2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新

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2016年全国高中数学联赛A卷真题word版

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2016年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设实数a 满足a a a a <-<1193,则a 的取值范围是__________.2. 设复数w z ,满足3=z ,()()i w z w z 47+=-+,其中i 是虚数单位,w z ,分别表示w z ,的共轭复数,则()()w z w z 22-+的模为__________.3. 正实数w v u ,,均不等于1,若5log log =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则u w log 的值为__________.4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .5. 设P 为一圆锥的顶点,C B A ,,是其底面圆周上的三点,满足︒=∠90ABC ,M 为AP 的中点.若2,2,1===AP AC AB ,则二面角A BC M --的大小为__________.6. 设函数()10cos 10sin 44kx kx x f +=,其中k 是一个正整数.若对任意实数a ,均有(){}(){}R x x f a x a x f ∈=+<<1,则k 的最小值为__________.7. 双曲线C 的方程为1322=-y x ,左、右焦点分别为1F 、2F .过点2F 作一直径与双曲线C 的右半支交于点Q P ,,使得︒=∠901PQ F ,则PQ F 1∆的内切圆半径是__________.8. 设4321,,,a a a a 是100,,2,1Λ中的四个互不相同的数,满足()()()2433221242322232221a a a a a a a a a a a a++=++++, 则这样的有序数组()4321,,,a a a a 的个数为__________.二、解答题 9. 在ABC ∆中,已知⋅=⋅+⋅32.求C sin 的最大值.10. 已知()x f 是R 上的奇函数,()11=f ,且对任意0<x ,均有()x xf x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1. 求()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛511501981319912110011f f f f f f f f Λ的值.11. 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点,Q 是x 轴负半轴上一点,使得PQ 为C 的切 线,且2=PQ .圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ,且均与x 轴相切.求点F 的坐标,使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.2016年全国高中数学联赛A 卷二试一、设实数201621,,,a a a Λ满足21119+>i i a a ()2015,,2,1Λ=i .求()()()()212016220162015232221a a a a a a a a ----Λ的最大值.二、如图所示,在ABC ∆中,X 、Y 是直线BC 上的两点(X 、B 、C 、Y 顺次排列),使得AB CY AC BX ⋅=⋅. 设ACX ∆,ABY ∆的外心分别为21,O O ,直线21O O 与AB 、AC 分别交于点U 、V .证明:AUV ∆是等腰三角形.三、给定空间中10个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值.四、设p 与2+p 均是素数,3>p .数列{}n a 的定义为21=a ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11,Λ,3,2=n . 这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数.证明:对1,,4,3-=p n Λ均有11+-n pa n 成立.。

