立体几何证明题定理推论汇总
立体几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。
．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何所有的定理大总结(绝对全)
（二）异面直线所成角1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1.定义：对于异面直线a 和b ，在空间任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐角或者叫做异面直线a 和b 所成的角。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)（三）线面角1.定义：当直线l 与平面α相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α斜交，直线l 叫做平面α的斜线。
设直线l 与平面α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平面α的垂线，垂足为O ，把点O 叫做点A 在平面α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平面α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l 和平面α所成的角。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）（三）二面角1.定义：（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
两条平行线的距离4.线到线的距离：异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则 线段PQ 的长。
高中立体几何常用定理
立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α,则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A 错误!α，B∈α，B错误!a,则直线AB和直线a是异面直线．) 5．公理4（空间平行线的传递性）:平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线．若b∥c,a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a错误!α，b⊂α，a∥b,则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α,则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线,那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心(类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中,若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。
立体几何证明题定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。
二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1） 符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言：线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I图形语言：2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何所有的定理大总结绝对全
（二）异面直线所成角1.定义：不一样在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不订交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助协助平面。
1.定义：关于异面直线 a 和 b，在空间任取一点 P，过 P 分别作 a 和 b 的平行线a1和b1，我们把 a1和b1所成的锐角或许叫做异面直线 a 和 b 所成的角。
2.范围： (0 °， 90°】( ★空间两条直线所成角范围：【0°， 90°】 )（三）线面角1. 定义：当直线 l 与平面α订交且不垂直时，叫做直线 l 与平面α斜交，直线 l 叫做平面α的斜线。
设直线 l 与平面α斜交与点 M，过 l 上随意点 A，做平面α的垂线，垂足为O，把点 O叫做点 A 在平面α上的射影，直线 OM叫做直线 l 在平面α上的射影。
1.定义：把直线 l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线 l 和平面α所成的角。
2.范围【 0°， 90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°， 90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分红两个部分，此中每一个部分叫做半平面。
（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的棱上随意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角。
2. 表示：以下列图，可记作 α-AB- β或 P-AB-Q3. 范围为【 0°， 180°】（五）六种距离1. 点到点的距离：两点之间的线段 PQ 的长。
2. 点到线的距离：过 P 点作 PPl ，交 l 于 P ，线段 PP 的长。
1 1 13. 点到面的距离：过 P 点作 PP 1，交 于 P 1 ，线段 PP 1 的长。
立体几何公理、定理一览表(新)
立体几何公理、定理一览表
用“平移法”作异面直线所成的角，关键是选择适当的点，一般选在一对异面直线的一条线段的端点或中点；用“射影法”作斜线与平面所成的角，关键是垂足位置的确定；作二面角的平面角有三种方法，一是“定义法”，二是“垂线法”，三是作棱的“垂面法”。
求距离，找垂足或转换（利用平行间距离相等或三棱锥的顶点转换）；
即：遇到求“距离、线面所成角、面面所成角”等，都要设法找到图中存在或隐藏的“线面垂直、面面垂直”关系。
且要一作（找）、二证（说理）、三计算（平面分离）。
立体几何证明定理归纳
立体几何证明定理归纳在立体几何中，证明定理是一种重要的方法，通过逐步推理和归纳总结，可以得出一般性的结论。
本文将以立体几何证明定理归纳为主题，介绍几个典型的立体几何定理，并通过证明的方式，展示定理归纳的过程。
一、平行线与平面的关系我们来证明平行线与平面的关系。
根据平行线的定义，平行线是在同一个平面上，且不相交的两条直线。
定理：如果一条直线与一个平面平行，则该直线与平面上的任意一条直线都平行。
证明：设直线AB与平面P平行，直线CD是平面P上的一条直线。
我们需要证明直线AB与直线CD平行。
根据平行线的定义，我们可以找到平面P内的一条直线EF，使得直线EF与直线AB平行。
由于直线EF与直线AB平行，而直线AB与直线CD在同一个平面P内，根据平行线与平面的关系可知，直线EF 与直线CD也平行。
因此，直线AB与直线CD平行。
证毕。
二、相交线与平面的关系接下来，我们来证明相交线与平面的关系。
定理：如果两条直线相交于一个点，并且这两条直线都在同一个平面上。
则这个平面与这两条直线垂直。
证明：设直线AB和直线CD相交于点O，且直线AB和直线CD在同一个平面P上。
我们需要证明平面P与直线AB、直线CD垂直。
