高三文科数学第三次月考试卷及答案
高三第三次月考数学试题(文科)
高三第三次月考数学试题（文科）总分150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集U=R ，{}2|0,|cos ,1x A x B y y x x A x -⎧⎫=<==∈⎨⎬+⎩⎭，则A B = A ．]1,2(cos B ．]1,2[cos C ．)2,1(- D ．]2cos ,1(- 2.sin 510︒的值为A ．12 B ．12- C ． D ． 3. 设a ，b ∈R 则“lg (a 2+1)<lg (b 2+1)”是a<b 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 函数213(10)xy x -=-<…的反函数是A ．1(1)3y x =<… B ．1(1)3y x =<…C ．1()3y x =… D ．1()3y x =…5. 过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-= B ．22(1)1x y +-= C ．22(1)4x y -+= D ．22(1)1x y -+= 6. 直线l 的方向向量为)2,1(-=m ，直线l 的倾角为α，则=α2tanA.34-B. 43-C. 34D. 437. 设O 是△ABC 内部一点，且2OA OC OB +=-，则△AOB 与△AOC 的面积之比为 A ．2 B ．12 C ．1 D ．258. 已知关于x 的方程：a x x =-+242log )3(log 在区间（3，4）内有解，则实数a 的取值范围是A ．),47[log 2+∞ B ．+∞,47(log 2） C ．)1,47(log 2 D ．),1(+∞ 9. 在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则11931a a -的值为 A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 10. 函数f(x)=(3sinx-4cosx)·|cosx|的最大值为 A.5 B.92 C.12 D.5211. m 、R n ∈，a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，b n a m c +=，则a 、b 、c的终点共线的充分必要条件是 A ．1-=+n mB ．0=+n mC ．1=-n mD ．1=+n m12. 已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列判断正确的是 A. 0,0,0a b c <<< B. 0,0,0a b c >>< C. 0,0,0a b c ><> D. 0,0,0a b c >>>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13． 圆2240x y x +-=在点(1P 处的切线方程为 14．把函数)32cos(π+=x y 的图象沿向量a 平移后得到函数32cos +=x y 的图象，则向量a 可以是__________。
四川省泸州市泸县部分高中2022-2023学年高三上学期12月第三次月考数学(文科)试题(解析版)
泸县2020级高三（上）第三次学月考试数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表． （ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好 不良好 合计 男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（ ）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >， 所以{|3A x x =<-或2}x >， 所以{|25}A B x x ⋂=<≤， 故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（ ） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-． 故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-， 当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-， 所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>， 故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增， 因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ． 【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+． 又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，， 解得π2πZ 6k k φ=+∈，． 由π||2φ<，得π6φ=， 所以()π2sin(26f x x =+）， 所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >， 即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈， 解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈， 此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈， 解得()πππZ 3k x k k <<+∈， 此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好 不良好 合计 男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-， 由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->， 所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证； （2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=， 所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立， 等价于1219x x -++≥， 令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩， 当1x ≥时，393x x ≥⇒≥， 当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去， 当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。
高三第三次月考(文科)数学试卷
高三第三次月考 数学（文科）试卷一．单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 2．212i1i +(-)＝( )． A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i2- 3．设a ∈R ，则“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an5、函数y ＝2－xln x的定义域为( )A ．(0，2]B ．(0，2)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，1)∪(1，2] 6.设向量a,b 满足*a b =( )．（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 57.设直线n m ,和平面βα、,下列四个命题中，正确的是（ ） A.若n m n m //,//,//则αα B.若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C.若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D.若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥8.设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若对任意n ∈N ＋，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列D ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N ＋，均有S n >0 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6B =，π4C =，则△ABC的面积为( )．A ．B ．1C ．2D10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8π 主视图B ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π俯视图11、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -= ()（A ） 34-（B ）54-（C ）47-（D ）14- 12．8．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为()．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学上学期第三次月考试题 文(含解析)新人教版
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2019学年第一学期高三第三次月考试卷数学(文科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A2. 若向量、满足，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知故选C3. 已知，幂函数在上单调递减，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】等价于，∵幂函数在上单调递减，且，解得，∴是的的必要不充分条件，故选B4. 已知等差数列的前项和为，若，则( )A. 6B. 11C. 33D. 48【答案】B【解析】由，得，即，故选B．5. 下列命题中正确的是( )A. 命题“，使”的否定为“，都有”B. 若命题为假命题，命题为真命题，则为假命题C. 命题“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”【答案】D【解析】选择A：命题“，使”的否定为“，都有”；...............6. 已知函数的图像与轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则下列叙述不正确．．．的是( )A. 的图像关于点对称B. 的图像关于直线对称C. 在上是增函数D. 是奇函数【答案】C【解析】由已知由题意可知，，则的图象关于点对称，故A正确；的图象关于直线对称，故B 正确；由得可知在上是减函数，故C错误；由，可得是奇函数，故D正确．故选C．7. 函数的大致图像是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，又函数有两个零点，排除选项A，又，可知函数由两个极值点，排除C，D；故选B．8. 在中，为边上一点，是的平分线，且，，则( )A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】如图所示，中，由平面向量的基本定理得，解得又是的平分线，故选C．9. 已知，角的对边分别为，，，，则的面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由，化简可得，得，即由正弦定理：可得的面积故选D．10. 在中，分别为角对边的长，若，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解:，11. 奇函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意，可构造函数其导数当时，有，其导数在上为增函数，又由为奇函数，即，则，即函数为偶函数，当时，，不等式又由函数为偶函数且在上激增，则解得此时的取值范围为；当时，，不等式同理解得此时的取值范围为；综合可得：不等式的解集为故选D．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数，并利用导数分析的单调性．12. 已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为( )A. 2017B. 2018C.D.【答案】A【解析】由则．则2017项数列的叠加和故选A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的定义域是__________.【答案】【解析】由知，，又因为，所以解得，函数的定义域为即答案为14. 已知奇函数对于任意实数满足条件，若，则__________.【答案】3【解析】根据题意，函数满足条件，则，即函数为周期为4的函数，又由函数为奇函数，则，则；故答案为3．