概率统计讲义总复习
概率论与数理统计总复习
pi
1 1 1 5 5
5 1 5 1 5
1
1 65 EXY xi y j Pij COV ( X , Y ) EXY EX EY 8 8 i j
COV ( X , Y ) 3 20 320 DX DY
6. 设随机变量X ~N (1,3 ), Y ~ N (0, 4 ),已知
X z M z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
例1 设 X 具有概率密度f X ( x ), 求 Y=X2 的概率密度.
解 设Y 和 X 的分布函数分别为 FY ( y)和 FX ( x)，
2
注意到Y X 0, 故当y 0时有，FY ( y) P(Y y) 0
当 y>0 时,
2 P ( X y) FY ( y ) P(Y y )
P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
FY y P Y y
求导可得
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
若
1 fX ( x) 2
2、解：设 X 表示电子管寿命，
Y 表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数。则
Y ~ b(5, p),其中p P( X 1000 ) x 1 e 1000 , x 0 f ( x) 1000 0, 其他
概率统计复习讲义重点
概率论与数理统计总复习讲义第一讲 随机事件及其概率一 随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件样本点，样本空间，随机事件，必然事件，不可能事件,基本事件. 2.事件关系和运算 ⑴事件的关系 ⑵事件的运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ⋂=⋃,B A B A ⋃=⋂； 二 概率的定义和性质 1.公理化定义(P12)2.概率的性质(P12.五个)⑴)(1)(A P A P -=； ⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃；例题 ①设A,B 是两个独立事件，已知P(A) =0.5，P(B) =0.7,试求)(B A P ⋃. ②已知事件A 与B 独立，且1()9P AB =，()()P AB P AB =，求()P A ，()P B 。
3.古典概型和几何概型例题 ⑴总经理的五位秘书中有三位精通英语,今偶遇其中的两位秘书，设其中精通英语的人数为X ,求： ①X 的分布律; ②EX⑵两个人约定在下午3点到4点内在某地见面,先到者等对方20分钟后就离去，求两人能见面的概率； ⑶随机地向半圆220x ax y -<<内投掷一点，点落在半圆内任意区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率。
4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三 常用的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P19.)例题 ⑴ 在一个人群中男女人数各半。
其中男性中有5%为色盲，女性中有0.25%为色盲。
现在从该人群中任意的挑选一人，求：①该人是色盲的概率； ②已知该人是色盲，求此人是男性的概率；⑵发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”。
由于通讯系统受到干扰，当发出“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0 .2收到信号“*”和“—”； 同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率 0.9 和0.1收到信号“—”和“*”。
概率论总复习ppt课件
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
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p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
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例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
概率统计各章节知识点总结.ppt
第一章
概率的计算
1）统计定义： fn ( A) n 稳定值 P( A)
2）概率的性质：1~5
3）等可能概型：P(
A)
m n
4）条件概率：P(B
A)
k m
P( AB) P( A)
独立
5）乘法定理： P( AB) P( A)P(B A) P(A)P(B)
1 P(A B)
A AB1 U AB2
1 n
n k 1
Xk
P
p
X1, X 2 , , X n , 相互独立
E( Xk ) 同分布
1
n
n k 1
Xk
P
n
X1 , X 2 , , X n , 相互独立
X k n 近似
同分布E( X k ) D( X k ) 2 k1 n
~ N (0,1)
Xn ~ B(n, p)
Xn np
X ~ N (, 2 ) Th1 X ~ N (, 2 n),
Th2
X1, X 2 , , X n (n 1)S 2 2 ~ 2(n 1) 独立
X , S 2
1n X n i1 X i
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
X ~ t(n 1)
Sn
第六章
常用统计量及抽样分布
2统计量
6）全概率公式：P( A) P(B1 )P( A B1 ) P(B2 )P( A B2 )
7）贝叶斯公式：P(B1
A)
P(B1 )P( A B1 ) P( A)
A
B1
互斥
B2
第二章
随机变量概率分布
离散型随机变量
