矩形的判定方法
矩形的判定
基础知识关
1、在判定一个四边形是矩形时： ⑴、若判定的对象是平行四边形，则还需有一个角是 直角 或 对角线相等 ； ⑵、若判定的对象是四边形，则需三个角是 直角 或需先判定这个 四边形为 平行四边形 ，再找一直角或对角线相等。 2、选择题 ⑴、具备条件____的四边形是矩形．【 D 】 A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 ⑵、能够判断一个四边形是矩形的条件是【 C 】 A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
D
C
牛刀小试
2
判断下列命题是否正确。 • 对角线相等的四边形是矩形。 • 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 • 有一个角是直角的四边形是矩形。 • 四个角都是直角的四边形是矩形。 • 四个角都相等的四边形是矩形。 • 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
学以致用关
工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： (1)先截同两对符合规格的铝合金窗料，使AB＝CD，EF＝GH 平行四边 (2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状____________ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 形，数学原理是_______________________________________ (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗 矩 形，数学原理是_________________________________ 有一个角为直角的平行四边形是矩形 框是_____
运用知识关
1、在⊿ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＤＥ∥ＡＣ交ＡＢ于Ｅ， ＤＦ∥ＡＢ交ＡＣ于Ｆ，当⊿ＡＢＣ满足条件 ∠BAC=900 时， 四边形ＡＥＤＦ是矩形。 2、如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为 什么？
20.2 矩形的判定(第1课时)
B
C
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
A D
O
B
C
知识链：
有一个角是直角
平行四边形 四边形
矩形
有三个角是直角
矩形的判定口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。
想一想
问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做 成的门框是否是矩形？说说你的想法.
B A D
O
C
课堂小结 这节课你有什么收获？
A D
ABCD AC = BD
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
B
O
四边形ABCD 是矩形
C
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角 线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH
AD=CD=BD,DE、DF分别是∠BDC、 ∠ADC的平分线.四边形FDEC是矩形 吗?为什么?
C F A D
例1 如图,在△ABC中,点D在AB上,且
E
B
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
人教版八年级下册数学第18章18.2.2矩形的判定(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
-通过典型例题，如判断某一四边形是否为矩形，引导学生运用判定方法，加深对判定方法的理解和运用。
2.教学难点
-矩形判定方法的应用：学生需要学会在实际问题中灵活运用判定方法，这是学生容易感到困难的地方。
-矩形性质的证明：对于矩形的性质，学生不仅要知其然，还要知其所以然，能够理解和掌握证明过程。
-空间观念的培养：对于一些空间想象能力较弱的学生，如何将矩形性质与实际图形相结合，形成直观的空间观念，是一大挑战。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直角尺和测量工具来验证一个图形是否为矩形。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-矩形的判定方法：掌握矩形的三种判定方法，即对边平行且相等的四边形、有三个直角的四边形、对角线互相平分且相等的四边形，这是本节课的核心知识。
举例解释：
-通过动态几何软件或实物模型，展示矩形在变形过程中保持对边平行且相等的特性，加深学生对矩形定义的理解。
-通过实际测量和计算，让学生验证矩形的性质，如对角线相等，强化学生对性质的记忆和应用。
b.有三个角是直角的四边形是矩形。
c.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
18.2.1矩形的判定方法
矩形的性质
文字表述
边 角 对角线
矩形的对边平行且相等
D
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分且相等 A
图形
C
O
B
证明：有四个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C D 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
O
A
B
A
D
O
B
C
例1：判断下列命题是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形.（ X）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（ ）
（3）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.（X ）
（4）一组邻角相等的平行四边形是矩形.（ ） （5）对角互补的平行四边形是矩形.（ ）
例2：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD 相交于点O,且OA OD, OAD 50o.求OAB的度数.
D
C
O
A
B
平行四边形
①
四边形
有三个角是直角
②
矩形
必做题：教材55页练习1、2 选做题：
如图，AC、BD是矩形ABCD的两条对角线， 且 AE=CG=BF=DH.求证：四边形EFGH是矩形.
D
C
A
B
证明：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
A
B
证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
已知：在四边形 ABCD中，OA OC ,OB OD, AC BD. 求证：四边形 ABCD是矩形.