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2016年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分1.设实数a 满足||1193a a a a <-<,则a 的取值范围是 答案:)310,332(--∈a 解:由||a a <可得0<a ,原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a 即111912<-<-a ,所以)34,910(2∈a .又0<a ,故)310,332(--∈a . 2.设复数w z ,满足3||=z ,i w z w z 47))((+=-+,其中i 是虚数单位,w z ,分别表示w z ,的共轭复数,则)2)(2(w z w z -+的模为 答案:65 解:由运算性质,)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+,因为2||z 与2||w 为实数,0)Re(=-zw zw ,故7||||22=-w z ,i zw zw 4-=-,又3||=z ,所以2||2=w ,从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+ 因此,)2)(2(w z w z -+的模为65.3.正实数w v u ,,均不等于1,若5log log =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则u w log 的值为 答案:54 解:令a v u =log ,b w v =log ,则 a u v 1log =,bv w 1log =,ab a w v v vw v u u u +=•+=log log log log 条件化为5=++b ab a ,311=+b a ,由此可得45=ab ,因此 54log log log ==•=u v u v w w . 4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为答案:359 解:一种取法符合要求,等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ,从而1055=+≤<b a .故只能从A 中国取走两张1元纸币,相应的取法数为323=C .又此时2=>a b ,即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币,相应有182327=-C C 种取法.因此,所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C . 5.设P 为一圆锥的顶点,A ,B ,C 是其底面圆周上的三点,满足ABC ∠=90°,M 为AP 的中点.若AB =1,AC =2,2=AP ,则二面角M —BC —A 的大小为 答案:32arctan解:由ABC ∠=90°知,AC 为底面圆的直径.设底面中心为O ,则⊥PO 平面ABC ,易知121==AC AO ,进而122=-=AO AP PO . 设H 为M 在底面上的射影,则H 为AO 的中点.在底面中作BCHK ⊥于点K ,则由三垂线定理知BC MK ⊥,从而MKH ∠为二面角M —BC —A 的平面角.因21==AH MH ,结合HK 与AB 平行知,43==AC HC AB HK ,即43=HK ,这样32tan ==∠HK MH MKH .故二面角M —BC —A 的大小为32arctan . 6.设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=,其中k 是一个正整数.若对任意实数a ,均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<,则k 的最小值为答案:16解:由条件知,10cos 10sin 2)10cos 10(sin )(22222kx kx kx kx x f -+= 4352cos 415sin 12+=-=kx kx 其中当且仅当)(5Z m km x ∈=π时,)(x f 取到最大值.根据条件知,任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点,从而15<k π,即π5>k . 反之,当π5>k 时,任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期,此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立.综上可知,正整数的最小值为161]5[=+π.7.双曲线C 的方程为1322=-y x ,左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ,Q ,使得PQ F 1∠=90°,则PQ F 1∆的内切圆半径是 答案:17-解:由双曲线的性质知,431221=+⨯=F F ,22121=-=-QF QF PF PF .因PQ F 1∠=90°,故2212221F F PF PF =+,因此 72242)()(222221222121=-⨯=--+=+PF PF PF PF PF PF 从而直角PQ F 1∆的内切圆半径是17)(21)(21)(21212111-=--+=-+=QF QF PF PF Q F PQ P F r 8.设4321,,,a a a a 是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为答案:40解:由柯西不等式知,2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++,等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==,即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ,且q 为有理数.记mn q =,其中n m ,为互素的正整数,且n m ≠. 先考虑m n >的情况. 此时331314)(m n a m n a a ==,注意到33,n m 互素,故31ma l =为正整数. 相应地,4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,,它们均为正整数.这表明,对任意给定的1>=m n q ,满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数,即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数,即]100[3n . 由于10053>,故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况,相应的等比数列的个数为 20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a .综上可知,共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)在ABC ∆中,已知•=•+•32.求C sin 的最大值. 解:由数量积的定义及余弦定理知,2cos 222a c b A cb -+==•. 同理得,2222b c a -+=•,2222c b a -+=•.故已知条件化为 )(3)(2222222222c b a b c a a c b -+=-++-+即22232c b a =+.………………………………8分由余弦定理及基本不等式,得 ab b a b a ab c b a C 2)2(312cos 2222222+-+=-+= 3263263=•≥+=a b b a a b b a 所以37cos 1sin 2≤-=C C .………………………………12分等号成立当且仅当5:6:3::=c b a .因此C sin 的最大值是37.……………16分 10.(本题满分20分)已知)(x f 是R 上的奇函数,1)1(=f ,且对任意0<x ,均有)()1(x xf x x f =-. 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值. 解:设n nf a n )(1(==1,2,3,…),则1)1(1==f a . 在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k k x ∈-=,注意到111111+=---=-k k k x x ,及)(x f 为奇函数.可知)1(1)1(1)11(kf k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+,从而)!1(11111111-==•=∏∏-=-=+n ka a a a n k n k k k n .……………………10分 因此∑∑∑===--•=--=490501501101)!99(!1)!100()!1(1i i i i ii i i i a a !992221!991)(!991!991989949099999949099=⨯⨯=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分11.(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点,O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点,Q 是x 轴负半轴上一点,使得PQ 为C 的切线,且|PQ |=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ,且均与轴相切.求点F 的坐标,使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.解:设抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ,点Q 的坐标为)0)(0,(>-a a ,并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O .设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ,将其与C 的方程联立,消去x 可知0222=+-pa pmy y .因为PQ 与C 相切于点P ,所以上述方程的判别式为024422=•-=∆pa m p ,解得p a m 2=.进而可知,点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =.于是 )2(2221|0|1||2a p a pa p a y m PQ P +=•+=-+=. 由|PQ |=2可得4242=+pa a ①……………………5分注意到OP 与圆21,C C 相切于点P ,所以21O O OP ⊥.设圆21,C C 与x 轴分别相切于点M ,N ,则21,OO OO 分别是PON POM ∠∠,的平分线,故21OO O ∠=90°.从而由射影定理知pa a y x OP P O P O N O M O y y P P 22222212121+=+==•=•=结合①,就有2221342a pa a y y -=+= ②……………………10分 由21,,O P O 共线,可得 212121212122y y N O M O PO P O y y y y y pa pay P P ===--=--. 化简得 212122y y pa y y =+ ③……………………15分 令2221y y T +=,则圆21,C C 的面积之和为T π.根据题意,仅需考虑T 取到最小值的情况. 根据②、③可知,212221212212242)(y y y y pay y y y T -=-+= 22222221)2)(34()34(2)34(444a a a a a a ---=----=.作代换21a t -=,由于024442>=-=pa a t ,所以0>t .于是 4324132413)1)(13(+=+•≥++=++=tt t t t t t T . 上式等号成立当且仅当33=t ,此时3111-=-=t a ,因此结合①得, 331333311122-=-=-=-=t t a a p从而F 的坐标为)0,331()0,2(-=p .………………………20分。

