复合函数求偏导
经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
19
2017年4月14日星期五
定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
2017年4月14日星期五
这性质叫做全微分形式不变性.
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
二阶复合偏导数求解法则-适用偏微分方程
求两个自变量的二阶偏导数一、基础知识1.函数的和、差、积、商的求导法则定理 如果函数()=u u x 及()=v v x 都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且[()()]()()'''±=±u x v x u x v x[()()]()()()()'''=+u x v x u x v x u x v x2()()()()()[](()0)()()''-'=≠u x u x v x u x v x v x v x v x 2.多元复合函数求导法则(1)一元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数()ϕ=u t 及()ψ=v t 都在点t 可导，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么符合函数[(),()]ϕψ=z f t t 在点t 可导，且有∂∂=+∂∂dz z du z dv dt u dt v dt （2）多元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数(,)ϕ=u x y 及(,)ψ=v x y 都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么复合函数((,),(,))ϕψ=z f x y x y 在点(,)x y 的两个偏导数都存在，且有 ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y（3）偏导数写法0000====∂==∂x x x x y y x x y y zz z x22∂=∂xx u u x 22∂∂===∂∂∂∂xy yx u u u u x y y x二、两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 用到了求二阶偏导的知识，这里强调如何求二阶偏导，化简的知识都是“形式”，书上有。
二元复合函数求二阶偏导
二元复合函数求二阶偏导1. 二元函数和复合函数的概念回顾在微积分中，我们学习了一元函数的概念，即只包含一个自变量的函数。
二元函数则包含两个自变量，并将其映射到一个实数上。
复合函数是由两个或多个函数构成的函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
2. 二元复合函数的定义设有两个二元函数，f (x,y )和g (u,v )，其中u =g (x,y )，那么复合函数ℎ(x,y )=f(g (x,y ))就是由f 和g 构成的二元复合函数。
3. 二阶偏导数的概念和计算方法偏导数是多元函数中求导的一种方法，它指定了函数在某一变量上的变化率。
对于二元函数f (x,y )来说，偏导数可以分别对x 和y 求得。
一阶偏导数的计算方法为：∂f ∂x =lim Δx→0f (x+Δx,y )−f (x,y )Δx ∂f ∂y =lim Δy→0f (x,y+Δy )−f (x,y )Δy二阶偏导数表示一阶偏导数对另一个变量再求导，计算方法为： ∂2f ∂x 2=∂∂x (∂f ∂x )∂2f∂y 2=∂∂y (∂f ∂y ) ∂2f ∂x ∂y =∂∂x (∂f ∂y ) ∂2f ∂y ∂x =∂∂y (∂f ∂x ) 4. 计算二阶偏导的步骤对于二元复合函数的二阶偏导数，我们可以按照以下步骤进行计算： 步骤1: 求一阶偏导数首先，我们需要求出复合函数的一阶偏导数∂ℎ∂x 和∂ℎ∂y 。
这可以通过链式法则来计算。
接下来，我们需要对一阶偏导数再次求导。
对于∂ℎ∂x 和∂ℎ∂y ，分别求对x 和y 的偏导数，得到二阶偏导数。
步骤3: 计算混合偏导数最后，我们需要计算混合偏导数∂2ℎ∂x ∂y 和∂2ℎ∂y ∂x 。
根据 Schwarz 定理，对于连续的函数，混合偏导数是相等的。
5. 二元复合函数求二阶偏导的示例为了更好地理解二元复合函数求二阶偏导的过程，我们来看一个示例。
示例问题设有二元函数f (x,y )=x 3y +xy 2和复合函数g (u,v )=u 2+v 2，求复合函数ℎ(x,y )=f(g (x,y ))的二阶偏导数。
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
复合函数的求导法则
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
7-4第四节 多元复合函数和隐函数的偏导数
LOGO
y 的偏导数，复合 x 和 w w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对
函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w z . y u y v y w y
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
LOGO
例：设由方程
e xy 2 z e z 0所确定的隐函数 z z z f ( x , y )，试求 , . x y
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z 例 5 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x
YOUR SITE HERE
t t
e (cos t sin t ) cos t .
t
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3、全微分形式不变性
LOGO
z z dz du dv ;当 u ( x , y ) 、v ( x , y ) u v z z dx dy . 时，有dz x y
中的 y 看作不变而对x 的偏导数
变而对 x 的偏导数
v 1, x
w 0, x
v 0, y
w 1. y
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例 1 设 z e u sin v ，而u xy ，v x y ，
LOGO
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
第四节 多元复合函数与隐函 数的求导法则
目录
演示文稿复合函数与隐函数的偏导数
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
第二十五页，共29页。
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
2z x 2
,
2z y2
.