矩形的判定
复习回顾
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
A
D
O
边
矩形对边平行且相等
B
C
角
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分且相等
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. B ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形（有一 个角是直角的平行四边形是矩 形）
例1：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形
例2： 如果平行四边形四个内角的平分线能 够围成一个四边形，那么这个四边形是矩 形．
A
M
D
B
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。） 方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C ） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角 线长是 5 cm 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ） A 菱形 B 平行四边形 P A E F C 矩形 D 不能确定
矩形的判定
求证: 四边形ABCD是矩形 证明： 在 ABCD中， AB=DC,BD=CA,AD=DA。 所以△BAD≌△CDA(SSS)。
所以∠BAD=∠CDA。 因为AB∥CD， 所以∠BAD＝90°。 所以∠BAD +∠CDA=180°。 所以四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边 形是矩形）
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
变式一: 已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形
A E H D
O F B G C
找一找 如图,四边形ABCD的对角线相交于点O, 给出下列条件:①AB∥CD ②AB=CD ③ AC=BD ④∠ABC=90°⑤OA=OC ⑥OB=OD 请从这6个条件中选取3个,使四边形ABCD是矩 形,并说明理由. 可以说明平行四边形的有: ①② ⑤⑥ ①⑤ ①⑥ ①②③ ①②④ ⑤⑥③ ①⑤③ ①⑥③ ⑤⑥④ ①⑤④ ①⑥④
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
矩形的判定
OFE D CBA ODCBA第三讲、矩形与正方形重点内容: ①具有的一切性质；②内角都是直角；③对角线相等；④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数；⑥对称轴的条数；⑦斜边中线定理；⑧平方等式；⑨两种面积计算方法；⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形；⑿对角线相等的→矩形. 1、 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；2、 矩形的性质：⎪⎩⎪⎨⎧分且相等；对角线：对角线互相平边：对边相等；角：四个角都是直角；3、 矩形的判定：⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边的平行四边形；定义：有一个角是直角4、 正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形；5、 性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；6、 正方形的性质：1 23 457、 判定：有一个角是直角的菱形是正方形；临边相等的矩形是正方形； 8、 四边形之间的关系：【练习题】1. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.2. 一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.4. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 经过O 点, 那么图中全等三角形共有_____________________对.5. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.6. 在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为____________________.7. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若, 那么∠BDC 的大小为________________.ONM DCBA OEDCBA8. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN//DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OM D ONC S S = . 其中正确的是______________.9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________.10. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.11.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.12.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.13.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12， 则斜边上的中线等于 .14.如图，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_________.15.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2. 16.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是___________. 17.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 18.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．邻角互补C ．对角相等D ．对角线相等 19.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分PHDCBA三、证明题：1、如图，平行四边形ABC D 中，AQ 、B N 、C N 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、B C D ∠、C D A ∠的平分线，AQ 与B N 交于P ，C N 与DQ 交于M ， 求证：四边形PQMN 是矩形．2、如图，已知在四边形ABC D 中，AC D B ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形E F G H 是矩形3、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.NMQPDCBAHG OFEDCB A四边形的习题一、选择题1.下列图形中：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的共有（ ）个．A 、1B 、2C 、3D 、4 2.在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）．A 、1:2:3:4B 、3:5:5:3C 、3:3:4:4D 、2:3:2:33.如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E+∠F ＝（ ）．A.110°B.30°C.50°D.70°4. 如图，□ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（）． A.40° B.80° C.60° D.100° 5.正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）条．A 、1条B 、2条C 、4条D 、无数条6.在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=8cm ，BD=6cm ，则这个菱形的周长是（ ）． A 、40cm B 、20cm C 、10cm D 、16cm7.如图，在□ABCD 中，AB=12cm ，设它的两条对角线长为x 、y ，，则x 、y 可能是下列各组数中的（ ）． A 、8cm 和14cm B 、10cm 和14cm C 、18cm 和20cm D 、10cm 和38cm8.如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，BE=5cm ，EC=3cm ，则这个矩形的周长为（ ）． A 、26cm B 、27cm C 、22cm D 、28cm 9.如图，在ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，∠BAD 、∠ADC 的平分线分别交BC 于E 、F ，则EF 的长为( ).A 、1B 、2C 、3D 、4E FABCD第3题第8题图ECDB A第4题图EDCBA第7题图OCCBA10.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，BD=AD ， 且∠BCD=110°，∠CBD=30°，则∠ADB 的度数为( ). A、80° B 、90° C 、100° D 、110° 11.