我们可以通过点O分别作直线AE和直线CF，使得直线AE和直线CF 都与直线AB和直线CD垂直。
由于直线AB和直线CD在同一个平面P上，因此直线AE和直线CF也在平面P上。
接下来，我们需要证明直线AE和平面P垂直。
假设直线AE与平面P有交点M，由于直线AE与平面P垂直，因此直线AE与平面P上的所有直线都垂直。
而直线CF在平面P上，所以直线CF与直线AE垂直。
由于直线AE与直线CF垂直，所以直线AE与平面P上的所有直线都垂直。
这与直线AE与平面P的交点M矛盾。
因此，直线AE与平面P垂直。
同理，可以证明直线CF与平面P垂直。
因此，平面P与直线AB、直线CD垂直。
证毕。
三、平行四边形的性质我们来证明平行四边形的性质。
定理：一个四边形是平行四边形的充分必要条件是它的对边平行。
(整理)立体几何证明的向量公式和定理证明11453
这条直线垂直于这个平面。 平面互相垂直。
这个平面内的任意一条直线。
判 定 图形 定 语言 理a ,b 符号语言ab P
c
c a, c b
a a
b a
a
b
文字 语言
如果两个平面互相垂直，
如果两条平行线中的一
如果两条直线同垂直于一 那么在一个平面内垂直于他
a
//
b
b
// a a // b b
精品文档
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其他 重要 结论
如果两个平面平行，则其中一 个平面内的任意一条直线平行于另 外一个平面。
a
//
a
//
垂直的证明
线面垂直
面面垂直
定义
文字 语言
（2）平面 内两相交直线 m CD =0 m ⊥CD m ⊥
的方向向量 AB , CD
AB,CD 且 AB CD=P
（1）平面 的法向量 m （2）平面 的法向量 n
mn 0 mn 平面 ⊥平面
计算
分类
两异 面直 线所 成角
（0， 】 2
两条相交直线分别平行 条相交直线分别平行于另
于另外一个平面，那么这 外一个平面内的两条直线，
两个平面平行。
那么这两个平面平行。
判
图
形
定
语
定
言
理
符 号 语 言
a
b
立体几何基本事实和推论
立体几何基本事实和推论一、基本事实。
1. 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
- 作用：确定平面的依据。
例如在建筑中，确定一个墙面所在的平面，只要找到这个墙面的三个不在同一直线上的点就可以确定这个平面。
2. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
- 符号表示：若A∈ l，B∈ l，且A∈α，B∈α，则l⊂α。
- 作用：判定直线是否在平面内。
比如在一个长方体中，如果一条棱上的两个端点都在某个平面内，那么这条棱就在这个平面内。
3. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
- 符号表示：若P∈α∩β，则α∩β = l且P∈ l。
- 作用：判定两个平面相交以及确定交线的位置。
像两堵相交的墙，它们相交于一条直线，这条直线就是两个墙面所在平面的交线。
4. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
- 符号表示：若a∥ b，b∥ c，则a∥ c。
- 作用：判定空间中两条直线平行。
例如在三棱柱中，侧棱之间平行关系的判定就可以依据这个基本事实。
二、推论。
1. 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
- 证明：设直线l，点A，在直线l上任取两点B、C，根据基本事实1，A、B、C不在同一条直线上，所以经过A、B、C有且只有一个平面α，又因为B∈ l，C∈ l，根据基本事实2，l⊂α，所以经过直线l和点A有且只有一个平面。
2. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
- 证明：设直线a、b相交于点P，在直线a上取异于P的一点A，在直线b上取异于P的一点B，根据基本事实1，A、P、B不在同一条直线上，所以经过A、P、B有且只有一个平面α，又因为a经过A、P，b经过P、B，根据基本事实2，a⊂α，b⊂α，所以经过两条相交直线a、b有且只有一个平面。
3. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
- 证明：设a∥ b，在直线a上取两点A、B，在直线b上取一点C，因为a∥b，所以A、B、C不在同一条直线上，根据基本事实1，经过A、B、C有且只有一个平面α，又因为a经过A、B，b经过C且a∥ b，根据基本事实2，a⊂α，b⊂α，所以经过两条平行直线a、b有且只有一个平面。
立体几何判定定理及性质定理汇总
立体几何判定定理及性质定理汇总
一线面平行
线面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
线面平行性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
二面面平行
面面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行.
面面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.
三线面垂直
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面平行.
线面垂直性质定理1
如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线。
线面垂直性质定理２
垂直于同一个平面的两条直线平行．
四面面垂直
面面垂直判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
面面垂直性质定理１
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直性质定理2
两个平面垂直,过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．１。
立体几何的定理
立体几何的定理
立体几何的定理主要包括以下几个方面：
公理：如果一条直线上的两点落在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理：过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
推论：一条直线和直线外的一点确定一个平面。
推论：两条相交直线确定一个平面。
三余弦定理（最小角定理）：设点A为平面Γ外的一点，过点A的斜线AB
在平面Γ上的射影为BO，直线BC为平面Γ上的任意直线，那么∠ABC、∠OBA、∠OBC的余弦关系为：cos∠ABC=cos∠OBC⋅cos∠OBA。
三正弦定理（最大角定理）：设二面角M-AB-N的大小为γ，在平面M上有一条射线AC，AC与棱AB所成角为β，和平面N所成角为α，则sinα=sinβ⋅sin γ。
立体几何证明8条定理
直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫l⊄αa⊂αl∥a⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)⎭⎬⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α。
立体几何判定定理及性质定理汇总
立体几何判定定理及性质定理汇总
一线面平行
线面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线面平行性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行.
