高中数学公式大全【全面】

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

x 三A 二x C u A, x 三C u A 二x A.

2.德摩根公式

C U(A B^C U A C U B;C U (A B^C U A C u B .

3.包含关系

A B = A ：二A B = B ：二A —B ：二C u B —C u A

=A CjB = ：：」u C u A B 二R

4.容斥原理

card (A B) =cardA cardB — card (A B)

card(A B C) =cardA cardB cardC -card (A B)

-card (A B)-card(B C)-card(C A) card (A B C).

5•集合｛a1,a2/ ,a n｝的子集个数共有2n个；真子集有2n- 1个；非空子集有2n- 1个；非空的真子集有2n- 2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f (x)二ax1 2 bx c(a = 0)；

(2)顶点式f(x)二a(x-h)2 k(a = O);

⑶零点式f(x) =a(x-xj(x-x2)(a =0).

7.解连不等式N ：：：f (x) ::: M常有以下转化形式

::f(x) :: M = [ f (x) —M ][ f (x) — N] ：： 0

M - f(x)

8.方程f(x)=0在(k「k2)上有且只有一个实根，与f (kjf(k2)：：： 0不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件•特别地，方程ax2 bx 0(a = 0)有且只有一个实根在

b k t + k2

(k i,k2)内，等价于f (kjf(k2)：： 0,或f(kJ = 0 且k i - -,或f(k2)=0 且

2a 2

k t k2 b ,

k2.

2 2a

9•闭区间上的二次函数的最值

二次函数f (x) =ax2 bx - c(a =0)在闭区间〔p,q〕上的最值只能在x —处及区

2a

间的两端点处取得，具体如下：

⑴当a>0 时，若X 二-f lp,q L 则fx> nm f( -)jfx xmm =(f)p)fq ?；

2a 2a

b

' '-P，q L f (x)max 二max C f (P), f (q)^，f(X)min 二min f (P), f 9) • 2a

⑵当a<0 时，若X 二-卫〔P,q 1 ,则f ( x m i n mfi nf p( f, q (若) 2a

x 二-兰」p,q L 则f &爲=max1f(p), f (q)1, f(x)m^ -min「f(p), f(q)L 2a

10.一元二次方程的实根分布

依据：若f (m) f (n) ：：：0，则方程f(x) =0在区间(m,n)内至少有一个实根.

设f (x) = X2 px q，则

/ 2

p _ 4q 启0

(1)方程f(x)=0在区间(m,^)内有根的充要条件为f(m)=0或< p；

> m u 2

f(m) 0

|f(n)>0 (2)方程f (x) =0在区间(m,n)内有根的充要

条件为 f (m) f (n) 或* p2 _4q启。

p m £—上<

n I 2 f(m) =0 f(n )=0

或或

af (n) 0 af(m) 0

p? _4q _ 0

(3)方程f(x)= 0在区间(皿,n)内有根的充要条件为f(m)＜0或＜p.

-上＜m

.2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(」：，=)的子区间L (形如',」，-：:/，:-不同)上含参数的二次不等式f (x,t) - 0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t) min_ 0(x - L).

⑵在给定区间(-〜7)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)-0(t为参数)恒成立

的充要条件是f(X,t)man _ 0(^' L).

a _ 0

I ac0

4 2

⑶f (x)二ax bx c 0恒成立的充要条件是 b _ 0或2.

c b - 4ac ：：0

c 0

12.真值表

13.常见结论的否定形式

14.

否否

否命题逆否命题

V------------------------ ►

若非p则非q 互逆若非q则非p

15.充要条件

(1)充分条件：若p= q，则p是q充分条件•

(2)必要条件：若q= p，贝U p是q必要条件•

(3)充要条件：若p= q，且q= p，则p是q充要条件•

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然

16.函数的单调性

⑴设x1 x^ a,b,X4 =x2那么

(%-x2)〔f (xj - f (x2) I 0 f (X

1

)

一

f (x

2)o：= f (x)在'a, b 1 上是增函数；

X j - x2

(%「x2)〔f (xj「f (x2) I ：： 0= f (x0= f (x)在a,b】上是减函数.

捲_X2

⑵设函数y二f (x)在某个区间内可导，如果 f (x) • 0，贝y f (x)为增函数；如果

f (x) :: 0，则f (x)为减函数.