正方形对角线（ ）．A 、互相平分，但不相等B 、相等，但不垂直C 、互相垂直、平分且相等D 、互相垂直，但不相等 二、填空题（每小题3分，共24分）12.请你写一条菱形具有而平形四边形不具有的性质：____________．13.已知矩形的面积为48，一边长是6，那么这个矩形的对角线长是___________．14.平行四边形的一个内角比它的邻角大24°，则这个平行四边形四个内角的度数分别为______，______，______，______．15.菱形ABCD 中, ∠A=120°,周长为16cm,则较短的对角线长为_________．16.如果边长分别为4cm 和9 cm 的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为_______ cm ． 17．正方形的一条对角线长为4 cm ，则它的面积是_________ cm 2.18．如图，□ABCD 的周长为20 cm,对角线交于O 点, ∆AOB 的周长比∆BOC 的周长短 4 cm, 则AB ＝__________,BC=__________．19.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD, ∠A=100°,则∠C=______．第9题图第10题图CBAD第18题图第19题图DCBA三、 解答题20.（10分）如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=3cm ，求： （1）菱形的周长； （2）菱形的四个内角．21.（10分）如图，以正方形ABCD 的一边AB 为边向外作正三角形ABE ，连接EC 、ED ，求∠DEC 的大小．22. （10分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， CE ∥DA ，已知AB=8cm ，DC=5cm ，DA=6cm ，求 CEB 的周长．DCBAEDCBAED CBA23.（12分）如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=6cm ，△AOB 的周长为16cm ，△BOC 的周长为18cm ，求AD 的长．24.（12分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E 点，若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数．EODCBAODCBA。
19.2.1矩形(矩形的判定)
D
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
今 日 作 业
课本P102习题第1 题，第3题。
C
牛刀小试
如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，△OAB是等 边三角形，且AB=4cm， 求□ABCD的面积（精确到0.01）
∵△OAB是等边三角形， 解： 且 AB=4cm ∴OA=OB=4cm ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OB=OC=OD=4cm ∴AC=BD=8cm ∴ □ABCD是矩形 ∴∠ABC=90°
A D
┓
对角线
直角三角形的性质定理：
C B 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∠A=900 ∴四边形ABCD是矩形 D C
你还有其他的判定方法吗？ A
B
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 。 数学语言： ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B A D
C
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形。
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形。
判断下列句子命题是否正确。
19(矩形的判定)
E C
A
B
例1 已知□ABCD的对角线AC、BD交于O， △AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平 A 行四边形的面积. O
解：∵四边形ABCD是平行四边形 B ∴AC = 2OA，BD = 2OB ∵ △AOB是等边三角形∴OA = OB ∴AC =BD ∴ ABCD是矩形∴∠ ABC=90° 在Rt△ABC中， ∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm ∴BC= 8 2 对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是矩形。 A 证明: 因为 AB=CD, BC=BC, AC=BD，
所以 △ABC≌ △DCB（SSS）。 所以∠ABC=∠DCB。 因为 AB//CD ， 所以∠ABC+∠DCB=180°。
19.2 特殊的平行四边形（第2课时）
19.2.1 矩形
复习回顾
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
A
D
O
边
矩形对边平行且相等；
B
C
角
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
对角线
直角三角形的性质定理：
选择题
5. 具备条件____的四边形是矩形． [ D ] A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 6. 能够判断一个四边形是矩形的条件是 [ C ] A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
平行四边形ABCD中,E是CD的中点, △ABE是等边三角形, 求证:四边形ABCD是矩形。
矩形的判定
如图，在△ABC中，点D在AB上，且 AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、 ∠ADC的平分线。 四边形FDEC是矩形吗？为什么？
C F E
A
D
B
判定一个四边 形是矩形的方法有 哪些？
（2）下面说法正确的是 A.有一个角是直角的四边形是矩形； B.有一组对边平行，有一个内角是 直角的四边形是矩形； C.有两组对角分别相等，且有一个 角是直角的四边形是矩形； D.有两条对角线相等四边形是矩形。
（3）四边形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，不能判定它是矩形的是 A.AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD B.AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90° C.∠BAD＝∠ABC＝90° ∠BCD+∠ADC＝180° D.∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC ＝90°
矩 形 的判 定
判定一：有三个角是直角 的四边形是矩形。
∵四边形ABCD， ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
在□ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，且AC=BD。 试说明： ∠ABC=∠BCD= 90°
A O B C D
判定二：对角线相等的 平行四边形是矩形。
∵□ABCD ，AC=BD ∴□ABCD是矩形
一、判断题： 1. 矩形的对角线相等。 2.对角线相等的四边形是 矩形。 3.对角线相等且互相平分 的四边形是矩形。
4.有三个角相等的四边形 是矩形。 5.有三个角是直角的四边 形是矩形。 6.四个内角相等的四边形 是矩形。
二、选择题
（1）在下面说法： ①平行四边形仅是中心对称图形； ②等边三角形仅是轴对称图形；③ 矩形既是轴对称图形又是中心对称 图形；④角仅是轴对称图形。 其中说法正确的个数是 （A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
人教版矩形的判定
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X X X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
试一试
• 四边形ABCD是矩形
D
O
C
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ 10 40° ㎝ OB=
A
B
5
㎝
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50° ∠OBA= ∠AOB= 100° ∠AOD= 80° 28
㎝
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 48 矩形的面积＝ ㎝2 4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=
梳理归整
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
学效检测
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线 长是 5 cm 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ） P A E F A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定 B D
M Q C N
作业： 60页
3.5矩形的判定方法
问题：怎样用带刻度的角尺检验 木工做成的门框是否是矩形？说 说你的想法.