连续型随机变量
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习资料一、复习纲要注：以下是考试的参照内容，不作为实质考试范围，仅作为复习参照之用。
考试内容以教课纲领和实行计划为准；注明“认识”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，认识概率的古典定义2、能较娴熟地求解古典概率；认识概率的公义化定义3、掌握概率的基天性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的观点；掌握加法公式与乘法公式4、能正确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的观点及性质。
5、理解随机变量的观点，认识(0 —1) 散布、二项散布、泊松散布的散布律。
6、理解散布函数的观点及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数散布 ( 参数) 、平均散布、正态散布，特别是正态散布概率计算8、会求一维随机变量函数散布的一般方法，求一维随机变量的散布律或概率密度。
9、会求散布中的待定参数。
10、会求边沿散布函数、边沿散布律、条件散布律、边沿密度函数、条件密度函数，会鉴别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的观点及计算。
12、理解二维随机变量的观点，理解二维随机变量的结合散布函数及其性质，理解二维失散型随机变量的结合散布律及其性质，理解二维连续型随机变量的结合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、认识求二维随机变量函数的散布的一般方法。
14、会娴熟地求随机变量及其函数的数学希望和方差。
会娴熟地默写出几种重要随机变量的数学希望及方差。
15、较娴熟地求协方差与有关系数.16、认识矩与协方差矩阵观点。
会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、认识大数定理结论，会用中心极限制理解题。
18、掌握整体、样本、简单随机样本、统计量及抽样散布观点，掌握样本均值与样本方差及样本矩观点，掌握2散布 ( 及性质 ) 、t 散布、F散布及其分位点观点。
19、理解正态整体样本均值与样本方差的抽样散布定理；会用矩预计方法来预计未知参数。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
第19讲《统计与概率》案例讲义 练习专项—人教版小升初数学总复习
人数版小升初第一轮精选案例+学生练习专题复习（讲义）第19讲：统计与概率姓名：班级：得分：考点1：统计表▒考点归纳1.统计表的意义。
把收集到的资料进行数据整理后制成表格,用来分析情况，反映问题，这种表格叫作统计表。
2.统计表的分类。
(1)单式统计表:只有一组统计项目的统计表。
(2)复式统计表:有两组或两组以上统计项目的统计表。
▒例题精选例1：下面是新风小学六(1)班学生1分钟跳绳的情况，请你将统计结果制成一一个复式统计表。
男生:104 75 67 38 97 156 109 99 85 113 76 110 115 121 85 30 79 96 108女生:99 125 114 98 74 123 138 84 108 116 110 129 135 159 163 128 100 53 64 42(1)比较一下六(1)班男生和女生跳绳的成绩情况。
(2)你对六(1)班哪些学生有什么建议?解析：当数据较多时，可以用画“正”字的方法收集数据。
先明确优、良、及格和不及格的范围，再依次对比数据，看哪个数据分别属于哪个范围，即成绩是优、良、及格还是不及格，然后画“正”字，全部画完后把结果填入统计表中即可。
解答：成绩如下表(1)女生的跳绳成绩比男生好。
(2)示例:我建议六(1)班男生应该加强体育锻炼。
▒举一反三1某服装厂要为希望小学捐赠服装50件,服装尺码与身高对照情况如下表。
捐赠前，服装厂从该小学随意抽取100名学生调查身高(取整厘米数)，统计结果如下表。
你认为这四种码数的服装各应捐赠多少件?考点2：统计图▒考点归纳1.统计图的分类。
(1)条形统计图:单式条形统计图、复式条形统计图。
(2)折线统计图:单式折线统计图、复式折线统计图。
(3)扇形统计图。
2.统计图的意义、特点及作用。
3.统计图的选择。
一般来说，如果几个数量是并列的，只要求表示数量的多少时，就画条形统计图;如果要表示一个量或几个量增减变化情况和发展变化趋势的，就画折线统计图;如果要表示各部分数量与总数量之间的关系，就画扇形统计图。
概率论与数理统计总复习
随
机 试 验
可能结果
基 本 事 件
Ai
只有两个
不含任何ω Φ
Ai Aj 完
不可能 i j 备 Ai任何组合事件A p(Ai ) 0事
Ai
i
必然
Ωi
Ai
件 组
Ai
等
1 P(A i) n
概 完
i 1,2, n 备
事
件
可能结果
条件：
组
贝努利试验
n次重复
定义 随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）
称X 为离散型随机变量。
分布律（分布列） 表示法
公式法
PX xk pk
k 1,2,
列表法 X x1 x2
xk
xn
pk p1 p2
pk
pn
性质
1. PX xk 0 k 1,2,
n
2. pk 1
7 7
k 1
2、连续性随机变量 定义 对于随机变量X，若存在非负函数
将 F( y) 用 F[h( y)] 及有关函数表述出来。
利用 F '( y) f ( y) 求出Y的密度函数。
f
(
y)
F
(h(
y))'
h(
y)
h'
(
y)
0
y
其他
14
14
三、二维随机变量及其分布
（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数
定义 对于任意实数 x, y 二元函数
F(x, y) P{X x,Y y}
X为离散型其分布列为 PX xk pk
k 1,2,, n.
