2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新
2016年全国高中数学联赛A卷真题word版
2016年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设实数a 满足a a a a <-<1193，则a 的取值范围是__________.2. 设复数w z ,满足3=z ，()()i w z w z 47+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则()()w z w z 22-+的模为__________.3. 正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为__________.4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .5. 设P 为一圆锥的顶点，C B A ,,是其底面圆周上的三点，满足︒=∠90ABC ，M 为AP 的中点.若2,2,1===AP AC AB ，则二面角A BC M --的大小为__________.6. 设函数()10cos 10sin 44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有(){}(){}R x x f a x a x f ∈=+<<1，则k 的最小值为__________.7. 双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F .过点2F 作一直径与双曲线C 的右半支交于点Q P ,，使得︒=∠901PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆半径是__________.8. 设4321,,,a a a a 是100,,2,1Λ中的四个互不相同的数，满足()()()2433221242322232221a a a a a a a a a a a a++=++++， 则这样的有序数组()4321,,,a a a a 的个数为__________.二、解答题 9. 在ABC ∆中，已知⋅=⋅+⋅32.求C sin 的最大值.10. 已知()x f 是R 上的奇函数，()11=f ，且对任意0<x ，均有()x xf x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1. 求()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛511501981319912110011f f f f f f f f Λ的值.11. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切 线，且2=PQ .圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与x 轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.2016年全国高中数学联赛A 卷二试一、设实数201621,,,a a a Λ满足21119+>i i a a ()2015,,2,1Λ=i .求()()()()212016220162015232221a a a a a a a a ----Λ的最大值.二、如图所示，在ABC ∆中，X 、Y 是直线BC 上的两点（X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅. 设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为21,O O ，直线21O O 与AB 、AC 分别交于点U 、V .证明：AUV ∆是等腰三角形.三、给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.四、设p 与2+p 均是素数，3>p .数列{}n a 的定义为21=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--n pa a a n n n 11，Λ,3,2=n . 这里[]x 表示不小于实数x 的最小整数.证明：对1,,4,3-=p n Λ均有11+-n pa n 成立.。
2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新
2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 答案：)310,332(--∈a 解：由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a 即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0<a ，故)310,332(--∈a ． 2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 答案：65 解：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+ 因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 答案：54 解：令a v u =log ，b w v =log ，则 a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=•+=log log log log 条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此 54log log log ==•=u v u v w w ． 4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为答案：359 解：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤<b a ．故只能从A 中国取走两张1元纸币，相应的取法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C ． 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M —BC —A 的大小为 答案：32arctan解：由ABC ∠=90°知，AC 为底面圆的直径．设底面中心为O ，则⊥PO 平面ABC ，易知121==AC AO ，进而122=-=AO AP PO ． 设H 为M 在底面上的射影，则H 为AO 的中点．在底面中作BCHK ⊥于点K ，则由三垂线定理知BC MK ⊥，从而MKH ∠为二面角M —BC —A 的平面角．因21==AH MH ，结合HK 与AB 平行知，43==AC HC AB HK ，即43=HK ，这样32tan ==∠HK MH MKH ．故二面角M —BC —A 的大小为32arctan ． 6．设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为答案：16解：由条件知，10cos 10sin 2)10cos 10(sin )(22222kx kx kx kx x f -+= 4352cos 415sin 12+=-=kx kx 其中当且仅当)(5Z m km x ∈=π时，)(x f 取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点，从而15<k π，即π5>k ． 反之，当π5>k 时，任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期，此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立．综上可知，正整数的最小值为161]5[=+π．7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 答案：17-解：由双曲线的性质知，431221=+⨯=F F ，22121=-=-QF QF PF PF ．因PQ F 1∠=90°，故2212221F F PF PF =+，因此 72242)()(222221222121=-⨯=--+=+PF PF PF PF PF PF 从而直角PQ F 1∆的内切圆半径是17)(21)(21)(21212111-=--+=-+=QF QF PF PF Q F PQ P F r 8．设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为答案：40解：由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列．