初中人教版第十一章三角形教案
八年级数学上册第11章《三角形》全章教案(人教版)
第11章：三角形11．1.1 三角形的边1．理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、角，会数三角形的个数．(重点)2．能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形．(重点)3．三角形在实际生活中的应用．(难点)一、情境导入出示金字塔、战机、大桥等图片，让学生感受生活中的三角形，体会生活中处处有数学． 教师利用多媒体演示三角形的形成过程，让学生观察．问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、合作探究探究点一：三角形的概念图中的锐角三角形有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 解析：(1)以A 为顶点的锐角三角形有△ABC 、△ADC 共2个；(2)以E 为顶点的锐角三角形有△EDC 共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3(个)．故选B.方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n 个点，那么就有n （n －1）2条线段，也可以与线段外的一点组成n （n －1）2个三角形．探究点二：三角形的三边关系【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A．2cm，3cm，5cmB．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cmD．3cm，4cm，9cm解析：选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )A．3＜x＜11 B．4＜x＜7C．－3＜x＜11 D．x＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．【类型三】等腰三角形的三边关系已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．三、板书设计三角形的边1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．2．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．11．1.2三角形的高、中线与角平分线1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．(重点) 2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．(难点)一、情境导入这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．二、合作探究探究点一：三角形的高【类型一】三角形高的画法画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D.方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【类型二】 根据三角形的面积求高如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，若点P在边AC 上移动，则BP 的最小值为________．解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245. 方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．探究点二：三角形的中线【类型一】 应用三角形的中线求线段的长在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点三：三角形的角平分线如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．解析：根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用CE是△ABC 的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC 的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．三、板书设计三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固．11．1.3三角形的稳定性1．通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．(重点)2．三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用．(难点)一、情境导入一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳定性好？”先听它们是怎么说的．三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！”四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！”三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！”四边形：“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！”假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？二、合作探究探究点：三角形的稳定性【类型一】三角形稳定性的应用要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．【类型二】四边形的不稳定性大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门，它常常做成四边形的形状，你知道这是为什么吗？解析：从四边形特性的角度考虑．解：伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形易变形这一特性．方法总结：四边形具有不稳定性，容易变形，我们生活中的很多实例都利用了这一性质，注意在日常生活中积累这方面的经验．三、板书设计三角形的稳定性1．三角形具有稳定性2．四边形没有稳定性3．三角形的稳定性的应用4．四边形的不稳定性的应用在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题．学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号．这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础．11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角1．理解三角形内角和定理及其证明方法．(难点)2．能用三角形的内角和定理解决一些简单问题．(重点)一、情境导入多媒体展示：(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说：“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这是不可能的，否则我们这个家就要被拆散，围不起来了！”“为什么呢？”老二、老三纳闷起来……同学们，你们知道其中的道理吗？二、合作探究探究点一：三角形的内角和【类型一】求三角形内角的度数已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，若∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．解析：在Rt△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB 的度数即可．解：在△DFB 中，∵DF ⊥AB ，∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝40°.在△ABC 中，∵∠A ＝46°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°.方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．【类型二】 判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数．解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝180°－90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15°.方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．探究点二：直角三角形的性质【类型一】 直角三角形性质的运用如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF ，再根据三角形的内角和定理求出∠C＋∠DBC＝∠F＋∠DEF，然后求解即可．解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°.方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．三、板书设计三角形的内角1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2．三角形内角和定理的证明3．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率．然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想．在教学中，教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法，这样更有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论．11．2.2三角形的外角1．掌握三角形外角的定义和三角形内角和定理的两个推论．(重点)2．能运用三角形内角和定理的两个推论进行相关的几何计算和证明，并体会几何图形中的不等关系．(难点)一、情境导入足球比赛中的数学知识在绿茵场上，某球员在A处受到阻挡需要传球，请帮助他做出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，使其射门不易射偏．(不考虑其他因素)请同学们帮助他做出选择．二、合作探究探究点：三角形的外角【类型一】应用三角形的外角求角的度数如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC ＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋50°＝110°，∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠1＝12∠ACD ＝55°，∠2＝12∠ABC ＝25°.∵∠E ＋∠2＝∠1，∴∠E ＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E ＝12∠A ； (3)∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2＝12∠CBD ，∠4＝12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠2＝12(∠A ＋∠ACB )，∠4＝12(∠A ＋∠ABC )．∵∠E ＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E ＋12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝180°，即∠E ＋12∠A ＋12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC )＝180°.∵∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴∠E ＋12∠A ＝90°. 方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E ＝12∠A ；图②中，∠E ＝90°－12∠A . 三、板书设计三角形的外角1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应让学生自主探索，利用多种方法进行研究．同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力．在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力． 11．3 多边形及其内角和11．3.1 多边形1．掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念．(重点)2．正确区分凹多边形和凸多边形．(重点)3．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线．(难点)一、情境导入利用多媒体展示生活、建筑方面等的图片(包含一个或多个明显的多边形)．问题：请学生观察图片，在图中能找出哪些多边形？长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、工农业生产中都有应用，引出本节课课题：多边形．二、合作探究探究点一：多边形的概念【类型一】多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D的图形不是凸多边形．故选D.方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A．14或15或16 B．15或16C．14或16 D．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A.方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．三、板书设计多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形．本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用，都有表达和倾听的机会，每个人的价值作用都能显现出来．在这个过程中，学生得到了锻炼，明白了和他人怎样合作，取长补短．在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织引导和巡视力度．11．3.2 多边形的内角和1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点)2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点)一、情境导入多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．提出问题：(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？(3)你会求这个多边形的内角和吗？导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．二、合作探究探究点一：多边形的内角和【类型一】 利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和。
【大单元教学】人教版数学八上 第十一章 三角形 单元教学设计
2
11.3
多边形及其内角和
2
达成评价
课题
课时目标
达成评价
评价任务
11.1.1 三角形的 边
1.认识三角形并会用几 何语言表示三角形，了 解三角形分类. 2.掌握三角形的三边关 系. 3.运用三角形三边关系
学生能够认识三角 形并了解三角形的 分类 能掌握三角形三边 关系并运用三边关 系解决问题
任务 1.引言得出三 角形有关概念 任务 2.探究三角形 三边关系 任务 3.出示例题 任务 4.归纳总结
三 角
11.1.3 三角形稳定性
形
11.2.1 三角形内角
11.2.2 三角形外角
11.3.1 多边形
思考：三角形分类
探究：三角形三边关系
例题解析 活动 1：三角形高 活动 2：三角形中线以及重心 活动 3：三角形角平分线 例题解析 探究：三角形稳定性 举例 例题 探究：三角形内角和 例题 直角三角形性质
解决有关的问题.
11.1.2 三角形的 1.掌握三角形的高，中 学生会画三角形的 任务 1：由实际问题
高，中线与角平 线及角平分线的概念. 高，中线，角平分线； 引出三角形的高
分线
2.掌握三角形的高，中 并且能根据概念解 任务 2：探究三角形
线及角平分线的画法. 决问题
中线的概念以及中
3. 掌握钝 角三 角形的
角和公式就是利用上述方法得到的，将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排.
可以加强它们之间的联系，便于学生学习.