【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据条件求出函数的周期．15. __________.【答案】【解析】故答案为16. 在中，，，与的交点为，过作动直线分别交线段、于两点，若，，()，则的最小值为__________.【答案】【解析】由三点共线可得存在实数，使得同理由三点共线可得存在实数，使得，解得，设，可得三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）首先当时，，然后当时，，在验证当代入仍然适合；（2），再由列相消法求得.试题解析：（1）当时，，当时，将代入上式验证显然然适合，（2）18. 已知向量，，记函数.(Ⅰ)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；(Ⅱ)求函数在区间上的单调递减区间.【答案】(Ⅰ)最大值为，取得最大值时的集合为.(Ⅱ)和.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得，即可求解函数的最值，及其相应的的值.(Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解在的单调递减区间．试题解析：(1)由，，当，即时，取得最大值.此时，最大值.且取得最大值时的集合为.(2)由题意: ，即，．于是，在的单调递减区间是和．19. 已知函数.(Ⅰ)若函数的图像在处的切线方程为，求的值；(Ⅱ)若函数在上是增函数，求实数的最小值.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1），，．根据函数f（x）的图象在处的切线方程为，可得，，.联立解．（2）由函数在上是增函数，可得在上恒成立，，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．试题解析：(Ⅰ) ∵，∴，当时，，，解得：(Ⅱ)由题意知恒成立，∴，设，，当，；当，∴，∴，所以的最小值是.20. 已知中，角所对的边分别为，.(Ⅰ)若，求角的大小；(Ⅱ)若为三个相邻的正偶数，且，求的面积.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出C的值．（2）利用正弦定理和余弦定理求出边长，进一步求出三角形的面积试题解析：(Ⅰ) ∵，∴由正弦定理有，又，即，于是，在中，，于是，.(Ⅱ) ∵，故，且为三个连续相邻的正偶数，故可设，其中为偶数，由，得，∴.由余弦定理得: ，代入可得：，解得：，∴故，故，故的面积为.21. 设正项数列的前项和为，且满足，，，各项均为正数的等比数列满足.(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)若，数列的前项和为.若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】试题分析：（1），可得时，，两式相减得，根据数列的各项均为正数，可得，根据，解得．利用等差数列的通项公式即可得出．进而利用等比数列的通项公式可得．（2）由（1）可知．利用错位相减法可得．可知若对任意均有恒成立，等价于恒成立，即恒成立，利用数列单调性即可得出．试题解析：(Ⅰ) ，，∴，∴且各项为正，∴又，所以，再由得，所以∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴∴.(Ⅱ)∴恒成立∴，即恒成立.设，当时，；时，∴，∴.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、等价转化方法、不等式的性质，对学生推理能力与计算能力有较高要求．22. 设函数.(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由定义域为，求得，分，两种情况讨论，即可得出函数的单调性；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知得到，则恒成立，转化为函数，得出，令令，利用导数得出的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)由定义域为，，当时，，在单调增．当时，，；在单调增，在单调减．综上所述:当时，在单调增；当时，在单调增，在单调减．(2)由(Ⅰ)可知，，则恒成立．令，显然，再令，，当，当．在单调减，单调增．，，∴，在单调增，，∴．。
2021年高三下学期第三次月考数学(文)试题 含答案
2021年高三下学期第三次月考数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1、设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N = （）A、 C、( 2,3] D、2、函数的定义域为R，且满足等于（）A．-9 B．9 C．-3 D．03、正项等比数列{a n}中，S2=7，S6=91，则S4为（）A．28 B．32 C．35 D．49 4、数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n－1，…的前n项和为（）A．2n－n－1 B．2n+1－n－2 C．2n D．2n+1－n5、当时，幂函数为减函数，则实数（）A．m=2 B．m=-1 C．m=2或m=-1 D．6、下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是 ( )A．y＝log 12x B．y＝2x－1 C．y＝x2－12D．y＝－x37、已知向量，，若，则（）A.1B.-3C.-1D.38、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )A．－45B．－35C.35D.459、设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|，则a与b夹角为（）A． B． C． D．10、已知，则下列选项中错误的是（）A．①是的图象B．②是的图象C．③是的图象 D．④是的图象二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、已知，(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则 .12、定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①是周期函数且T=2 ②的图像关于直线对称；③在上是增函数；④.其中正确的判断是 .13、数列{a n}的通项公式是a n =(n∈N*)，若前n项的和为10，则项数为 .14、如图，函数y=2sin(πx+φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）．设P 是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，则的夹角余弦值为 .15、设向量＝(sinx，cosx)，＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝·(＋)．则使不等式f(x)≥成立的x的取值集合为 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案11.12.13.14.15三．解答题（本大题共3小题，共25分）16、（8分）已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围17、（8分）已知△ABC的面积S满足, 且,与的夹角为.(I) 求的取值范围;(II)求函数的最小值.18、（9分）已知数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列前n项和的公式．高三第三次月考数学（文）答案一、ABABA, BDBCD 二、11. 3 12. 1，2，4 13.120. 14.15.三、16.解：，则,17、解:(1)由题意知,, ………………①,…………②………(2分)由②÷①, 得, 即由得, 即.……………(4分)又为与的夹角, ∴, ∴…(6分)(2)θθθθθθθ222cos22sin1cos3cossin2sin)(f++=+⋅+=……………(9分)∵, ∴.……………(10分)∴, 即时, 的最小值为3. (12)18、解析：设数列公差为，则又所以(Ⅱ)解：令则由得① ②当时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n n n nx xx x nx x x x S x 所以当时， ，综上可得当时， 当时，g`25785 64B9 撹 829804 746C 瑬37225 9169 酩<29188 7204 爄34631 8747 蝇K27402 6B0A 權39458 9A22 騢33653 8375 荵。
高三第三次月考数学试卷(文科)答案
银川一中高三第三次月考数学（文科）参考答案一．DBBAA ， DACBB ，CA二．13．π， 14。
9，15。
（1）（4）， 16。
（-∞，1） 17．解：（1）4πθ=（2）|)4sin(223)cos 1()1(sin |22πθθθ++=+++=+|当4πθ=时，|||b +max =12+18.解：（1）设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则依题意有q>0,⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1341212124q d q d解得d=2,q=2. 所以a n =2n-1, b n =2n-1((2)1212--=n n n n b a , S n =1+12212122322523---+-+++n n n n 2S n =2+3+2523212232---+-++n n n n两式相减得：S n =2+2(122212)2121211----++++n n n =2+11123262122112112---+-=----⨯n n n n n19解：（I ）由余弦定理及已知条件ab b a -+224 ,3sin 21,4===ab C ab 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a解得.2,2==b a （II ）由题意;332,334,6,2,0cos ,cos sin 2cos sin ,cos sin 4)sin()sin(=======-++b a B A A A A A B A A A B A B ππ时当即当,sin 2sin 0cos A B A =≠时，得 由正弦定理得,2a b =联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a解得.334,332==b a 所以.332sin 21==∆C ab S ABC 的面积 20．解：（1）设隔热层厚度为()x cm ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+． 再由(0)8C =，得40k =， 因此40()35C x x =+，而建造费用为1()6C x x = 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++ （2）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+．解得5x =，253x =-（舍去）． 当 05x <<时，'()0f x <， 当510x <<时， '()0f x >， 故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+。
高三(上)第三次月考数学试卷(文科)
