人教版初中数学二次函数经典测试题
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B.﹣2 3
C.﹣3 3
D.﹣4 3
【答案】B 【解析】
【分析】
根据已知求出 B(﹣ b , b2 ),由△AOB 为等边三角形,得到 b2 =tan60°×(﹣ b ),
2a 4a
4a
2a
即可求解;
【详解】
解:抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)过原点 O, ∴c=0,
2a 2a b 0 ,所以③正确;
抛物线与 x 轴有 2 个交点, △ b2 4ac 0 , 即 4ac b2 ,所以④错误.
综上所述:③正确;①②④错误.
故选: C .
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y ax2 bx c(a 0) ,二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 (左同右异).常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 (0,c) .抛物线与 x 轴交点个数由△决定.
【详解】 ①由 x=2 时,y=4a+2b+c,由图象知:y=4a+2b+c<0,故正确; ②方程 ax2+bx+c=0 两根分别为 1,3,都大于 0,故正确; ③当 x<2 时,由图象知:y 随 x 的增大而减小,故错误;
④由图象开口向上,a>0,与 y 轴交于正半轴,c>0,x=﹣ =1>0,∴b<0,
人教版初中数学二次函数经典测试题
一、选择题
1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)经过点 M(﹣1,2)和点 N(1,﹣2),则下列说法错误的 是( ) A.a+c=0 B.无论 a 取何值,此二次函数图象与 x 轴必有两个交点,且函数图象截 x 轴所得的线段长 度必大于 2
C.当函数在 x< 1 时,y 随 x 的增大而减小 10
∵x1+x2= 2 ,x1x2=﹣1, a
∴|x1﹣x2|=2
1 1 >2, a2
∴B 正确;
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴 x=﹣ b = 1 , 2a a
当 a>0 时,不能判定 x< 1 时,y 随 x 的增大而减小; 10
∴C 错误;
∵﹣1<m<n<0,a>0,
∴m+n<0, 2 >0, a
百度文库C.﹣2<P<0
D.﹣1<P<0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上,∴a>0.
∵对称轴在 y 轴的左边,∴ b <0.∴b>0. 2a
∵图象与 y 轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:a+b﹣2=0.
∴a=2﹣b,b=2﹣a.∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2.
a 1 . 12
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质(对称性、增减性)逐个判断即可.
【详解】
对于
y
ax2
1 2
2a
x
a
0
当 x 2 时, y 4a 2(1 2a) 1,则二次函数的图象都经过点 2,1
2
当 x 0 时, y 0,则二次函数的图象都经过点 0, 0
6.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,有以下结论: ①a+b+c<0;②a﹣b+c>1;③abc>0;④9a﹣3b+c<0;⑤c﹣a>1.其中所有正确结 论的序号是( )
A.①② 【答案】D
B.①③④
C.①②③④
D.①②③④⑤
【解析】 【分析】
根据抛物线的开口方向可得出 a 的符号,再由抛物线与 y 轴的交点可得出 c 的值,然后进 一步根据对称轴以及抛物线得出当 x 1、 x 1、 x 3 时的情况进一步综合判断即
4.对于二次函数
y
ax2
1 2
2a
x
a
0
,下列说法正确的个数是(
)
①对于任何满足条件的 a ,该二次函数的图象都经过点 2,1 和 0, 0 两点;
②若该函数图象的对称轴为直线 x x0 ,则必有 0 x0 1; ③当 x 0 时, y 随 x 的增大而增大;
④若 P 4, y1 , Q4 m, y2 m 0 是函数图象上的两点,如果 y1 y2 总成立,则
求解.
【详解】 解:∵y=-x2+bx+3 的对称轴为直线 x=-1, ∴b=−2, ∴y=-x2−2x+3, ∴一元二次方程-x2+bx+3−t=0 的实数根可以看做是 y=-x2−2x+3 与函数 y=t 的交 点, ∵当 x=−1 时,y=4;当 x=3 时,y=-12, ∴函数 y=-x2−2x+3 在﹣2<x<3 的范围内-12<y≤4, ∴-12<t≤4, 故选:C. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质,能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点 问题是解题关键.
∴m+n< 2 ; a
∴D 正确, 故选:C. 【点睛】 本题考查了二次函数的问题,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
2.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限, 设 P=a﹣b+c,则 P 的取值范围是( )
A.﹣4<P<0
B.﹣4<P<﹣2
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象,可以判断各个小题中的结论是否正确,本题得以解决.
【详解】
由图象可得,
a>0,b>0,c<0,
∴abc<0,故①错误,
当 x=1 时,y=a+b+c=2,故②正确,
当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,
由 a+b+c=2 得,a+c=2﹣b,
∴bc<0,∴一次函数 y=x+bc 的图象一定过第一、三、四象限,故正确; 故正确的共有 3 个, 故选:C. 【点睛】 此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是熟知各系数所代表的含义.
8.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0;②a+b+c=
2;③a 1 ;④b>1,其中正确的结论个数是( ) 2
4a
4a
即说法③错误
m0
4 m 4
由
y1
y2 总成立得,其对称轴
x
1 4a
1
4
解得 a 1 ,则说法④正确 12
综上,说法正确的个数是 2 个
故选:B.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质(对称性、增减性),熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题关键.
