二分法牛顿迭代法

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根的求法公式

根的求法公式在数学中，根是方程或多项式的解。

求根是解决许多数学问题的一种基本方法。

在本文中，我们将探讨一些求根的方法及其公式，包括牛顿迭代法、二分法、不动点迭代法和求多项式根的方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法，又称为牛顿-拉弗森方法，是一种求解方程的数值方法。

它基于在函数曲线上迭代选择初始点，将其向切线的交点移动，然后重复该过程，直到达到所需精度为止。

该方法的公式如下：$某_{n+1}=某_n-\frac{f(某_n)}{f’(某_n)}$其中，$某_n$是方程的一个近似根，$f(某_n)$是在$某_n$处函数的值，$f’(某_n)$是在$某_n$处函数的导数。

二、二分法二分法是一种经典的求解非线性方程的数值方法。

它利用中间值定理，将一个区间不断分成两个区间，并检查每个区间的函数值与零的符号。

如果两侧的函数值符号不同，则根一定在该区间内。

该方法的公式如下：$某_{n+1}=\frac{某_n+某_{n-1}}{2}$其中，$某_n$和$某_{n-1}$是方程所在区间的两个端点。

通过不断将区间缩小，可以得到方程的解。

三、不动点迭代法不动点迭代法是一种简单但常用的求解方程的数值方法。

它将方程的根转化为方程$某=g(某)$的不动点，即$某=g(某)$的解即为方程的解。

该方法的公式如下：$某_{n+1}=g(某_n)$其中，$g(某)$是一个连续函数，$某_n$是一个近似的解。

通过迭代不动点关系，可以逐渐逼近方程的解。

四、求多项式根的方法在代数学中，多项式根是多项式方程的解。

有许多不同的方法可以求解多项式方程的根，如求解一次方程、求解二次方程、牛顿法、拉格朗日插值法、不动点迭代法等。

其中，求解一次方程的公式最简单：$a某+b=0$，解得$某=-\frac{b}{a}$求解二次方程的公式如下：$a某^2+b某+c=0$，解得$某=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$牛顿法求多项式方程的根可归纳为：$某_{n+1}=某_n-\frac{p(某_n)}{p’(某_n)}$其中，$p(某)$是多项式方程，$p’(某)$是多项式方程的导数。

牛顿迭代法、二分法,定点法的区别与联系

⽜顿迭代法、⼆分法,定点法的区别与联系⽜顿迭代法、⼆分法，定点法的区别与联系⽜顿迭代法⽜顿迭代法，它是⽜顿在17世纪提出的⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。

多数⽅程不存在求根公式，因此求精确根⾮常困难，甚⾄不可能，从⽽寻找⽅程的近似根就显得特别重要Newton法是求解⽅程f(x)=0的最著名的和最有效的数值⽅法之⼀，其基本思想可以是将⽅程转化为线性⽅程来求解,设f(x)连续可微,则将函数f(x)在x点处k进⾏taylor展开,即如果,取taylor展开式的线性部分近似代替f(x),得到f(x)=0的近，则得到似⽅程，将此⽅程的根记作xk+1这就是Newton迭代公式迭代函数为不动点迭代将⽅程f(x)=0改写成等价⽅程则⽅程的根⼜称为函数的不动点.,⽤迭代格式为了求的不动点,取⼀个初始近似值x,k=1,2产⽣序列{x},这种迭代法我们称之为不动点迭代,或简单迭代⼜称为迭k代函数.假设⼀个迭代法产⽣的序列{x},k=0,1,2,,收敛,，X*是⽅k程f(x)=0的⼀个解.区间对分法区间对分法是求解⽅程f(x)=0的⼀种直观⽽⼜简单的迭代法,它是建⽴在介值定理的理论基础之上的，第⼀个取值点取在含优区间的1/2处,然后逐渐逼近最优值的单因素试验设计⽅法。

联系都是⽤来近似求⽅程根的⽅法，利⽤数列收敛于⽅程的根。

在应⽤⽅⾯，区间对分法可⽤来求根的初始近似值,以供其它对初始值要求严格的迭代法使⽤，⽜顿法和不定点迭代法都有局限性，收敛有⽅向性，如果初始值选的不恰当，则⽅程不收敛，也就不能得到⽅程的根。