X为连续型其密度函数为 f (x).
概率统计复习提纲(百度文库)讲解
《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为:,.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果;3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验F的所有可能结果组成的集合称为F的样本空间；记为Q;试验的每一个可能结果，即Q中的元素，称为样本点，记为「（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为「）和不可能事件（记为-）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件一发生必导致匸'发生”，记为二一「或丄-J ; A=B^AcB 且鸟匚乂.（2）互不相容性-互为对立事件1 ：、「-门且一 :.（3）独立性：（i）设丄:'为事件，若有匸二-匸二y 口‘,则称事件-与F相互独立.等价于:若* 1 2 3 4（2）多个事件的独立：设一……；是n个事件，如果对任意的乂山二口匚，任意的1■\ '，具有等式，称；个事件…人相互独立.3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件一与匸'至少有一个发生”，记为」一丄.（2）积事件（交）：“ 事件」与匸'同时发生”，记为』丄「或丄.（3）差事件、对立事件（余事件）：“事件发生一而匸'不发生”，记为」「称为一与匚'的差事件；…二二称为T的对立事件；易知：二】匸.4、事件的运算法则1 交换律：亠二一二一 _」，二土；2结合律:』u0uO = （£u仍uC，（曲）0 =玫蜀;3分配律：（心―2此，的uC = （g（S；4 对偶（）律：丸匸二丄,，一二二一1，十十u A=n n©u血可推广* ■'5、概率的概念（1）概率的公理化定义:i厂存v「J的f事件域.恥F隹义在F上的一个集值函数P（備足；1）菲负性：旳1）20;2）规范性：卩⑼訂3）可列可加性；设力岀，…是可列个互不相容事件，则则称P"）为事件胡概率.（2）频率的定义：事件」在「次重复试验中出现11次，则比值」称为事件」在［次重复试验中出现的频率，记为 ，即— 」.即随旳的増大越来越韋近基个常数戸切丹斗审冲 n 称W 为事件一的（统计）概率在实际问题中，当「很大时，取f 一，“（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个， 且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件 」发生的概率为：—A 中所含样本点数」/（占） c 中样本点总数n（5）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域 g 的概率与区域g的测度（长度、面积、体积等）成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域「中随机地取一点落在区域-中”这一事件二发生的概率为：1丿Q 的测度. （6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念6、概率的基本性质（3）统计概率: 频率具有稳定性, 9 QD（1）不可能事件概率零：= 0.(2)有限可加性：设\ \ -是n个两两互不相容的事件，即」•.=；,(；) 丄,12…j 则有= + 酗)+…+P⑷.(3)单调不减性：若事件口—上「」「—」，且冊卜附也).(4)互逆性：丿二】且H上-(5)加法公式：对任意两事件二:，有二二-匚—二二I-P匚.—厂扑；此性质可推广到任意个事件的情形.(6)可分性：对任意两事件二:，有门上二：，且AAu3)<PU) + ?(3)7、条件概率与乘法公式(1)条件概率:设丄E是两个事件，即」.，则P(AB)称为事件一发生的条件下事件匸'发生的条件概率.(2)乘法公式：设丄H 且「一•〕「"」则W = P(^P(B| X) = P^)P(A13)称为事件二-的概率乘法公式.8全概率公式与贝叶斯()公式(1)全概率公式：设-…二是异的一个划分，且S，•厂亠，…，则对任何事件”」，有p(s)=^mwi4)2-1称为全概率公式(2)贝叶斯()公式：设是打的一个划分，且■ 1 ' 1 _'\ ,则对任何事件丄「一，有P(AAP(B\JL)mi月)=丨宀心=1,…⑻i-L称为贝叶斯公式或逆概率公式9、贝努里()概型(1)只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为丄.丄也叫做“成功—失败”试验，“成功”的概率常用/ " L：/表示，其中」成功”.(2)把匚重复独立地进行•.次，所得的试验称为！重贝努里试验，记为匸.(3)把：:'重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为孑.以上三种贝努里试验统称为贝努里概型.(4)匸中成功卜次的概率是二」mi其中—1 1：--/--1.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件•它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥(不相容)事件如果两个事件」与厂必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则J、'为互逆事件；如果两个事件」与1不能同时发生，则J、'为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形•作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个3、两事件独立与两事件互斥两事件」、T独立，则」与T中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时「'' ■:' 1；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时二一二二二.