高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={1, 2, 3, 4}，B={y|y=3x−2, x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1, 3}D.{1, 4}2.设复数z=−1−i（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则|z⋅z|=()A.1B.2C.2D.103.下面命题中假命题是（）A.∀x∈R，3x>0B.∃α，β∈R，使sin(α+β)=sinα+sinβC.命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”D.∃m∈R，使f(x)=mx m2+2m是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增4.已知|a→|=2，|b→|=3，|a→+b→|=19，则|a→−b→|等于（）A.13B.15C.17D.75.若等差数列{a n}的前7项和S7=21，且a2=−1，则a6=()A.5B.6C.7D.86.如图，已知AP→=43AB→,用OA→,OB→表示OP→,则OP→等于（）A.1 3OA→−43OB→B.13OA→+43OB→C.−13OA→+43OB→D.−13OA→−43OB→7.把函数y=sin(5x−π2)的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为（）A.y=sin(10x−3π4)B.y=sin(10x−7π2)C.y=sin(10x−3π2)D.y=sin(10x−7π4)8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》222布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A.12 B.815C.1631D.16299.函数y =xa x |x |(0<a <1)的图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.10.已知非零向量AB →，AC →满足(AB→|AB |+AC→|AC |)⋅BC →=0，且AB→|AB |⋅AC→|AC |=12，则△ABC 的形状是（ ） A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形11.已知函数f (x )= (3−a )x −3,x ≤7a x−6,x >7，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N )，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A.[94, 3) B.(94, 3)C.(2, 3)D.(1, 3)12.已知函f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )−2x ]=3，若则f (3)的值是（ ） A.3 B.7 C.9 D.12 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a →=(1, 2)，b →=(0, 1)，c →=(k , −2)，若(a →+2b →)⊥c →，则k =________．14.已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则数列{a n }的通项公式为________．15.[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+...+[lg100]=________．16.若函数f (x )定义域为R ，且图象关于原点对称．当x >0时，f (x )=x 3−2．则函数f (x +2)的所有零点之和为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35, 45)，记∠COA=α．(1)求1+sin2α1+cos2α的值；(2)求cos∠COB的值．18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=24，S11=0(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)设b n=S nn，求数列{b n}前n项和T n的最大值．19.“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关．”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响，从而不顾及交通安全．某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：”的人中抽取45 人，求n的值；( II)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1，2，…，200；将女生的300人编号为201，202，…，500，用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为100，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选取2人，求这两人均是女生的概率．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→．(1)求角B的大小；(2)若a+c=8，求AC边上中线长的最小值．21.已知函数f(x)=x2−2x+a ln x(a∈R)．(1)当a=2时，求函数f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；(2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．[选修：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10．曲线 c 1: x =3cos αy =2sin α（α为参数）．(1)求曲线c 1的普通方程；(2)若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值． 答案1. 【答案】D【解析】把A 中元素代入y =3x −2中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 【解答】解：把x =1，2，3，4分别代入y =3x −2得：y =1，4，7，10，即B ={1, 4, 7, 10}， ∵A ={1, 2, 3, 4}， ∴A ∩B ={1, 4}， 故选：D ． 2. 【答案】C【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：∵z =−1−i （i 为虚数单位），∴z =−1+i ， 则|z ⋅z |=|(−1)2+12|=2．故选：C ． 3. 【答案】C【解析】A ，根据指数函数y =3x 在R 上值域 判定； B ，取α=0，β=π2，sin(α+β)=sin α+sin β成立；C ，“>”的否定是”≤“；D ，f (x )=mx m 2+2m =x 3是幂函数，m =1．【解答】解：对于A ，指数函数y =3x 在R 上值域为(0, +∞)，故正确； 对于B ，例如α=0，β=π2，sin(α+β)=sin α+sin β成立，故正确；对于C ，命题“∃x ∈R ，x 2+1>3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ，故错；对于D ，m =1时，f (x )=mx m 2+2m =x 3是幂函数，且在(0, +∞)上单调递增，故正确． 故选：C 4. 【答案】D【解析】|a →+b →|2=a →2+b →2+2a →⋅b →，整体求解2⋅a →⋅b →=6，运用|a →−b →|2=a →2+b →2−2a →⋅b →，得出|a →−b →|【解答】解：∵a →|=2，|b →|=3，|a →+b →|= 19，∴2⋅a →⋅b →=6，∵|a →−b →|2=a →2+b →2−2a →⋅b →=4+9−6=7，∴|a →−b →|= 7，故选：D ． 5. 【答案】C【解析】由S 7=21求得a 4=3，结合a 2=−1求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，由S 7=7a 4=21，得a 4=3， 又a 2=−1， ∴d =a 4−a 24−2=3−(−1)2=2，∴a 6=a 4+2d =3+2×2=7． 故选：C ． 6. 【答案】C【解析】将向量AP →转化成OP →−OA →，向量AB →转化成OB →−OA →，然后化简整理即可求出所求． 【解答】解：∵AP →=43AB →∴OP →−OA →=43(OB →−OA →)化简整理得OP →=−13OA →+43OB →故选C ． 7. 【答案】D【解析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin(10x −7π4)的图象．【解答】解：将函数y =sin(5x −π2)的图象向右平移π4个单位，得到函数为y =sin[5(x −π4)−π2]=sin(5x −7π4)，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，可得到函数y =sin(10x −7π4)的图象，故选D ． 8. 【答案】D【解析】利用等差数列的前n 项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m 则由题意知30×5+30×29d =390，解得d =1629．故选：D ． 9. 【答案】D【解析】分x >0与x <0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x >0时，|x |=x ，此时y =a x (0<a <1)； 当x <0时，|x |=−x ，此时y =−a x (0<a <1)， 则函数y =xa x |x |(0<a <1)的图象的大致形状是：，故选：D ． 10. 【答案】D【解析】先根据(AB→|AB |+AC→|AC |)⋅BC →=0判断出∠A 的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【解答】解：∵(AB →|AB |+AC →|AC |)⋅BC →=0，∴∠A 的角平分线与BC 垂直， ∴AB =AC ，∵cos A =AB→|AB |⋅AC→|AC |=12， ∴∠A =π3，∴∠B =∠C =∠A =π3，∴三角形为等边三角形． 故选：D ． 11. 【答案】C【解析】根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得 3−a >0a >1(3−a )×7−3<a 8−6；解可得答案． 【解答】解：根据题意，a n =f (n )= (3−a )n −3,n ≤7a n−6,n >7；要使{a n }是递增数列，必有 3−a >0a >1(3−a )×7−3<a 8−6；解可得，2<a<3；故选：C．12. 【答案】C【解析】由已知函数的关系式可先求出f(1)，然后结合函数的单调性可求f(x)，进而可求【解答】解：令f(x)−2x=t可得f(x)=t+2x∴f(t)=t+2t由函数的性质可知，函数f(t)在R上单调递增∵f(1)=1+2=3∵f[f(x)−2x]=3=f(1)∴f(x)=1+2x∴f(3)=9故选C13. 【答案】8【解析】由题意可得(a→+2b→)⋅c→=0．求得(a→+2b→)=(1, 4)，可得(1, 4)⋅(k, −2)=0，即k−8=0，由此求得k的值．【解答】解：∵已知a→=(1, 2)，b→=(0, 1)，c→=(k, −2)，且(a→+2b→)⊥c→，则(a→+2b→)⋅c→=0．再由(a→+2b→)=(1, 4)可得(1, 4)⋅(k, −2)=0，即k−8=0，k=8，故答案为8．14. 【答案】a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)【解析】当n=1时，直接由前n项和求首项，当n大于等于2时，由a n=S n−S n−1求解．【解答】解：由S n=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，a n=S n−S n−1=3+2n−3−2n−1=2n−1．所以a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)．故答案为a n=5,(n=1)2n−1,(n≥2)．15. 【答案】92【解析】由于[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=...+[lg99]=1，[lg100]=2．即可得出．【解答】解：∵[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=...+[lg99]=1，[lg100]=2．∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+...+[lg100]=90×1+2=92．故答案为：92．16. 【答案】−6【解析】由奇函数的定义可求x<0是的函数解析式，进而可求函数f(x+2)的零点【解答】解：由题意可得函数为奇函数即f(−x)=−f(x)∵x>0，f(x)=x3−2设x<0则−x>0则f(−x(x)=−x3−2∴f(x)=x3+2由奇函数的性质可得，f(0)=0而f(x)=0的零点之和为0，且把f(x)的图象向左平移2个单位可得函数f(x+2)的图象∴函数f(x+2)的所有零点之和为−6故答案为：−617. 【答案】解：(1)∵A的坐标为(35, 45 )，∴根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cos2α=4918；; (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60∘，∵∠COA=α，∴cos∠COB=cos(α+60∘)=cosαcos60∘−sinαsin60∘=35×12−45×32=3−4310．【解析】(1)由A的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；; (2)由三角形AOB为等边三角形，得到∠AOB=60∘，表示出∠COB，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：(1)∵A的坐标为(35, 45 )，∴根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cosα=4918；; (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60∘，∵∠COA=α，∴cos∠COB=cos(α+60∘)=cosαcos60∘−sinαsin60∘=35×12−45×32=3−4310．18. 【答案】解：(1)依题意有a1+2d=2411a1+11×102d=0，解之得a1=40d=−8，∴S n=(40+48−8n)n2=−4n2+44n．; (2)∵S n=−4n2+44n∴b n=S nn=44−4n，∴b n+1−b n=−4∴{b n}为等差数列，∴T n=12(40+44−4n)n=(42−2n)n=−2n2+42n=−2(n−212)2+4412故当n=10或n=11时，T n最大，且T n的最大值为220．