这些想法中用了什么数学知识?
矩形的判定
结论:
探索与思考
探索一 :有3个角是直角的四边形是矩形 判定 1:三个角是直角的四边形是矩形 . 吗? 为什么? A D
∵∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B C
C F A D
E
B
做一做
如图,平行四边形ABCD的4个内 角平分线围成的四边形PQRS是矩 形吗?为什么?
A D P B R Q C
S
如图,在□ ABCD中,以AC为斜边作 Rt△ACE,又∠BED=90°,试说明四边 形ABCD是矩形.
E A O B C D
这节课的收获是……
1.如何判断四边形是矩形. 2.会用矩形的判定方法来解决问题.
想一想
问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做 成的门框是否是矩形？说说你的想法.
一般有以下三种方法: 1.先检验门框的对边是否分别相等,再检验 其中的一个角是否是直角; 2.先检验门框的对边是否分别相等,再检验 两对对角的距离(对角线的长)是否相等; 3.检验门框的3个角都是否是直角.
例1 如图,在△ABC中,点D在AB上, 且AD=CD=BD,DE、DF分别是 ∠BDC、∠ADC的平分线.四边形 FDEC是矩形吗?为什么?
如果四边形有一个角是直角，它 应该满足什么条件就是矩形呢？
结论:
探索与思考
探索二 :如图平行四边形ABCD的对 判定2:对角线相等的平行四边形是矩 角线 形. AC与BD相等. 平行四边形 ABCD是矩形吗?为什么?
A D
∵AC=BD B C ∴平行四边形ABCD是矩 形Fra bibliotek议一议
矩形的判定
法三：三个角都是直角的四边形是矩形.
（2）新知识可通过猜想、证明、归纳的过程学习 .
作业： 1.教材第55页练习第1题. 2.教材习题18.2第1题.
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形 第2课时
生活剪影
情境
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1 请你利用直尺和三角 板帮他检验一下，相框是矩形吗？ 除了矩形的定义外，有没有 其他判定矩形的方法呢？
知识回顾： 1. 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的第一个 判定方法
2. 平行四边形的性质和判定是什么？ 它们之间有什么关系？ 3. 矩形的性质是什么？ 4. 你能猜想出矩形的判定方法有哪些吗？
猜想：
（1）对角线相等的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，且AC=BD. 求证：平行四边形ABCD是矩形.
已知：在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C= 90°. 求证：四边形ABCD是矩形.