学情分析
"三角形”是《课程标准》”几何与图形”的重要内容.在第四章《几何图形初步》、 第五章《相交线与平行线》中,学生已经学习了直线、线段、射线、角等基本的平面图形,
人教版八年级数学上册第十一章三角形数学活动教学设计
1.教师引导学生回顾本节课所学的三角形知识，总结三角形的基本性质、分类、相似三角形的判定和应用。
2.学生分享自己的学习心得，教师给予鼓励和指导。
3.教师强调本章节的重点和难点，提醒学生课后加强练习，巩固所学知识。
4.教师布置课后作业，要求学生在课后进一步巩固三角形相关知识。
五、作业布置
4.通过数学学习，使学生认识到数学与现实生活的密切联系，体会数学在生活中的重要作用，培养学生的数学素养。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高学生的数学素养。同时，教师要善于运用教育机智，灵活处理教学中的各种问题，使学生在掌握知识的同时，培养良好的情感态度与价值观。
（2）运用问题驱动的教学方法，设计具有挑战性的问题，激发学生的求知欲，培养学生的创新思维能力。
（3）采用小组合作、讨论交流等形式，促进学生之间的互动，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学策略：
（1）注重直观演示，结合实际生活中的三角形实例，帮助学生建立对三角形的直观认识，为后续的抽象思维打下基础。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对几何图形有了初步的认识，特别是在之前的课程中，学生对三角形的基本概念和性质有了初步的了解。在此基础上，本章的教学将更加深入地探讨三角形的性质、分类及应用。然而，学生在探究三角形相似、计算面积等方面可能还存在一定的困难，需要教师在教学过程中给予适当的引导和帮助。
4.小组合作完成一份关于三角形的数学手抄报，内容可以包括三角形的定义、性质、分类、相似三角形的判定和应用等。要求：版面设计美观，知识点清晰，能够体现出小组合作的精神。
5.预习下一节课内容，提前思考以下问题：如何运用三角形的性质来解决一些特殊的几何问题？相似三角形在实际问题中的应用有哪些？
最新人教版初二数学八年级上册 第十一章三角形 全单元教案
第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形的概念及其基本要素;2.掌握三角形三条边之间的关系.【过程与方法】1.通过操作对比、观察、推理、交流等活动认识三角形及其概念和表示方法,运用分类思想对三角形进行分类;2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形的三边关系. 【情感、态度与价值观】培养学生的符号语言表达能力,体会三角形在日常生活中的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的三边关系.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入埃及金字塔、常见的交通标志和移动信号塔都是什么形状?在我们日常生活中还有哪些东西是三角形的?二、合作探究探究点1三角形的概念典例1看图填空:(1)图中共有个三角形,它们是;(2)△BGE的三个顶点分别是,三条边分别是,三个角分别是;(3)△AEF中,顶点A所对的边是;(4)∠ACB是△的内角,∠ACB的对边是.[解析]根据三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角.[答案](1)4;△ABC,△EBG,△AEF,△CGF(2)B,G,E;BE,EG,BG;∠B,∠BEG,∠BGE(3)EF(4)ACB;AB探究点2三角形的分类典例2如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形.(1)以AB为边画三角形,能画几个?写出各三角形的名称.(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.[解析](1)如图所示,以AB为边的三角形能画3个,分别是△EAB,△DAB,△CAB.(2)△ABD是等腰三角形,△EAB,△CAB是钝角三角形.探究点3三角形的三边关系典例3已知三角形的三条边互不相等,且有两边长分别为7和9,另一条边长为偶数.(1)请写出一个符合上述条件的第三边长.(2)符合上述条件的三角形有多少个?[解析](1)第三边长是4.(答案不唯一)(2)∵2<m<16,∴m的值为4,6,8,10,12,14,共六个.【归纳总结】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.变式训练“佳园工艺店”打算制作一批两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数的不同规格的三角形木框.(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有几种.(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问至少需要多少钱购买材料?(忽略接头)[解析](1)三角形的第三边x满足:7-3<x<3+7,即4<x<10.因为第三边又为奇数,因而第三边可以为5,7或9.故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种.(2)制作这种木框的木条的长为:3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),所以51×8=408(元).答:至少需要408元购买材料.三、板书设计三角形的边三角形◇教学反思◇由于初次接触三角形的相关元素,教师要注意引导学生发现三角形的三边关系,要留给学生充足的时间和空间去思考讨论,培养学生解决问题的能力.11.1.2三角形的高、中线与角平分线◇教学目标◇【知识与技能】1.了解三角形的高、中线、角平分线的概念;2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线.【过程与方法】1.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线过程,理解三角形的高、中线、角平分线的特点以及符号语言和图形语言的表达方法;2.培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践操作、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的高线、中线、角平分线的概念及画法.【教学难点】探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程.◇教学过程◇一、情境导入有一块三角形的地,小明的爸爸想种花草,妈妈想种菜.于是想平分三角形的面积,一半种花草,一半种菜,不知如何作,小明说,这还不好办,做一边的中线就行了,聪明的你,能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗?知道小明这样做的原因吗?二、合作探究探究点1三角形的高典例1如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD,BE相交于点F,连接CF.(1)在△ABC中,AC边上的高为,BC边上的高为;(2)在△ABD中,AD边上的高为;(3)在△BCE中,CE边上的高为;(4)在△BCF中,BC边上的高为;(5)在△ABF中,AF边上的高为,BF边上的高为. [解析]三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线引垂线,顶点和垂足间的线段.[答案](1)BE;AD(2)BD(3)BE(4)FD(5)BD;AE【归纳提升】锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.变式训练下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是()[答案] D探究点2中线的特性典例2三角形一边上的中线把原三角形分成两个()A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形C.直角三角形D.周长相等的三角形[解析]根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义,知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等.[答案] B【技巧点拨】三角形的中线把三角形分为两个等底同高的三角形,这两个三角形的面积相等.探究点3三角形的角平分线典例3如图,CD,BE分别是△ABC的角平分线,它们相交于点I,则:(1)∠ACD=∠= ∠ACB,∠ABC= ∠ABE.(2)BI是∠的平分线,CI是∠的平分线.(3)若∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BIC= 度.(4)你能画出△ABC的第三条角平分线吗?[解析](1)BCD;;2.(2)ABC;ACB.(3)110°.(4)连接AI并延长,即为∠BAC的角平分线.探究点4三角形的中线与周长典例4如图,AD是△ABC的中线,且AB=10 cm,AC=6 cm,求△ABD与△ACD的周长之差.[解析]∵AD为中线,∴BD=CD,∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,∵AB=10,AC=6,∴△ABD与△ACD的周长之差=10-6=4 cm.变式训练在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34 cm,△ABD的周长为30 cm,求AD的长.[解析]由题意得AB+AC+BC=34,AB+AD+BD=30,∵AB=AC,BD=BC,∴②×2得2AB+2AD+BC=60,③③-①得2AD=26,∴AD=13 cm.三、板书设计三角形的高、中线与角平分线三角形的高、中线与角平分线◇教学反思◇通过本课时的教学要让学生认识三角形的三条重要线段的概念、图形和它们的相关特性,如三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分,三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于一点的性质,应逐步加强学生几何语言的表达能力.11.1.3三角形的稳定性◇教学目标◇【知识与技能】了解三角形的稳定性以及三角形的稳定性在实际生活中的应用.【过程与方法】培养动手操作、归纳概括能力,提高运用知识解题的能力,训练思维的灵活性.【情感、态度与价值观】感受生活中数学的美学价值,体会生活中处处有数学,体验学习数学的乐趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的稳定性.【教学难点】三角形稳定性的应用.◇教学过程◇一、情境导入三角形在我们日常生活中应用广泛,仔细观察上面一组图片,你知道有些物体的形状做成三角形的原因吗?三角形形状的物体有什么作用?二、合作探究探究点1三角形的稳定性典例1如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()A.垂线段最短B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.三角形的稳定性[解析]观察图可发现图中窗钩构造了一个三角形AOB,根据三角形稳定性,可得答案.[答案] D变式训练如图所示是一个起重机的示意图,在起重架中间增加了很多斜条,它所运用的几何原理是()A.三角形两边之和大于第三边B.三角形具有稳定性C.三角形两边之差小于第三边D.直角三角形[答案] B探究点2四边形的不稳定性的应用典例2(1)工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶的钢架,输电线的支架等,这里运用的三角形的性质是.(2)下列图形具有稳定性的有个.①正方形;②长方形;③直角三角形;④平行四边形.(3)已知四边形的四边长分别为2,3,4,5,这个四边形的四个内角的大小能否确定?(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,工人准备再钉上两根木条,如图的两种钉法中正确的是.(5)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少需要加1根木条固定,要使五边形木架不变形,至少需要加2根木条固定,要使六边形木架不变形,至少需要加3根木条固定,……,如果要使一个n边形木架不变形,至少需要加根木条固定.[解析](1)三角形的稳定性.(2)1.(3)不能确定.(4)方法一.(5)根据三角形具有稳定性,可以知道需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数.过n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形,所以,要使一个n边形木架不变形,至少需要(n-3)根木条固定.【技巧点拨】这里是利用三角形的稳定性以及多边形的对角线解决问题,考虑到利用对角线把多边形分成三角形是解题的关键.变式训练如图,由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的,请你再用三条钢管连接使之稳固.(方法很多,请提供四种不同连接方法)[解析]根据三角形具有稳定性,将六边形分成若干个小三角形即可. [答案]如图所示.(答案不唯一,合理即可)探究点3克服四边形的不稳定性典例3如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在()A.A,C两点之间B.E,G两点之间C.B,F两点之间D.G,H两点之间[解析]用木条固定长方形窗框,即是组成三角形,故可用三角形的稳定性解释.[答案] B【方法点拨】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.