可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1咖)二.P⑷丄F(B) 一、^ 亠、4 2 ，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，丄匸•，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率''与积事件概率「卜是在样本空间「内，事件二的概率，而’'''是在试验丄增加了新条件发生后的缩减的样本空间中计算事件』的概率.虽然都发生，但两者是不同的，一般说来，当」、-同时发生时，常用「加，而在有包含关系或明确的主从关系时，用"八二.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率•问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯（）公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件•贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设「是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果二一X，都有唯一的实数'与之对应，则称为定义在「上的随机变量，简记为.随机变量通常用大写字母二-■-等表示.设g,F*）是一t概率空间，若枷W R有珂紋是-个随腋氢离散型随机喪量（可能取值至多可列）随机变量连续型随机变量（可育諏值充满某个区间〉奇异型随机变量■-2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量二只能取有限个或可列个可能值，贝淋二为离散型随机变量.如果」的一切可能值为〔1 ，并且負取：；的概率为X，则称儿"：一：一】“：为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为匸：日,分布列为丄工卜；■'■-■'!5 P或（2）二项分布：记为'-，，概率函数尸区胡乂”（1-卩严北二0「也0<^<1（3）泊松分布，记为'-'，概率函数iJtP&"｝二斗,"Oh, 4 0<1泊松定理设“::是一常数，J是任意正整数，设’人'，则对于任一固定的非负整数i,有八，■-.当〔很大且|很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即切(1宀年，其中5(4) 超几何分布：记为概率函数(5) 几何分布：记为上•「心口，概率函数> ;< :匚 ‘ .;■..3、分布函数及其性质分布函数的定义：设"为随机变量，：为任意实数，函数阳=P{X <X)(-0O<X< +oo)称为随机变量負的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下 性质: (1) 有界性(-00 < X <松)；⑵ 单调性 如果:'< ，则旳g(xj ；(3) 右连续， 即戸；7C(4) 极限性 血 F(i) = 0> 陀)二127 W-Hfi ；(5)完美性 Pg fXSxj =P{X “卜P{X 二F(xj-F(xj .4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量二的分布函数门「，存在非负函数「九，使对于任一实数：， 有宀'"，则称；为连续型随机变量.函数—称为；的概率密度函数.P{X "}= pJtr k- 0丄…,min (丹,M) ,其中匚暑为正整数，且：二「- \n 当：「很大，且'1较小时，有马軒泌"(1十严概率密度函数具有以下 性质:(1)工沁〕；⑵二(3) - ' _、「 7 '■ ' ； ( 4)丄;二 11 ；(5) 如果在：处连续，则.常用连续型随机变量的分布:(1) 均匀分布：记为- ； ，概率密度为a①其它分布函数为Q,x <a-f a<x<bl, x(2) 指数分布：记为工- ，概率密度为分布函数为0, A<0(3) 正态分布：记为--，概率密度为p(x) = -=^ 2f2 ? -DO <z < +CO* ?相应的分布函数为di当"-"■■■-1时，即「时，称負服从标准正态分布.这时分别用」：和 _1表示二的密度函数和分布函数，即具有性质：①」：i .jPW = 加-X >Q0,其它②一般正态分布］」严丁的分布函数门与标准正态分布的分布函数■' 有关系：陀）二①¥5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设；为离散型随机变量，其分布列为（表2-2）:则亠— if任为离散型随机变量，其分布列为（表2-3）:表2-3h有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设；为离散型随机变量，概率密度为'-'1，贝L 「二的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若f在丄的取值区间内有连续导数「，且：单调时，X⑷ 是连续型随机变量，其概率密度为11 / 27• ①其它其中二一匸「7二「代汕匚一二1二；I—]:门是]:的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数F,(y) = P(Y<y^P(g(X)<y)=X［人何必 &止心)然后求疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间沐上，对试验的每一个可能结果：，都有唯一的实数•「与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数门「左连续，但大多数书籍定义分布函数「二为右连续.