另外，⽅程f(x)=0和x=是等价的，于是 Newton迭代公式也属于不动点迭代。

区别对分法每次50%的区间舍弃，试验选值跨跃的幅度过⼤，会使对分法漏掉了最佳值。

从此误差估计式看出,近似解的误差下降速度较慢.但此⽅法⽐较简单,且安全可靠.在实际应⽤中,.需要注意的是此⽅法只能求单实根,⽽不能求复根或偶数重根.在⽜顿迭代和不动点迭代中，对不动点⽅程x=，它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得⾮常缓慢，注意到x=x和x=都是不动点⽅程，它们的加权平均h(x)=也是不动点⽅程，⽽h(x) 和有完全相同的不动点。

求函数零点所在区间方法

求函数零点所在区间方法
牛顿迭代法和二分法是求函数零点所在区间上常用的两种方法。

牛顿迭代法是一种属于非线性迭代的方法。

该方法以拟合函数的二次函数进行局部逼近，因此也称为牛顿二次插值法，其核心是基于变分法的单点迭代方法，利用函数的前缀
函数在某点处的导数及势函数在此点处的值，迭代求解函数零点的近似值。

牛顿迭代法的
关键是计算函数的非线性的导数，根据变分法的思想，每次迭代过后，利用两点的差商求
函数的一次近似值。

如果函数是二次函数，则可以利用牛顿迭代法，转换为一次导数等于
0就可以获得最终精确零点。

牛顿迭代法的特点是速度快，收敛性良好，在数值计算中经
常用来求函数零点所在区间，不过，该方法仅能求连续函数的零点，也就是说可以求出连
续函数在某个区间内的零点。

二分法也称为折半法、折半搜索法，与牛顿迭代法很相似，属于单点迭代，效率较低，适用于求函数单调区间上的零点。

其核心思想是：在某个函数区间上，选取点，判断函数
图像在该点是上升或下降，从而在不断缩小范围的基础上，找到函数零点所在的区间，最
终得到函数零点。

牛顿迭代和二分法都是求函数零点的基本方法，牛顿迭代法收敛速度较快，但是只适合连续函数；而二分法使用简单，可以求不连续而且是单调的函数的零点，
是比较常用的求函数零点的方法，但是它的收敛速度相较于牛顿迭代来慢一些。

数值求解方法

数值求解方法数值求解方法是一种通过数值计算来解决数学问题的方法。

在许多实际问题中，我们需要求解各种方程或函数的根、极值、积分等问题，而数值求解方法可以提供一种有效的途径来解决这些问题。

本文将介绍几种常见的数值求解方法，并分析其原理和应用。

一、二分法二分法是一种简单而有效的数值求解方法，它通过不断将求解区间一分为二，并根据函数值的正负判断根的位置，最终逼近根的位置。

二分法的原理是基于函数在连续区间上的性质，通过不断缩小求解区间的范围来逼近根的位置。

二分法的优点是简单易用，但收敛速度相对较慢，对于某些特殊函数可能不适用。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法。

它通过对方程进行泰勒展开，利用切线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。

牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但对于某些复杂函数可能存在收敛性问题，需要进行合理的初始近似值选择。

三、割线法割线法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法，类似于牛顿迭代法。

它通过对方程进行割线近似，利用割线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。

割线法的优点是相对于牛顿迭代法而言，不需要计算函数的导数，因此更加简单易用，但收敛速度较慢。

四、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的数值方法。

它通过对方程组进行一系列的行变换，将方程组化为上三角形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。

高斯消元法的优点是简单直观，适用于一般的线性方程组求解，但对于某些特殊的方程组可能存在奇异性或多解的问题。

五、龙贝格积分法龙贝格积分法是一种用于数值积分的方法，通过对区间进行逐步细分，并计算相应的复合梯形面积来逼近积分值。

龙贝格积分法的优点是收敛速度较快，精度较高，适用于各种类型的函数积分求解，但对于某些特殊函数可能存在收敛性问题。

六、插值法插值法是一种通过已知数据点来求解未知数据点的数值方法。

它通过构造一个插值函数，使得该函数在已知数据点上与原函数值相等，从而通过插值函数来求解未知数据点的近似值。

非线性方程求解算法比较

非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。

因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。

本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。

通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。

它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。

2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。

3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。

4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。

牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。

然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。

二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。

它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。

2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。

3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。

4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。

与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。

然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。

与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。

三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。

它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。

计算立方根的近似值

计算立方根的近似值计算立方根是一种常见的数学运算，它用于求一个数的立方根。

在实际应用中，我们常常需要使用近似值而不是精确值来进行计算，因为精确值往往会涉及到更加复杂的数学运算。

本文将介绍两种常用的方法来计算立方根的近似值：二分法和牛顿迭代法。

一、二分法二分法是一种基于区间不断缩小的近似求解方法。

对于一个给定的正数x，我们可以将其立方根的取值范围设定为0和x之间的一个数。

然后，不断将这个区间一分为二，通过比较中点的立方与x的大小，确定立方根的位置。

重复这个过程，直到区间的长度足够小，我们可以认为找到了一个足够接近真实值的近似值。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种利用切线逼近的方法，通过不断迭代来逼近函数的零点。