三、板书设计三角形的稳定性三角形的稳定性◇教学反思◇通过对生活中三角形稳定性的探索,吸引学生的注意力,调动学生的积极性,体会数学的应用价值.11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角◇教学目标◇【知识与技能】应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过小组学习,经历得出三角形内角和等于180°的过程,进一步提高学生利用所学知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法.◇教学重难点◇【教学重点】三角形内角和定理.【教学难点】三角形内角和定理的推理过程.◇教学过程◇一、情境导入如图,小学的时候我们通过度量或剪拼得到:∠A+∠B+∠ACB=180°.现在你能用我们学习的方法给出证明吗?二、合作探究探究点1三角形内角和定理典例1如图,在△ABC中,BD为△ABC的角平分线,如果∠A=47°,∠ADB=116°,求∠ABC和∠C的度数.[解析]∵∠A=47°,∠ADB=116°,∴∠ABD=180°-47°-116°=17°,∵BD为△ABC的角平分线,∴∠ABC=2∠ABD=34°,∴∠C=180°-47°-34°=99°.变式训练如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP,CP分别平分∠ABC 和∠ACB,则∠BPC=()A.102°B.112°C.115°D.118°[答案] D探究点2三角形内角和定理的应用典例2如图,△ABC中,∠B=65°,∠BAD=40°,∠AED=100°,∠CDE=45°,求∠CAD的度数.[解析]在△ABD中,∵∠B=65°,∠BAD=40°,∴∠BDA=180°-(∠B+∠BAD)=180°-(65°+40°)=75°,∵∠CDE=45°,∴∠ADE=180°-(∠BDA+∠CDE)=180°-(75°+45°)=60°,在△ADE中,∵∠AED=100°,∴∠CAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-60°-100°=20°.变式训练完成下面的推理过程:如图,在三角形ABC中,已知∠2+∠3=180°,∠1=∠A,试说明∠CFD=∠B.解:∵∠2+∠DEF=180°(邻补角定义),∠2+∠3=180°(已知),∴(同角的补角相等).∴AC∥EF().∴∠CDF= (两直线平行,内错角相等).∵∠1=∠A(已知),∴∠CDF=∠A(等量代换).∴DF∥AB().∴∠CFD=∠B().[答案]∠DEF=∠3;内错角相等,两直线平行;∠1;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等探究点3直角三角形的两锐角互余典例3如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是()A.35°B.55°C.60°D.70°[解析]根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD,再根据角平分线的定义解答.∵CD⊥BD,∠C=55°,∴∠CBD=90°-55°=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°.[答案] D变式训练如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是()A.15°B.20°C.25°D.30°[答案] B三、板书设计三角形的内角三角形的内角和◇教学反思◇本节课主要是通过小学的探究形式,引导学生寻找做辅助线,对三角形的内角和等于180°进行严谨的证明,慢慢培养学生对证明的理解,逐步认识几何证明的必要性.在解决问题的过程中,关注学生在推理中语言使用的准确性,引导学生用规范的格式进行书写.11.2.2三角形的外角◇教学目标◇【知识与技能】了解三角形的外角的两条性质,能利用三角形的外角性质解决问题.【过程与方法】经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力.【情感、态度与价值观】通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的外角的性质.【教学难点】探究三角形外角的性质,进行相关计算.◇教学过程◇一、情境导入两只野狼在如图的A处发现有一只野牛离群独自在O处觅食,野狼打算用迂回的方式,一只先从A前进到B处,然后再折回在C处截住野牛返回牛群的去路D处,另一只则直接从A处扑向野牛,已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,问野狼从B处要转多少度才能直达C处? 二、合作探究探究点1三角形的外角典例1如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=25°,∠ACE=60°,则∠A=()A.105°B.95°C.85°D.25°[解析]先根据角平分线的性质求出∠ACD的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,∠ACE=60°,∴∠ACD=2∠ACE=120°.∵∠B=25°,∴∠A=120°-25°=95°.[答案] B变式训练一副三角板有两个三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()A.120°B.135°C.150°D.165°[答案] D探究点2三角形外角的性质的应用典例2如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,∠A=30°,∠D=40°,求∠ACD的度数.[解析]∵DF⊥AB,∠D=40°,∴∠DFB=90°,∴∠B=90°-∠D=90°-40°=50°,∵∠ACD是△ABC的外角,∠A=30°,∴∠ACD=∠B+∠A=50°+30°=80°.【技巧点拨】解决几何问题的关键是认准图形,找出图中三角形的外角,利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的性质和三角形内角和定理解决.变式训练如图,若∠A=27°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.110°B.115°C.120°D.125°[答案] A三、板书设计三角形的外角三角形的外角◇教学反思◇本节课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开教学,在讲解外角和内角关系时层层递进,使重点得到突出;及时根据学生学习的情况进行点评和分析;对于易错问题及时讲解,此外注意指导学生总结解题思路和方法,让学生对所学知识的掌握更到位.11.3多边形及其内角和11.3.1多边形◇教学目标◇【知识与技能】了解多边形的有关概念,理解正多边形和有关概念.【过程与方法】经历动手、作图等过程,进一步发展空间能力.【情感、态度与价值观】经历探索、归纳等过程,学会研究问题的方法.◇教学重难点◇【教学重点】了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形和正多边形的概念.【教学难点】多边形定义的准确理解.◇教学过程◇一、情境导入请同学们回忆一下三角形的概念,并尝试说明多边形的概念.二、合作探究探究点1多边形的概念典例1如图所示的图形中,属于多边形的有()A.3个B.4个C.5个D.6个[解析]根据多边形的定义:平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.显然只有第一个、第二个、第五个是多边形.[答案] A变式训练如图,下列图形不是凸多边形的是()[答案] C探究点2正多边形的概念典例2我们知道各边都相等,各角都相等的多边形是正多边形,小明却说各边都相等的多边形就是正多边形,各角都相等的多边形也是正多边形,他的说法对吗?如果不对,你能举反例(画出相应图形)说明吗?[解析]他的说法错误.菱形各边相等,但不是正多边形.如图,菱形ABCD的四个角不相等,不是正多边形;矩形各个角相等,但四边不一定相等,不是正方形.探究点3多边形的剪切典例3若一个多边形截去一个角后,变成十五边形,则原来的多边形的边数可能为()A.14或15或16B.15或16C.14或16D.15或16或17[解析]因为一个多边形截去一个角后,根据剪的角度、方式不同,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,依此即可解决问题.一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,则多边形的边数是14,15或16.[答案] A【技巧点拨】一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条.变式训练把一个四边形锯掉一个角,剩下的多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.三角形或四边形或五边形[答案] D三、板书设计多边形多边形◇教学反思◇通过类比的数学思想,引导学生理解多边形的相关概念,引导学生自主探索多边形的边数与对角线的数量关系.教师应注重课堂小结,激发学生参与的主动性.11.3.2多边形的内角和◇教学目标◇【知识与技能】了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.【过程与方法】经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.【情感、态度与价值观】经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想.◇教学重难点◇【教学重点】多边形的内角和公式与外角和公式.【教学难点】多边形的内角和定理的推导以及对多边形外角和的理解.◇教学过程◇一、情境导入如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A 点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗?二、合作探究探究点1多边形的内角和典例1已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是()A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形[解析]设这个多边形是n边形,内角和是(n-2)·180°,这样就得到一个关于n的方程,从而求出边数n的值.[答案] C变式训练把n边形变为(n+x)边形,内角和增加了720°,则x的值为()A.4B.6C.5D.3[答案] A探究点2多边形的外角和典例2小鹏用家中多余的硬纸板做了一个如图所示的多边形飞镖游戏盘,则该游戏盘的内角和比外角和多()A.1080°B.720°C.540°D.360°[解析]根据多边形的内角和公式(n-2)·180°,外角和等于360°列出算式求解即可.(8-2)×180°-360°=1080°-360°=720°.故该游戏盘的内角和比外角和多720°.[答案] B【方法总结】多边形的外角和与边数无关,任何多边形的外角和都是360°.变式训练如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是()A.4B.5C.6D.7[答案] C探究点3正多边形的内角与外角典例3如果一个多边形的每一个外角都是60°,则这个多边形的边数是()A.3B.4C.5D.6[答案] D变式训练如图,边长相等的正方形、正六边形的一边重合,则∠1的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°[答案] C探究点4多边形外角的理解典例4如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6 m向左转60°,已知AB=BC=6 m.(1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米?走过的路径是一个什么图形?为什么?(路径A到B到C到…)(2)求出这个图形的内角和.[解析](1)∵从A点出发,每走6 m向左转60°,∴360°÷60°=6,∴走过的路径是一个边长为6的正六边形.(2)正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°.三、板书设计多边形的内角和多边形的内角◇教学反思◇通过丰富有趣的探究活动,让学生积极参与其中,充分调动学生的学习热情,使学生灵活掌握多边形内角和与外角和的概念与运用.多数学生能达到预期目的,对课上吃力的同学,课下还要及时进行进一步的关注,以后在课堂上还应充分给学生探究的时间和空间,使每一个学生均有收获.。
人教版初中数学八年级上册第十一章：三角形(全章教案)