【解析】(1)分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a3=24，S11=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出S n；; (2)求出数列{b n}前n项和公式得到T n是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出T n的最大值即可．【解答】解：(1)依题意有a1+2d=2411a1+11×102d=0，解之得a1=40d=−8，∴S n=(40+48−8n)n2=−4n2+44n．; (2)∵S n=−4n2+44n∴b n=S nn=44−4n，∴b n+1−b n=−4∴{b n}为等差数列，∴T n=12(40+44−4n)n=(42−2n)n=−2n2+42n=−2(n−212)2+4412故当n=10或n=11时，T n最大，且T n的最大值为220．19. 【答案】解：(I)由题意得，45800+100=n800+450+200+100+150+300，解得n=100．…(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475．…其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，从这4人中任选取2人所有的基本事件为：(AB1)，(AB2)，(AB3)，(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有6个．…这两人均是女生的基本事件为(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有3个．…故从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率为P=36=12．…【解析】(I)由题意利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出n的值．(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475，其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率．【解答】解：(I)由题意得，45800+100=n800+450+200+100+150+300，解得n=100．…(II)由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475．…其中100号为男生，设为A，而225，350，475都为女生，分别设为B1，B2，B3，从这4人中任选取2人所有的基本事件为：(AB1)，(AB2)，(AB3)，(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有6个．…这两人均是女生的基本事件为(B1B2)，(B1B3)，(B2B3)，共有3个．…故从这4人中任选取2人，这两人均是女生的概率为P=36=12．…20. 【答案】解：(I)∵向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→，∴c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，由正弦定理可得：c(a−c)−(a+b)(a−b)=0，化为a2+c2−b2=ac，∴cos B=a2+c2−b2ac =12，∵B∈(0, π)，∴B=π．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac≥64−(a+c2)2=48，当a=c时取到”=”．∴BE≥23．∴AC边上中线长的最小值为23．【解析】(I)由m→ // n→，可得c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，再利用正弦定理余弦定理即可得出．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：(I)∵向量m→=(a+b, sin A−sin C)，且n→=(c, sin A−sin B)，且m→ // n→，∴c(sin A−sin C)−(a+b)(sin A−sin B)=0，由正弦定理可得：c(a−c)−(a+b)(a−b)=0，化为a2+c2−b2=ac，∴cos B=a2+c2−b2ac =12，∵B∈(0, π)，∴B=π3．(2)设AC边上的中点为E，由余弦定理得：(2BE)2=c2+a2−2ca cos120∘=(a+c)2−ac=64−ac≥64−(a+c2)2=48，当a=c时取到”=”．∴BE≥23．∴AC边上中线长的最小值为23．21. 【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x+2ln x，f′(x)=2x−2+2x，则f(1)=−1，f′(1)=2，所以切线方程为y+1=2(x−1)，即为y=2x−3．; (2)f′(x)=2x−2+ax =2x2−2x+ax(x>0)，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，①当△=4−8a≤0，即a≥12时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当△=4−8a>0且a>0，即0<a≤12时，由2x2−2x+a=0，得x1,2=1±1−2a2，由f′(x)>0，得0<x<1−1−2a2或x>1+1−2a2；由f′(x)<0，得1−1−2a2<x<1+1−2a2．综上，当a≥12时，f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当0<a<12时，f(x)的单调递增区间是(0,1−1−2a2)，(1+1−2a2,+∞)；单调递减区间是(1−1−2a2,1+1−2a2)．; (3)函数f(x)在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a<1，由f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，则x1+x2=1，x1=1−1−2a2，x2=1+1−2a2，由0<a<12，可得0<x1<12，12<x2<1，f(x1)x2=x12−2x1+a ln x1x2=x12−2x1+(2x1−2x12)ln x1x2=x12−2x1+(2x1−2x12)ln x11−x1=1−x1+1x1−1+2x1ln x1，令ℎ(x)=1−x+1x−1+2x ln x(0<x<12)，ℎ′(x)=−1−1(x−1)2+2ln x，由0<x<12，则−1<x−1<−12，14<(x−1)2<1，−4<−1(x−1)<−1，又2ln x<0，则ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(0, 12)递减，即有ℎ(x)>ℎ(12)=−32−ln2，即f(x)x>−32−ln2，即有实数m的取值范围为(−∞, −32−ln2]．【解析】(1)求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；; (2)求出f(x)的导数，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，对判别式讨论，即当a≥12时，当0<a≤12时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；; (3)函数f(x)在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a<12，不等式f(x1)≥mx2恒成立即为f(x1) x2≥m，求得f(x1)x2=1−x1+1x1−1+2x1ln x1，令ℎ(x)=1−x+1x−1+2x ln x(0<x<12)，求出导数，判断单调性，即可得到ℎ(x)的范围，即可求得m的范围．【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x+2ln x，f′(x)=2x−2+2x，则f(1)=−1，f′(1)=2，所以切线方程为y+1=2(x−1)，即为y=2x−3．; (2)f′(x)=2x−2+ax =2x2−2x+ax(x>0)，令f′(x)=0，得2x2−2x+a=0，①当△=4−8a≤0，即a≥12时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当△=4−8a>0且a>0，即0<a≤12时，由2x2−2x+a=0，得x1,2=1±1−2a2，由f′(x)>0，得0<x<1−1−2a2或x>1+1−2a2；由f′(x)<0，得1−1−2a2<x<1+1−2a2．综上，当a≥12时，f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当0<a<12时，f(x)的单调递增区间是(0,1−1−2a2)，(1+1−2a2,+∞)；单调递减区间是(1− 1−2a 2,1+ 1−2a2)．; (3)函数f (x )在(0, +∞)上有两个极值点，由(2)可得0<a <12，由f ′(x )=0，得2x 2−2x +a =0，则x 1+x 2=1，x 1=1− 1−2a2，x 2=1+ 1−2a2， 由0<a <12，可得0<x 1<12，12<x 2<1，f (x 1)x 2=x 12−2x 1+a ln x 1x 2=x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 1x 2=x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 11−x 1=1−x 1+1x 1−1+2x 1ln x 1，令ℎ(x )=1−x +1x−1+2x ln x (0<x <12)，ℎ′(x )=−1−1(x−1)+2ln x ， 由0<x <12，则−1<x −1<−12，14<(x −1)2<1，−4<−1(x−1)2<−1， 又2ln x <0，则ℎ′(x )<0，即ℎ(x )在(0, 12)递减， 即有ℎ(x )>ℎ(12)=−32−ln2，即f (x )x >−32−ln2，即有实数m 的取值范围为(−∞, −32−ln2]．22. 【答案】解：(1)∵ x =3cos αy =2sin α，∴cos α=x 3，sin α=y 2，∴曲线C 1的普通方程是：x 29+y 24=1．; (2)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0．点M 到曲线C 的距离为d = 5=5α−φ)−10|，(cos φ=35,sin φ=45)．∴α−φ=0时，d min = 5，此时M (95,85)．【解析】(1)用x ，y 表示出cos α，sin α利用cos 2α+sin 2α=1消参数得到曲线C 1的普通方程； (2)先求出曲线C 的普通方程，使用参数坐标求出点M 到曲线C 的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．;【解答】解：(1)∵ x =3cos αy =2sin α，∴cos α=x 3，sin α=y 2，∴曲线C 1的普通方程是：x 29+y 24=1．; (2)曲线C 的普通方程是：x +2y −10=0． 点M 到曲线C 的距离为d =5=5α−φ)−10|，(cos φ=35,sin φ=45)．∴α−φ=0时，d min = 5，此时M (95,85)．。
高三第三次月考文科数学答案