左连续与右连续的区别在于计算「二时，二二点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于 '負-^ ，则定义左连续或右连续时门值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布1、二维随机变量及其联合分布函数如果随机变量血（讥血（町…，血@）定义在同一概率空间（Q FQ上则称恥）心⑷兀（叭-北3）为n维（n元）随机变量或随机向量.当沪2时诽为二维随戕氢常记为工儿联合分布函数的定义设—-匸丄二一「赴随机变量,心"为随机向量1■的联合分布函数特别卄血称为二淼合分布函数即恥』）訂（淞汀幻）二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量：或；的非减函数；（2）有界性一―]I：* ；（3）极限性” 7」，：'，一，厂「.一（?」丨一■.- -」.-工-1「-工,亠二(3)连续性l I；.关于：右连续，关于^也右连续；(4)非负性对任意点 =.「_.「，若「；二，贝V式表示随机点二门落在区域内的概率为：二…2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称■'为二维离散型随机变量.设「「为二维离散型随机变量，它的所有可能取值为匸- 将f 一—°厂一」或表3.1称为「「的联合分布列.表3.1(1)「「'；( 2)肴' 联合分布列具有下列性质:3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数和乩门,使得二维随机变量的分布函数‘八「对任意实数「有 'f，则称 — 是二维连续型随机变量，称u为的联合密度函数（或概率密度函数）联合密度函数具有下列性质：设…丄|为二维随机变量，则称F x （x ） = P （X<^<Y <+oo ） 的0）二 P 卜00 <X <4007<7） 分别为关于二和关于「的边缘（边际）分布函数当为离散型随机变量，则称(1) 非负性对一切实数"，有■" 1；(3) *-ho在任意平面域-上，「厂 取值的概率F ｛（工二［“（砂）如y Q ；3细（兀刃=Xj 为如果小」在；’处连续，则 「八一八 规范性（4）4、二维随机变量的边缘分布P 广乞珂（八12…）：-1分别为关于；和关于『的边缘分布列当为连续型随机变量，则称內A ）二ph 』）必分别为关于二和关于「的边缘密度函数5、二维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为P(X = ip/ = - p^,P(X= f P(Y -y^} = (ij = 12…)，则当 j 固定P{f = ”} = Pj>Ci 时，称---------------------------------- 二——为'「条件下随机变量匚的条件分布律.同理，有吃讪|XrJ 二丝八12…Pi（2）连续型随机变量的条件分布设■= 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：心.则当’•时，在和门,的连续点处，-在条件’下，】的条件概率密度函数为曲力）=畔 Px Wp^\y)=p (兀力p^y) 同理，6、随机变量的独立性设；」’及匚：'1分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数「有『上=则称随机变量；与「相互独立.设：；'|为二维离散型随机变量，..与『相互独立的充要条件是廿妝血=12…）.设为二维连续型随机变量，二与［相互独立的充要条件是对几乎一切实数，有7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量的联合概率密度函数为」；」，「—“ —「是；'的函数，则匚的分布函数为马⑵二\\p（x t yyixdy.（1）；'二的分布若.1；|为离散型随机变量，联合分布列为'，则】的概率函数为:易仇）=£临耳-吗）&仇）=5>%巩-为）；或>若丄八为连续型随机变量，概率密度函数为W，则匚的概率函数为:严r-Ko旳⑵二p^z-x)dx=\ p(z-y r y)dy的分布若I为连续型随机变量，概率密度函数为小乩门，则］的概率函数为:8.最大值与最小值的分布曲”冊勺）畝阿〔兀…兀）勺厂P©）畅）胡旳）*血吃…北）勺）4*（卜恥））9.数理统计中常用的分布（1）正态分布：设随机变劉諾厂也相互紐,肮广N仏口;），心谊…也则2也皿左的加巾其中用心…尼为常黏（2）宀 *:设随机变就“血…也相互從，且丫厂M（叮〉心12…”则（3）「• 卄：亡*……-厂\ L書让二I(4)「—--:亡「疑难分析1、事件=-丄二「表示事件梟•丄「与的积事件，为什么二计不一定等于'■■■'■ :■■■.■ ?如同仅当事件二f相互独立时，才有「二-1三匚二一样，这里依乘法原理只有事件一与1「■'/.相互独立时，才有P{X<x t Y<y) = P(X<^ P(Y<y\，因为P{Y<y\X<x} = P{Y <y).2、二维随机变量「厂的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由「丄丫二心」宀「7 r知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果二『相互独立，贝V「仁―t —：，即卩宀二；丄J •：'.说明当二『独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量二〕相互独立，是指组成二维随机变量•厂的两个分量二〕中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足儿」—匸-：匚-.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有「二—L匚.