第十一章三角形本章主要内容有三角形的有关线段、与三角形有关的角、多边形及其内角和．三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础．本章将在学习与三角形有关的线段(三角形的高、中线和角平分线)和角(三角形的内角、外角)的基础上学习多边形的有关知识，如借助三角形的内角和探究多边形的内角和．学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法．在中考中，本章考查的重点是三角形的有关线段、角，多边形及其内角和．【本章重点】三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式．【本章难点】三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．【本章思想方法】1．体会和掌握分类讨论思想．如：解决已知等腰三角形的周长和一边长的相关问题或与三角形高相关的问题，需要分类讨论．2．体会方程思想．如：根据多边形内角和公式可以建立方程，从而运用方程思想解决相关问题．11．1与三角形有关的线段3课时11．2与三角形有关的角3课时11．3多边形及其内角和2课时11．1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解三角形的表示法、分类法以及三边存在的关系，发展空间观念．【过程与方法】经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单、最基本的几何图形，提高推理能力．【情感态度与价值观】培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值．二、重难点目标【教学重点】掌握三角形三边关系．【教学难点】三角形三边关系的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．如图，线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．3．三角形的表示：顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．4．等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．5．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．6．三角形按边的相等关系分类如下：三角形⎩⎨⎧三边都不相等的三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形5．三角形三边关系：三角形的两边的和大于第三边．推论：三角形两边的差小于第三边．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．2,3,5 B ．5,6,10 C ．1,1,3D ．3,4,9【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边．A 中，2＋3＝5，不能组成三角形；B 中，5＋6＞10，能组成三角形；C 中，1＋1＜3，不能组成三角形；D 中，3＋4＜9，不能组成三角形．故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三条线段能否组成三角形，只需判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？【互动探索】(引发学生思考)(1)等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解；(2)等腰三角形的周长为18厘米→分类讨论：已知边长是腰长还是底边长→得三角形另外两边长→三角形三边关系进行判断．【解答】(1)设底边长为x 厘米，则腰长为2x 厘米． 根据题意，得x ＋2x ＋2x ＝18，解得x ＝3.6. ∴三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米． (2)分情况讨论：当4厘米长为底边长时，设腰长为x 厘米，则 4＋2x ＝18，解得x ＝7.此时等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；当4厘米长为腰长时，设底边长为x 厘米，则4×2＋x ＝18，解得x ＝10. ∵4＋4<10，∴此时不能构成三角形，故可围成满足条件的等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米、4厘米．【互动总结】(学生总结，老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰长还是底边长，再解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形任意两边的和大于第三边；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知a、b、c为三角形的三边，则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是(D) A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3．已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，且它的周长大于14 cm，则第三边长为6 cm.4．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．解：2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．1.2三角形的高、中线与角平分线(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义．2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．【过程与方法】会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)、三条中线、三条角平分线都分别交于一点．【情感态度与价值观】通过对问题的解决，分别培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．二、重难点目标【教学重点】理解三角形的高、中线与角平分线．【教学难点】会利用三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P4～P5的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.2．在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)1．画三角形的高．如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．注意：标明垂直符号和垂足的字母．教师点拨：回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”的画法．讨论1：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.2．画三角形的中线．如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．讨论2：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.3．画三角形的角平分线．如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，则∠BAD＝∠CAD.讨论3：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC中，EF∥AC，BD⊥AC于点D，交EF于点G，则下面说法中错误的是(C)A．BD是△ABC的高B．CD是△BCD的高C．EG是△ABD的高D．BG是△BEF的高2．如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝30度．3．如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC＝8 cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD＝BD.∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，∴(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3 cm，∴BC－AC＝3 cm.又∵BC＝8 cm，∴AC＝5 cm.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11.1.3三角形的稳定性(第3课时)一、基本目标【知识与技能】通过实践活动，使学生掌握三角形的稳定性．【过程与方法】培养学生从周围生活中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题的能力，使学生体验到数学与日常生活的密切联系．【情感态度与价值观】在活动中培养学生知识迁移的能力和创造性思维．二、重难点目标【教学重点】三角形具有稳定性．【教学难点】三角形的稳定性在实际生活中的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是为了防止窗框变形.3．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.4．下列设备，没有利用三角形的稳定性的是(A)A．活动的四边形衣架B．起重机C．屋顶三角形钢架D．索道支架环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)动手操作探究三角形的稳定性．①如图1，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？图1图2图3②如图2，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？③在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连结起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？从上面的实验过程中你能得出什么结论？与同学交流．(2)了解四边形的不稳定性的应用．四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？【互动探索】(引发学生思考)三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变．这就是说，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．【解答】(1)①不会改变．②会改变．③不会改变．原因：斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形具有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．从上面的实验得出：三角形具有稳定性．(2)有应用价值，实例不唯一，如：活动2巩固练习(学生独学)1．下列图形中具有稳定性的是(B)A．平行四边形B．等腰三角形C．长方形D．梯形2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是(C)A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒活动3拓展延伸(学生对学)【例2】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】①四边形木架至少需要钉上1根木棍；②五边形木架至少需要钉上2根木棍；③六边形木架至少需要钉上3根木棍．如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n－3)条木棍后就具有稳定性．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和定理一、基本目标【知识与技能】1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．2．能运用三角形内角和定理进行计算．【过程与方法】通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】三角形内角和定理．【教学难点】三角形内角和定理的推导、验证．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．图1图2图1：30°＋60°＋90°＝180°；图2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN的度数，可得到∠BAC ＋∠B＋∠C＝180°.(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．【解答】∠ABC的求法同“方法一”．如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°－40°－50°＝90°.故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.【例2】如图，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于点F ，交AC 于点E .若∠A ＝46°，∠D ＝50°，求∠ACB 的度数．【互动探索】(引发学生思考)DF ⊥AB ，∠D ＝50°→得∠B 的度数，结合∠A ＝46°→得∠ACB 的度数(三角形内角和定理)．【解答】∵DF ⊥AB ， ∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°， ∴∠B ＝40°. 又∵∠A ＝46°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，在不同的三角形中灵活运用三角形内角和定理求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝50°.2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.3．已知△ABC 中，DE ∥BC ，∠AED ＝50°，CD 平分∠ACB ，求∠CDE 的度数．解：∵DE ∥BC ，∠AED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠AED ＝50°. ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝12∠ACB ＝25°.又∵DE ∥BC ，∴∠CDE＝∠BCD＝25°.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.请完成本课时对应练习！第2课时直角三角形的两锐角互余一、基本目标【知识与技能】理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．【过程与方法】通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形的两锐角互余．【教学难点】判断三角形是直角三角形的方法．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C ＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.2．直角三角形的两个锐角互余.3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.