分析 在某函数(或方程)表达式中, 将任意两个 自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数
都在点( x, y)处具有三对个x中和间y的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数
中间变量 的个数.
每一项 函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
第五页，共29页。
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x)sin x ,求 dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数, 可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二 令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y
求复合函数偏导数的链式法则解
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
复合函数怎么求偏导
复合函数怎么求偏导复合函数怎么求偏导复合函数偏导求法可以运用链式求导法。
复合函数求导规则：复合函数求导的前提，复合函数本身及所含函数都可导。
法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)__g'(x);法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)__p'(u)__g'(x)。
偏导数求法：当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。
如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。
按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
运用链式求导时，导出一个变量，剩余变量视为常数。
z=fu，v)是变量u，v的函数，u，v又是x，y的函数。
即，假定u=p(x，y)，v=v(x，y)。
什么是复合函数设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)。
复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。
复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。
高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
复合函数求偏导解读
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du. dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v(x,y)有偏导数，
求复合函数 zf[x,(x,y)的]偏导数 z , z .
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
免混淆，将公式(6)右端第一项写 f ，而不写为 z .
x
x
பைடு நூலகம்
例1
设
z e u sv i,u n x,v y x y ,求
z x
,
z y
.
解法1 得
zzuzv x ux vx
eusivn yeuco v1 s
ex[y ysix ny )( co x y s)， (]
zzuzv y u y v y
(2) (3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u(x,y,z),
v(x,y,z)都有偏导数，求复合函数
w f[( x ,y ,z )( ,x ,y ,z )]
的偏导数 w,w,w . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v, x u x v x
wwuw v,
(4)
y u y v y
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v.
(6)
y v y
注意： 这里的 z 与f 是代表不同的意义.其中 z
x x
x
是将函数 zf[x,(x,y)中]的y看作常量而对自变量x
求偏导数，而 f 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x
混合函数求偏导范文
混合函数求偏导范文定义：设有函数z=f(u,v)，其中u=g(x,y)，v=h(x,y)，函数f、g、h都具有一阶偏导数，那么函数z=f(g(x,y),h(x,y))就称为复合函数。
复合函数的导数可以通过链式法则求得。
链式法则：若z=f(u)、u=g(x)，则z=f(g(x))关于x的导数为dz/dx=df/du * du/dx，其中df/du表示f对u的导数，du/dx表示u对x 的导数。
步骤一：确定基本函数和复合函数。
给定函数z=f(g(x,y),h(x,y))，首先确定基本函数f、g、h和复合函数z。
步骤二：求出复合函数关于各个自变量的偏导数。
对于复合函数z=f(g(x,y),h(x,y))，我们需要计算出关于自变量x 和y的偏导数，即∂z/∂x和∂z/∂y。
步骤三：计算基本函数关于各个自变量的偏导数。
对于函数z=f(u,v)，计算关于u和v的偏导数，即∂f/∂u和∂f/∂v。
步骤四：应用链式法则求出复合函数关于各个自变量的偏导数。
根据链式法则，我们可以得到∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)。
步骤五：将结果整理得到最终的偏导数。
将步骤四中计算出的结果整理，即可得到复合函数关于各个自变量的偏导数。
总结：混合函数求偏导是通过链式法则和基本函数的导数，来求解复合函数的导数。
它可以应用于解决实际问题中的优化和最值问题。
需要注意的是，在求偏导的过程中，要根据具体函数的形式来确定基本函数和复合函数，并且需要计算基本函数和复合函数的偏导数，最后应用链式法则将结果整理得到最终的偏导数。
以上就是关于混合函数求偏导的一般介绍和步骤。
请注意，具体问题具体分析，具体函数的偏导数需要根据具体函数的形式进行计算。
混合函数求偏导需要充分理解和灵活运用微积分的基本概念和原理，才能正确求解复合函数的导数。
复合函数求偏导解读
z f f v ， x x v x (6) z f v . y v y
z z f 注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 x x x 是将函数 z f [ x, ( x, y )] 中的y看作常量而对自变量x f 求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x 个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避 f 免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为z . x x
z 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 x 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变
量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应
自变量的偏导数乘积，即
z z u z v z w . x u x v x w x
同理可得到，
(2)
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z, 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 z u 个偏导数 与 的乘积. u x 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
定理8.5 设函数 u ( x, y ), v ( x, y )在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点(x,y)处的偏导数 z z 存在，且有下面的链式法则： , x y z z u z v , x u x v x (1) z z u z v . y u y v y 复合函数的结构图是
多元复合函数求偏导数课件
（2）若曲面方程为（显函数形式）
z f (x, y)
则可写为隐函数形式 f (x, y) z 0
曲面上
M
点的法向量为
0
n fx, fy, 1
（六）方向导数与梯度
1. 方向导数的定义
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
2．计算公式：若 z f (x, y) 可微，则
2, 6
所求方程为 即
2
x
4 6
y
2 6
z
2 6
0
2x y z 2 6 0
求
u
x2 a2
y2 b2
z2 c2
在点
M ( x0 ,
y0 , z0 )
处沿点
的向径 r0 的方向导数，问 a,b,c 具有什么关系时
此方向导数等于梯度的模?