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量I的两个分量二「是同一试验丄的样本空间上的两个一维随机变量，而丄f也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“匸土”、”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质1、随机变量的数学期望设离散型随机变量負的分布列为「工二：！亠，如果级数台"'绝对收敛，则称级数的和为随机变量J丄的数学期望.设连续型随机变量x的密度函数为p⑴，如果广义积分L腴R处绝对收敛，则f-HD称此积分值」为随机变量匚的数学期望•数学期望有如下性质：（1）设「是常数，则"'■；（2）设］'是常数，则和（3）若-1：'是随机变量，则-［丄：_：丄-'；对任意〔个随机变量■ ' - ■ '，有(4)若-亠相互独立，贝U -七--'-.1 ;对任意「个相互独立的随机变量 u ：•,有2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量 負的分布律为■"丄|丄，则」的函数一1 一的设连续型随机变量 負的密度函数为；；|，则負的函数'■_ ■的数学期望为i +®购恥讥讷，式中积分绝对收敛 3、随机变量的方差设匚是一个随机变量，贝V 丄一匸「L - - 称为匚的方差-一“称为；的标准差或均方差.计算方差也常用公式 方差具有如下性质：(1)设一1是常数，则\ '-; (2)设「是常数，则--------;(3)若分1、*2相互独立，则0区+托)=D(X])+°(為)；对任意〔个相互独立的随机变量■' -■' ,有- ;（4） 的充要条件是：存在常数 「，使- - - -二八 4、几种常见分布的数学期望与方差 （1）匸；.「匸；二:.:；(2) 「——数学期望为亟(②卜另欽亦)久朮=12…jt-i 式中级数绝对收敛(3)（4）匸」已匸二2 1 ；（5）「一 -'■- :丫;（6）—「二 < 匚一，「I」门一：■汀匸⑺—:'二一;:.；；（8）八“血刊凤& = “23）=代5、矩设；是随机变量，贝y L 「2；* 4称为；的一阶原点矩.如果f存在，则■ ■ _ ' ' ■ '■■ - - - | "'-称为負的；阶中心矩.设「「是二维随机变量，贝y心亠;止【；；「工称为的I 阶混合原点矩；址=E （［X-E（Q*•［『-占（別）,灯=1,2,…称为（x,y）的七+］阶混合中心矩.6、协方差与相关系数随机变量（XQ的协方差为^f Y^E｛［X-E^Y-£（『）］）.它是i+i阶混合中心矩，有计算公式：沏（工『）二E（沼）・E（x）E（y）.随机变量■= 的相关系数为_ cov（xn呛二亦页相关系数具有如下性质:(1)卜冷」;(2)卜」存在常数•：'，使"；-汇+「=1,即二与1以概率1线性相关;(3)若；独立，则L •，即不相关.反之，不一定成立.(4)() 设()是二维随机变量，若X与Y的方差都存在，则[Cau(X r^<DX DY疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性•但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛?首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数1■二反映了随机变量二和「之间的什么关系？相关系数；I是用随机变量就和［的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量二和『之间的相关程度.当时，称二'与丁依概率1线性相关；当匚二I 时，称免与『不相关；当时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量二与］相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若、相互独立，则、不相关.因为、独立，则川；「厂小.，故心二-一，从而七j，所以J、r不相关.（2）若不相关，则门、「不一定独立.如：f —］"兀x2+y2 <}rPW= 1 o, 其它一因为TO = £（y）= 0，TO=1/4-1'1二•，知」、」不相关.但U ；1「’L，加y）二2尸加，瞼J）HP占）P0 ,知乂、『不独立.（3）若相关，则匚、［一定不独立.可由反证法说明.（4）若匚、）不相关，则二、不一定不相关.因为二、不独立，二—〕,但若汇-厂m时，可以有―，从而可以有」、不相关.但是，也有特殊情况，如服从二维正态分布时，不相关与；、J 独立是等价的第五块大数定律和中心极限定理内容提要基本内容：切比雪夫（）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（）大数定律，辛钦（）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（）定理，列维-林维德伯格（）定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量二的数学期望m—工，方差匸，则对任意正数「，有不等刊■心沪召或刊，小"-召成立2、大数定律（1）切贝雪夫大数定律:设…是相互独立的随机变量序列，数学期望J. 1和方差’二都存在，且「二」〔|，则对任意给定的I「，有1丄如列-乞凶-欧扎）］|<沪1“讯i-i .（2）贝努利大数定律:设L是「次重复独立试验中事件d发生的次数，：是事limP（|^-^|<F）=l件丿在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的:'.■丨，有…贝努利大数定理给出了当［很大时，」发生的频率一=依概率收敛于d的概率，证明了频率的稳定性.（3）辛钦大数定律：设相互独立，服从同一分布的随机变量序列且匸也〕卫（：=匚）,则对任意给定的:,I，有3、中心极限定律（1） 林德贝格-勒维中心极限定理:设〔芒〕,…丄 是独立同分布的随机变量 序列，有有限的数学期望和方差，「二-「，「..