对于立方根的计算，我们可以将问题转化为求解方程x^3-a=0的根，其中a是待求的立方数。

根据牛顿迭代法的思想，我们可以选取一个初始值x0，通过不断迭代的方式来逼近方程的根。

具体迭代过程如下：1. 初始化：选择一个初始值x0。

2. 迭代计算：根据迭代公式x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，计算下一个近似值x_n+1。

3. 判断条件：判断当前值x_n+1与x_n的差值是否满足要求，如果满足要求则停止迭代，将x_n+1作为近似值输出；否则返回第2步。

通过不断迭代计算，我们可以逐步逼近方程的解，从而得到立方根的近似值。

综上所述，通过二分法和牛顿迭代法，我们可以计算立方根的近似值。

具体选择哪种方法需要根据实际情况来定，不同的方法有不同的收敛速度和精度。

在实际应用中，我们可以根据需求来选择最合适的方法，并根据需要进行适当的调整和优化，以获得更好的计算结果。

此外，对于大多数场景下的立方根近似计算，人们通常会使用计算机编程来进行求解，因为计算机可以更高效地执行复杂的数学运算。

在编程中，我们可以利用现有的计算库或算法来实现立方根的近似计算，以提高计算的准确性和效率。

总结起来，计算立方根的近似值是一项重要的数学运算，在实际应用中有着广泛的应用。

高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程

高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程在高中数学中，求解方程是一个重要的内容，而二分法和牛顿迭代法是两种常用的求解方程的方法。

本文将介绍这两种方法的原理、应用以及解题技巧，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。

一、二分法的原理和应用二分法是一种通过不断缩小搜索范围来逼近方程根的方法。

其基本原理是将待求解的区间不断二分，判断根是否在左半区间还是右半区间，并将搜索范围缩小至根的附近。

具体步骤如下：1. 确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号；2. 计算区间中点c=(a+b)/2；3. 判断f(c)与0的关系，若f(c)=0，则c为方程的根；若f(c)与f(a)异号，则根在区间[a, c]内，否则根在区间[c, b]内；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求或找到根。

二分法的应用非常广泛，例如在求解函数的零点、解方程、求解最优化问题等方面都有应用。

下面通过一个具体的例题来说明二分法的应用和解题技巧。

例题1：求方程x^3-2x-5=0的根。

解题思路：1. 首先我们需要确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号。

根据题目中的方程，可以取a=1，b=2，计算f(1)=-6和f(2)=1，满足条件；2. 计算区间中点c=(a+b)/2=1.5；3. 计算f(c)=f(1.5)=-1.375，与0的关系异号，说明根在区间[1, 1.5]内；4. 重复步骤2和步骤3，不断缩小搜索范围，直到满足精度要求或找到根。

通过不断迭代，我们可以得到方程的根为x=1.709。

这个例题展示了二分法的基本思路和解题技巧，通过不断缩小搜索范围，我们可以逼近方程的根。

二、牛顿迭代法的原理和应用牛顿迭代法是一种通过不断迭代逼近方程根的方法，其基本原理是利用函数的切线来逼近根的位置。

具体步骤如下：1. 确定初始点x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 计算切线的方程y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；4. 求切线与x轴的交点x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)；5. 重复步骤2到步骤4，直到满足精度要求或找到根。

立方根的计算方法

立方根的计算方法立方根是数学中常见的一个运算，用来计算一个数的立方根。

在日常生活和工程领域中，计算立方根的需求也十分常见。

本文将介绍两种常用的计算立方根的方法：二分法和牛顿迭代法。

一、二分法计算立方根二分法是一种简单而有效的数值计算方法，可以用来求解函数的根。

对于立方根的计算，也可以借助二分法的思想。

1. 确定区间首先，我们需要确定一个区间，该区间内的数的立方根与待求数最接近。

例如，要计算数x的立方根，我们可以选择一个区间[a, b]，使得a^3小于等于x，b^3大于等于x。

2. 二分查找在确定了区间之后，我们可以使用二分查找的方法逐步缩小范围。

首先，计算区间的中点m，然后判断m的立方是否等于x，如果相等，则m就是x的立方根；否则，判断m的立方是否大于x，如果大于x，说明待求数的立方根在区间[a, m]内，否则在区间[m, b]内。