于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数．设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数．记mn q =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠． 先考虑m n >的情况． 此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数． 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数．这表明，对任意给定的1>=m n q ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n ． 由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++． 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a ．综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在ABC ∆中，已知•=•+•32．求C sin 的最大值． 解：由数量积的定义及余弦定理知，2cos 222a c b A cb -+==•． 同理得，2222b c a -+=•，2222c b a -+=•．故已知条件化为 )(3)(2222222222c b a b c a a c b -+=-++-+即22232c b a =+．………………………………8分由余弦定理及基本不等式，得 ab b a b a ab c b a C 2)2(312cos 2222222+-+=-+= 3263263=•≥+=a b b a a b b a 所以37cos 1sin 2≤-=C C ．………………………………12分等号成立当且仅当5:6:3::=c b a ．因此C sin 的最大值是37．……………16分 10．（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x x f =-． 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值． 解：设n nf a n )(1(==1，2，3，…），则1)1(1==f a ． 在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k k x ∈-=，注意到111111+=---=-k k k x x ，及)(x f 为奇函数．可知)1(1)1(1)11(kf k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+，从而)!1(11111111-==•=∏∏-=-=+n ka a a a n k n k k k n ．……………………10分 因此∑∑∑===--•=--=490501501101)!99(!1)!100()!1(1i i i i ii i i i a a !992221!991)(!991!991989949099999949099=⨯⨯=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．解：设抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ，点Q 的坐标为)0)(0,(>-a a ，并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O ．设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ，将其与C 的方程联立，消去x 可知0222=+-pa pmy y ．因为PQ 与C 相切于点P ，所以上述方程的判别式为024422=•-=∆pa m p ，解得p a m 2=．进而可知，点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =．于是 )2(2221|0|1||2a p a pa p a y m PQ P +=•+=-+=． 由｜PQ ｜=2可得4242=+pa a ①……………………5分注意到OP 与圆21,C C 相切于点P ，所以21O O OP ⊥．设圆21,C C 与x 轴分别相切于点M ，N ，则21,OO OO 分别是PON POM ∠∠,的平分线，故21OO O ∠=90°．从而由射影定理知pa a y x OP P O P O N O M O y y P P 22222212121+=+==•=•=结合①，就有2221342a pa a y y -=+= ②……………………10分 由21,,O P O 共线，可得 212121212122y y N O M O PO P O y y y y y pa pay P P ===--=--． 化简得 212122y y pa y y =+ ③……………………15分 令2221y y T +=，则圆21,C C 的面积之和为T π．根据题意，仅需考虑T 取到最小值的情况． 根据②、③可知，212221212212242)(y y y y pay y y y T -=-+= 22222221)2)(34()34(2)34(444a a a a a a ---=----=．作代换21a t -=，由于024442>=-=pa a t ，所以0>t ．于是 4324132413)1)(13(+=+•≥++=++=tt t t t t t T ． 上式等号成立当且仅当33=t ，此时3111-=-=t a ，因此结合①得， 331333311122-=-=-=-=t t a a p从而F 的坐标为)0,331()0,2(-=p ．………………………20分。
2016年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193，则实数a 的取值范围为◆答案：)310,332(--∈a ★解析：由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0<a ，故)310,332(--∈a ．2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，z ，w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案：65★解析：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5l og l og =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则vwl og 的值为 ◆答案：54 ★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=∙+=log log log log条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此 54log log log ==∙=u v u v w w ．2016A 4、袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：359 ★解析：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤<b a ．故只能从A 中国取走两张1元纸币，相应的取法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C ．2016A 5、设P 为圆锥曲线的顶点，A ，B ，C 是其地面圆周上的三点，满足090=∠ABC ，M 为线段AP 的中点。
2016-2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析
