小学数学拓展专题 数的整除 完整版题型训练 带答案

数的整除
板块一：基础题型
1.下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中请问：
（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？那些能被8整除？
（2）有哪些数能被5整除？那些数能被25整除？哪些能被125整除？
【分析与解】主要考察整除的性质：
（1）能被2整除的有 14，80，152，650，434，9064；
能被4整除的有 80，152，9064；
能被8整除的有 80，152，9064.
（2）能被5整除的有 35，80，650，4375，24125
能被25整除的有650，4375，24125
能被125整除的有4375，24125.
2．有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837，这些数中那些能被3整除？哪些能被9整除？那些能同时被2和3整除？
【分析与解】
主要考察整除的性质：能被3整除的数有：387，228，975，525，882，837
能被9整除的数有：387，882，837
能同时被2和3整除的数有：228，882
的十位数字未知。

请分别根据下列要求找出“□”中合适的取3.一个三位数64
值：
（1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？
（2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？
（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“□”可能等于多少？
【分析与解】
这个数能被3整除，则6+□+4=12或15或18，所以□=2或5或8；
能被四整除，则这个数的末两位能被四整除，所以□=0，2，4，6，8；若64
通过（1）和（2）得，当□=2，8时，能同时被3和4整除。

4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。

小悦收课9位同学的校服费（每人
元”，交的一样多）交给老师。

老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费238
其中有一滴墨水，把方格处的数字污染的看不清了。

东东看了看，很快就算出了方格处的数字。

聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？
【分析与解】9位同学交的钱数一样多，共238 元，说明238 能被9整除， 即2+□+3+8=13+□能被9整除，并且□是一位数，所以□=5.
5.四位数29 能同时被3和5整除，求出所有满足条件的四位数。

【分析与解】
能被5整除，则个位数为0或者5；
当个位数为0时，2+□+9+0=11+□能被3整除，并且□为0～9的数字， 所以□=1，4，7；
当个位数字为5时，2+□+9+5=16+□能被3整除，并且□为0～9的数字， 所以□=2，5，8；
综上得满足题意的四位数为：2190，2490，2790，2295，2595，2895。

6.四位偶数64 能被11整除，求出所有满足条件的四位数。

【分析与解】64 是偶数，所以个位是0，2，4，6，8，并且能被11整除，则偶数位上的数字之和与奇数位上的数字之和的差是11的倍数，当个位是0时，6+4-□=10-□是11的倍数，无解；当个位是2时，6+4-□-2=8-□=0，所以□=8；依次验证当□=4，6，8时，得□=6，4，2.所以满足题意的四位数为6842，6644，6446，6248.
7.多位数32
323232n 个1能被11整除，满足条件的n 的最小值是多少？
【分析与解】若323232
32n 个1能被11整除，则1+n 3333+++个 -（n 222+++个2）
=1+3n-2n=1+n ·（3-2）=1+n 是11的倍数，若使n 最小，则1+n=11，所以n=10.
8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。

服务人员告诉他，目前只有形如
“1234□6□8”的号码可以申请。

也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余的数字不可得改动。

王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。

请问：他申请的号码可以是多少？
【分析与解】“1234□6□8”能被8整除，则这个数的后三位6□8能被8整除，则□=0，4，8，当十位的□=0时，2+4+6+8-（1+3+□）=16-□是11的倍数，且□为0～9的数字，则□=5；同理当□=4，8时，得□=1，8，所以他申请的电话号码可以是 12345608，12341648，12348688。

9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数字能被4整除。

这个数字最大是多少？
【分析与解】设这个四位数为ABCD，要使这四位数字最大，则最高位的数字应该最大，则A=9;且ABC能被4整除，也就是BC能被4整除，并且与A的数字不同，最大为84，所以D最大为6，这个四位数字为9846.
10. (1)一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
【分析与解】（1）若为两位数，且含有数字0，则这个数只能为10，20，30…90这样的数
字，但是他们都不是11的倍数；若为3位数，且给位数字都不相同，所以0不能在最高位，也不能在个位（若在个位，十位与百位的数字必须相同才能被11
A B这种形式，A+B=11，A 整除，这样与题意不符），所以0只能在十位，既为0
最小为2，所以B=9，所以这个多位数最小为209.
（2 ）这个数不可能为两位数，若为三位数，设这个数为ABC，则A+B-C=11,且A+B+C=13,所以B=1,A+B=12,A最小为3，所以这个数为319.
板块二：中档题型
1.判断下面11个数的整除性:
23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.
(1)这些数中，有哪些数能被4整除？有哪些数能被8整除？
(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？
(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？
(4)哪些数能被11整除？
【分析与解】
本题主要考察数整除的性质。

