨<<⎩①或230,1,x x x <⎧⎨>>⎩② ①无解，解②得x ＜－1.故选A.7． 答案：B解析：i ＝2，S ＝5；i ＝3，S ＝8；i ＝4，S ＝9，结束．所以填入的条件是“S ＜9”．故选B. 8．答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V ＝4×10×5＋12×π·32·2＝200＋9π.故选A. 9． 答案：C解析：射线FA 的方程为x ＋2y －2＝0(x ≥0)．如图所示，知tan α＝12，∴sin α＝5.由抛物线的定义知|MF |＝|MG |，∴||||sin||||5FM MG MN MN α====.故选C.10．答案：B解析：假设经过t 秒后，圆心移到O 1，则有∠EO 1F ＝2∠AO 1F ，且cos ∠AO 1F ＝1－t .而x ＝1·∠EO 1F ，∴y ＝cos x ＝cos ∠EO 1F ＝cos 2∠AO 1F ＝2cos 2∠AO 1F －1＝2(1－t )2－1＝2t 2－4t ＋1＝2(t －1)2－1，t ∈[0,1]．故选B.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：2 解析：切线斜率k ＝2010--＝2， 又y ′＝αx α－1在点(1,2)处，y ′|x ＝1＝α，故α＝2. 12．答案：6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＝21212n (-)-＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n ≥6. 13．答案：[2，＋∞)解析：∵f (x )x ＋cos 3x ＝2sin π36x ⎛⎫+⎪⎝⎭∈[－2,2]，又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥2. 14．解析：圆心在直线x ＝2上，所以切点坐标为(2,1)． 设圆心坐标为(2，t )，由题意，可得4＋t 2＝(1－t )2，∴32t =-，半径2254r =. 所以圆C 的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.15．答案：4解析：作FO ⊥平面CED ，则EO ⊥CD ，FO 与正方体的侧棱平行，所以平面EOF 一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：(1)由2n a －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，1(1)n n b n a =+，则11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪(+)+⎝⎭，111111*********n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭ 111212(1)nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．解：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sinC ＝2sin B .由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由2π3C =，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ， 即有5ab －3b 2＝0，所以35a b =.18．解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA ·5OA，共1种；数量积为－1的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA ，3OA ·5OA，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA，4OA ·6OA，共4种；数量积为1的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA，5OA ·6OA，共4种．故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为1715p =； 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝41111515-=. 19．(1)证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE在Rt △CFB 中，BC .在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2， 故BE ⊥BC .由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解：三棱锥EA 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·111A B C S ∆.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1同理，EC 1A 1E故11A C E S ∆＝设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·11A C E S ∆，=，5d =. 20．解：(1)因为2c e a ==， 所以a =，b =.代入a ＋b ＝3，得c =a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)方法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)10,2k k ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭，① ①代入2214x y +=，解得P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.直线AD 的方程为：112y x =+.② ①与②联立解得M 424,2121k k k k +⎛⎫⎪--⎝⎭.由D (0,1)，P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，N (x,0)三点共线知222410141820041kk k x k ---+=---+，解得N 42,021k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以MN 的斜率为m ＝22404212121424222122142121kk k k k k k k k k k -(+)+-==+-(+)-(-)--+， 则2m －k ＝21122k k +-=(定值)．方法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则002y k x =-，直线AD 的方程为：1(2)2y x =+，直线BP 的方程为：00(2)2y y x x =--， 直线DP 的方程为：0011y y x x --=，令y ＝0，由于y 0≠1可得N 00,01x y ⎛⎫-⎪-⎝⎭， 联立0012,22,2y x y y x x ⎧=(+)⎪⎪⎨⎪=(-)-⎪⎩解得M 00000004244,2222y x y y x y x ⎛⎫+- ⎪-+-+⎝⎭，因此MN 的斜率为m ＝000000000422424221y y x y x x y x y -++-+-+-＝002200000414844y y y y x y x (-)-+-+ ＝00220000041484444y y y y x y y (-)-+-(-)+＝000122y y x -+-，所以2m －k ＝0000021222y yy x x (-)-+--＝0000000021222222y x y y x y x x (-)(-)-(+-)(+-)(-)＝20000000021222222y x y y x y x x (-)(-)--(-)(+-)(-)＝2000000001212(4)22222y x x y x y x x (-)(-)---(-)(+-)(-)＝12(定值)． 21． 解：(1)当12a =时，1233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)f (f (x ))＝22222210,1(),(1)1()1(1)1(1)1 1.(1)x x a a a x a x a a a x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩，，，，，当0≤x ≤a 2时，由21x x a =解得x ＝0， 因为f (0)＝0，故x ＝0不是f (x )的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++∈(a 2，a )，因2222111111a a a f a a a a a a a a a ⎛⎫=⋅=≠ ⎪-++-++-++-++⎝⎭， 故21ax a a =-++为f (x )的二阶周期点： 当a ＜x ＜a 2－a ＋1时，由211a (-)(x －a )＝x 解得12x a=-∈(a ，a 2－a ＋1)， 因111112122f a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 故12x a=-不是f (x )的二阶周期点；当a 2－a ＋1≤x ≤1时， 由1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++∈(a 2－a ＋1,1)，因211f a a ⎛⎫ ⎪-++⎝⎭＝2013 江西文科数学 第11页 2221111(1)111a a a a a a a a ⎛⎫⋅-=≠ ⎪--++-++-++⎝⎭， 故211x a a =-++为f (x )的二阶周期点． 