12018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 设集合 A = {1, 2, 3,, 99}, B = {}2x x A ∈, C ={}2x x A ∈，则 B C 的元素个数为 ．答案： 24 ．解：由条件知，B C = {2, 4, 6,, 198} {12, 1, 32 ,2,, 992}= {2, 4, 6,, 48} ，故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面 α 3 Q 在平面 α 上，使得直线 PQ 与 α 所成 角不小于 30︒ 且不大于 60︒ ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8π ．解：设点 P 在平面α上的射影为O ．由条件知，3tan [3]OP OPQ OQ =∠∈即OQ ∈ [1, 3] ，故所求的区域面积为 π ⋅ 32 - π ⋅12 = 8π ．3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的概率为 答案：910解：先考虑 a bc + def 为奇数的情况，此时 a bc , def 一奇一偶，若 abc 为奇数， 则 a , b , c 为1, 3, 5 的排列，进而 d , e , f 为 2, 4, 6 的排列，这样有 3! × 3! = 36 种情况， 由对称性可知，使 abc + def 为奇数的情况数为 36 × 2 = 72 种．从而 abc + def 为偶 数的概率为72729116!72010-=-= 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :22221x y a b += (a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则∆PF 1F 2 的面积为 ．解：由对称性，不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限，则由条件知x =1()2PT PS -= 2, y =1()2PV PU -= 1即 P (2, 1) ．进而由 x P =PU = 1, PS = 2 得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知111144161a b a b⋅+⋅=⋅+=，解得a 2= 20, b 2 = 5 ．从而121212PF F P P S F F y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1] 上严格递减， 且满足 f (π) = 1 f (2π) = 2 ，则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩p p 的解集为 ．答案：[π - 2, 8 - 2π] ．解：由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f ( x ) 在[-1, 0] 上严格递增， 再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间． 注意到f (π - 2) = f (π) = 1, f (8 - 2π) = f (-2π) = f (2π) = 2 ，所以1 ≤ f ( x ) ≤2 ⇔ f (π - 2) ≤ f ( x ) ≤ f (8 - 2π) ，而1 < π - 2 < 8 - 2π < 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π - 2, 8 - 2π] ．6. 设复数 z 满足z = 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 + 2 zx + 2 = 0 有实根，则这样 的复数 z 的和为 ．答案：32-解：设 z = a + b i (a , b ∈ R , a2 + b 2 = 1) ．将原方程改为 (a + b i) x 2 + 2(a - b i) x + 2 = 0 ，分离实部与虚部后等价于ax 2 + 2ax + 2 = 0 ， ①bx 2 - 2bx = 0 ．②若b = 0 ，则 a 2 = 1 ，但当 a = 1 时，①无实数解，从而 a = -1 ，此时存在实 数 x = -1±3满足①、②，故 z = -1满足条件． 若 b ≠ 0 ，则由②知 x ∈ {0, 2} ，但显然 x = 0 不满足①，故只能是 x = 2 ，代入①解得 a 14=-，进而 b =154±，相应有 z =1154i -± 综上，满足条件的所有复数 z 之和为-1+1154i -++1154i --=32- 7. 设O 为∆ABC 的外心，若AO u u u r = AB u u u r + 2 AC u u u r，则sin ∠BAC 的值为．答案：104解：不失一般性，设∆ABC 的外接圆半径 R = 2 ．由条件知， 2 AC u u u r =AO u u u r AB -u u u r ① 故 AC =12BO = 1 ． 取 AC 的中点 M ，则 O M ⊥ AC ，结合①知 O M ⊥ BO ，且 B 与 A 位于直线OM 的同侧．于是 c os ∠BOC = cos (90︒ + ∠MOC ) = -sin ∠MOC =-MOOC14=-在∆BOC 中，由余弦定理得BC =222cos OB OC OB OC BOC +-⋅∠10=进而在∆ABC 中，由正弦定理得sin ∠BAC =1024BC R = 8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 = 3a 1 , a 2 + a 8 = 2a 5 ，且a i +1 ∈ {1+ a i ,2 + a i }, i = 1, 2, , 9 ，则这样的数列的个数为 ．答案：80 ．解：设b i = a i +1 - a i ∈ {1, 2}(i = 1, 2, , 9) ，则有 2a 1 = a 10 - a 1 = b 1 + b 2 ++ b 9 ， ①b 2 + b 3 + b 4 = a 5 - a 2 = a 8 - a 5 = b 5 + b 6 + b 7 ． ②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数， 其中t ∈ {0, 1, 2, 3} ．因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2+ (13C ) 2+ (23C ) 2+ (33C )2= 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后，任意指定 b 8 , b 9 的值，有 22= 4 种方式． 最后由①知，应取 b 1 ∈ {1, 2} 使得b 1 + b 2 ++ b 9 为偶数，这样的 b 1 的取法是唯一的，并且确定了整数 a 1 的值，进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条 件的 数列 a 1 , a 2 , , a 10 ．综上可知，满足条件的数列的个数为 20⨯4 = 80 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R+上的函数 f ( x ) 为3log 109()49x x f x xx ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩p f设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求 abc 的取值围． 解：不妨假设 a < b < c ．由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增， 在[9, +∞) 上严格递减，且 f (3) = 0, f (9) = 1，故结合图像可知a ∈ (0, 3) ，b ∈ (3, 9) ，c ∈ (9, + ∞) ，并且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ∈ (0, 1) ． …………………4 分 由 f (a ) = f (b ) 得 1- log 3 a = log 3 b -1， 即 l og 3 a + log 3 b = 2 ，因此 a b = 32= 9 ．于是 abc = 9c ． …………………8 分又0 < f (c ) = 4 c1， …………………12 分 故 c ∈ (9, 16) ．进而 abc = 9c ∈ (81, 144) ．所以， a bc 的取值范围是 (81, 144) ． …………………16 分 注：对任意的 r ∈ (81, 144) ，取09r c =，则0c ∈ (9, 16) ，从而 f (0c ) ∈ (0, 1) ．过 点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中 a ∈ (0, 3), b ∈ (3, 9) ），满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，并且 ab = 9 ，从 而 a bc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足：对任意正整数 n ，有a n (2S n - a n ) = 1 ，其中 S n 表示数列的前 n 项和．