5.如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点(-1,0)和点(3,0),有下列说法:①bc<0; ②a+b+c>0;③2a+b=0;④4ac>b2.其中错误的是( )
A.②④
B.①③④
C.①②④
D.②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到 a 0 ,利用对称轴在 y 轴的右侧得到 b 0 ,利用抛物线与 y 轴
的交点在 x 轴下方得到 c 0 ,则可对 A 进行判断;利用当 x 1 时, y 0 可对 B 进行判
断;利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x b 1,则可对 C 进行判断; 2a
抛物线 l 经过点 A 时,求出 y 的值,进而得出 t 的取值范围;
【详解】
解:(1)把点 C(0,3)和 D(3,0)的坐标代入 y=-x2+mx+n 中,
n 3 得, 32 3m n 0
n 3 解得 m 2
∴抛物线 l 解析式为 y=-x2+2x+3,
设点 B 的坐标为(-2,-1-2t),点 A 的坐标为(-4,-1-2t), 当抛物线 l 经过点 B 时,有 y=-(-2)2+2×(-2)+3=-5, 当抛物线 l 经过点 A 时,有 y=-(-4)2+2×(-4)+3=-21, 当抛物线 l 与线段 AB 总有公共点时,有-21≤-1-2t≤-5,
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知,x=2 时函数值小于 0,故(1)正确,函数与 x 轴的交点为 x=1.x=3,都大于 0,
故(2)正确 ,由图像知(3)错误,由图象开口向上,a>0,与 y 轴交于正半轴,c>0,
对称轴 x=﹣ =1,故 b<0,bc<0,即可判断一次函数 y=x+bc 的图象.
则 a﹣b+c=(a+c)﹣b=2﹣b﹣b<0,得 b>1,故④正确,
∵ b 1,a>0,得 a b 1 ,故③正确,
2a
22
故选 C.
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质
和数形结合的思想解答.
9.如图,已知 A4, 1 ,线段 AB 与 x 轴平行,且 AB 2 ,抛物线 y x2 mx n
可. 【详解】 由图象可知,a<0,c=1,
对称轴:x= b 1, 2a
∴b=2a, ①由图可知:当 x=1 时,y<0,∴a+b+c<0,正确; ②由图可知:当 x=−1 时,y>1,∴a−b+c>1,正确; ③abc=2a2>0,正确; ④由图可知:当 x=−3 时,y<0,∴9a−3b+c<0,正确; ⑤c−a=1−a>1,正确; ∴①②③④⑤正确. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
则说法①正确
此二次函数的对称轴为
x
1 2
2a
1
1
2a
4a
a0
1 11 4a
x0 1 ,则说法②错误
由二次函数的性质可知,抛物线的开口向下,当 x 1 1时,y 随 x 的增大而增大;当 4a
x 1 1时,y 随 x 的增大而减小 4a
因 1 11 0 4a
则当 0 x 1 1时,y 随 x 的增大而增大;当 x 1 1时,y 随 x 的增大而减小
解得:2≤t≤10. 故应选 B
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识,正确利用数形结合分析得出关
于 t 的不等式是解题关键.
10.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)过原点 O,与 x 轴另一交点为 A,顶点为 B,若 △AOB 为等边三角形,则 b 的值为( )
A.﹣ 3
0(t 为实数)在﹣2<x<3 的范围内有实数根,则 t 的取值范围是( )
A. 12<t≤3
B. 12<t<4
C. 12<t≤4
D. 12<t<3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为 y=-x2−2x+3,将一元二次方程-x2+bx+3−t=0 的
实数根看做是 y=-x2−2x+3 与函数 y=t 的交点,再由﹣2<x<3 确定 y 的取值范围即可
经过点 C 0,3 和 D3,0 ,若线段 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向下平移,设平移的时
间为 t (秒).若抛物线与线段 AB 有公共点,则 t 的取值范围是( )
A. 0 t 10
【答案】B
B. 2 t 10
C. 2 t 8
D. 2 t 10
【解析】
【分析】
直接利用待定系数法求出二次函数,得出 B 点坐标,分别得出当抛物线 l 经过点 B 时,当
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:(1)4a+2b+c<0; (2)方程 ax2+bx+c=0 两根都大于零;(3)y 随 x 的增大而增大;(4)一次函数 y=x+bc 的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
D.当﹣1<m<n<0 时,m+n< 2 a
【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可. 【详解】 解:∵函数经过点 M(﹣1,2)和点 N(1,﹣2), ∴a﹣b+c=2,a+b+c=﹣2, ∴a+c=0,b=﹣2, ∴A 正确; ∵c=﹣a,b=﹣2, ∴y=ax2﹣2x﹣a, ∴△=4+4a2>0, ∴无论 a 为何值,函数图象与 x 轴必有两个交点,
根据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断.
【详解】 解: 抛物线开口向上,
a 0, 对称轴在 y 轴的右侧,
a 和 b 异号, b 0 ,
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, c 0,
bc 0 ,所以①错误;
当 x 1时, y 0 , a b c 0 ,所以②错误;
抛物线经过点 (1, 0) 和点 (3, 0) , 抛物线的对称轴为直线 x 1 , 即 b 1,
把 x=﹣1 代入得:y=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4,
∵b>0,∴b=2﹣a>0.∴a<2.
∵a>0,∴0<a<2.∴0<2a<4.∴﹣4<2a﹣4<0,即﹣4<P<0.
故选 A.
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系,利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
3.抛物线 y= x2+bx+3 的对称轴为直线 x= 1.若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3﹣t=