归纳：
矩形的三种判定方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
判断题：
①有一个角是直角的四边形是矩形；
②有四个角是直角的四边形是矩形；
③四个角都相等的四边形是矩形；
④对角线相等的四边形是矩形； ⑤对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
判断题：
⑥对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ⑦对角线相等，且有一个角是பைடு நூலகம்角的四边形
是矩形；
⑧一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边
矩形的判定方法
矩形的判定方法矩形是几何学中常见的形状，具有四条边和四个角的特点。
在日常生活和数学问题中，我们经常需要判定一个图形是否为矩形。
下面将介绍几种判定矩形的方法。
1. 边长判定法。
矩形的特点是对角线相等且相互平分。
因此，我们可以通过判断四条边的长度是否符合这一特点来判定一个图形是否为矩形。
如果一个图形的对角线长度相等且相互平分，那么这个图形就是矩形。
2. 角度判定法。
矩形的特点是四个角都是直角。
因此，我们可以通过判断一个图形的四个角是否都是直角来判定这个图形是否为矩形。
如果一个图形的四个角都是直角，那么这个图形就是矩形。
3. 对角线判定法。
矩形的特点是对角线相等且相互平分。
因此，我们可以通过判断一个图形的对角线是否相等且相互平分来判定这个图形是否为矩形。
如果一个图形的对角线长度相等且相互平分，那么这个图形就是矩形。
4. 对边平行判定法。
矩形的特点是相对边两两平行且相等。
因此，我们可以通过判断一个图形的相对边是否都是平行且相等来判定这个图形是否为矩形。
如果一个图形的相对边都是平行且相等，那么这个图形就是矩形。
5. 综合判定法。
除了以上几种方法外，我们还可以综合运用边长、角度、对角线和对边平行等多种特征来判定一个图形是否为矩形。
通过综合判定法，我们可以更加准确地判断一个图形是否为矩形。
总结。
矩形是一种常见的几何图形，判定一个图形是否为矩形可以通过边长、角度、对角线和对边平行等多种方法来进行。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的判定方法来判断一个图形是否为矩形，从而更好地解决问题。
通过以上介绍，相信大家对矩形的判定方法有了更深入的了解。
希望这些方法能够帮助大家更好地理解和应用矩形的相关知识。
2.1矩形的判定
20.2.1矩形的判定
复习
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
回顾矩形的性质
A O B
D
C
边 角
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
对角线 矩形的对角线相等且平分；
矩形的判定
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形.
ABCD ∠A=900
四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
实例一
工人师傅为了检验两组对边相等的四边 形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个 四边形的两条对角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
证明 对角线相等的平行四边形是矩形.
M Q C N
矩形判定
6四个角都相等的四边形是矩形； 四个角都相等的四边形是矩形； 四个角都相等的四边形是矩形 7对角线相等，且有一个角是直角的 对角线相等， 对角线相等 四边形是矩形； 四边形是矩形； X
8一组对角互补的平行四边形是矩形； 一组对角互补的平行四边形是矩形 9对角线相等且互相垂直的四边形是矩 对角线相等且互相垂直的四边形是矩 形； X
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形
矩形 平行四边形
四边形
A
C
矩形的性质
B D
两组对边平行且相等
A
C
矩形的性质
B D
每一个角都是90° 每一个角都是90°
A
C
矩形的性质
B D
两条对角线相等且互相平分
平行四边形的性质与判定
平行四边形性质 平行四边形判定
两组对边平行
边
两组对边平行且相 两组对边相等 等 一组对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 对角相等 对角线互相平分
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B ≌ （ ） ∴ ∠ABC=∠DCB ∠ ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∠ ° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° ∠ ° 四边形ABCD是平行四边形 又∵ 四边形 是平行四边形
D
C
∴四边形ABCD是矩形 四边形 是矩形
矩形的判定方法： 矩形的判定方法：
ABCD的对角线 和 的对角线AC和 例2已知 已知 的对角线 BD相交于点 ，△AOB是等边三 相交于点O， 相交于点 是等边三 角形， ＝ 角形，AB＝ 4 cm．求这个平行 ． 四边形的面积． 四边形的面积．
已知：如图，在平行四边形 已知：如图， ABCD中 AC、 ABCD中，AC、BD 相交于点 AOB是等边三角形 是等边三角形。 O， △ AOB是等边三角形。 BAD的度数 求： ∠BAD的度数 D A
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19.2.1 矩形(二)
一、教学目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
二、重点、难点
1．重点：矩形的判定．
2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．
四、课堂引入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
五、例习题分析
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）
（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．(√)
指出：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
例2 （补充）已知
△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互
相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AO=21AC ，BO=2
1BD ． ∵ AO=BO ，
∴ AC=BD ．
∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt △ABC 中，
∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ，
∴ BC=344822=-（cm ）．
例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内
角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH
是矩形．
分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解
出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥BC ．
∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．
又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，
∴ ∠EAB ＋∠ABG=2
1×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC =∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
六、随堂练习
1．（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四
边形是矩形
2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点
E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．
七、课后练习
1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；
⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗
框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．。