「一、：.则对任意实数刀（血-“）刀疋厂冲“Y _ ____:，随机变量■■,'■--■的分布函数二-满足 Em 氏⑵二曲尸也<i} = fJ2/T（2） 李雅普诺夫定理:设是不同分布且相互独立的随机变量，它护—y 2 们分别有数学期望和方差：小1 一畀,■'■■'■■<;「厂-八-■-;亠文欧因-丛角TO正数$，，使得当心谕时，有盯口,则随机变量»X屋据F7 _ i-1 H _ J-1 X的分布函数对于任意的x ，满足当〔很大时，爲』㈣总拓』（也昭.（3）德莫佛一拉普拉斯定理:设随机变量'■. 1 " 1 1服从参数为匚时卩J 匸；的二项分布，则对于任意的：，恒有疑难分析D 乞逊!-1lim 坨（打=lira <>=r 加 J 十矩rlimP\%-® J 誓（D<x1、依概率收敛的意义是什么?依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列J依概率收敛于，,说明对于任给的£>0,当"很大时，事件“”的概率接近于1•但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ 1八_2卜6”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.。
复习概率统计知识
由此可知，若已知X的分布函数，就知道X在任何区间 上取值的概率。所以，分布函数完整的描述了随机变 量的变化情况。
分布函数F（x）的性质
（1）对一切 x , ，0 F x 1 （2）F x为不减函数 （3）F lim F x 0
（4）如果X、Y是两个独立的随机变量，则 E(X.Y)=E(X).E(Y)
二、方差
表示总体的离散程度，记为Var(.),或2x
2 x V x a E x E r x 2 E x x 2
方差的算术平方根叫标准差。 方差的性质 （1）若c为常数，则Var(c )=0 （2） a,b为常数，x,y为两个相互独立的随机变 量，则(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)
F（ x1，x2，……，xn ）= P(X1x1，X2x2，……， Xnxn)
（x1，x2，……，xn）属Rn，为n元随机变量分布函数。 离散二元随机变量的定义：如果二元随机变量（X,Y） 所有可能取值为有限或可列多个，并且以确定的概率 取各个不同数值，则称（X,Y）为二元随机变量。
(X，Y)的联合分布表和联合分布函数
样本和样本容量
总体中抽出若干个个体组成的集体称为样本。 样本中包含的个体的个数称为样本的容量，又 称为样本的大小。 根据样本信息来推测总体的情况，并给出这个 推测的可靠程度，称为推断统计。推断统计要 求抽样是按随机原则选取的，即总体中每个个 体有同样的机会被选入样本。 重复抽样和不重复抽样。
随机变量
分布的数学形式和图形属“技术问题”，精力应集中 于X究竟属于何种分布上。
1. 正态分布
正态分布的定义
概率论与统计原理复习资料全
《概率论与统计原理》复习资料一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。
参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CB+BA+CA，AB C+AC B+A BC，ABA+CBCA+CB考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。
参考答案：0.04，0.02，0.1考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。
参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。
参考答案：0.6考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。
参考答案：0.2，0.4考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。
参考答案：0.4，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（BA）= 。
参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。
概率统计复习重点【范本模板】
《概率统计》期末重点第一章 随机事件及其概率【说明】本章最主要的知识点是全概率公式和贝叶斯公式，所以就讲这一部分,其余的参考书本.两个公式： 全概率公式；设实验E 的样本空间为Ω，事件12,,,n A A A 构成完备事件组（Ω的一个划分），且()()01,2,,i P A i n >=，对于事件B 有()()()1|ni i i P B P A P B A ==∑贝叶斯公式：设实验E 的样本空间为Ω，事件12,,,n A A A 构成完备事件组（Ω的一个划分），且()()01,2,,i P A i n >=，对于事件B （()0P B >)有()()()()()1|||j j j niii P A P B A P A B P A P B A ==∑【例1-1】一商店为甲、乙、丙三个厂销售同类型号的家电产品。
这三个厂产品的比例为1:2：1，且它们的次品率为0。
1，0.15，0。
2，某顾客从这些产品中任意选购一件，试求：（1） 顾客买到正品的概率；（2） 若已知顾客买到的是正品，则它是甲厂生产的概率是多少？ 解：设{}{}{}{}123A A A B ====买到产品甲厂生产买到产品乙厂生产买到产品丙厂生产顾客买到正品由题意()()()()()()123123111424|0.9|0.85|0.8P A P A P A P B A P B A P B A ======1） 由全概率公式()0.85P B =2） 由贝叶斯公式()()()()111|9|34P A P B A P A B P B ==【例1-2】设甲袋中有四个红球和两个白球，一代中有三个红球和两个白球。