高三第三次月考数学试题答案（文科）1.解析：P ＝{－1,0,1}，∴∁U P ＝{2}．故选A.答案：A2.D3.解析：对于A ，“p 真q 假”时，p ∨q 为真命题，但p ∧q 为假命题，即A 错；对于B ，x ＝5时x 2－4x －5＝0，当x 2－4x －5＝0时x ＝－1或5，即B 正确；对于C ，否命题应为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”，即C 错；对于D ，綈p 应为“∀x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0”，即D 错．故选B.答案：B 4.解析：∵x ＞1，∴c ＝log x (x 2＋0.3)＞log x x 2＝2，又∵1＜a ＜2,0＜b ＜1，∴b ＜a ＜c .故选B.答案：B 5.答案：A6.解析：如图所示，AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB→)＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选A.答案：A 7.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac ·sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋ 3.故选A.答案：A8.解析：f ′(x )＝1－e x ，令f ′(x )＞0得x ＜0，令f ′(x )＜0得x ＞0，即f (x )在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，f (x )max ＝f (0)＝－1＜0，因此f (x )不存在零点．故选A.答案：A9.解析：∵a 13＝0，∴n ＝12或13，S n 最大．答案：C10.解析：设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 3＋a 11＝6，可得3a 1＋12d ＝6，∴a 1＋4d ＝2＝a 5.∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝9×2＝18.故选C.答案：C11．D12.解析：g (x )＝x 2－x ＋1x ＝x ＋1x －1≥2－1＝1，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴f (x )在x ＝1处有最小值1，即p ＝－2，12－2×1＋q ＝1，q ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∴f (x )max ＝f (2)＝(2－1)2＋1＝2.故选B.13.解析：∵a ∥b ，∴－1×2＋x 2＝0，∴x ＝±2，∵a 与b 同向，∴a ·b ＞0，即－1×(－x )＋2x ＞0，∴x ＞0，因此x ＝ 2.答案： 214.解析：点m 在切线上∴f (1)＝12×1＋2＝52.又f ′(1)＝k ＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：315.解析：由题意知A ＝45°，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝10sin 60°sin 45°＝5 6.答案：5616.解析：∵f ′(x )＝x 2－2kx ＋2k －1，依题意有f ′(x )＝x 2－2kx ＋2k －1≤0在(2,3)上恒成立，即2k (x －1)≥(x －1)(x ＋1)在(2,3)恒成立，即2k ≥x ＋1在(2,3)上恒成立， ∴2k ≥4，∴k ≥2.故k 的取值范围是[2，＋∞)．17. 解析 ：解：(Ⅰ）(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=即sin (2cos 1)0C B -=1sin 0cos 2C B ≠∴=,3B π∴=(Ⅱ)由(Ⅰ)知3B π=,sin()cos 6A C A A π+-=+2sin()6A π=+25(0,)(,)3666A A ππππ∈∴+∈,2sin()(1,2]6A π+∈sin()6A C π+-的取值范围(1,2]18.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝60，a 1a 1＋20d ＝a 1＋5d2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝5.∴a n ＝2n ＋3.19.解：(1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0，∴－cos C 2＋sin(A ＋B )＝0，∴－cos C2＋sin C ＝0，∴－cos C 2＋2sin C 2cos C 2＝0，且0＜C ＜π，∴0＜C 2＜π2，∴cos C 2≠0，∴sin C 2＝12，∴C 2＝π6，∴C ＝π3.(2)∵CA →·CB→＝ab cos C ＝12ab ＝32，∴ab ＝3.又∵a ＋b ＝4， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －ab ＝16－9＝7，∴c ＝7. 20.解：(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2 x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.因为ω＝2，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)．故所求单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π6<2A －π6<5π6.∴当2A －π6＝π2，即A ＝π3时，f (x )取得最大值3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA .可得12＝b 2＋16－2×4b ×12，∴b ＝2. 从而S ＝12bc sin A ＝12×2×4×sin π3＝2 3.21.解：（Ⅰ）由于y=m 与y=f（x ）的图象相切，则；因为切点的横坐标依次成公差为等差数列，所以∴2a=4 故a=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）得．，故 ∴，，∴．；22.(1)解：f ′(x )＝1＋2ax ＋bx .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0. 所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x ＞0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。
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高三第三次月考数学试卷（文科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 已知函数)(2R x y x∈=的值域为集合M ，函数)(2R x x y ∈=的值域为集合N ，则A.}4,2{=N M IB. }16,4{=N M IC.N M =D.N M ⊂ 2. 已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，则实数a 的取值是 A ．－1或2 B ．0或1C ．－1D ．23. 函数x y 22sin =在区间]4,0[π上是A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数4. 以)6,5(和)4,3(-为直径端点的圆的方程是 A ．072422=+-++y x y x B ．064822=-+++y x y x C ．052422=-+-+y x y xD ．092822=---+y x y x5. 不等式22(1)(45)0x x x ---<的解集为 Ａ．{|15}x x -<< Ｂ．{|151}x x x -<<≠且 Ｃ．{|51}x x x ><-或 Ｄ．{|51}x x -<< 6. 已知向量)0(≠=m CB m AB ，则A 分的定分比的值为： A ．11-m B ．m -11 C ．1-m m D ．mm-1 7.过原点且与圆0222=-+x y x 截得的弦长为3的一条直线的方程是A ．x y =B ．x y 3=C ．x y -=D ．x y 33-= 8.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地 区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为 A ． 0.5小时B ． 1小时C ． 1.5小时D ． 2小时9. 若2,2,22,x y x y x y ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≥⎩则的取值范围是高三第三次月考数学（文）试卷第1页（共3页）A ．[2，6]B ．[2，5]C ．[3，6]D ．[3，5]10. 由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低31，现在价格8100元的计算机15年后的价格为A ．300元B ．900元C ．2400元D ．3600元11. 若R b a ∈,，则下列不等式：①a a 232>+；②)1(222-+≥+b a b a ；③322355b a b a b a +>+； ④21≥+aa 中一定成立的是 A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④12. 已知)(x f 是定义在[]4,0上的函数,)(x f 的图象如图所示,那么不等式0lg )(>x x f 的解集为 A.)3,2()1,0(Y B.)4,2()2,0(Y C.)4,2()1,0(Y D.)4,2(二、填空题:本大题共4小题,每小题4分，共16分.把答案填在答卷纸中相应题号的横线上.13. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 14. 函数)(x f 满足()()nf nx f x =⎡⎤⎣⎦写出一个满足上述条件的函数____________. 15.已知直线032:1=+-y x l ，2l 过点)1,1(，并且它们的方向向量21,a a 满足021=⋅a a ，那么2l 的方程是 .16.若函数],[,3)2(2b a x x a x y ∈+++=的图象关于1=x 对称，则b =______________. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数.求ωϕ和的值. 18.（本小题满分12分）已知等差数列前三项为a a 3,4,，前n 项的和为n S ，2550=k S ． （1）求a 及k 的值；高三第三次月考数学（文）试卷第2页（共3页）（2）求nS S S 11121+++Λ.19．（本小题满分12分）已知点)1,2(--A 和)3,2(B ，圆C ：222m y x =+，当圆C 与线．段．AB 没有公共点时，求m 的取值范围. 20. （本小题满分12分）已知：a ρ 、b ρ、c ρ是同一平面内的三个向量，其中a ρ=（1，2）（1）若|c ρ|52=，且c ρ//a ρ，求c ρ的坐标；（2）若|b ρ且b a ρρ2+与a b -r r 垂直，求a ρ与b ρ的夹角θ的余弦值. 21. （本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？22.（本小题满分14分）设二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，若4321x x x x <<<且3241x x x x +=+.（1）试证c x ax x x f x f x f +⋅-+=+4141412)()()(； （2）试比较41x x ⋅与32x x ⋅之间的大小关系；（3）试比较)()(41x f x f +与)()(32x f x f +之间的大小关系.高三第三次月考数学（文）试卷第3页（共3页）第三次月考数学（文科）参考答案2003．12 一、选择题（每小题5分，共60分）13．π 14．)1,0()(≠>=a a a x f x且 或1)(=x f 15．032=-+y x 16．6 三、解答题（共74分）17．解：由)(x f 是偶函数，得),()(x f x f =-即)sin()sin(ϕωϕω+=+-x x ，……1分 所以x x ωϕωϕsin cos sin cos =-，对任意x 都成立，且0>ω，……2分所以得0cos =ϕ.依题设πϕ≤≤0，所以解得2πϕ=.……4分由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ， 取0=x ，得)43(43cos )243sin()43(πωππωππf f -==+=,……6分 .,2,1,0),12(32,,243,0,043cos Λ=+=∴∈+=>=∴k k Z k k ωππωπωωπ得又8分;]2,0[)232sin()(,32,0上是减函数在时当ππω+===x x f k ……9分;]2,0[)22sin()(,2,1上是减函数在时当ππω+===x x f k ……10分;]2,0[)2sin()(,310,2上不是单调函数在时当ππωω+=≥≥x x f k ……11分 .232,==ωω或综合得所以……12分18．（1）解：由题意得，2=a ，故n a n 2=……2分，所以)1(+=n n S n ，……4分，因此502550)1(=⇒=+=k k k S k ……6分 （2）解：由（1）得，111)1(11+-=+=n n n n S n ……8分，钱高第三次月考参考答案（文）第1页(共3页)所以)111()3121()211(11121+-++-+-=+++n n S S S n ΛΛ……10分， 1111+=+-=n nn .……12分. 19．解：由题意得线段．．AB 所在的直线方程为：01=+-y x 且0≠m ……2分， 圆C 与线段．．AB 没有公共点等价于： ①圆C 与线段．．AB 相离，此时有：222221||<<-⇒<m m 且0≠m ；……6分， ②线段．．AB 在圆C 内，此时有：131332222>⇒=+>m m 或13-<m ；……10分 综上，),13()22,0()0,22()13,(+∞---∞∈Y Y Y m 时圆C 与线段．．AB 没有公共点。
高三第三次月考数学(文科)试卷答案