因此，函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++. (3)由(2)得A 22,11a a a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， B 2211,11a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， 则221(1)()21a a S a a a -=⋅-++，32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++， 因为a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有a 2＋a ＜1， 所以32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++ ＝22221[111]>021a a a a a a a (+)(-)+(--)⋅(-++). (或令g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2，g ′(a )＝3a 2－4a －2＝22333a a ⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭， 因a ∈(0,1)，g ′(a )＜0，则g (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为15028g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 故对于任意a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2＞0， 32221(222)'()02(1)a a a a S a a a --+=⋅>-++)， 则S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11333S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最大值为11220S ⎛⎫= ⎪⎝⎭.。
【纯Word版解析】2013年普通高等学校招生统一考试——文科数学(大纲卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化.7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得，13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B ）3 （C ）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-= 即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答） 【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点， 连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+ 【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B （Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+coscos sin sin 2sin sin AC A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率； （II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。
2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，文1)已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )．A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．．{－3，－2，－1} 2．(2013课标全国Ⅱ，文2)21i+＝( )． A． B ．2 CD ．．13．(2013课标全国Ⅱ，文3)设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z ＝2x －3y 的最小值是( )．A ．－7B ．－6C ．－5D ．－34．(2013课标全国Ⅱ，文4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6B =，π4C =，则△ABC 的面积为( )．A． BC．2 D15．(2013课标全国Ⅱ，文5)设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．A． B ．13 C ．12 D．6．(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )． A ．16 B ．13 C ．12 D ．237．(2013课标全国Ⅱ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )．A ．1111+234++B ．1111+232432++⨯⨯⨯C ．11111+2345+++D ．11111+2324325432+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8．(2013课标全国Ⅱ，文8)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )．A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 9．(2013课标全国Ⅱ，文9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．10．(2013课标全国Ⅱ，文10)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y＝(1)3x -或y＝1)x -C．y＝(1)3x-或y＝(1)3x--D．y＝(1)2x-或y＝(1)2x--11．(2013课标全国Ⅱ，文11)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝012．(2013课标全国Ⅱ，文12)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )．A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅱ，文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．14．(2013课标全国Ⅱ，文14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD⋅＝__________.15．(2013课标全国Ⅱ，文15)已知正四棱锥O－ABCD的体积为2，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为__________．16．(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y＝πsin23x⎛⎫+⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅱ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18．(2013课标全国Ⅱ，文18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．19．(2013课标全国Ⅱ，文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．20．(2013课标全国Ⅱ，文20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为y轴上截得线段长为(1)求圆心P的轨迹方程；，求圆P的方程．(2)若P点到直线y＝x的距离为221．(2013课标全国Ⅱ，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．22．(2013课标全国Ⅱ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．23．(2013课标全国Ⅱ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．(2013课标全国Ⅱ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)222a b cb c a++≥1.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：C解析：由题意可得，M ∩N ＝{－2，－1,0}．故选C. 2． 答案：C 解析：∵21i+＝1－i ，∴21i +＝|1－i|.3． 答案：B解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233zy x =-，先画出l 0：y ＝23x ，当z 最小时，直线在y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点C ，由3,10,x x y =⎧⎨-+=⎩可得C (3,4)，代入目标函数得，z min ＝2×3－3×4＝－6.4． 答案：B解析：A ＝π－(B ＋C )＝ππ7ππ6412⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin a bA B=，则7π2sinsin 12πsin sin 6b A a B === ∴S △ABC＝11sin 21222ab C =⨯⨯⨯=. 5．答案：D解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ， 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ， 由tan 30°＝212||||23PF x F F c ==，得3x =.而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴c e a ===6． 答案：A解析：由半角公式可得，2πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭＝π21cos 211sin 21232226αα⎛⎫++- ⎪-⎝⎭===. 7．答案：B解析：由程序框图依次可得，输入N ＝4， T ＝1，S ＝1，k ＝2；12T =，11+2S =，k ＝3； 132T =⨯，S ＝111+232+⨯，k ＝4； 1432T =⨯⨯，1111232432S =+++⨯⨯⨯，k ＝5； 输出1111232432S =+++⨯⨯⨯. 8． 答案：D解析：∵log 25＞log 23＞1，∴log 23＞1＞21log 3＞21log 5＞0，即log 23＞1＞log 32＞log 52＞0，∴c ＞a ＞b .9． 