不断缩小区间，直到满足精度要求即可。

3. 代码示例下面是使用二分法计算立方根的示例代码（使用Python语言表示）：```pythondef binary_search_cube_root(x, epsilon):a = 0b = max(1, x)while abs(b**3 - x) >= epsilon:m = (a + b) / 2if m**3 < x:a = melse:b = mreturn m```二、牛顿迭代法计算立方根牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解方程的根。

对于立方根的计算，也可以借助牛顿迭代法进行逼近。

1. 初值选择首先，我们需要选择一个初始值作为计算的起点。

该初始值越接近最终结果，计算的迭代次数就越少。

2. 迭代计算在初始值的基础上，使用牛顿迭代公式进行迭代计算。

对于求解立方根的情况，迭代公式可以表示为：x = (2 * x + n / x^2) / 3，其中n为待求数。

3. 收敛条件迭代过程中，我们需要设定一个收敛条件。

整数开方快速算法

整数开方快速算法整数开方是计算一个正整数的平方根的操作，即找到一个整数x，使得x的平方小于或等于给定的整数n，而x+1的平方大于n。

在计算机科学中，常用的整数开方算法有三种：二分法、牛顿迭代法和位操作法。

下面将详细介绍这三种算法。

1.二分法：二分法是一种基于二分查找的算法，在整数范围内逐渐缩小查找区间，直到找到最接近目标整数的平方根。

算法步骤如下：-初始化左边界l为0，右边界r为给定整数n。

-循环直到找到最接近目标整数的平方根：- 计算中间值mid = (l + r) / 2- 如果mid的平方大于n，则将r更新为mid-1，否则将l更新为mid+1-返回l作为整数开方的结果。

二分法的时间复杂度为O(logn)，因为每次区间减半。

2.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种迭代求解方程的方法，通过反复迭代的方式逼近函数的根。

对于求解整数开方的问题，可以将其转化为求解方程x^2-n=0，其中n为给定整数。

算法步骤如下：-初始化初始值x0为n。

-循环直到收敛：-计算新的近似值x1=(x0+n/x0)/2-如果x1与x0的差值小于一个很小的阈值，则停止迭代。

-否则，将x1作为新的近似值，继续迭代。

-返回x1作为整数开方的结果。

牛顿迭代法的时间复杂度取决于迭代次数，通常收敛得非常快，因此可以认为是常数时间复杂度。

3.位操作法：位操作法是一种利用位运算的技巧来计算整数开方的方法。

算法步骤如下：-初始化变量x为给定整数n。

-如果x大于1：- 计算tmp = (x + n / x) / 2- 如果tmp等于x，则返回x作为整数开方的结果。

- 否则，将tmp赋值给x，继续循环。

位操作法的时间复杂度同样取决于迭代次数，但通常比牛顿迭代法多一些迭代次数。

综上所述，整数开方的三种常见算法为二分法、牛顿迭代法和位操作法。

不同的算法在时间复杂度和实际运行效率上有所差异，选择合适的算法取决于具体的应用场景和需求。

牛顿迭代法与二分法

牛顿迭代法与二分法数学中，有用的方法和技术有很多，其中牛顿迭代法和二分法是两种经典的数值计算方法。

这两种方法都可以用于求解各种类型的方程和问题，在不同场合下往往有不同的适用范围和性质。

在本文中，我们将对这两种方法进行简单介绍和比较，以加深读者对它们的理解和应用。

一. 牛顿迭代法牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），是一种用于寻找函数零点的一种迭代算法。

它的基本思想是从一个初始近似值开始，使用函数的导数来逐步改进这个近似值，直到满足所需的精度要求为止。

具体步骤如下：1. 选定一个初始值 $x_0$ ，计算函数 $f(x)$ 在这个点的值和导数 $f'(x)$；2. 计算迭代公式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，即用当前点的函数值和导数值确定一个切线，并将其与 $x$ 轴交点作为下一个近似值；3. 如果迭代满足要求，则停止，否则返回第二步。

