2018_2019学年10月北京西城区北京市第十五中学高一上学期月考数学试卷(详解)

D.
【答案】 D
【解析】 对于 ，非奇非偶，单调递增，不符合题意； 对于 ，是偶函数，不符合题意； 对于 ，是奇函数，在两个区间上分别单调递减，不符合题意；
对于 ，令
，则
，
所以
是奇函数，
，所以函数是增函数．
11. 方程
的实数解落在的区间是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 令
易知函数
故 故函数
∴ ， 应该是
与
的交点的横坐标．
即， 是
的两根．
由是
的一个根，得
，
解得
或
，
把
代入原方程得
（这与
矛盾），
把
代入原方程的
，解得
，
，
∴
．
综上知， 的最大值为 ．
2 ）若
时，
，证明： 是 上的减函数．
【答案】（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）令
，得
令
，
，则
，
所以函数 是奇函数．
（ 2 ）设
，则
∵
，
，即
成立．
． ，即
，
∴
．
∴
．
∴
，即
．
∴ 是 上的减函数．
24. 二次函数
满足条件：
①当
时， 的图象关于直线
对称；
②
；
③ 在 上的最小值为 ．
2018~2019学年10月北京西城区北京市第十五中学高一 上学期月考数学试卷(详解)
一、选择题：本大题共15个小题，每小题5分，共75分
1. 已知集合
且
A.
B.
，则必有（ ）．
C.
D.
【答案】 B
【解析】 集合
且
故选 ．
，则
．
2. 设全集 A.
，集合 B.
【答案】 A
【解析】 ∵ ∴ 又 故选 ．
上是增函数且最小值是 ，那么在区间 B. 增函数且最小值是 D. 减函数且最大值是
上是（ ）．
【答案】 A
【解析】 由题意 在 于原点对称， 所以 在 故选 ．
上是增函数且最小值为 ，函数 上是增函数且最大值是 ．
为奇函数，奇函数的图象关
10. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）．
A.
B.
C.
合题意；
C 选项：
与
的对应关系不同，故 不符合题意；
D 选项：
定义域为 ，
定义域为
，两函数定义域不同，
故 不符合题意．
故选 B .
8. 函数
的图象是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 函数
的定义域为
，
且
，
∴函数
为其定义域上的奇函数．
综上可知， 选项符合条件．
故选 ．
9. 若奇函数 在区间 A. 增函数且最大值是 C. 减函数且最小值是
，则
．
，
，
．
20. 设
，
，
，则
．
【答案】
【解析】 由 即 所以 所以
，得
的两个根为
，
的两个根为
，
，得
，
．
．
三、解答题：本大题共4个小题，共50分
21. 已知函数
．
1 ）求 2 ）求 3 ）当
的值． ．
时，求函数
的值域．
【答案】（ 1 ） ．
（2）
．
（3）
．
【解析】（ 1 ）根据题意可得
，
．
（ 2 ）由于
，
故
．
（ 3 ）①当
时，
，所以
；
②当
时，
；
③当
时，
，所以
，
故当
时，函数 的值域是
．
22. 用定义证明函数
在区间 上是减函数．
【答案】 证明见解析． 【解析】 任取 ， ，使
，则：
∵ ∴ ∴ ∴函数
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
在区间 上是减函数．
23. 设函数 的定义域为 ，对任意 ，
，恒有
1 ）求证： 是奇函数．
∴
，则 的值为（ ）．
B.
C.
D.
．
． 故选： ．
6. 设函数
A.
B.
【答案】 B 【解析】 ∵
，则
的表达式是（ ）．
C.
D.
∴
.
7. 下列两个函数相等的是（ ）．
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【答案】 B
【解析】 A 选项：
，它与
的对应关系不同，故 不符合题意；
B 选项：
与
定义域和对应关系都相同，两函数相等，故 符
，
在 上连续，
，
；
，
的零点所在的区间为 ．
12. 已知 A.
是定义在
上的单调增函数，若
B.
C.
【答案】 D
【解析】 ∵定义域为
且为单调增函数，
∴
，
∴
．
，则 的范围是（ ）． D.
13. 函数 A.
在 上的最大值为（ ）．
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 函数 所以当 故选 ．
， 时，函数取得最大值 ．
1 ）求函数 的解析式．
2 ）求最大的
，使得存在
，只要
，就有
．
【答案】（ 1 ）
．
（2） ．
【解析】（ 1 ）∵ 的对称轴为
，
∴
，即
．
又
，即
，
由条件③知，
，且
，即
．
由上，可求得
，
，
，
∴
．
（ 2 ）由（ ）知，
，图象开口向上，
而
的图象是由
的图象平移 个单位得到，
要使
时，
，
即
百度文库
的图象在
的图象的下方，且 最大，
， ，
．
17. 若函数 ．
在
上是减函数，在
上是增函数，则实数
【答案】
【解析】 ∵函数
∴
，解得
在 ．
上是减函数，在
上是增函数，
18. 函数
的值域是
．
【答案】
【解析】 ∵ ∴
， ．
∴
或
．
即函数
的值域是
．
19. 一次函数 是减函数，且满足
【答案】
【解析】 设 则 所以
，
，
．
解得
或
．
又一次函数 故
是减函数，则 ．
故选 ．
15. 已知函数 A.
的定义域为 ，若其值域也为 ，则称区间 为 的保值区间．若
的保值区间是
，则 的值为（ ）．
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵
的保值区间是
，
∴
的定义域与值域都是
．
∵
，
当
时，
，
∴
，解得
．
故选 ．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分
16. 已知
，则
．
【答案】
【解析】 ∵ ∴ ∴
， ． ，则
， C.
，则
（ ）． D.
， ．
3. 符合
的集合 的个数是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 因为
即
或
故选 ．
，所以集合 中定有元素 且至少有 个元素，
或
，
4. 函数
，
的值域是（ ）．
A. ， ，
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 由
，
，
可知其值域为
．
故选 ．
5. 设 A.
【答案】 B 【解析】 ∵
14. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函
数解析式为
，值域为
的“孪生函数”共有（ ）．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】 B
【解析】 令
，得
；令
，得
，
使得函数值为 的 值有三种可能，即
，
，
；
使函数值为 的 值也有三种可能，故满足条件的“孪生函数”共有 个．