2016年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

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2016年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)一、填空题:本大题共8个小题,每小题8分,共64分。

2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193,则实数a 的取值范围为◆答案:)310,332(--∈a ★解析:由||a a <可得0<a ,原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a即111912<-<-a ,所以)34,910(2∈a .又0<a ,故)310,332(--∈a .2016A 2、设复数z ,w 满足3=z ,i w z w z 47))((+=-+,其中i 是虚数单位,z ,w 分别表示复数z ,w 的共轭复数,则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案:65★解析:由运算性质,)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+,因为2||z 与2||w 为实数,0)Re(=-zw zw ,故7||||22=-w z ,i zw zw 4-=-,又3||=z ,所以2||2=w ,从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+因此,)2)(2(w z w z -+的模为65.2016A 3、正实数u ,v ,w 均不等于1,若5l og l og =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则vwl og 的值为 ◆答案:54 ★解析:令a v u =log ,b w v =log ,则a u v 1log =,bv w 1log =,ab a w v v vw v u u u +=∙+=log log log log条件化为5=++b ab a ,311=+b a ,由此可得45=ab ,因此 54log log log ==∙=u v u v w w .2016A 4、袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币,现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案:359 ★解析:一种取法符合要求,等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ,从而1055=+≤<b a .故只能从A 中国取走两张1元纸币,相应的取法数为323=C .又此时2=>a b ,即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币,相应有182327=-C C 种取法.因此,所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C .2016A 5、设P 为圆锥曲线的顶点,A ,B ,C 是其地面圆周上的三点,满足090=∠ABC ,M 为线段AP 的中点。