环节2合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，DF ⊥AB ，∠A ＝40°，∠D ＝43°，则∠ACD 的度数是________.【互动探索】(引发学生思考)DF ⊥AB ，∠A ＝40°→∠AEF ＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED ＝50°(对顶角相等)，结合∠D ＝43°→∠ACD ＝87°(三角形内角和定理)．【答案】87°【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．【例2】在△ABC 中，如果∠A ＝12∠B ＝13∠C ，那么△ABC 是什么三角形？【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A 、∠B 、∠C 的数量关系→△ABC 各内角的度数→△ABC 的形状．【解答】设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x . 根据题意，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝∠C ，则△ABC 是( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，则∠A ＝52°.3．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠1＝∠B ，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．请完成本课时对应练习！11.2.2三角形的外角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．三角形的外角的定义和性质．2．能利用三角形的外角性质解决问题．【过程与方法】通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．【情感态度与价值观】通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．二、重难点目标【教学重点】与三角形的外角有关的性质．【教学难点】三角形外角性质的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？(方法一)见教材P15解答过程．(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．活动2巩固练习(学生独学)1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于(B)A．120° B．105°C．60° D．45°2．求下列各图中∠1的度数．解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.3．求下列各图中∠1和∠2的度数．解：左图：∠1＝60°，∠2＝30°；右图：∠1＝50°，∠2＝140°.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【互动探索】∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线→利用三角形外角的性质求解．【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角．∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线，利用三角形外角的性质将已知与未知的角联系起来计算角的度数．此题也可以延长CP与AB相交，还可以连结AP并延长与BC相交，同学们可以自己尝试另外两种解法．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成本课时对应练习！11．3多边形及其内角和11．3.1多边形(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．2．能正确判断正多边形的对角线条数．【过程与方法】通过类比三角形的概念归纳多边形的概念，能从实物中辨别寻找出几何图形，并由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识．【情感态度与价值观】了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学．二、重难点目标【教学重点】多边形、正多边形的概念．【教学难点】解决有关多边形对角线条数的问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P19～P20的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形) 2．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.3．连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.4．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.5．下列图形不是凸多边形的是(D)环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】合作探究，完成下表，将你的思路与同学交流、分享．多边形边数(n ) 四边形 五边形 六边形… n 边形 现规律，总结出n 变形的对角线总条数．【解答】【互动总结】(学生总结，老师点评)熟记n (n ＞3)边形的对角线总条数为n (n －3)2.活动2 巩固练习(学生独学)1．下列图形中，是正多边形的是( D ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．长方形D ．正方形2．九边形的对角线有( C ) A ．25条 B ．31条 C ．27条D ．30条 3．下列不是凸多边形的是( C )4．连结多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( D )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4．一个n 边形共有n (n －3)2条对角线，那么十边形共有35条对角线．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17【互动探索】一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则原来的多边形的边数可能为14,15或16.【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．多边形、多边形的内角、边、对角线、正多边形的概念． 2．正多边形需满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等． 3．n (n ＞3)边形的对角线条数为n (n －3)2.请完成本课时对应练习！11.3.2多边形的内角和(第2课时)一、基本目标【知识与技能】掌握多边形的内角和公式、多边形的外角和是360°及其简单运用．【过程与方法】通过探索多边形内角和的公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，积累解决问题的经验．【情感态度与价值观】通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望．同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索性和创造性．二、重难点目标【教学重点】多边形内角和公式及多边形的外角和．【教学难点】多边形内角和公式的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P21～P23的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．三角形的内角和为180°.2．探究四边形的内角和是多少？(1)展示1：分成2个三角形，180°×2＝360°；(2)展示2：分成4个三角形，180°×4－360°＝360°；(3)展示3：分成3个三角形，180°×3－180°＝360°.展示1展示2展示33．将下表填写完整：。
数学人教版八年级上册第11章三角形小结与(教案)
在本次教学活动中，我尝试了多种教学方法和策略，以帮助学生更好地理解和掌握三角形全等与相似的相关知识。回顾整个教学过程，我认为有几个方面值得反思和改进。
首先，关于导入新课环节，我意识到通过提出与生活相关的问题，能够激发学生的兴趣和好奇心。在今后的教学中，我应继续关注学生的生活经验，将更多实际案例融入课堂，使抽象的数学知识变得具体、生动。
其次，在新课讲授环节，我发现部分学生对全等三角形与相似三角形的判定方法掌握不够牢固。在今后的教学中，我需要更加关注这些学生的需求，通过增加典型例题和变式练习，帮助他们巩固知识点。
在实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果较好，大家都能积极参与其中。但我也注意到，部分小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象。为了提高讨论效果，我应在活动前给出明确的讨论要求和指导，确保学生的讨论更加高效。
2.提高学生的空间想象能力：通过分析三角形的几何特征，让学生在脑海中形成清晰的几何图形，提高空间想象力和图形感知能力。
3.培养学生的数据分析能力：在解决三角形相关问题时，学会运用数据分析和计算，培养数形结合的解题思维。
4.增强学生的应用意识：将三角形知识与实际生活中的问题相结合，让学生感受数学在现实生活中的应用，提高解决实际问题的能力。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸片制作全等或相似三角形，并观察其性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形全等与相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
此外，在学生小组讨论环节，我尝试扮演引导者的角色，鼓励学生提出自己的观点和想法。然而，我也发现部分学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中加强引导，培养学生独立思考和解决问题的能力。
人教版初中八年级数学上册《第十一章 三角形》大单元整体教学设计
人教版八年级数学上册《第十一章三角形》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析人教版初中数学八年级上册的《第十一章三角形》是几何学习中的一个重要章节，它不仅承载着对三角形基础概念和性质的全面介绍，还扮演着连接学生先前所学与后续几何知识深入探索的桥梁角色。
本章内容丰富多彩，深入浅出地引导学生走进三角形的奇妙世界，为他们构建一个系统而坚实的几何知识体系。
在这一章节中，学生们将首先接触到三角形的各种线段，包括边、高、中线以及角平分线等。
这些看似简单的概念，实则是解锁三角形众多性质的关键。
通过学习，学生们将理解每条线段在三角形中的独特位置和作用，以及它们如何相互关联，共同塑造三角形的形态与特性。
例如，中线不仅将对应的底边平分，还将三角形分为面积相等的两部分，这一性质的学习对于学生后续理解更复杂的几何问题大有裨益。
除了线段，章节还深入探讨了三角形的角，包括内角和外角。
学生将学习如何计算三角形的内角和，这一基础知识是证明许多三角形性质的基础。
外角的概念及其与相邻内角的关系，也将被详尽阐述，帮助学生从多角度审视三角形的角特征，培养他们的空间想象力和逻辑推理能力。
本章还拓展到了多边形及其内角和的内容，进一步丰富了学生的几何视野。
多边形作为三角形的延伸，其内角和的计算方法不仅加深了学生对几何图形内在规律的认识，也为后续学习更复杂几何图形打下了坚实的基础。
更为重要的是，本单元的教学不仅仅局限于理论知识的传授，更注重培养学生的实践操作能力和逻辑推理能力。
通过实际测量、作图、证明等一系列活动，学生被鼓励亲自动手，体验知识的生成过程，从而在实践中深化对三角形性质的理解。
这种“做中学”的方式，极大地提升了学生的学习兴趣和参与度，使他们在探索中发现几何之美，培养解决问题的能力和创新思维。
《第十一章三角形》不仅是初中数学课程中的一个核心章节，更是学生几何思维形成的关键时期。
通过本章的学习，学生不仅能够掌握三角形的基础概念和性质，更能在实践中锻炼几何直觉，学会用数学的眼光观察世界，为后续更深层次的几何学习乃至整个数学学习旅程奠定坚实的基础。
人教版八年级上数学教学设计《第11章三角形》
人教版八年级上数学教学设计《第11章三角形》一. 教材分析人教版八年级上数学第11章《三角形》是初中数学的重要内容，本章主要介绍三角形的性质、分类以及三角形的相关计算。
通过本章的学习，使学生掌握三角形的性质，理解三角形分类，会用三角形的知识解决实际问题。
教材内容安排合理，循序渐进，注重培养学生自主探究、合作学习的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于三角形的一些性质和分类，学生可能还存在着一些模糊的认识。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，自主探究三角形的性质和分类，提高他们分析问题、解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的性质，理解三角形的分类，会运用三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等方式，培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的精神风貌。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形的性质、分类以及三角形的相关计算。