解
r0 x0 , y0 , z0 ,
r0
偏导数，则对于每一点(x, y)，向量
gradf
f x
,
f y
称为z f (x, y)在点 (x, y)的梯度。
梯度与方向导数的关系：
梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值。
（七）函数的极值﹑最大值和最小值
1．极值的必要条件：
若 z f (x, y) 在点 x0, y0 处有极值，则
设 是一个点集，如果对于每一点P
变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它
对应，则称 z 是点 P 的函数，记为
z f (P)
• 当 P R 时， z f (P) f (x) 为一元函数；
• 当 P R2 时，
z f (P) f (x, y) 为二元函数；
高等数学-多元微分
= f1 (xy, x + y) ，也可以看作一个复合函数的道理，才能
∂y ∂x
( )=
(f1 ∙ y + f2 ∙ 1)
∂f2 ∂y ∂f1 ∂y
1 = ∂y ∙ y + f1 ∙ 1 +
∂f
其中f1 = f1 (xy, x + y)，所以
∂ ∂z ∂y ∂x
= f11 ∙ x + f12 ∙ 1，同理，
∂v ∂y
) + (f22 ∙
+ f23 ∙
)y + f2 + (f32 ∙
∂u ∂y
+ f33 ∙
∂v ∂y
)
= f12 ∙ x + f13 ∙ 1 + (f22 ∙ x + f23 ∙ 1)y + f2 + f32 ∙ x + f33 ∙ 1 例 4. 设z = f(u)，u = x 2 y + y 2 ，求∂ x 和
z
∂2 z
∂
∂z
∂2 z
解：令F x, y, z = x − 2y + z − ez ，
∂z ∂x
= − Fx = − 1−e z
z
F
1
∂z ∂y 1 e z −1
= − Fy = − 1−e z = 1−e z
z
F
−2
2
∂2 z ∂x ∂y= ∂y∂∂z ∂x= ∂y
∂
= 这里 z 要看作 z x, y 的函数 =
2 2 2 2
z 2 z 及 x x 2
2. 设 z f ( x y, e ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求
复合函数的偏导数和全微分--非常重要
例 2 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ，v = cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t
t
= e cos t − e sin t + cos t
链式法则如图示
u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
类似地再推广，设 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 、 类似地再推广，
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合 的偏导数，
2
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂ 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ∂x∂z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
第五节
复合函数的偏导数和全微分
一、链式法则
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导 ， 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ ( t ),ψ ( t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
ch14_2求复合函数偏导数的链式法则
可推广到中间变量多于两个的情况: 如
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
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例1. 已知z e u sin , u x 2 y 2 , xy , 求z x及z y . 解 z x zu ux z x e u sin 2 x e u cos y
4. 设 f ( x , y )有一阶连续偏导数 , f (1,1) 1, f1(1,1) p, f 2(1,1) q , ( x ) f ( x , f ( x , f ( x , x ))), 求 (1).
5. 设二阶偏导数连续的函数z ( x , y )满足方程z xx z xy z x z , 令u ( x y ) / 2, v ( x y ) / 2, w z ( x , y )e y , 求w w ( u, v )所 满足的方程 .
z
v
w
x
y
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特别地 z f ( u, x , y ) 即 z f ( ( x , y ), x , y ),
v 1, x w 0, x
其中 u ( x , y ) 令 v x,
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z
定理
u v
x型
如果函数 u ( x )及 v ( x )都在点 x 可导 函数 z f ( u, v ) 在对应点 ( u, v )具有连续偏导 数，则复合函数 z f ( ( x ), ( x )) 在对应点 x 可导，且其导数可用下列公式计算
复合函数求二阶偏导
复合函数求二阶偏导
现代数学已日新月异，其中可以找到许多针对特宩情况的技术，其中使用较多的就有求复合函数的二阶偏导。
在此类求导问题中，研究者首先需要将所研究函
数分为多个子函数，并考虑对不同函数求导时原子函数之间相互关系。
有了子函数和变量之间关系，就可以利用各种求导公式和数学公理来求解二阶偏导问题。
可以使用梯度的方法，把原函数分解为两个可以小细度分析的函数，再用加减取算和逻辑推导，获得二阶偏导。
此外，可以采用偏导数的加减规律进行求导，这种方法的计算量低，但是复杂的函数由于子函数之间关系复杂，也可能计算起来费时费力。
复杂情况下，可以使用微积分中的链式法则，先求出一阶偏导，再用一阶偏导和数学公理求解二阶偏导。
最后，求复合函数的二阶偏导技术展示了数学的魅力，这种技术的应用非常广泛，可以用来计算矩阵求导、求算数平均值等，从而在众多学科领域取得重大进展。
另外，这种技术也可以用于求解复杂函数及其偏导关系，有助于人们更清晰了解自然现象。
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w w du w v w t x u dx v x t x
2x w y w yz w, u v t
w y
w v
v y
w t
t y
x
w v
xz
w. t
w w t xy w. z t z t
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
写成 z , u , v .