答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A. 10． 答案：C解析：由题意可得抛物线焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线，垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |.设|AM |＝|AF |＝3t (t ＞0)，|BN |＝|BF |＝t ，|BK |＝x ，而|GF |＝2，在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t=+，解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率ky1)x －．当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝1)x －，故选C.11． 答案：C解析：若x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．12． 答案：D解析：由题意可得，12xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭(x ＞0)．令f (x )＝12xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f (x )的值域为(－1，＋∞)，故a ＞－1时，存在正数x 使原不等式成立．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A=｛x∈R|ax2+ax+1｝其中只有一个元素，则a=A.4B.2C.0D.0或43.若sin=，则cosa=A.-B.-C.D.4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是A B. C. D.5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.016.下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是A.（，-1）B. （-1，0）C.0，1）D.（1，+）7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜11 8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 A.200+9π B. 200+18π C. 140+9πD. 140+18π9.已知点A （2，0），抛物线C ：x2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|= A.2:B.1:2C. 1:D. 1:310.如图。
已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ， 令y=cosx ，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s ） 的函数y=f （t ）的图像大致为第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若曲线y=x α+1（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 。
12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈N*）等于 。
13.设f （x ）=sin3x+cos3x ，若对任意实数x 都有|f （x ）|≤a ，则实数a 的取值范围是 。
14.若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 。
15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）正项数列｛a n｝满足-（2n-1）a n-2n=0.（1）求数列｛a n｝的通项公式a n；（2）令b n=，求数列｛b n｝的前n项和T n。
17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2=1.（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值。
18．（本小题满分12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。
游戏规则为以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C;（2）求点B1 到平面EA1C1的距离20.（本小题满分13分）椭圆C:=1(a>b>0)的离心率，a+b=3.(1)球椭圆C的方程；(2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值。
21．（本小题满分14分）设函数常数且a∈（0，1）.（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））= x0,但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1,f（f（x1））），B（x2,f（f（x2）））,C(a2,0)，记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[,]上的最大值和最小值。
参考答案一． 选择题1.D2.A3.C4.C5.D6.A7.B8.A9.C 10.B二．填空题11.2 12.6 13. 2a ≥14. 22325(2)().24x y -++=15.4 三．解答题（1）2(21)20,(2)(1)0,0,2.n n n n n n a n a n a n a a a n ---=∴-+=>∴=（2）由2n a n =，1111111111(),(1).1)221222312(1)n n nb T n n n n n n n ==-∴=-+-++-=+⋅+++（ 17.（1）由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B因为sinB 不为0，所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a ，b ，c 成等差数列（2）由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222(2)2cos3b a a b ac π-=+-化简得35a b = 18.解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1。
（2）数量积为-2的只有25OA OA ∙一种 数量积为-1的有15OA OA ∙，1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种故所有可能的情况共有15种。
所以小波去下棋的概率为1715p = 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-= 19.解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1。
（2）数量积为-2的只有25OA OA ∙一种数量积为-1的有15OA OA ∙，1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种 数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 故所有可能的情况共有15种。
所以小波去下棋的概率为1715p = 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-=22222223124c c a b b a a a a -===-=20.解：（1）因为e=故 所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1, 2214x C y ∴+=椭圆的方程为：1)2≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k①将①代入2214x y +=，解得222824(,)4141k k P k k --++ 又直线AD 的方程为112y x =+ ②①与②联立解得424(,)2121k kM k k +-- 由222824(0,1),(,),(,0)4141k kD P N x k k --++三点共线可角得42(,0)21k N k -- 所以MN 的分斜率为m=214k +，则211222k m k k +-=-=（定值）21.解：（1）当12a=时，121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝（2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩当20x a ≤≤时，由21x x a=解得x=0,由于f （0）=0,故x=0不是f （x ）的二阶周期点；当2a x a <≤时由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =∙=≠-++-++-++-++故21ax a a =-++是f （x ）的二阶周期点；当21a x a a <<-+时，由21()(1)x a x a -=-解得12x a =-2(,1)a a a ∈-+ 因1111()(1)2122f a a a a =∙-=----故12x a=-不是f （x ）的二阶周期点； 当211a a x -+≤≤时，1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =∙-=≠-++--++-++-++故211x a a =-++是f （x ）的二阶周期点。
因此，函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++。
（3）由（2）得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++则2322221(1)1(222)(),()212(1)a a a a a a s a s a a a a a ---+'=∙=∙-++-++因为a 在[13,12]内，故()0s a '>，则11()[]32s a 在区间，上单调递增，故111111()[]32333220s a 在区间，上最小值为s()=，最大值为s()=。