2016-2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析

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12018 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、 11 小题 5 分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分. 1. 设集合 A = {1, 2, 3,, 99}, B = {}2x x A ∈, C ={}2x x A ∈,则 B C 的元素个数为 .答案: 24 .解:由条件知,B C = {2, 4, 6,, 198} {12, 1, 32 ,2,, 992}= {2, 4, 6,, 48} ,故 B C 的元素个数为 24 .2. 设点 P 到平面 α 3 Q 在平面 α 上,使得直线 PQ 与 α 所成 角不小于 30︒ 且不大于 60︒ ,则这样的点 Q 所构成的区域的面积为 .答案:8π .解:设点 P 在平面α上的射影为O .由条件知,3tan [3]OP OPQ OQ =∠∈即OQ ∈ [1, 3] ,故所求的区域面积为 π ⋅ 32 - π ⋅12 = 8π .3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行,记为 a , b , c , d , e , f ,则 abc + def 是偶数的概率为 答案:910解:先考虑 a bc + def 为奇数的情况,此时 a bc , def 一奇一偶,若 abc 为奇数, 则 a , b , c 为1, 3, 5 的排列,进而 d , e , f 为 2, 4, 6 的排列,这样有 3! × 3! = 36 种情况, 由对称性可知,使 abc + def 为奇数的情况数为 36 × 2 = 72 种.从而 abc + def 为偶 数的概率为72729116!72010-=-= 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :22221x y a b += (a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ,椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴,且相交于点 P .已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ,则∆PF 1F 2 的面积为 .解:由对称性,不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限,则由条件知x =1()2PT PS -= 2, y =1()2PV PU -= 1即 P (2, 1) .进而由 x P =PU = 1, PS = 2 得U (2, 2), S (4, 1) ,代入椭圆C 的方程知111144161a b a b⋅+⋅=⋅+=,解得a 2= 20, b 2 = 5 .从而121212PF F P P S F F y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数,在区间[0, 1] 上严格递减, 且满足 f (π) = 1 f (2π) = 2 ,则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩p p 的解集为 .答案:[π - 2, 8 - 2π] .解:由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知, f ( x ) 在[-1, 0] 上严格递增, 再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知,[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间. 注意到f (π - 2) = f (π) = 1, f (8 - 2π) = f (-2π) = f (2π) = 2 ,所以1 ≤ f ( x ) ≤2 ⇔ f (π - 2) ≤ f ( x ) ≤ f (8 - 2π) ,而1 < π - 2 < 8 - 2π < 2 ,故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π - 2, 8 - 2π] .6. 设复数 z 满足z = 1 ,使得关于 x 的方程 zx 2 + 2 zx + 2 = 0 有实根,则这样 的复数 z 的和为 .答案:32-解:设 z = a + b i (a , b ∈ R , a2 + b 2 = 1) .将原方程改为 (a + b i) x 2 + 2(a - b i) x + 2 = 0 ,分离实部与虚部后等价于ax 2 + 2ax + 2 = 0 , ①bx 2 - 2bx = 0 .②若b = 0 ,则 a 2 = 1 ,但当 a = 1 时,①无实数解,从而 a = -1 ,此时存在实 数 x = -1±3满足①、②,故 z = -1满足条件. 若 b ≠ 0 ,则由②知 x ∈ {0, 2} ,但显然 x = 0 不满足①,故只能是 x = 2 ,代入①解得 a 14=-,进而 b =154±,相应有 z =1154i -± 综上,满足条件的所有复数 z 之和为-1+1154i -++1154i --=32- 7. 设O 为∆ABC 的外心,若AO u u u r = AB u u u r + 2 AC u u u r,则sin ∠BAC 的值为.答案:104解:不失一般性,设∆ABC 的外接圆半径 R = 2 .由条件知, 2 AC u u u r =AO u u u r AB -u u u r ① 故 AC =12BO = 1 . 取 AC 的中点 M ,则 O M ⊥ AC ,结合①知 O M ⊥ BO ,且 B 与 A 位于直线OM 的同侧.于是 c os ∠BOC = cos (90︒ + ∠MOC ) = -sin ∠MOC =-MOOC14=-在∆BOC 中,由余弦定理得BC =222cos OB OC OB OC BOC +-⋅∠10=进而在∆ABC 中,由正弦定理得sin ∠BAC =1024BC R = 8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 = 3a 1 , a 2 + a 8 = 2a 5 ,且a i +1 ∈ {1+ a i ,2 + a i }, i = 1, 2, , 9 ,则这样的数列的个数为 .答案:80 .解:设b i = a i +1 - a i ∈ {1, 2}(i = 1, 2, , 9) ,则有 2a 1 = a 10 - a 1 = b 1 + b 2 ++ b 9 , ①b 2 + b 3 + b 4 = a 5 - a 2 = a 8 - a 5 = b 5 + b 6 + b 7 . ②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数.由②知,t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数, 其中t ∈ {0, 1, 2, 3} .因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2+ (13C ) 2+ (23C ) 2+ (33C )2= 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后,任意指定 b 8 , b 9 的值,有 22= 4 种方式. 最后由①知,应取 b 1 ∈ {1, 2} 使得b 1 + b 2 ++ b 9 为偶数,这样的 b 1 的取法是唯一的,并且确定了整数 a 1 的值,进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条 件的 数列 a 1 , a 2 , , a 10 .综上可知,满足条件的数列的个数为 20⨯4 = 80 .二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.9.