证明：(1) 对任意正整数 n ，有 a n <n (2) 对任意正整数 n ，有 a n a n +1 < 1 ．证明： (1) 约定 S 0 = 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有 1 = a n (2S n -a n ) = (S n - S n -1)(S n + S n -1) = S n 2 - S n -12 ， S n = n + S 0 = n ，即 S n =n n = 0 时亦成立）． …………………5 分显然， a n = S n - S n -1 n 1n -n 10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n +1 同号的情况．不失一般性，可设 a n , a n +均为正（否则 将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 S n +1 > S n > S n -1 >n 此时从而a n a n +1 <n 1n -1n +n ) <1n +n 1n +n )= 1． …………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 = 4 x 的 过点 F (1, 0) 的弦，∆AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平 分∠APB ，求 PF 的所有可能值．解：设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，233(,)4y P y ，由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零．设直线 AB 的方程为 x = ty +1 ，与抛物线方程联立可得 y 2- 4ty - 4 = 0 ，故 y 1 y 2 = -4 ． ①注意到∆AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 x 2 + y 2 + dx + ey = 0 ，与x =24y 联立得，42(1)0164y d y ey +++=．该四次方程有 y = y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根，故由韦达定理得 y 1 + y 2 + y 3 + 0 = 0 ，从而y 3 =- ( y 1 + y 2 ) ．②…………………5 分因 PF 平分∠APB ，由角平分线定理知，12PA FA y PB FB y ==，结合①、②，有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 + 64 y 2 y 2 -192 y 2 = y 6 + 64 y 2 y 2 -192y 2，故 ( y 2 - y 2 )( y 4 + y 2 y 2 + y 4 -192) = 0 ．当 y 1 2 = y 2 2 时， y 1 =- y 2，故 y = 0 ，此时 P 与 O 重合，与条件不符．当 y 1 4 + y 1 2 y 22 + y 24 -192 = 0 时，注意到①，有 (y 1 2 + y 2 2 )2=192+(y 1 y 2) 2=208y 1 2 + y 2 2 =8 = 212y y ，故满足①以及 y 1 + y 2 =的实数 y 1 , y 2 存在，对应可得满足条件的点 A , B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.2. 若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.5. 正三棱锥，，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其体积平分，则棱与平面α所成角的余弦值为________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ,△ABC 的面积为3，则AM ⋅的最小值为________.8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12∈≤--对所有成立。
2016年高中数学联赛试题答案
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小 为 ． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径． 设 底 面 中 心 为 O ， 则 PO 平 面 ABC ． 易 知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理 知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， ，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为 ．
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
因此，z 2wz 2w 的模为 12 82 65 ．
3. 正实数 u, v, w 均不等于 1，若 logu vw logv w 5 ，logv u logw v 3，则
logw u 的值为
．
答案： 4 ． 5
解：令 logu v a, logv w b ，则
cos2
kx 10
2
2sin2
kx 10
cos2
kx 10
1 1 sin2 kx 1 cos 2kx 3 ， 2 54 5 4
其中当且仅当 x 5m (m Z) 时， f (x) 取到最大值．根据条件知，任意一个长 k
为1的开区间 (a, a 1) 至少包含一个最大值点，从而 5 1，即 k 5 ． k
3. 正实数 u,v, w 均不等于 1，若 logu vw logv w 5 ， logv u logw v 3，则 logw u 的值为______．
4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机 从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 _______．
2, ,100 中的 4 个互不相同的数，满足
(a12 a22 a32 )(a22 a32 a42 ) (a1a2 a2a3 a3a4 )2 ，
则这样的有序数组 (a1, a2 , a3, a4 ) 的个数为
．
答案： 40 ．
解：由柯西不等式知，(a12 a22 a32 )(a22 a32 a42 ) (a1a2 a2a3 a3a4 )2 ，等
2016年全国高中数学联合竞赛(含答案)
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2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 答案：)310,332(--∈a 解：由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a 即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0<a ，故)310,332(--∈a ． 2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 答案：65 解：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+ 因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 答案：54 解：令a v u =log ，b w v =log ，则 a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=•+=log log log log 条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此 54log log log ==•=u v u v w w ． 4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为答案：359 解：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤<b a ．故只能从A 中国取走两张1元纸币，相应的取法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C ． 