2.教学难点：三角形性质的证明，三角形分类的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识三角形，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法：引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，自主探究三角形的性质和分类。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4.讲解法：对于一些难以理解的概念和性质，教师进行详细讲解，引导学生理解。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：制作相关的教学课件，辅助教学。
3.练习题：准备一些有关三角形性质和分类的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如电线杆、自行车三角架等，引导学生认识三角形，激发学生的学习兴趣。
提问：你们对这些三角形有什么了解？2.呈现（10分钟）展示三角形的相关图片，引导学生观察三角形的特征。
人教版八年级上册第十一章《三角形性质探究》教学设计
（1）启发式教学：引导学生主动发现问题、解决问题，培养学生的思维能力。
（2）直观教学：利用教具、实际操作等方式，帮助学生建立清晰的几何图形概念。
（3）分层教学：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（4）情感教育：关注学生的情感需求，激发学习兴趣，培养良好的学习态度。
6.课后作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
7.教学评价：通过课堂表现、作业完成情况等方面，评价学生的学习效果。
8.教学反思：教师课后总结教学过程中的优点和不足，不断改进教学方法，提高教学质量。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的几何图形认知基础，掌握了基本的几何概念和性质。在此基础上，学生对三角形的性质探究具有一定的认知基础，但可能对三角形的内角和定理、等腰三角形性质及勾股定理的理解和应用仍存在困难。此外，学生在空间想象能力和逻辑思维能力方面发展不均衡，需要针对不同学生的实际情况进行因材施教。
人教版八年级上册第十一章《三角形性质探究》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角形的定义，掌握三角形的分类、性质和判定方法。
2.学会运用三角形的内角和定理，解决实际问题。
3.掌握等腰三角形的性质，能运用等腰三角形的判定方法，解决相关问题。
4.熟练运用勾股定理，解决直角三角形相关问题。
5.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
4.通过生活中的实例导入，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知，500字
1.教师引导学生复习三角形的定义，回顾已知的三角形性质。
2.探究三角形的内角和定理：教师提出问题，引导学生猜想三角形的内角和是多少度，并让学生在小组内进行验证。
初中人教版第十一章三角形教案
初中人教版第十一章三角形教案理解三角形高、角平分线及中线概念到用几何语言精确表述，这是学生在几何学习上的一个深入.接下来店铺为你整理了初中人教版第十一章三角形教案，一起来看看吧。
初中人教版第十一章三角形教案一、内容和内容解析1.内容三角形中相关元素的概念、按边分类及三角形的三边关系.2.内容解析三角形是一种最基本的几何图形，是认识其他图形的基础，在本章中，学好了三角形的有关概念和性质，为进一步学习多边形的相关内容打好基础，本节主要介绍与三角形的的概念、按边分类和三角形三边关系，使学生对三角形的有关知识有更为深刻的理解.本节课的教学重点：三角形中的相关概念和三角形三边关系.本节课的教学难点：三角形的三边关系.二、目标和目标解析1.教学目标(1)了解三角形中的相关概念，学会用符号语言表示三角形中的对应元素.(2)理解并且灵活应用三角形三边关系.2.教学目标解析(1)结合具体图形，识三角形的概念及其基本元素.(2)会用符号、字母表示三角形中的相关元素，并会按边对三角形进行分类.(3)理解三角形两边之和大于第三边这一性质，并会运用这一性质来解决问题.三、教学问题诊断分析在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、探究、推理、交流等活动过程，培养学生的和推理能力和合作学习的精神.三角形教学过程设计1.创设情境，提出问题问题1 回忆生活中的三角形实例，结合你以前对三角形的了解，请你给三角形下一个定义.师生活动：先让学生分组讨论，然后各小组派代表发言，针对学生下的定义，给出各种图形反例，如下图，指出其不完整性，加深学生对三角形概念的理解.设计意图：三角形概念的获得，要让学生经历其描述的过程，借此培养学生的语言表述能力，加深学生对三角形概念的理解.2.抽象概括，形成概念动态演示“首尾顺次相接”这个的动画，归纳出三角形的定义.师生活动：三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.设计意图：让学生体会由抽象到具体的过程，培养学生的语言表述能力.补充说明：要求学生学会三角形、三角形的顶点、边、角的概念以及几何表达方法.师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，让学生学会由文字语言向几何语言的过渡.设计意图：进一步加深学生对三角形中相关元素的认知，并进一步熟悉几何语言在学习中的应用.3.概念辨析，应用巩固如图，不重复，且不遗漏地识别所有三角形，并用符号语言表示出来.(1)以AB为一边的三角形有哪些?(2)以∠D为一个内角的三角形有哪些?(3)以E为一个顶点的三角形有哪些?(4)说出ΔBCD的三个角.师生活动:引导学生从概念出发进行思考，加深学生对三角形中相关元素概念的理解.4.拓广延申，探究分类我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，如果要按照边的大小关系对三角形进行分类，又应该如何分呢?小组之间同学进行交流并说说你们的想法.师生活动：通过讨论，学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类，接着引出等腰三角形及等边三角形的概念，引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系，强化学生对三角形按边分类的理解.三角形按边分类：设计意图：通过这一活动的设计，提高学生分类讨论和归纳概括的能力，加深学生对三角形按边分类的理解.5.联系实际，突破难点情境引入：如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可选择?各条路线的长一样吗?师生活动：引导学生讨论分析，得到两条路线：(1)B直接到C即BC;(2)先由B到A再到C即BA+AC.显然，路线(1)中的BC要短一些，即：BC最后，师生共同得到：BC即：三角形的两边之和大于第三边.设计意图：根据“两点之间线段最短”这一几何公理，推理出三角形任意两边之和大于第三边，让学生亲历知识的形成过程，同时加深对“三角形两边之和大于第三边”的理解.6. 应用巩固例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?为什么?解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.(2)因为长为4的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则 4+2x=18解得x=7.如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则2×4+x=18解得x=10.因为4+4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.引导学生通过解决这样的应用问题，特别是(2)中思想方法，让学生学会什么情况下要用到分类讨论的思想，并通过问题的解答过程加深对三角形三边关系理解.设计意图：设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用知识的能力，培养学生分类讨论的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形三边关系的理解，一举多得.补充说明：应用三角形的三边关系时要灵活应变，最简洁的方法只需判断两小边之和大于最大边即可组成三角形.师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，活学活用.三角形教学总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.(1)三角形的定义?三角形的相关元素的概念(边、顶点、角)?三角形的表示方法.(2)三角形按边的分类.(3)三角形三边之间的关系.师生活动：教师引导，学生小结.设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重难点.。
人教版八年级数学上册第十一章《三角形11.2与三角形有关的角第1课时》教学设计
人教版八年级数学上册第十一章《三角形11.2与三角形有关的角第1课时》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册第十一章《三角形11.2与三角形有关的角》是学生在学习了三角形的性质、三角形的分类、三角形的判定后，进一步研究三角形的角的性质。
本节课的主要内容是三角形的内角和定理及外角的性质，是学生进一步研究三角形的基础。
本节课的内容在数学知识体系中起着承上启下的作用，为后续学习四边形的性质奠定基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了三角形的性质、分类和判定，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但对于三角形内角和定理及外角的性质的理解还需要通过实例来加深。
此外，学生对于新知识的学习还是依赖于教师的引导和同学的交流，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：理解三角形的内角和定理，掌握三角形外角的性质，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形的内角和定理，三角形外角的性质。
2.教学难点：三角形外角的性质的证明和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和实例分析法。
通过提出问题，引导学生思考；学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识；利用实例进行分析，加深学生对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的几何模型和图片，用于直观展示三角形的内角和定理和外角的性质。
2.准备相关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“你知道一个三角形的内角和是多少吗？”引导学生回顾已学的三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示三角形的内角和定理和外角的性质，引导学生观察和思考，然后进行讲解和解释。
3.操练（10分钟）学生分组进行合作，利用准备好的几何模型和图片，进行实物的操作，加深对三角形的内角和定理和外角的性质的理解。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第11章 三角形(11.3.1 多边形教案
第十一章三角形11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形一、教学目标【知识与技能】了解多边形的有关概念,理解正多边形和有关概念.【过程与方法】经历动手、作图的过程,进一步发展空间能力.【情感态度与价值观】经历探索、归纳等过程,学会研究问题的方法.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】1.了解多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等有关概念.2.了解正多边形的基本性质.【教学难点】1.在多边形的概念中，对“在同一平面内”的理解.2.对多边形对角线的理解.3.对正多边形性质的理解.五、课前准备教师：课件、三角尺、多边形图片等。
学生：三角尺、直尺、多边形纸片。