(本题满分 16 分)已知定义在 R+上的函数 f ( x ) 为3log 109()49x x f x xx ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩p f设 a , b , c 是三个互不相同的实数,满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ,求 abc 的取值围. 解:不妨假设 a < b < c .由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减,在[3, 9] 上严格递增, 在[9, +∞) 上严格递减,且 f (3) = 0, f (9) = 1,故结合图像可知a ∈ (0, 3) ,b ∈ (3, 9) ,c ∈ (9, + ∞) ,并且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ∈ (0, 1) . …………………4 分 由 f (a ) = f (b ) 得 1- log 3 a = log 3 b -1, 即 l og 3 a + log 3 b = 2 ,因此 a b = 32= 9 .于是 abc = 9c . …………………8 分又0 < f (c ) = 4 c1, …………………12 分 故 c ∈ (9, 16) .进而 abc = 9c ∈ (81, 144) .所以, a bc 的取值范围是 (81, 144) . …………………16 分 注:对任意的 r ∈ (81, 144) ,取09r c =,则0c ∈ (9, 16) ,从而 f (0c ) ∈ (0, 1) .过 点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ,则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ,(b , f (b )) (其中 a ∈ (0, 3), b ∈ (3, 9) ),满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ,并且 ab = 9 ,从 而 a bc = r .10.(本题满分 20 分)已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足:对任意正整数 n ,有a n (2S n - a n ) = 1 ,其中 S n 表示数列的前 n 项和.证明:(1) 对任意正整数 n ,有 a n <n (2) 对任意正整数 n ,有 a n a n +1 < 1 .证明: (1) 约定 S 0 = 0 .由条件知,对任意正整数 n ,有 1 = a n (2S n -a n ) = (S n - S n -1)(S n + S n -1) = S n 2 - S n -12 , S n = n + S 0 = n ,即 S n =n n = 0 时亦成立). …………………5 分显然, a n = S n - S n -1 n 1n -n 10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n +1 同号的情况.不失一般性,可设 a n , a n +均为正(否则 将数列各项同时变为相反数,仍满足条件),则 S n +1 > S n > S n -1 >n 此时从而a n a n +1 <n 1n -1n +n ) <1n +n 1n +n )= 1. …………………20 分11.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设 AB 是抛物线 y 2 = 4 x 的 过点 F (1, 0) 的弦,∆AOB 的外接圆交抛物线于点 P (不同于点O , A , B ).若 PF 平 分∠APB ,求 PF 的所有可能值.解:设211(,)4y A y ,222(,)4y B y ,233(,)4y P y ,由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零.设直线 AB 的方程为 x = ty +1 ,与抛物线方程联立可得 y 2- 4ty - 4 = 0 ,故 y 1 y 2 = -4 . ①注意到∆AOB 的外接圆过点O ,可设该圆的方程为 x 2 + y 2 + dx + ey = 0 ,与x =24y 联立得,42(1)0164y d y ey +++=.该四次方程有 y = y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根,故由韦达定理得 y 1 + y 2 + y 3 + 0 = 0 ,从而y 3 =- ( y 1 + y 2 ) .②…………………5 分因 PF 平分∠APB ,由角平分线定理知,12PA FA y PB FB y ==,结合①、②,有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 + 64 y 2 y 2 -192 y 2 = y 6 + 64 y 2 y 2 -192y 2,故 ( y 2 - y 2 )( y 4 + y 2 y 2 + y 4 -192) = 0 .当 y 1 2 = y 2 2 时, y 1 =- y 2,故 y = 0 ,此时 P 与 O 重合,与条件不符.当 y 1 4 + y 1 2 y 22 + y 24 -192 = 0 时,注意到①,有 (y 1 2 + y 2 2 )2=192+(y 1 y 2) 2=208y 1 2 + y 2 2 =8 = 212y y ,故满足①以及 y 1 + y 2 =的实数 y 1 , y 2 存在,对应可得满足条件的点 A , B .此时,结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分2017年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)一,填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分1. 设()x f 是定义在R 上的函数,对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ,()()x x f -=9log 2,则()100-f 的值为__________.2. 若实数y x ,满足1cos 22=+y x ,则y x cos -的取值范围是___________.3. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为110922=+y x ,F 为C 的上焦点,A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF 的面积最大值为____________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.5. 正三棱锥,,,中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其体积平分,则棱与平面α所成角的余弦值为________.6. 在平面直角坐标系xOy 中,点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点,则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.7. 在△ABC 中,M 是边BC 的中点,N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ,△ABC 的面积为3,则AM ⋅的最小值为________.8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足:,对任意整数n,有n n n a a a +=++12,.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+二,解答题:本大题共三小题,满分56分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤9. (本题满分16分)设k,m 为实数,不等式[]b a x m kx x ,12∈≤--对所有成立。

