第三章行列式B

推论3. 对 n 阶行列式及数k, 有 kA kn A
➢例3.9. 证明：奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于 零．
证: 设A为n阶反对称矩阵，即 AT = A,n为奇数
由性质1及性质3，有:
A AT A (1)n A A 所以 A 0
推论4. 若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等 于零。

an1 an2 ann
n
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj
k 1
j 1,2, , n
注意: 由此定理,在计算行列式的值时,可以按它的 任一行(或列)展开.为计算方便起见,我们一般选择
有较多0元素的行(或列)展开.
1 7 252
解：D 0 2 3 1 0 1 25 2 0 2 3 1
0 4 1 4 0 4 1 4 0
02 35 0 2 350
5 3 1 2
2 3 1
125 2 0 2
3
1 2 5 4 1 4
0 4 1 4
2 35
02 35
可以看到无论是下三角阵还是上三角阵，其行列式的结 果均为为主对角线元素之积.
➢行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为 低阶行列式计算的重要工具.
n
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik
k 1 n
i, j 1,2, , n
➢ 我们为什么要学习行列式？
行列式应用广泛，在数学、工程技术以及经济学中都有 极其广泛的应用。
➢ 行列式为什么应用如此广泛呢？
主要是因为矩阵的广泛应用，而行列式之于矩阵，就像 判别式Δ之于一元二次方程。当我们知道判别式的值就 可以知道方程是否有根，有实根还是虚根。类似地，当 我们知道矩阵的行列式的值时，我们能获取有关矩阵的 关键信息，比如，矩阵是否可逆？矩阵的秩是多少？等 等。
DT a11B11 a12B21 an1Bn1
a11A11T a12 A12T a1n A1nT D
➢性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号．
备注：交换第 i 行（列）和第 j 行（列），记作
✓例：
ri rj (ci c j )
100
100
D
a11 a12 a13
D a21
a22
a 23
a11(1)2
a22 a32
a23 a33

a12
(1)3
a21 a31
a23 a33

a13(1)4
a21 a31
a22 a32
a31 a32 a33
a11 DT a12
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11(1)2
a11 a12 a13 a14 例如： D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论：因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
D a21 a22 L a2n , DT a12 a22 L an2
M MO M
M MO M
an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
根据行列式的定义，有
D a11A11 a12 A12 a1n A1n
DT a11B11 a12B21 an1Bn1 a11A11T a12 A12T a1n A1nT
记
a11 a21
a12 a22
a13
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（2）,我们称(2)为三阶方阵A所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标
➢三阶行列式的计算
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
橙线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠 以负号．
4 6 32 4 8 24
14.
➢ 下面我们利用递归方法将二阶、三阶行列式的概念推广 到n阶行列式情形.
➢ 为此我们给出余子式、代数余子式的定义。
➢定义：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去 后，留下来的 n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 Mij . 把 Aij = (−1)i+j Mij 称为元素 aij 的代数余子式．
20 (42 12) 1080.
§3.2 行列式的性质
➢当n 较大时,求n阶行列式值的计算量是很大的.一般地, 我们可以利用行列式的性质来简化行列式的计算.
a11 a12 L a1n
a11 a21 L an1
➢记 D a21 a22 L a2n , DT a12 a22 L an2
D det(aij ) 0 2 0 6, D1 det(bij ) 0 0 3 6
003
020
D D1 推论1：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列 式为零.
✓证明：互换相同的两行，有 D = −D ，所以 D = 0 ．
➢性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一个倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式．
A


a11 a21
a12 a22

所确定的二阶行列式, 记为 A
➢二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 副对角线
a11
a12
a11a22 a12a21.
a21
a22
a11 a12 a13 ➢ 考虑一个三阶方阵 A a21 a22 a23
a31 a32 a33
M MO M
M MO M
an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式．
A D DT AT
行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是 对行成立的对列也同样成立．
➢性质1：行列式与它的转置行列式相等．
a11 a12 L a1n
a11 a21 L an1
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 k a21 a22 a23 a24 k 0 0
a21 A21 a22 A22 a23 A23
a31 A31 a32 A32 a33 A33
➢我们将行列式按第1行元素展开的定义式推广,得到行列 式按任意行(或列)展开的定理.
➢定理3.1. n阶行列式 D = aij 等于它的任一行(任一列)
的每个元素与它们所对应的代数余子式乘积之和,即:
a22 a23
a32 a33

a12
(1)3
a21 a23
a31 a33

a13(1)4
a21 a22
a31 a32
a22 a23 a22 a32 a32 a33 a23 a33
a21 a23 a21 a31 a31 a33 a23 a33
a21 a22 a21 a31 a31 a32 a22 a32
= a11a22...ann
an3 K ann
➢例3.6. 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n
0 0 ann
解: 我们将行列式按第1列元素展开:
a11 a12 a1n

0 a22 a2n
a11a22 ann .
0 0 ann
3 5 3
➢例3.3. 计算行列式
D 0 1 0
7 72
解：按第一行展开，得
D 3(1)11 1 0 (5) (1)12 0 0
72
72
3(1)13 0 1 6 0 21 27.
77
解：注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得
D

0 A21
M
an1 an2 an3 K ann
解: 同样由n行列式定义,按第1行元素展开:
a11 0 0 K 0
a22 0 K 0
D a21 a22 0 K MMM
0 M

(1)11 a11
a32 M
a33 K M
0 M
an1 an2 an3 K ann
a33 K 0
= a11a22 M
M
=L
an2 an3 K ann
➢定义3.1. n阶方阵 A = aij 所确定的n阶行列式
a11 a12 K a1n
A = a21 a22 K a2n
MM
M
an1 an2 K ann
代表一个由A中元素根据一定的运算关系所得的数.
当n=1时, A = a11 a11
A 当n=2时,
a a a a a11
= a21
a11 a12 a13
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 , D1 ka21 ka22 ka23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
D1 kD.
➢备注：我们也将行列式的这种变换分别记为：
行变换： kri 列变换： kci
推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面．
400
4000
(1)13 2 0 3 40
2 (1) 3 4 24
D N
an1
a2,n1
a1n
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
a11 0 0 K 0
➢例3.5. 计算n阶下三角行列式 D a21 a22 0 K 0
MMM
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj
k 1
在按行、按列展开时，建议挑选含零最多的行、列！
5 3 1 2 0 1 7 252 ➢例3.7.计算行列式 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 350
5 3 1 2 0 5 3 1 2
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1 2 -4 ➢例3.2. 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解： 按对角线法则，有
D 1 2 (Baidu Nhomakorabea2) 2 1 (3) (4) (2) 4
11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
a11 a12 a1n
n 行列式可以按第i行元素展开: D a21 a22 a2n

n
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik
i 1,2, ,n k1
n 阶行列式也可以按第j 列展开：
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
(1)(1)22
3 7
3 2 0 A23
0 27 0 27.
➢例3.4. 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
0001 0020
0 3 0 0 24.
4000
解：0 0 0 1
002
0 0 2 0 (1)14 1 0 3 0
0300
➢ 这一章的学习重点是什么呢？
行列式的计算，而运用行列式的性质可以大大地简化计 算，故还必须熟练掌握行列式的基本性质。
§3.1 行列式的概念
➢ 考虑一个二阶方阵
A


a11 a21
a12 a22

记
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21(1),我们称(1)为二阶方阵
a12 a22 =
11 22
12 21
当n>2时,
a11 a12 K
A = a21 a22 K
MM
an1 an2 K
a1n
n
a2n
M
a11A11 a12 A12 L
L
a1n A1n

a1 j A1 j
j1
ann
A 也可简记为 det A 或 aij
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33