现从甲袋中任取两个球(不看颜色）放到乙袋后,再从乙袋中任取一个球，发现取出的球是白球，则从甲袋中取出(放入乙袋）的两个球都是白球的概率是多少. 解:设{}{}{}{}123A A A B ====甲袋中取出的两个都是红球甲袋中取出一个红球一个白球甲袋中取出的两个都是白球乙袋中取出的是白球由题()()()()()()123123681151515234|||777P A P A P A P B A P B A P B A ======由贝叶斯公式()()()()()22231|1|10|iii P A P B A P A B P A P B A ===∑ 第三章 随机变量的数字特征【说明】本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等知识,比较重要，难度不是很大。
最详细概率统计期末总复习精品PPT课件
第 五 章
1. 大数定律 2. 中心极限定理的应用
第 1. 统计量 总体 样本
六 2. 常用“三大分布”定义 性质
章
各分布分位点定义及查表
第 1. 点估计的两种方法
七
及评价标准
章 2. 参数的区间估计（重点：
单正态总体）
第 1. 假设检验的有关概念 八
章 2.参数的假设检验（重点：
单正态总体）
假设检验步骤(三部曲)
P(B | B0 ) 0 P(B | B1) 0.2 P(B | B2 ) 0.6 P(B | B3) 0.8
B0 A甲 A乙 A丙
P(B0) P A甲PA乙 PA丙 0.6 0.5 0.3 0.09
B1 A甲 A乙 A丙 A甲 A乙 A丙 A甲 A乙 A丙
P(B1) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36
1
0
( 2已知)
检验统计量
U X 0 / n
0
2
0
0
( 2未知)
t X 0 Sn* / n
2
2 0
3
2
2 0
2
2 0
(未知)
2
(n
1)Sn*2
2 0
备择假设H1
0 0 0
拒绝域
u u u u u u /2
0 0 0
2
2 0
2
2 0
2
2 0
t t (n 1) t t (n 1) t t /2(n 1)
① P(18 Y30 22) P( Y30 E(Y30) 2)
②
P(18 Y30
1 D(Y30)/ 4 0.7
22)
《概率论总复习》课件
常见问题解答二：条件概率与独立性的关系？
总结词
条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们之间 存在密切的联系。
详细描述
条件概率是指在某个已知事件发生的条件下，另一个 事件发生的概率。而独立性则是指两个事件之间没有 相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件的发生 。在条件概率中，如果两个事件在给定条件下是独立 的，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的 乘积。因此，条件概率和独立性之间存在密切的联系 ，理解它们的概念和关系有助于更好地掌握概率论中 的相关内容。
04
概率论的应用
统计学中的概率论应用
统计推断
概率论为统计学提供了理论基 础，用于估计未知参数、检验 假设和进行预测。
随机抽样
概率论确保了随机抽样的公正 性和代表性，使得样本数据能 够反映总体特征。
统计决策
基于概率论的决策分析方法， 如贝叶斯决策和风险分析，帮 助决策者做出最优选择。
计算机科学中的概率论应用
100%
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布通常由概 率质量函数或概率分布函数描述 。
80%
连续型随机变量的分布
连续型随机变量的分布由概率密 度函数描述，其总概率为1，即 ∫−∞∞f(x)dxF(x)=∫−∞∞f(x)dxF (x)=∫−∞∞f(x)dxF(x)=1。
02
概率论中的重要定理
贝叶斯定理
01
02
03
04
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
概率统计复习提纲(百度文库).pptx
定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数
左连续，但大多数书籍定义分布函数
为
右连续. 左连续与右连续的区别在于计算
时，
点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于
，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于
，则定义左连
续或右连续时
值就不相同，这时，就要注意对
定义左连续还是右连续.
概率密度函数具有以下性质：
，存在非负函数 的概率密度函数.
，使对于任一实数 ，有
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）如果 在 处连续，则
.
常用连续型随机变量的分布：
（1）均匀分布：记为
，概率密度为
分布函数为
（2）指数分布：记为
，概率密度为
8
，则
分布函数为
学海无 涯
（3）正态分布：记为
，概率密度为
或
.
14
学海无 涯
若
为连续型随机变量，概率密度函数为
，则 的概率函数为：
.
（2）
的分布
若
为连续型随机变量，概率密度函数为
8．最大值与最小值的分布 则
. 3、分布函数及其性质
分布函数的定义：设 为随机变量， 为任意实数，函数
7
学海无 涯
称为随机变量 的分布函数. 分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：
（1）有界性
；
2 单调性 如果
，则
；
3 右连续， 即
；
（4）极限性
；
（5）完美性
.
4、连续型随机变量及其分布分布
如果对于随机变量 的分布函数 称 为连续型随机变量.函数 称为