2016年高中数学联赛试题答案

2016年高中数学联赛试题答案
2 2
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1,若 log u vw log v w 5 , log v u log w v 3 ,则 . log w u 的值为 4 答案: . 5 解:令 log u v a, log v w b ,则 1 1 log v u , log w v , log u vw log u v log u v log v w a ab , a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 , 由 此 可 得 ab . 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u . ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点.若 AB 1, AC 2, AP 2 ,则二面角 M BC A 的大小 为 . 2 答案: arctan . 3 解:由 ABC 90 知, AC 为底面圆的直径. 设 底 面 中 心 为 O , 则 PO 平 面 ABC . 易 知 1 AO AC 1 ,进而 PO AP 2 AO 2 1 . 2 设 H 为 M 在底面上的射影,则 H 为 AO 的中 点.在底面中作 HK BC 于点 K ,则由三垂线定理 知 MK BC ,从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角. 3 1 HK HC 3 因 MH AH ,结合 HK 与 AB 平行知, ,即 HK , 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH .故二面角 M BC A 的大小为 arctan . 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a , 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ,则 k 的最小值为 .

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

因此,z 2wz 2w 的模为 12 82 65 .
3. 正实数 u, v, w 均不等于 1,若 logu vw logv w 5 ,logv u logw v 3,则
logw u 的值为

答案: 4 . 5
解:令 logu v a, logv w b ,则
cos2
kx 10
2
2sin2
kx 10
cos2
kx 10
1 1 sin2 kx 1 cos 2kx 3 , 2 54 5 4
其中当且仅当 x 5m (m Z) 时, f (x) 取到最大值.根据条件知,任意一个长 k
为1的开区间 (a, a 1) 至少包含一个最大值点,从而 5 1,即 k 5 . k
3. 正实数 u,v, w 均不等于 1,若 logu vw logv w 5 , logv u logw v 3,则 logw u 的值为______.
4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币.现随机 从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 _______.
2, ,100 中的 4 个互不相同的数,满足
(a12 a22 a32 )(a22 a32 a42 ) (a1a2 a2a3 a3a4 )2 ,
则这样的有序数组 (a1, a2 , a3, a4 ) 的个数为

