用洛必达法则解决导数问题

如果当（或）时，两个函数与

都趋于零或都趋于无穷大，那么极限

可能存在， 也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或。 洛必达（L’Hospital ）法则：

设（1）当时，函数及

都趋于零； （2）在点的某去心邻域内，及都存在且；

（3）存在（或为无穷大）；

那么

1 用洛必达法则求下列极限 (1)x x x )1ln(lim 0+→ (2)x e e x x x sin lim 0-→-(3)a x a x a x --→sin sin lim (4)x x x 5tan 3sin lim π→ (5)22

)2(sin ln lim x x x -→ππ (6)n n m

m a x a x a x --→lim (7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→(8)x x x 3tan tan lim 2

π→(9)x arc x x cot )11ln(lim ++∞→ (10)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→ (11)x x x 2cot lim 0→ (12)212

0lim x x e x → (13)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x (14)x x x a )1(lim +∞→(15)x x x sin 0lim +→ (16)x x x

tan 0)1(lim +→ 例题：设函数2()1x f x e x ax =---.

（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.

应用洛必达法则和导数

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即21x e x ax --≥.

①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，2

1x e x ax --≥等价于21x e x a x --≤. 记21()x e x g x x --= (0+)x ∈∞，，则3

(2)2'()x x e x g x x -++=. 记()(2)2x h x x e x =-++ (0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，

''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，所

以()(2)2x h x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)x ∈∞，时，

3()'()0h x g x x

=>，从而21()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增. 由洛必达法则有，

20000111lim ()lim lim lim 222

x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---==== 即当0x →时，1()2g x →

，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12a ≤. 综上所述，当12a ≤

且0x ≥时，()0f x ≥成立.

练习

已知函数2()(1)x f x x e ax =--.

（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.