二面面平行
面面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行.
面面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.
三线面垂直
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面平行.
线面垂直性质定理1
如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.
线面垂直性质定理2
垂直于同一个平面的两条直线平行.
四面面垂直
面面垂直判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
面面垂直性质定理1
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直性质定理2
两个平面垂直,过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内.
1。
高考数学--立体几何判定定理及性质大全
符号语言
l ⊥ l⊥a a
a
作 用
直线 平面 直线 直线
知识清单
线⊥面的性质定理
图形语言
l
文字语言
如果两条直线垂直于同 一个平面 , 那么这两条直线 平行.
符号语言
a ⊥ a∥b b ⊥
a∥b 经过两条平行直线 存在唯一的平面 , 有且只有一个平面． a 使得 b
a
知识清单
基本性质 3
图形语言
文字语言
如果两个平面有一个公 共点 , 那么它们还有其它公 共点 , 且所有这些公共点的 集合是一条过这个公共点的 直线.
符号语言
P
l P l
作 用
直线∥平面 直线∥直线
知识清单
面∥面的判定定理
图形语言
a A
文字语言
如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平 面 , 那么这两个平面平行．
符号语言
a ∥ a b ∥ ∥ b a b A
b
作 用
直线∥平面 平面∥平面
作 用
1.是可以用来判定一条直线是否在平面内 2.是可以用来判定点在平面内
知识清单
基本性质 2
图形语言
文字语言
符号语言
B
A
经过不在同一条直线上 C 直线AB 的三点 , 有且只有一个平面. 存在唯一的平面 ,
A 简单地说成：不共线的 使得 B C 三点 , 确定一个平面.
m
作 用
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立体几何公理、定理推论汇总
一、公理及其推论
公理J 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：Ael,Bel.Aea,Bea=>l<^a
作用：①用来验证直线在平面内；
②用来说明平面是无限延展的。
公理2如果两个平面有_个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过 这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
公理M 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一
个平面。
推论/经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：4輕/=>有且只有一个平面0使Awg aua 符号语言：acb = Pd 有且只有一个平面0使duo bu
公理M 及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理0平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：戶丘&门0=>&“0 = /且Pw/
作用：①用来证明两个平面是相交关系;
②用来证明多点共线，多线共点。
符号语言：45C 不共线二确定一个平面
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论｛经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：d 〃b=>有且只有一个平面⑦使GUC6
.B
符号语言：a/^\^a//c
c // b
作用：用来证明线线平行。
二、平行关系
公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（/）3
a // b\
b ______________________ 符号语言：^//h\^a//c图形语言：
丿 C
”线面平行的判定定理I如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）
a H a
符号语言：bua n all a
aUb
图形语言:
线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线和交线平行。
（M）
all a
符号语言：QU0〔=>d//b
a[\p = b
图形语言:
2面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行'
(a u u mb = O'
符号语言：d//0 >=>Q〃0
blip
而面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
（5）
a V 00 /z°
符号语言：卩5円卩
图形语言:
图形语言:
面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行°（6）
all p
符号语言：ap\y = a >^>a//b图形语言:
pV\y = b
而面平行的性质t如果两个平面平行, 那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（7）
all p\
符号语言：心円邛图形语言:
面面平行的性质2
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,
（D
all p\
符号语言：（=>"丄0
Q
图形语言:
而面平行的性质M平行于同一个平面的两个平面平行。
（？）
all p\
符号语言：汕p'oallY图形语言:
三、垂直关系
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
那么它也垂直于另一个平面。
线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
（M）
2面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（力）
垂直。
3）
PA la
符号语言：PO^\a = O丄PA
a u a且d丄AO
图形语言:
三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜
线的射影垂直.（”）
PA丄a
符号语言：PO（｝a = O丄AO
a u a且d丄PO
負线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这
符号语言:
(m u a.n cz a),加= B
线面垂直的判定如果两条平行线中的一条垂直于
符号语言:
a，/b\^bla
"丄图形语言:
符号语言:
a丄a]
图形语言:
线面垂直的性质如果一条直线垂直于个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线’（炉）符号语言: 图形语言:
图形语言:
>=> /丄a
4B 丄a
符号语言：ABu0\ 而面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有
cos& = cos&i ・cos&2 （其中如图中所示） 图形语言: 图形语言:
平面。
（疗）
符号语言:
a 丄0
aR0=CD AB u a 且A3 丄 图形语言。