答案: 40 .
解:由柯西不等式知,(a12 a22 a32 )(a22 a32 a42 ) (a1a2 a2a3 a3a4 )2 ,等

2016年全国高中数学联合竞赛(含答案)

2016年全国高中数学联合竞赛(含答案)

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2016年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分1.设实数a 满足||1193a a a a <-<,则a 的取值范围是 答案:)310,332(--∈a 解:由||a a <可得0<a ,原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a 即111912<-<-a ,所以)34,910(2∈a .又0<a ,故)310,332(--∈a . 2.设复数w z ,满足3||=z ,i w z w z 47))((+=-+,其中i 是虚数单位,w z ,分别表示w z ,的共轭复数,则)2)(2(w z w z -+的模为 答案:65 解:由运算性质,)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+,因为2||z 与2||w 为实数,0)Re(=-zw zw ,故7||||22=-w z ,i zw zw 4-=-,又3||=z ,所以2||2=w ,从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+ 因此,)2)(2(w z w z -+的模为65.3.正实数w v u ,,均不等于1,若5log log =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则u w log 的值为 答案:54 解:令a v u =log ,b w v =log ,则 a u v 1log =,bv w 1log =,ab a w v v vw v u u u +=•+=log log log log 条件化为5=++b ab a ,311=+b a ,由此可得45=ab ,因此 54log log log ==•=u v u v w w . 4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为答案:359 解:一种取法符合要求,等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ,从而1055=+≤<b a .故只能从A 中国取走两张1元纸币,相应的取法数为323=C .又此时2=>a b ,即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币,相应有182327=-C C 种取法.因此,所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C . 5.设P 为一圆锥的顶点,A ,B ,C 是其底面圆周上的三点,满足ABC ∠=90°,M 为AP 的中点.若AB =1,AC =2,2=AP ,则二面角M —BC —A 的大小为 答案:32arctan解:由ABC ∠=90°知,AC 为底面圆的直径.设底面中心为O ,则⊥PO 平面ABC ,易知121==AC AO ,进而122=-=AO AP PO . 设H 为M 在底面上的射影,则H 为AO 的中点.在底面中作BCHK ⊥于点K ,则由三垂线定理知BC MK ⊥,从而MKH ∠为二面角M —BC —A 的平面角.因21==AH MH ,结合HK 与AB 平行知,43==AC HC AB HK ,即43=HK ,这样32tan ==∠HK MH MKH .故二面角M —BC —A 的大小为32arctan . 6.设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=,其中k 是一个正整数.若对任意实数a ,均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<,则k 的最小值为答案:16解:由条件知,10cos 10sin 2)10cos 10(sin )(22222kx kx kx kx x f -+= 4352cos 415sin 12+=-=kx kx 其中当且仅当)(5Z m km x ∈=π时,)(x f 取到最大值.根据条件知,任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点,从而15<k π,即π5>k . 反之,当π5>k 时,任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期,此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立.综上可知,正整数的最小值为161]5[=+π.7.双曲线C 的方程为1322=-y x ,左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ,Q ,使得PQ F 1∠=90°,则PQ F 1∆的内切圆半径是 答案:17-解:由双曲线的性质知,431221=+⨯=F F ,22121=-=-QF QF PF PF .因PQ F 1∠=90°,故2212221F F PF PF =+,因此 72242)()(222221222121=-⨯=--+=+PF PF PF PF PF PF 从而直角PQ F 1∆的内切圆半径是17)(21)(21)(21212111-=--+=-+=QF QF PF PF Q F PQ P F r 8.设4321,,,a a a a 是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为答案:40解:由柯西不等式知,2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++,等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==,即4321,,,a a a a 成等比数列.于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数.设等比数列的公比1≠q ,且q 为有理数.记mn q =,其中n m ,为互素的正整数,且n m ≠. 先考虑m n >的情况. 此时331314)(m n a m n a a ==,注意到33,n m 互素,故31ma l =为正整数. 