银川一中2020届高三年级第三次月考（文科）参考答案一、选择题：二、填空题：13. 2x-y-2=0 14. 7 15. 4(1)21(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩ 16. 4三、简答题：17、解： (1)证明 连接OE ，如图所示． ∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A.∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ， ∴P A ∥面BDE ............................................6分 (2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC . 又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE ......................12分18.试题解析：（1）411=+n n a a ,∴数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列，∴*)()41(N n a n n ∈=. 因为2log 341-=n n a b ，所以232)41(log 341-=-=n b n n .（2）由（1）知，23,)41(-==n b a n n n , 所以,)41()23(n n n c +-=所以,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S +-+(+-+++++++=-])41()41)41()41(41[)]23()53(741[132n n n n +(++++++-+-++++=-n n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+=.19．()()()2222211,sin sin ,sin 1sin,0,,2362,366521,652cos6133AD BDABD BD B BAD BD B BAD BAD BAD AD ADB ABD ADC ACD AD CD AD CD CD CD CD ππππππππ∆==∠⨯∠==<∠<∴∠=∴∠=--=∴∆∠=∆=+-⎛=+-⨯ ⎝⎭+证明:在中由正弦定理是等腰三角形由知,AB=BD=1,在中,AC 3100,5(1.311sin 1322ABC CD CD S AB BC B λ∆-==-∴∴=⨯⨯=⨯⨯=解得舍去), CD=2 BC=BD+CD=3, =20.解析：（Ⅰ）因为1AA ABC ⊥平面，所以⊥1CC 平面ABC .而⊂1CC 平面11B BCC ,所以平面⊥ABC 平面11B BCC . ………2分因为线段BC 的中点为D ，且.ABC AD BC ∆⊥是等腰三角形，所以 而BC C CBB ABC ABC AD =⋂⊂11,平面平面平面,11AD CBB C ⊥所以平面. 111C E CBB C ⊂又因为面，1.AD CE ⊥所以（Ⅱ）1AA ABC ⊥平面，1AA AC ⊥则.90BAC ∠=，即AC AB ⊥.又AB AC A ⋂=，所以11AC ABB A ⊥平面，故1111AC ABB A ⊥平面，所以11A EC ∆是直角三角形.在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，直线1AC C E 、所成角的余弦为12， 则在11EC A Rt ∆中，111cos 2AC E ∠=，112AC AC ==，所以1A E =………7分 在E B A Rt 11∆中，112A B =，所以1B E =.因为1AA =E 是线段1BB 的靠近点B 的三等分点.因为,324222221313111111=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-CA S V E B A E B A C 所以11B A DE V -=11D A B E V -=1112C A B E V -.322=21.（1）由题意，函数()()211ln 1(0)22f x x x m x m x =+-+++>， 则()11f x x m x'=+--， 因为2x =是函数()f x 的极值点，所以()122102f m +'=--=，故32m =，即()152f x x x =+-'，令()215252022x x f x x x x -+'=+-=>，解得102x <<或2x >.令()225202x x f x x'-+=<，解得122x <<,所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）由()11f x x m x'=+--， 当1m ≤时，()0f x '>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又()10f =，所以()211ln 1022x x m x m +-+++>恒成立； 当1m >时，易知()11f x x m x'=+--在()1,+∞上单调递增，故存在()01,x ∈+∞，使得()00f x '=，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又()10f =，则()00f x <，这与()0f x >恒成立矛盾. 综上，1m ≤.22.(1)曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= ，极坐标方程为2cos ρθ= ------4分(2)设11(,)P ρθ，则有2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,3πρθ== --6分设22(,)Q ρθ，则有2sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得223,3πρθ==--8分所以2PQ = . --10分23.解：（1）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．……………………………………………4分 所以，不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．……………………………5分 （2）f (ab )＞|a |f ( ba )，即|ab －1|＞|a －b |． …………………………………………6分∵因为|a |＜1，|b |＜1，∴|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以，|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．…………………………………10分。
2021-2022年高三第三次月考数学(文)试题 含答案
2021年高三第三次月考数学（文）试题 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0} 2.已知命题命题则下列命题中为真命题的是( )3.已知那么( )4. 是（ ）A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数5.对于函数若则( )6.函数7．为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位8.已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为( )A ．B ． C. D.9．若，对任意实数t 都有，则实数m 的值等于 （ ）A ．—1B ．±5C ．—5或—1D ．5或110.设函数，若实数满足，则( )二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (x ，4)是角θ终边上一点，且cos θ＝－255，则x ＝________.12如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．13. 若0≤sin α≤22，则α的取值范围是14已知函数，x∈[0, ]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积.15求函数的值域 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）（1）已知，且，求的值；（2）已知为第二象限角，且，求的值.17（本小题满分12分）已知集合（1）能否相等？若能，求出实数的值，若不能，试说明理由？（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（本小题满分12分）在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.（1）求角A的大小；（2）若△的面积，，求的值.19.（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求的值；（2）设三内角所对边分别为且，求在上的值域．文科数学答案CBADD ABDCA11.－8 12 10 6 13. ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )， 14. 15设点P （sin x ,cosx ），Q (－2,0)，则可看成单位圆上的动点P 与点Q 连线的斜率，如答图： 设直线是方程为y =k (x +2)，即kx －y +2k =0，则圆心（0，0）到它的距离,解得或，所以，即,故，.或者: k 值亦可由3331||||tan tan 1121===∠-=∠Q P O P QO P QO P 求得；或将式子变为，利用辅助角公式求解（过程略）.16. （1）（2）17解（1）当时当时显然故时，（2）当时， 则解得当时，则综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或18解：（1）由，得,即，解得 或（舍去）.因为，所以.（2）由得. 又，知.由余弦定理得故. 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.19．解：（1）由，得．∴． ∴，即， ∴．………………5分（2）由即得则即，…………………………………8分又＝………………………………………10分由，则，故，即值域是………12分20．解：（1）当时，，，曲线在点处的切线方程.（2）对任意的，使成立，只需对任意的，.①当时，在上是增函数，只需而， 满足题意；②当时，，在上是增函数，只需 而， 满足题意；③当时，，在上是减函数，上是增函数，只需即可，而， 不满足题意；综上，．21.（1）由题设得，，则,所以 ……………………2分所以对于任意实数恒成立.故 ……………………4分（2）由x a x x x a x x f x g ln 2ln )1(2)()(2++=+++=，求导数得……………………5分在上恒单调，只需或在上恒成立，即或恒成立，所以或在上恒成立……………………7分 记，可知：，或 ……………………9分 (3) 令),0(2,121ln 2)(21ln 22'2>-=+-=-=x xx y x x x f x y ……10分 令02ln 22,0',20,0'>=∴><<<>有极大值时，得得y x x y x y ………………………………………12分有两个零点时，有一个零点时，无零点，时，)(2ln )(2ln )(2ln x h k x h k x h k <=>∴ …..14分。
高三文科数学第三次月考试题及答案
命题人：邱焱明 审题人：徐仁明一、选择题（共有10个小题，每小题5分，共50分） 1、设i 为虚数单位，则=+++++10321i i i i （ ）A ．iB ． i -C ．i 2D ．i 2-2、若集合P ={|0}y y ≥，P Q Q =，则集合Q 不可能．．．是（ ） C.{||lg |,y y x x =＞}0 3D.{|,0}y y x x -=≠3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．23πB ．2πC ．83πD ．3π4、命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是A ． “若x y <，则22x y <”B ．“若x y >，则22x y >”C ．“若x ≤y ，则22x y ≤”D ．“若x y ≥，则22x y ≥”5、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．26、若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1)7、若把函数sin y x x =-的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π68、若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．若α∥β，l α⊂，n β⊂ ，则l ∥nB ．若α⊥β，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则l ∥mD ．若l ⊥β，l ∥α，则αβ⊥9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ） （A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）910、已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，1)4(-=-f ,)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示，若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则22++b a 的取值范围是（ ）A. )2,31(B. )3,21(C. )0,1(-D. )1,(--∞二、填空题（共有5个小题，每小题5分，共25分） 11、如果等比数列的前n 项和3n n S a =+，则常数___.a =12、设函数()321sin cos 3f x x x θθ=（R θ∈），则导数值()'1f 的取值范围 是 _________.13、若函数3()3f x x x a =-+有3个不同零点，则实数a 的取值范围是__ __． 14、已知点O 是三角形ABC 的边BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 分别于M 、N ，AM mAB =，AN nAC =，则11______.m n +=15、已知球O 的半径为2，圆1O ，2O ，3O 为球O 的三个小圆，其半径分别为1，1.若三个小圆所在的平面两两垂直且公共点为P ，则OP = .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021-2022年高三(山个)第三次月考数学试卷(文科) 含解析