六、教学过程（一）导入新课在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？（出示课件2-4）（二）探索新知1.师生互动，探究多边形的定义及其有关概念教师问1：观察下面的图片，你能找到哪些我们熟悉的图形？学生回答：三角形、长方形、正方形、平行四边形、五边形、六边形、八边形等.教师讲解引入多边形：上面这些图形我们要给出一个统一的名称，称它们为多边形.那么到底什么是多边形呢？我们先回忆一下三角形的定义.教师问2：同学们想一想，什么是三角形呢？学生回答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.做一做教师讲解：请同学们拿出准备好的材料，随意画几个多边形.教师问3：观察画多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？学生回答：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形.（出示课件6）教师问4：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？学生交流，教师讲解并强调“在平面内”，并总结：这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.根据边数的多少来命名为，有四条边就是四边形，有五条边就是五边形，依次命名为六边形、七边形、八边形…学生问：观察这个多边形，为什么有一条边是虚线？教师回答：虚线代表的是“不止一条边”，所以这个图形不仅可以代表七边形，也可以代表八边形、九边形等任意一个多边形.教师问5：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角和对角线.学生讨论回答，教师引导如下：内角：多边形相邻两边组成的角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.对角线：连接多边形两个顶点的线段教师问6：多边形按边数分类，可以分为哪一些呢？学生回答：多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.（出示课件8）教师总结如下：(1)多边形的分类:多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形. 其中,三角形是最简单的多边形.如图所示的多边形记作五边形ABCDE.(2)多边形的边:所连接的线段叫做多边形的边. 如图中的AB、BC、CD、DE、EA都是五边形ABCDE的边.(3)多边形的角:①内角:多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠EAB、∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEA都是五边形ABCDE的内角;n 边形共有n个内角.②外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角,如图中的∠DCF是五边形ABCDE的一个外角.n边形共有2n个外角,其中每个顶点处有两个相等的外角,这两个外角是对顶角.(4)多边形的对角线:多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫做多边形的对角线. 如图中,AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线.教师问7：回想三角形的表示方法，多边形应如何表示？学生讨论回答并得出结论.多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.（出示课件7）教师问8：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？学生讨论回答，并得出结论：如图（2）这样，此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.（出示课件9）例：凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．师生共同解答如下：（出示课件10）解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.总结点拨：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.①从所截角的两边截，边数增加1.②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.2.动手画图，寻找多边形对角线的特征教师问9：三角形有对角线吗？为什么？学生回答：三角形没有对角线，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以没有对角线.教师问10：四边形有对角线，过四边形的一个顶点有几条对角线？学生画图并回答：过四边形的一个顶点有1条对角线.（如下图所示）教师问11：过五边形的一个顶点有几条对角线？学生回答：过五边形的一个顶点有2条对角线.(如下图所示)（出示课件13）教师问12：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数，并看一下边数与对角线的条数之间有何规律？多边形三角形四边形五边形六边形八边形n边形从同一顶点引出的对角线的条数0 1 2 3 5 n-3分割出的三角形的个数1 2 3 4 6 n-2学生动手操作并回答（如上表数字）教师问13：每个多边形被过同一顶点的对角线分为几个三角形？学生观察并回答（如上表数字）（出示课件14）教师指导学生完成下列问题：（1）学生画一画画出下列多边形的全部对角线.（出示课件17）（2）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题：教师问14：十边形有多少条对角线？n边形呢？（出示课件18）学生解答如下：（出示课件19）解：∵四边形的对角线条数为4×(4－3)×1＝2.2＝5.五边形的对角线条数为5×(5－3)× 12＝9.六边形的对角线条数为6×(6－3)× 12∴十边形的对角线条数为10×(10－3)× 1＝35.2n(n－3) .n边形的对角线条数为12教师问15：多边形一共有多少条对角线呢？学生讨论并回答，教师引导总结如下：（出示课件15）从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.n(n≥3)边形共有对角线n(n−3)条.2例2：过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分割多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．师生共同解答如下：（出示课件16）解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2，∴n-3+n-2=21，解得n=13．答：该多边形的边数有13条．3.自主探索正多边形的概念及基本性质教师问16：观察下列图形，它们的边、角有什么特点？学生回答：它们的边都相等，它们的角也都相等.教师问17：像这样的多边形我们称为正多边形.请用自己的语言说明什么是正多边形？学生回答：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.问题3：由定义可知，正多边形有什么性质？学生回答：正多边形的各个角都相等，各条边都相等.教师问18：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（出示课件21）（四条边都相等）（四个角都相等）学生回答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.总结点拨：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.（三）课堂练习（出示课件24-27）1.下列多边形中，不是凸多边形的是（）2. 九边形的对角线有（）A. 25条B. 31条C. 27条D. 30条3. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A.六边形 B .五边形C.四边形D.三角形4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是__________边形.5. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成________个三角形.6. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m－k)n为多少？参考答案：1.B2.C3.A4. 十三5.六6. 解：∵m＝10，n＝3，k＝5.∴(m－k)n＝(10－5)3＝53＝125.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.本节主要学习多边形及有关概念，多边形的分类和正多边形的概念及基本性质.2.本节涉及的思想方法是类比思想.（五）课前预习预习下节课（11.3.2）的相关内容。
人教版八年级上册第十一章《三角形性质探究》教案
举例：分析不同类型三角形的性质，如等腰三角形的底角相等，等边三角形的三条边相等。
（3）三角形全等的判定：掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种全等判定方法，并能运用到几何证明中。
举例：通过具体例题，让学生学会运用全等判定方法解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形性质探究》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过三角形的情况？”（如三角板、自行车三角架等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形性质的奥秘。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生运用所学的三角形知识解决实际问题，激发学生的创新思维和探究精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）三角形的定义及内角和定理：理解三角形的构成要素，掌握三角形的内角和为180°的定理，并能应用于实际问题。
举例：通过画图、计算具体三角形的内角，使学生熟练运用内角和定理。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过对三角形的性质探究，使学生能够理解并运用三角形的内角和定理，掌握三角形分类及性质；
2.培养学生的逻辑思维与推理能力，让学生通过探索等腰三角形和等边三角形的性质，学会运用严谨的逻辑推理进行几何问题的证明；
3.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、互动交流，使学生能够共同探讨三角形全等的判定方法，提高解决问题的能力；
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识应用于实际情境。但我也注意到，部分小组在讨论过程中存在依赖心理，个别学生并未积极参与。为了提高学生的参与度，我可以在分组时更加注意成员搭配，鼓励每个学生都发表自己的观点。
人教版数学八年级上册第11章三角形数学活动教学设计
4.情境教学：设计一些实际问题，让学生运用三角形知识解决问题，提高学生的应用意识。
5.课堂小结：对本节课的学习内容进行总结，巩固所学知识。
6.课后作业：布置不同难度的练习题，让学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
7.教学评价：通过课堂提问、课后作业、小组讨论等方式，全面评价学生的学习效果，关注学生的成长和进步。
（3）举例说明三角形在实际生活中的应用。
4.小组讨论题：请学生分组讨论以下问题，并在下一节课上汇报讨论成果：
（1）如何判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
（2）三角形的中位线、角平分线、高、中线有哪些性质？
（3）结合实际例子，探讨三角形稳定性的影响因素。
5.实践活动：请学生利用课后时间，观察生活中常见的三角形物体，并记录下来。在下节课上，与同学们分享观察到的三角形物体及其特点。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在这一环节，教师将通过生活中的实例，引导学生关注三角形，激发他们的学习兴趣。
1.教师展示一些生活中常见的三角形物体，如三角板、自行车三角架等，让学生观察并思考这些物体的共同特点。
2.学生分享观察到的三角形物体，教师适时引导，引出三角形的定义。
3.教师通过提问方式，让学生回顾之前学过的几何图形，为新课的学习做好铺垫。
学生对三角形的了解主要集中在基本概念和性质方面，但对于三角形的高级性质和综合应用还较为陌生。因此，在教学过程中，教师应关注以下几个方面：
1.学生在三角形分类、性质等方面的知识掌握程度，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
2.学生在解决实际问题时，对三角形知识的运用能力，培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力。
人教版八年级数学上册第十一章三角形单元教材分析优秀教学案例
4.利用几何画板软件，展示三角形的变化过程，如三角形的大小、形状的变化，让学生直观地感受三角形的性质。
（二）讲授新知
1.教师讲解三角形的定义、性质和分类，如三角形的内角和定理、三角形的边长关系等。
5.教学内容与过程注重实践与应用：本案例中，教师注重将理论与实践相结合，让学生在实际问题中运用所学的三角形知识，提高学生的实践操作能力和应用能力。同时，通过课后作业的布置，让学生进一步巩固所学知识，提高学生的学习效果。
4.设计课后作业，让学生运用所学的三角形知识解决实际问题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用现实生活中的实例，如房屋设计、道路铺设等，引导学生思考三角形在实际生活中的应用，激发学生对三角形的学习兴趣。
2.展示三角形的相关图片，如三角形的建筑物、三角形的家具等，让学生观察并说出三角形的特征。
在教学过程中，教师应注重启发式教学，引导学生主动参与课堂讨论，发挥学生的主体作用。同时，关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的教学策略，使全体学生能在原有基础上得到提高。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.了解三角形的概念，掌握三角形的性质，如三角形的内角和定理、三角形的边长关系等。
2.学会运用三角形的性质解决实际问题，提高学生运用几何知识解决问题的能力。
人教版八年级数学上册第十一章三角形单元教材分析优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版八年级数学上册第十一章“三角形”单元为依托，旨在深入分析教材内容，提炼教学重难点，结合学生认知规律和心理特点，制定切实可行的教学策略，提高课堂教学效果。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》教学设计
人教版八年级数学上册第11章《三角形》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册第11章《三角形》是学生在学习了平面几何基本概念和图形的基础上，进一步研究三角形的性质和分类。
本章内容包括三角形的概念、三角形的分类、三角形的内角和、三角形的边长关系等。
通过本章的学习，学生能够理解三角形的性质，掌握三角形的分类方法，运用三角形的性质解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对平面几何的基本概念和图形有一定的了解。