相应地,4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,,它们均为正整数.这表明,对任意给定的1>=m n q ,满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数,即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数,即]100[3n . 由于10053>,故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况,相应的等比数列的个数为 20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++. 当m n <时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a .综上可知,共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a .二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)在ABC ∆中,已知•=•+•32.求C sin 的最大值. 解:由数量积的定义及余弦定理知,2cos 222a c b A cb -+==•. 同理得,2222b c a -+=•,2222c b a -+=•.故已知条件化为 )(3)(2222222222c b a b c a a c b -+=-++-+即22232c b a =+.………………………………8分由余弦定理及基本不等式,得 ab b a b a ab c b a C 2)2(312cos 2222222+-+=-+= 3263263=•≥+=a b b a a b b a 所以37cos 1sin 2≤-=C C .………………………………12分等号成立当且仅当5:6:3::=c b a .因此C sin 的最大值是37.……………16分 10.(本题满分20分)已知)(x f 是R 上的奇函数,1)1(=f ,且对任意0<x ,均有)()1(x xf x x f =-. 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值. 解:设n nf a n )(1(==1,2,3,…),则1)1(1==f a . 在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k k x ∈-=,注意到111111+=---=-k k k x x ,及)(x f 为奇函数.可知)1(1)1(1)11(kf k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+,从而)!1(11111111-==•=∏∏-=-=+n ka a a a n k n k k k n .……………………10分 因此∑∑∑===--•=--=490501501101)!99(!1)!100()!1(1i i i i ii i i i a a !992221!991)(!991!991989949099999949099=⨯⨯=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分11.(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点,O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点,Q 是x 轴负半轴上一点,使得PQ 为C 的切线,且|PQ |=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ,且均与轴相切.求点F 的坐标,使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.解:设抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ,点Q 的坐标为)0)(0,(>-a a ,并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O .设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ,将其与C 的方程联立,消去x 可知0222=+-pa pmy y .因为PQ 与C 相切于点P ,所以上述方程的判别式为024422=•-=∆pa m p ,解得p a m 2=.进而可知,点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =.于是 )2(2221|0|1||2a p a pa p a y m PQ P +=•+=-+=. 由|PQ |=2可得4242=+pa a ①……………………5分注意到OP 与圆21,C C 相切于点P ,所以21O O OP ⊥.设圆21,C C 与x 轴分别相切于点M ,N ,则21,OO OO 分别是PON POM ∠∠,的平分线,故21OO O ∠=90°.从而由射影定理知pa a y x OP P O P O N O M O y y P P 22222212121+=+==•=•=结合①,就有2221342a pa a y y -=+= ②……………………10分 由21,,O P O 共线,可得 212121212122y y N O M O PO P O y y y y y pa pay P P ===--=--. 化简得 212122y y pa y y =+ ③……………………15分 令2221y y T +=,则圆21,C C 的面积之和为T π.根据题意,仅需考虑T 取到最小值的情况. 根据②、③可知,212221212212242)(y y y y pay y y y T -=-+= 22222221)2)(34()34(2)34(444a a a a a a ---=----=.作代换21a t -=,由于024442>=-=pa a t ,所以0>t .于是 4324132413)1)(13(+=+•≥++=++=tt t t t t t T . 上式等号成立当且仅当33=t ,此时3111-=-=t a ,因此结合①得, 331333311122-=-=-=-=t t a a p从而F 的坐标为)0,331()0,2(-=p .………………………20分。

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