数整除的性质一定要牢记。

（1）能被4整除的数（末两位能被4整除则这个数就能被4整除）有：3568，5880，6512，864；
能被8整除的数（末三位能被8整除则这个数就能被8整除）有：3568，5880，6512，864；
（2）能被25整除的数（末两位能被25整除则这个数就能被25整除）有：8875，93625；
能被125整除的数（末三位能被125整除则这个数就能被125整除）有：8875，93625；
（3）能被3整除的数（各位数字之和能被3整除则这个数就能被3整除）有：23487，6765，5880，198954，864；
能被9整除的数（各位数字之和能被9整除则这个数就能被9整除）有：198954，864；
（4）能被11整除的数（奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数）有：6765，6512，407.
2. 173 是一个四位数。

数学老师说：“我在其中的方格内先后填入3个数字，
得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。

”问：数学老师在方格中先后填入的3个数字之和是多少？
【分析与解】
173 能被9整除，则1+7+3+□=11+□是9的倍数则□=7，则这个四位数是1737；173 能被11整除，则7+□-1-3=3+□是11的倍数则□=8，则这个四位数是1738；173 能被8整除，则73 是8的倍数，则□=6，则这个四位数是1736；
所以□内填入的三个数分别是7，8，6，和为21.
3.五位数3 07能同时被11和25整除。

这个五位数是多少？
【分析与解】
3 07能被25整除，则后两位7能被25整除，则7为75，这个五位数为3075，同时这个数能被11整除，则□+7-3-5-0=□-1=0，□=1，所以这个五位数是31075.
4. 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。

但是记账的那张纸被香烟烧了了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示被烧出的洞。

牛
叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。

请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
【分析与解】
通过题意得，678能被45整除，45=5×9，所以678能同时被5和9整除；
这个数能被5整除，则这个数的末位能被5整除，所以末位可以是0或者是5；当末位是0时，6+7+8+□=21+□能被9整除，则□=6；当末位是5时，6+7+8+□+5=26+□能被9整除，则□=1，
这45名工人的总工资有可能是67680或67185.
5. 六位数 2008能同时被9和11整除。

这个六位数是多少？
【分析与解】 设这个六位数为A2008B ，这个数能被9整除，则A+2+8+B=10+A+B=18或27，既A+B=8或17 （1），同时这个数能被11整除，则A+8-2-B =A+6-B=0或11 （2）；
（1）与（2）联立得A=1，B=7，所以这个六位数为120087.
6. 请从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数。

这个五位数最大是多少？
【分析与解】
因为99=9×11，所以这个五位数能同时被9和11整除；首先要看能被9整除数的特点：选出五位数使得他们的和是9的倍数，7+5+3+2+1=18 （1）或者6+5+4+2+1=18 （2）;当为（1）时，同时这五个数满足能被11整除，所以技术为上的数字和与偶数位的数字和之差为0，符合条件的最大的五位数为57321；同理满足条件（2）的最大的五位数为65241，所满足条件的最大的五位数为65241.
7、小悦写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让阿奇写了一个一位数放在59和89之间拼成一个五位数5989 ，使得这个五位数能被7整除。

请问：阿奇写的数是多少？
【分析与解】
考察能被7整除的数的特点。

因为五位数5989 能被7整除，所以89 －59= 30是7的倍数，所以□=6，这个五位数为59689.
8、已知51位数255259555999 个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？
【分析与解】
先看前25个5，我们可以先把它看做25位数，则这个数字除以13的余数是多少呢？我们可以把六个5看做一组，则555555=555×1001，所以555555一定能被13整除，
25÷6=4…1，剩下一个5所以此时原书转化为259
9995个，同理最后的24个9也
能被13整除，所以要是这个51位数能被13整除，则59能被13整除，所以□=5，既中间方格内的数字是5.
9、用数字6，7，8各两个数，要组成能同时被6，7，8整除的六位数。

请写出一个满足要求的六位数。

【分析与解】
能被8整除的数字为末三位数字能被8整除，则由这三个数字首先能想到的数字是678，并且能被7整除，则末三位与前几位数字的差能被7整除，所以为678678，且这个数字能被6整除。

10、东东和阿奇玩一个数字游戏。

冬冬先将一个三位数的百位数与个位数填好，然后阿奇来填这个三位数的十位。

如果最后这个三位数能被11整除，那么阿奇获胜，否则东东获胜。

东东想了一会，想到一个必胜的办法。

请问：冬冬想到的办法是什么？
【分析与解】
考察被11整除数的特点。

设这个三位数为ABC，A+B－C=0或者是11，若差为
0，则A+B=C
既A+B=C=1～9，若差为11时，A+B=C+11，则A+B=11～20，通过观察发现这两种情况没有出现的是A+B=10的情况，所以东东想要获胜，只要让A+B的和是10就可以了。

11、对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除。

请问：一共有多少个不大于10的破坏数？
【分析与解】
我们找的数是从1～10中的破坏数，只有10个数字，所以我们可以采取逐一尝试的方法。

当N=0时，则形成的新数个位数字是0，是个奇数，而N+1=1，任意数都能被1整除，所以0不是一个破坏数；
当N=1时，则形成的新数个位数字是1，是个奇数，而N+1=2，奇数一定不能被2整除，所以1是一个破坏数；
同理得到10以内的所有的破坏数为1，3，4，5，7，9，共6个。