2021年高三（山个）第三次月考数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A． B． C． D．3．“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A． B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，）D．（，+∞）7．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C． D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．10．若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b=．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为．13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，=，=，DE的延长线交CA的延长线于点F，则•的值为．14．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2a﹣b．（I）求C；（Ⅱ）若cosB=，求cosA的值．16．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x桶甲产品和y桶乙产品．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．18．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（a n，S n）都在函数f （x）=﹣的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x 的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．xx天津一中高三（山个）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0，2}B．{5}C．{1，3}D．{4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合U，根据集合的补集的定义求出C U A，再根据两个集合的交集的定义求出（C U A）∩B．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6 }，A={1，3，5}，B={4，5，6}，∴C U A={0，2，4，6}，∴（C U A）∩B═{0，2，4，6}∩{4，5，6}={4，6}．故选D．2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为．故答案为：．3．“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线，在[a，+∞）上为增函数，由题意[1，+∞）⊆[a，+∞），可求a的范围．【解答】解：若“a=1”，则函数f（x）=|x﹣a|=|x﹣1|在区间[1，+∞）上为增函数；而若f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，则a≤1，所以“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选A．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，即可得出结论．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环S k循环前/0 0第一圈是 1 1第二圈是 3 2第三圈是11 3第四圈是2059 4第五圈否∴最终输出结果k=4故选：A．5．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A． B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．7．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为．故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x ﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：210．若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b=﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由切线方程得到斜率，解方程求得a=1，再代入切线方程，得到b．【解答】解：y=ax+lnx的导数为y′=a+，则在点（1，a）处的切线斜率为a+1，由于在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则有a+1=2，即a=1，则1=2+b，解得b=﹣1．故答案为：﹣1．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为16cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．∴该几何体的体积==16cm2．故答案为：16．12．圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】先由条件求得圆心的坐标为C（﹣3，2），半径r=|AC|=，从而得到圆C 的方程．【解答】解析：直线AB的中垂线方程为x=﹣3，代入直线x﹣2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（﹣3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=，∴圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5，故答案为（x+3）2+（y﹣2）2=5．13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，=，=，DE的延长线交CA的延长线于点F，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，结合已知求出D、F的坐标，进一步求得、的坐标，则答案可求．【解答】解：如图，分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），C（2，0），B（0，1），∵=，∴E（0，），又=，得D（），设F（m，0），则，，由，得，即m=．∴，则•=．故答案为：．14．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则t=x2﹣2x+2m ﹣1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其绝对值大于2m﹣2，结合0＜m＜3求得实数m 的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m﹣1对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m﹣1=2m﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足①，又0＜m＜3②，联立①②得0．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2a﹣b．（I）求C；（Ⅱ）若cosB=，求cosA的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，把sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，cosA变形为﹣cos（B+C），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（I）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA﹣sinB，即2sinCcosB=2sin（C+B）﹣sinB，∴2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinB﹣sinB，即2cosCsinB﹣sinB=0，∵sinB≠0，∴2cosC﹣=0，即cosC=，∵0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵cosB=，0＜C＜π，∴sinB==，∴cosA=﹣cos（B+C）=﹣（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣×+×=．16．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x桶甲产品和y桶乙产品．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（Ⅰ）根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件；（Ⅱ）利用线性规划的知识进行求解即可得到目标函数利润的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，则x，y满足条件的数学关系式为…该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如图…（Ⅱ）设利润总额为z元，则目标函数为：z=400x+300y．…如图，作直线l：400x+300y=0，即4x+3y=0．当直线y=﹣x+经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大．解方程组得，即A（3，3），…代入目标函数得z max=2100．…答：该公司每天需生产甲产品3桶，乙产品3桶才使所得利润最大，最大利润为2100元．…17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD，推导出PG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面PBG，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN，推导出四边形MNCD是平行四边形，由此能证明DM∥平面PCB．（Ⅲ）推导出PG⊥底面ABCD，则∠PBG为PB与平面ABCD所成的角，由此能求出PB与平面ABCD所成的角．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD．∵△PAD为等腰直角三角形，且∠APD=90°，∴PA=PD，∴PG⊥AD．∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BG⊥AD．又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．…（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN．∵M，N分别是PA，PB的中点，∴MN∥AB，MN=AB．又AB∥CD，CD=，∴MN∥CD，MN=CD．∴四边形MNCD是平行四边形．∴DM∥CN．又CN⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，∴DM∥平面PCB．…解：（Ⅲ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，又PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴∠PBG为PB与平面ABCD所成的角．设CD=a，则PG=a，BG=．在Rt△PBG中，∵tan∠PBG=，∴∠PBG=30°．∴PB与平面ABCD所成的角为30°．…18．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（a n，S n）都在函数f （x）=﹣的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【考点】等比数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】（Ⅰ）由题意得，再由和等比数列的定义，求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的前n项和公式化简b n，再由等差数列的定义证明出数列{b n}是等差数列，再由求出n的范围，根据n取正整数和等差数列的前n 项和公式，确定、并求出T n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为点（a n，S n）都在函数的图象上．