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M —BC —A 的大小为 答案：32arctan解：由ABC ∠=90°知，AC 为底面圆的直径．设底面中心为O ，则⊥PO 平面ABC ，易知121==AC AO ，进而122=-=AO AP PO ． 设H 为M 在底面上的射影，则H 为AO 的中点．在底面中作BCHK ⊥于点K ，则由三垂线定理知BC MK ⊥，从而MKH ∠为二面角M —BC —A 的平面角．因21==AH MH ，结合HK 与AB 平行知，43==AC HC AB HK ，即43=HK ，这样32tan ==∠HK MH MKH ．故二面角M —BC —A 的大小为32arctan ． 6．设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为答案：16解：由条件知，10cos 10sin 2)10cos 10(sin )(22222kx kx kx kx x f -+= 4352cos 415sin 12+=-=kx kx 其中当且仅当)(5Z m km x ∈=π时，)(x f 取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点，从而15<k π，即π5>k ． 反之，当π5>k 时，任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期，此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立．综上可知，正整数的最小值为161]5[=+π．7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 答案：17-解：由双曲线的性质知，431221=+⨯=F F ，22121=-=-QF QF PF PF ．因PQ F 1∠=90°，故2212221F F PF PF =+，因此 72242)()(222221222121=-⨯=--+=+PF PF PF PF PF PF 从而直角PQ F 1∆的内切圆半径是17)(21)(21)(21212111-=--+=-+=QF QF PF PF Q F PQ P F r 8．设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为答案：40解：由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是433221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列．于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321⊆a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数．设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数．记mn q =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠． 先考虑m n >的情况． 此时331314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31ma l =为正整数． 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数．这表明，对任意给定的1>=m n q ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n ． 由于10053>，故仅需考虑34,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312]64100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++． 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a ．综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在ABC ∆中，已知•=•+•32．求C sin 的最大值． 解：由数量积的定义及余弦定理知，2cos 222a c b A cb -+==•． 同理得，2222b c a -+=•，2222c b a -+=•．故已知条件化为 )(3)(2222222222c b a b c a a c b -+=-++-+即22232c b a =+．………………………………8分由余弦定理及基本不等式，得 ab b a b a ab c b a C 2)2(312cos 2222222+-+=-+= 3263263=•≥+=a b b a a b b a 所以37cos 1sin 2≤-=C C ．………………………………12分等号成立当且仅当5:6:3::=c b a ．因此C sin 的最大值是37．……………16分 10．（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x x f =-． 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值． 解：设n nf a n )(1(==1，2，3，…），则1)1(1==f a ． 在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k k x ∈-=，注意到111111+=---=-k k k x x ，及)(x f 为奇函数．可知)1(1)1(1)11(kf k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+，从而)!1(11111111-==•=∏∏-=-=+n ka a a a n k n k k k n ．……………………10分 因此∑∑∑===--•=--=490501501101)!99(!1)!100()!1(1i i i i ii i i i a a !992221!991)(!991!991989949099999949099=⨯⨯=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．解：设抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ，点Q 的坐标为)0)(0,(>-a a ，并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O ．设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ，将其与C 的方程联立，消去x 可知0222=+-pa pmy y ．因为PQ 与C 相切于点P ，所以上述方程的判别式为024422=•-=∆pa m p ，解得p a m 2=．进而可知，点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =．于是 )2(2221|0|1||2a p a pa p a y m PQ P +=•+=-+=． 由｜PQ ｜=2可得4242=+pa a ①……………………5分注意到OP 与圆21,C C 相切于点P ，所以21O O OP ⊥．设圆21,C C 与x 轴分别相切于点M ，N ，则21,OO OO 分别是PON POM ∠∠,的平分线，故21OO O ∠=90°．从而由射影定理知pa a y x OP P O P O N O M O y y P P 22222212121+=+==•=•=结合①，就有2221342a pa a y y -=+= ②……………………10分 由21,,O P O 共线，可得 212121212122y y N O M O PO P O y y y y y pa pay P P ===--=--． 化简得 212122y y pa y y =+ ③……………………15分 令2221y y T +=，则圆21,C C 的面积之和为T π．根据题意，仅需考虑T 取到最小值的情况． 根据②、③可知，212221212212242)(y y y y pay y y y T -=-+= 22222221)2)(34()34(2)34(444a a a a a a ---=----=．作代换21a t -=，由于024442>=-=pa a t ，所以0>t ．于是 4324132413)1)(13(+=+•≥++=++=tt t t t t t T ． 上式等号成立当且仅当33=t ，此时3111-=-=t a ，因此结合①得， 331333311122-=-=-=-=t t a a p从而F 的坐标为)0,331()0,2(-=p ．………………………20分。