dx dx dx
x x x
公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自
y2 u5
z2)
3 u3
3 u3
0.
二、全微分形式不变性
与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全 微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是 中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即
dz z du z dv.
(7)
u v
这个性质称为全微分的形式不变性.
例2 设z f (x2 y2, xy) ，其中f(u,v)为可微函数，求
z , z . x y
解 令u x2 y2,v xy，可得
z z u z v x u x v x
2x z y z ， u v
z z u z v 2 y z x z ，
变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v (x, y) 有偏导数， 求复合函数 z f [x, (x, y)] 的偏导数 z , z .
1 u3
3x u4
x x2 y2 z2
1 u3
3x2 u5
.
由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有
2w y2
1 u3
3y2 u5
,
2w z 2
1 u3
3z2 u5
.
因此有
2w x 2
2w y 2
2w z 2
3 u3
3( x 2
yx y1 2e2t x y ln x 1 t
2 yx y 2x y 2x y ( y 1)
2t 2t (lnt 1).
例6 设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求 z , z . x y
解 令v=xcosy，得
z f f v f cos y f .
例8
求u
x2
x y2 z2
z z u z v z w.
(2)
x u x v x w x
同理可得到，
z z u z v z w.
(3)
y u y v y w y
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x, y, z), v (x, y, z) 都有偏导数，求复合函数
d(u v) du dv,
d(u v) udv vdu,
d
u v
vdu v2
udv
(v 0).
例如，d(u v) (uv) du (uv) dv vdu udv.
u
v
利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公
式，求函数的全微分会更简便些.
dy
z u dx u dy z v dx v dy u x y v x y
z du z dv. u v
即，当u，v是中间变量时，(7)式也成立.这就证明了 全微分形式不变性.
利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分 的四则运算公式，
x x v x x
v
z f v xsin y f .
y v y
v
求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法和新的 公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用 链式法则对它再求偏导数即可.
例7 设 w 1 ,u x2 y2 z2 ，求证： u
x u x v x z z u z v .
(1)
y u y v y
复合函数的结构图是
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v
(*)
x u x v x
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
z yexy sin( x y) exy cos( x y) x
exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z xexy sin( x y) exy cos( x y) y
exy[xsin( x y) cos( x y)].
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.
第一条是 x u z，第二条是 x v z，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路
径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z,
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy[xsin( x y) cos( x y)].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v， 用x，y代入，则得到 z exy sin( x y) ，z 是x，y二元复合函数，根 据复合函数的链式法则，得
y u y v y
u v
其中 z , z不能再具体计算了，这是因为外层函数f u v
仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.
例3 设 w f (x2, xy, xyz)，其中f(u,v,w)为可微函数， 求 w, w, w.
x y z
解 令 u x2,v xy,t xyz.可得
在该例中，我们清楚看出 z与f 含意是不同的. x x
f sin v 4x sin( x2 y2) 4x.
x
显然不等于
z .
x
例5 设 z x y , x e2t , y ln t,求 dz . dt
解t y dt
2w x2
2w y2
2w z 2
0.
证
w x
dw du
u x
1 u2
x2
x y2
z2
x u3
(
x)
1 u3
.
2w x 2
1 u3
x
x
1 u3
1 u3
xddu
1 u3
u x
事实上，设z=f(u,v)有连续偏导数，当u，v是自变 量时，显然(7)式成立.
如果u，v是中间变量，即 u (x, y),v (x, y) ，
且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数
z f [(x, y), (x, y)]
的全微分为 dz z dx z dy, x y
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的
函数，即u (x, y),v (x, y) ，如果能构成z是x ,y的
二元复合函数
z f [(x, y), (x, y)],
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
u (x, y),v (x, y), w (x, y) 都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
的偏导数 z , z . x y
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 z x
由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即