所以，当n=1时，，∵，当n≥2时，，所以，∴，∴{a n}是公比为，首项为的等比数列，∴；（Ⅱ）因为{a n}是公比为，首项为的等比数列，所以，∴，∵，∴数列{b n}是以为首项，公差为的等差数列，且单调递减由，所以，即，∴n=6，数列{b n}的前n项和的最大值为．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程．（2）①椭圆C的右焦点．设切线方程为，利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．利用，推出OP⊥OQ．（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，通过，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m2=2k2+2，，推出结果．【解答】解：（1）由题意，得，解得a2=6，b2=3．所以椭圆的方程为．（2）①椭圆C的右焦点．设切线方程为，即，所以，解得，所以切线方程为．由方程组解得或，所以．因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．综上所述，△OPQ的面积为．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．当时，．因为，所以OP⊥OQ．当时，同理可得OP⊥OQ．（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．因为直线与圆相切，所以，即m2=2k2+2．将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，因为=．将m2=2k2+2代入上式可得，所以OP⊥OQ．综上所述，OP⊥OQ．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x 的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x 为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．【解答】解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．xx1月31日实用文档。
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池州一中2012-2013学年度高三月考数学试卷(文科)第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.⒈ 已知{2,3,4}U =，集合{|(1)(4)0,}A x x x x Z =--<∈，则UA =（ ）A . {}1,4B .{}2,3,4C .{}2,3D . {4}⒉ 已知函数4log 0()3 0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]16f f =( )A ．9B ．19C 3D 3⒊ 设[]x 为表示不超过x 的最大整数,则函数lg[]y x =的定义域为 ( )A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ． (1,)+∞D ． (1,2) ⒋ 设0.5323,log 2,cos3a b c π===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<⒌ 已知函数2n y a x =（*0,n a n N ≠∈）的图象在1x =处的切线斜率为121n a -+（*2,n n N ≥∈），且当1n =时，其图象经过()2,8，则7a =（ ）A ．12 B ．5 C ．6 D ．7⒍ 命题“函数()()y f x x M =∈是奇函数”的否定是（ ）A ．x M ∃∈,()()f x f x -≠-B ．x M ∀∈, ()()f x f x -≠-C ．x M ∀∈,()()f x f x -=-D ．x M ∃∈，()()f x f x -=- ⒎ 把函数sin()(0,||)2y A x πωφωφ=+><的图象向左平移3π个单位得到()y f x =的图象 （如图），则2A ωϕ-+=（ ） A ．6π-B ．6π C . 3π- D . 3π⒏ Direchlet 函数定义为： 1()0Rt Q D t t Q ∈⎧=⎨∈⎩，关于函数()D t 的性质叙述不正确．．．的是（ ） A ．()D t 的值域为{}0,1 B ．()D t 为偶函数 C ．()D t 不是单调函数 D ．()D t 不是周期函数⒐ 函数()=lg cos 2f x x x π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6⒑ 已知向量a 、b 的夹角为θ，+=a b 2-=a b ，则θ的取值范围是（ ）A ．03πθ≤≤B ．32ππθ≤<C ．62ππθ≤<D ．203πθ<<第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：共5小题，每小题5分，计25分. ⒒ 函数()f x =的定义域为 .⒓ 已知322ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()3tan 74απ-=-，则sin cos αα=＋ .⒔ 函数()()x f x e x R =∈可表示为奇函数()h x 与偶函数()g x 的和 ,则()h x = .⒕ 给出下列命题： ⑴ 1y =是幂函数；⑵“1x <”是“2x <”的充分不必要条件；⑶ 2)0x -≥的解集是[)2,+∞；⑷ 函数tan y x =的图象关于点,0()2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成中心对称；⑸ 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）⒖ 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，解答以下问题： （1）函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为 ； （2）计算1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++= . 三、解答题：本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. ⒗（本小题满分12分）已知向量()2cos ,2x x =m ，(cos ,1)x =n ，设函数()f x =⋅m n ,x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若方程()0f x k -=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数根，求k 的取值范围.⒘（本小题满分12分）已知命题p :实数x 满足12123x --≤-≤；命题q ：实数x 满足222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.⒙（本小题满分13分）已知()x f x m =（m 为常数，0m >且1m ≠）．设1()f a ，2()f a ，…，()n f a ，…（*n N ∈）是首项为m 2，公比为m 的等比数列．（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）若()n n n b a f a =⋅，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，当2m =时，求n S . ⒚ (本小题满分12分)已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(,)a b =m ，(sin ,sin )B A =n ，(2,2)b a =--p .（Ⅰ）若m n ABC ∆m p 2c =3C π∠=ABC ∆⒛（本小题满分12分）如图,在ABC ∆中,设AB =a ,AC =b ,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点恰为P . （Ⅰ）若=+AP λμa b ,求λ和μ的值;（Ⅱ）以AB ,AC 为邻边, AP 为对角线,作平行四边形ANPM ,求平行四边形ANPM 和三角形ABC 的面积之比ANPMABCS S ∆. 21.(本小题满分14分)已知0()x f x x e =⋅，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，*(1)()()()n n f x f x n N -'=∈.（Ⅰ）请写出的()n f x 表达式（不需证明）； （Ⅱ）求()n f x 的极小值()n n n y f x =；（Ⅲ）设2()2(1)88n g x x n x n =--+-+，()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，试求a b -的最小值.池州一中2013届高三第三次月考(10月)数学（文科）答案一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D BCA B AC DC A二、填空题题号 11121314 15答案⑵⑷⑸1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2012 11. 解：由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩，即定义域为(1,1)- 三、解答题16. 解: （Ⅰ）由题意知： f(x) = 22cos3sin 21cos23sin 212cos(2)3x x x x x π=+=++∴f(x)的最小正周期 T = π .................... .4分 ∴f(x)的单调递减区间 [,],63k k k z ππππ-+∈ ......................6分 17．解：令{}12122103x A xx x ⎧-⎫=-≤-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭P ε∴⌝⌝则的逆否命题为“P ε若则”而P ε⌝⌝是的必要不充分条件，∴P ε是的必要不充分条件故A B ∴0129101m m m m >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪≤+⎩18. 解：（1）由题意f （a n ）＝211n n m m m -+⋅=，即1na n m m +=．∴a n ＝n ＋1，（2分） ∴a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列． （2）由题意()n n n b a f a =⋅＝（n ＋1）·m n+1，当m ＝2时，b n ＝（n ＋1）·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n ＋1）·2n ＋1 ① ①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2 ② ②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2 ＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n ＋1）＋（n ＋1）·2n ＋2 ＝－22－22(1－2n )1－2＋（n ＋1）·2n ＋2＝－22＋22（1－2n ）＋（n ＋1）·2n ＋2＝2n ＋2·n ．19. 【解析】证明：（Ⅰ）//,sin sin ,m n a A b B ∴=即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是ABC ∆外接圆半径，a b = --------（5分）ABC ∴∆为等腰三角形 -----（6分）解（Ⅱ）由题意可知m ⊥p 0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=即，a b ab ∴+= --------（8分）由余弦定理可知， 2224()3a b ab a b ab =+-=+-2()340abab --=即 4(1)ab ab ∴==-舍去---------（10分）11sin 4sin 223S ab C π∴==⋅⋅= ………………………（12分） 20．（1）解：∵Q 为AP 中点，∴1a b 222uQP AP λ==+⋅ P 为CR 中点，∴a (1)b PR CP AP AC u λ==-=+- 同理：11()22RQ BR BQ AQ AB ===- 11(a b a)(1)a b 222224λμλμ=+-=-+ 而0QP PR RQ ++= ∴1a b a (1)b (1)a b 022224λμλμλμ+++-+-+=即21(1)0722*******λλλλμμμμ⎧⎧=++-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+-+==⎪⎪⎩⎩（2）sin ANPMSAN AM A =⋅⋅ 1sin 2ABCSAB AC A =⋅⋅ ∴sin 24162217749sin 2ANPM ABC AN AM A AN AM S S AB AC AB AC A ⋅⋅==⋅⋅=⨯⨯=⋅⋅ 21. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理的能力。