12、一个五位数，它的末三位为999.如果这个五位数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？
【分析与解】
首先推导一下能被23整除的数的特点：
因为：23×435＝10005，29×345=10005，由此得到一个末四位隔开的方法
=⨯+=⨯-⨯+
由于N=GFEDCBA GFE1000DCBA GFE10055GFE DCBA
所以N=5GFE DCBA -⨯（mod23）因此，判定一个数可否被23整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23整除。

设这个数最小为999BA ，999A -5×B 是23的倍数，验证得当B=2，A=0时是23的倍数，所以这个五位数最小是20999.
板块三、拔高题型
1、在所有个位数字互不同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？
【分析与解】
五个数字互不相同的五位数最小是10234，但是还要考虑这个数能被45整除，因为45=5×9，所以这个数能同时被5和9整除，所以个位应为5，这个数字可以为10235，又因为能被9整除，则数字和最小为18，而10235为11，则还应该是某些数字变大，但还要让这个数尽可能的小，则只能改变十位和百位，十位和百位的数字和应为12，最小的组合为39。

所以这个五位数最小为10395.
2、将自然数1，2，3，…，一次写下去形成一个多位数“123456789101112…”。

当写到某个数N 时，形成的多位数恰好第一次能被90整除。

请问：N 是多少？
【分析与解】
这个数能被90整除，既90=9×10这个数的个位一定是0，当这个数是12345678910时，这个数不能被9整除；当这个数是1234567891011121314151617181920时，各位数字和为102，不是9的倍数；当这个数为123456…282930，各位数字和为165，仍不是9的倍数；同理，当这个数为123456…787980时，各位数字和为648是9的倍数，所以N 是80.
3、小悦的爸爸买回来两箱杯子，两个箱子上个贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”，“总价127.○◇元”（□，△，○，◇四个数字已辨认不清，但是他们互不相同）。

爸爸告诉小悦，其中一箱装了99只A 型杯子，另一箱子装了75只B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分。

但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得那个箱子装的是A 型杯子，哪个箱子装的是B 型杯子了。

爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦。

小悦看了看，说：“这课难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了。

”
同学们，你能像小悦一样把价签的数分辨出来吗？
【分析与解】
由题意知，1+1+7+□+△=9+□+△是9的倍数，所以□+△是9的倍数，既□+△
可能为0+9=1+8=2+7=3+6=4+5，又1+7+△-（1+□）=7+△-□=0综合这两个条件得△=1，□=8；
127. ○◇是75的倍数，75=25×3，所以○◇=00或者25或者50或者75，又因为127. ○◇是3的倍数，所以1+2+7+○+◇=10+○+◇是3的倍数，也就是1+○+◇是3的倍数，所以○◇=50，
这两个数分别是117.81，127.50.
4、冬冬在一张纸上依次写下2，3，4，5，6，7这6个数字，形成一个六位数，阿奇把这张纸条撕成三节。

这三节纸上的数相加起来得到的和（如图2-1，三条纸条上的和为23+456+7=486）能被55整除。

请问：阿奇可能是在什么位置撕段的这张纸条？
【分析与解】
这3个数的和是55的倍数，55=5×11，所以这3个数的和同时是5和11的倍数，若为5的倍数，则这个数的末尾为0或者是5，所以这3个数可能为2，3456，7或者23，45，67。

2+3456+7=3465，并且3465是11的倍数；23+45+67=135不是11的倍数，所以阿奇可能是在2，3456，7撕段的这张纸条。

5、将一个自然数N 接在任一自然数的右边（例如将2接在13的右边得到132），如果所得的新数都能被N 整除，那么称N 为“神奇数”。

请求出所有的两位“神奇数”。

【分析与解】
本题考察数整除的特点，主要是末两位数的整除的特点。

2，5都是看数的末位，所以2×5=10，10是个神奇数；4，5看末两位，4×5=20，若一个数的末两位是20，则这个数一定能被4和5同时整除，所以20也是一个神奇数；5×5=25，若一个数的末两位是25则这个数一定能被25整除，所以25也是一个神奇数；2×5×5=50，也是一个神奇数；而能被3，7，11整除的数的特点则不能确定，所以两位的神奇数只有10，20，25，50这四个数。

6、在六位数1111 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除。

【分析与解】
这个六位数能同时被17和19整除，所以这个数能被17×19=323整除，我们可以把这个题转化为数字迷问题，也就是问323×？=1111 ，把这个数字迷给写成竖式的形式，此题就更容易了。

首先看个位，积得个位是1，只有3×7=21，
图2-1
个位为1，323×7=2261，十位的6加上5和的个位才为1，所以乘数的十位应为5，又因为乘积的最高位是1，所以乘数的百位为3，既323×357=115311,,方框内填的数应为53.
7、多位数A由数字1，3，5，7，9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除。

求这样的A的最小值。

【分析与解】
117935
9、有一些自然数，从左向右读与从右往左读史完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”。

比如2332，181，77都是回文数。

如果一个六位回文数除以95的商也是回文数，那么这个六位数是多少？
【分析与解】
527725。