但是，对于三角形的性质和分类，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步理解和掌握三角形的性质和分类方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解三角形的概念，掌握三角形的分类方法，了解三角形的内角和定理，能够运用三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流的能力，提高学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学与生活的联系，培养学生的合作意识。
四. 教学重难点1.重点：三角形的性质和分类方法，三角形的内角和定理。
2.难点：三角形的性质和分类方法的运用，三角形的内角和定理的理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境和几何图形，引导学生观察和思考三角形的性质和分类。
2.合作学习法：引导学生进行小组讨论和交流，共同探索三角形的性质和分类方法。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题，学生通过操作和思考，发现三角形的性质和分类方法。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。
2.学具：三角板、直尺、圆规、练习本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的三角形图形，如自行车三角架、自行车的三角铁等，引导学生观察和思考三角形的特征。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现三角形的定义和性质，引导学生理解和掌握三角形的概念。
3.操练（10分钟）教师提出一些关于三角形性质的问题，如三角形的内角和是多少？等，学生通过操作和思考，回答问题。
人教版数学八年级上册第十一章三角形全章复习优秀教学案例
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如在复习三角形性质时，让学生思考：“三角形有哪些基本的性质？”、“如何判断两个三角形是否全等？”
2.引导学生通过观察、分析、推理等方法，自主探索问题，如利用三角形的边长和角度关系，推导出三角形的性质。
3.学生能够运用数形结合的思想，将抽象的三角形知识与具体的图形相结合，提高直观想象能力。
4.学生通过解决实际问题，将所学知识与生活实际相结合，提高应用能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中，体验到数学的趣味性和挑战性，激发对数学学科的兴趣和热情。
2.学生在团队合作中，感受到合作的力量和成功的喜悦，培养积极向上的情感态度。
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，如三角形的性质、分类和应用等。
2.学生总结自己的学习收获，如对三角形性质的理解、判定方法的掌握等。
3.教师对学生的总结进行点评和指导，强调本节课的重点和难点，并指出后续学习的方向。
（五）作业小结
1.教师布置具有针对性的作业，如解决一些与三角形相关的实际问题，巩固学生对三角形知识的理解和应用能力。
（二）讲授新知
1.教师引导学生回顾三角形的基本性质，如三角形的内角和定理、三角形的边角关系等。
2.教师通过示例和讲解，介绍三角形的全等、相似判定定理，并解释其应用和意义。
3.教师讲解三角形的分类，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的性质和判定方法。
4.教师通过几何计算实例，讲解利用余弦定理、正弦定理解决三角形边长、角度问题的方法。
人教版数学八年级上册第十一章三角形全章复习优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版数学八年级上册第十一章“三角形”全章复习为主题，旨在通过复习三角形的相关知识，巩固学生对三角形性质、分类、判定及应用的理解。本章内容涉及三角形的边角关系、三角形的全等、相似以及三角形的几何计算等，是学生进一步学习几何知识的基础。
人教版数学八年级上册《第十一章三角形章起始课》优秀教学案例
1.教师引导学生对学习过程进行反思，让学生总结经验，提高他们的自主学习能力。
2.学生之间进行互评、自评，培养他们的评价能力和自我认知能力。
3.教师对学生的学习成果进行评价，关注学生的知识掌握和能力提高，激发他们的学习动力。
在教学过程中，我将引导学生对学习过程进行反思，让学生总结经验，提高他们的自主学习能力。同时，我还将在课堂上组织学生进行互评、自评，培养他们的评价能力和自我认知能力。此外，我还将对学生的学习成果进行评价，关注他们的知识掌握和能力提高，激发他们的学习动力。通过反思与评价，使学生能够及时发现自己的不足，调整学习方法，提高学习效果。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握三角形的定义、性质和分类，能够准确地识别各种类型的三角形。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力，能够运用三角形的性质解决一些简单的几何问题。
3.通过对Байду номын сангаас角形的学习，使学生掌握研究几何图形的一般方法，提高他们的几何思维和空间想象能力。
在教学过程中，我将以生动的实例和具体的案例，引导学生从实际问题中发现和提出几何问题，激发他们的学习兴趣。通过合作交流、探讨研究，使学生能够深刻理解三角形的性质和分类，并能够运用所学知识解决实际问题。同时，我将采用多种教学手段，如启发式教学、情境教学和信息技术辅助教学等，为学生提供丰富的学习资源，引导他们主动探究，提高他们的自主学习能力。
人教版数学八年级上册《第十一章三角形章起始课》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学八年级上册《第十一章三角形章起始课》，主要内容包括三角形的概念、性质和分类。在教学过程中，我以培养学生几何思维和空间想象能力为目标，通过设计丰富多样的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高他们的自主探究能力。
人教版八年级数学上册第11章三角形单元课时教学设计
5.三角形的面积：教师引导学生运用割补法、海伦公式等方法计算三角形的面积，并总结出三角形面积的计算公式。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组发放一张含有三角形的图形，要求学生观察并讨论以下问题：
人教版八年级数学上册第11章三角形单元课时教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角形的定义及基本性质，掌握三角形内角和为180°。
2.学会运用三角板、直尺等工具准确画出三角形，并能够识别和判定等腰三角形、等边三角形及其性质。
3.熟练掌握三角形中位线定理，并能运用该定理解决实际问题。
4.学会运用勾股定理计算直角三角形的边长，并能解决实际生活中的问题。
5.能够运用三角形的面积公式计算三角形的面积，并解决与三角形面积相关的实际问题。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、探索等实践活动，培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
2.通过小组讨论、合作交流等形式，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
3.引导学生运用已知的几何知识解决三角形相关问题，提高学生的知识迁移能力。
3.培养学生勇于探索、积极思考、克服困难的精神，增强学生的自信心。
4.注重培养学生的审美观念，让学生在欣赏几何图形中感受数学之美。
5.通过对三角形的学习，引导学生认识到事物之间的相互联系，学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对三角形的概念、性质等已有初步了解，但在深入理解和应用方面仍存在困难。此外，学生在空间想象能力、问题解决策略等方面发展不均衡，个别学生可能对几何图形的学习兴趣不高。因此，在本章节的教学中，教师需要关注以下几点：
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初中人教版第十一章三角形教案
一、内容和内容解析
1.内容
三角形中相关元素的概念、按边分类及三角形的三边关系.
2.内容解析
三角形是一种最基本的几何图形，是认识其他图形的基础，在本章中，学好了三角形的有关概念和性质，为进一步学习多边形的相关内容打好基础，本节主要介绍与三角形的的概念、按边分类和三角形三边关系，使学生对三角形的有关知识有更为深刻的理解.
本节课的教学重点：三角形中的相关概念和三角形三边关系.
本节课的教学难点：三角形的三边关系.
二、目标和目标解析
1.教学目标
(1)了解三角形中的相关概念，学会用符号语言表示三角形中的对应元素.
(2)理解并且灵活应用三角形三边关系.
2.教学目标解析
(1)结合具体图形，识三角形的概念及其基本元素.
(2)会用符号、字母表示三角形中的相关元素，并会按边对三角形进行分类.
(3)理解三角形两边之和大于第三边这一性质，并会运用这一性质来解决问题.
三、教学问题诊断分析
在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、探究、推理、交流等活动过程，培养学生的和推理能力和合作学习的精神.
1.创设情境，提出问题
问题1回忆生活中的三角形实例，结合你以前对三角形的了解，请你给三角形下一个定义.
师生活动：先让学生分组讨论，然后各小组派代表发言，针对学生下的定义，给出各种图形反例，如下图，指出其不完整性，加深
学生对三角形概念的理解.
设计意图：三角形概念的获得，要让学生经历其描述的过程，借此培养学生的语言表述能力，加深学生对三角形概念的理解.
2.抽象概括，形成概念
动态演示“首尾顺次相接”这个的动画，归纳出三角形的定义.
师生活动：
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
设计意图：让学生体会由抽象到具体的过程，培养学生的语言表述能力.
补充说明：要求学生学会三角形、三角形的顶点、边、角的概念以及几何表达方法.
师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，让学生学会由文字语言向几何语言的过渡.
设计意图：进一步加深学生对三角形中相关元素的认知，并进一步熟悉几何语言在学习中的应用.
3.概念辨析，应用巩固
如图，不重复，且不遗漏地识别所有三角形，并用符号语言表示出来.
(1)以AB为一边的三角形有哪些?
(2)以∠D为一个内角的三角形有哪些?
(3)以E为一个顶点的三角形有哪些?
(4)说出ΔBCD的三个角.
师生活动:引导学生从概念出发进行思考，加深学生对三角形中
相关元素概念的理解.
4.拓广延申，探究分类
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，如果要按照边的大小关系对三角形进行
分类，又应该如何分呢?小组之间同学进行交流并说说你们的想法.
师生活动：通过讨论，学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类，接着引出等腰三角形及等边三角形的概念，引导学生了解
等腰三角形与等边三角形的联系，强化学生对三角形按边分类的理解.
三角形按边分类：
设计意图：通过这一活动的设计，提高学生分类讨论和归纳概括的能力，加深学生对三角形按边分类的理解.
5.联系实际，突破难点
情境引入：如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可选择?
各条路线的长一样吗?
师生活动：引导学生讨论分析，得到两条路线：
(1)B直接到C即BC;
(2)先由B到A再到C即BA+AC.
显然，路线(1)中的BC要短一些，即：BC
最后，师生共同得到：
BC
即：三角形的两边之和大于第三边.
设计意图：根据“两点之间线段最短”这一几何公理，推理出三角形任意两边之和大于第三边，让学生亲历知识的形成过程，同时加深对“三角形两边之和大于第三边”的理解.
6.应用巩固
例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?为什么?
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.
x+2x+2x=18.
解得x=3.6.
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
(2)因为长为4的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，
则4+2x=18
解得x=7.
如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，
则2×4+x=18
解得x=10.
因为4+4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
引导学生通过解决这样的应用问题，特别是(2)中思想方法，让学生学会什么情况下要用到分类讨论的思想，并通过问题的解答过程加深对三角形三边关系理解.
设计意图：设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用知识的能力，培养学生分类讨论的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形三边关系的理解，一举多得.
补充说明：应用三角形的三边关系时要灵活应变，最简洁的方法只需判断两小边之和大于最大边即可组成三角形.
师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，活学活用.
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
(1)三角形的定义?三角形的相关元素的概念(边、顶点、角)?三角形的表示方法.
(2)三角形按边的分类.
(3)三角形三边之间的关系.
师生活动：教师引导，学生小结.
设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重难点.
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