高中数学构造法求数列通

构造法求数列通项例题分析

型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列

(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与

)1(11p

q

a p p q a n n --=--

+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．

例1、已知数列{}n a 满足11

2a =，132

n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=

，得111(1)2n n a a --=--，又11

2

10a -=≠， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为1

2

-的等比数列， ∴1

111

1(1)()

1()2

2

n n n a a -=---=+-．

练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n n a ．

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++n

n

n n q a p q a q

， 令n

n

n

a b q =

，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解． 例1、已知数列{a n }中，a 1=65，1

111()32

n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=3

2(2 n

a n )+1，令

b n =2 n a n ， 则b n+1=32b n +1，b n+1-3=3

2

（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)3

2

(341+--n ， ∴ a n =n

n 2332+-

． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ． 答案：3

1()222

n

n a n =-．

(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）

例1、已知数列{}n a 满足11=a ，11

212

n n a a n -=+-（2n ≥），求

．

解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--， ∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，

得11[(1)]212

n n b An B b A n B n ---=---+-，

即11111(2)(1)2222

n n b b A n A B -=++++-，

令

202A +=，1022

A B

+-=，解得A =－4，B=6， 所以11

2n n b b -=，且46n n b a n =-+，

∴{}n b 是以3为首项、以1

2

为公比的等比数列，

故132n n b -=

，故1

3462n

n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．

练习：在数列{}a n 中，13

2

a =

，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n n n

-+=69912

·()．

解：由1263n n a a n --=-，得111

(63)22

n n a a n -=+-，

令11

[(1)]2

n n a An B a A n B -++=+-+，

比较系数可得：A =－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又119

2

b a A B ==++，

∴{}n b 是首项为9

2，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n -+=69912

·()．

(4) f(n)为非等差数列，非等比数列 法一、构造等差数列法

例1、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*

+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的

通项公式．

解：由条件可得1

1

1221n n

n n

n n a a λλλλ+++⎛⎫

⎛⎫

-=-+ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

， ∴数列2n

n n a λλ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

是首项为0，公差为1的等差数列，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，

∴(1)2n n n a n λ=-+．

练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。 答案a n n n n =

+-1

2

141()()． 解：由条件可得：12(1)(2)(1)

n n

a a n n n n +=++++，

∴数列{

}(1)n a n n +是首项为13

(11)12

a =+×、公差为2的等差数列。 法二、构造等比数列法

例1、⑴在数列}{n a 中，12a =，23a =，2132n n n a a a ++=⋅-⋅，求n a ；

⑵在数列{}n a 中，11a =，22a =，2121

33

n n n a a a ++=+，求n a ．

解：⑴由条件,2312n n n a a a ⋅-⋅=++

∴),(2112n n n n a a a a -=-+++ 故1

212

n n n a a -++-=， 叠加法得：2222(12)

2112

n n n a a --=+=--；

⑵由条件可得2111

()3n n n n a a a a +++-=--（等比数列）， 故n a =1)3

1(4347---n ．

点拨：形如0),(12=++n n n a a a f ，的复合数列，可把复合数列转化为等差或等比数列，再用初等方法求得n a ．

例2、已知数列{}n a 满足11a =，13524n n n a a +=+⨯+，求数列{}n a 的通项公式． 解：设1

12

3(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+，将已知条件代入此式，整理后得