牛顿迭代法的优点是迭代速度较快，可以高效地求解接近函数原始根的方程。

例如，如果要求 $\sqrt{a}$ 的值，可令 $f(x) = x^2 - a$，则零点为 $\sqrt{a}$。

经过一定次数的迭代，可以得到很高精度的近似值。

然而，牛顿迭代法也有一些局限性，如收敛性和迭代次数等问题，需要根据具体问题和条件进行评估和调整。

二. 二分法二分法（bisect method）是一种寻找函数零点的一种简单算法，其基本思想是不断缩小区间，直到找到目标区间的根。

具体步骤如下：1. 选定一个有根区间 $[a, b]$，并计算函数 $f(a)$ 和 $f(b)$ 在两个端点的值；2. 计算区间中点$c = \frac{a+b}{2}$，并计算函数$f(c)$ 的值；3. 判断函数值的符号，并用二分法将 $[a, b]$ 划分为两个子区间，其中一个包含了零点，另一个不包含，即更新区间 $[a, b]$ 为$[a, c]$ 或 $[c, b]$；4. 重复步骤 2-3 直到找到满足误差要求的近似根。

二分法与牛顿迭代法解方程

问题：谁做的好事？问题：谁做的好事？
有四位同学中的一位做了好事，不留名，表扬有四位同学中的一位做了好事，不留名，信来了之后，校长问这四位是谁做的好事。信来了之后，校长问这四位是谁做的好事。不是我。 A说：不是我。 B 说：是C 。 C 说：是D 。 D说：他胡说。已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。现在要根据这些信息，找出做了好事的人。在要根据这些信息，找出做了好事的人。
NS图有了上述了解之后，我们来看解“ NS图有了上述了解之后，我们来看解“谁做的好
事”的程序框图
分别为‘ 循环4趟让thisman分别为‘A’,’B’,’C’,’D’,循环趟分别为循环
sum = ( ( ( ( thi来自man != thisman == thisman == thisman != s um == 3 ‘ A ’ )+ ‘ C ’ )+ ‘ D ’ )+ ‘ D ’ ); 假
x
算法：算法： (1)输入一个近似值于输入一个近似值于x0 (1)输入一个近似值于x0. (2)求出下一个迭代点求出下一个迭代点x. (2)求出下一个迭代点x. (3)如果|x-x0|>10如果|x 那么将x的值赋给x0 并且返回第(2) x0， (2)步 (3)如果|x-x0|>10-5，那么将x的值赋给x0，并且返回第(2)步，继续求下一个迭代点x 否则，转到(4) (4)。继续求下一个迭代点x。否则，转到(4)。 (4)x即为所求的根即为所求的根。 (4)x即为所求的根。
真
输出该被试者；输出该被试者；有解标志
真有解吗假
输出无解信息；输出无解信息；
算法： #include <stdio.h> void main()

牛顿迭代法二分法

迭代公式：当0)('≠x f 时，令......3,2,1,0,)()('1=-=+k x f x f x x k k k 当所求根为单根时，牛顿迭代法时二阶收敛的。

牛顿迭代法时一种局部收敛方法，通常要求初始近似值0x 在*x 领域是方法才收敛。

为保证方法收敛，可引入参数，将公式改写为：)()('1x f x f x x k k k k λ-=+ 其中10≤<k λ，称为下山因子，该方法称为牛顿下山法。

选择k λ，使|)(||)(|1k k x f x f <+，通常首选1=k λ，若下降条件不成立，则取21=k λ，直到下降条件成立，该方法只有线性收敛。

实验题目（1） x^2-exp(x)=0;（2） logs(x)+x-2=0;牛顿迭代法实验程序第一题function y=func2_2(x)y=x^2-exp(x);endfunction y=func2_2_1(x)y=2*x-exp(x);end命令窗口输入eps=5e-6;delta=1e-6;N=100;k=0;x0=1.0;while(1)x1=x0-func2_2(x0)/func2_2_1(x0);if (k>N|abs(x1)<eps)disp('Newton method failed');breakendif abs(x1)<1d=x1-x0;elsed=(x1-x0)/x1;endx0=x1;if (abs(d)<eps|abs(func2_2(x1))<delta)breakendendfprintf('%f',x0);第一题牛顿迭代结果 -0.703467第三题牛顿迭代主程序function y=func2_2(x)y=log(x)+x-2;function y=func2_2_1(x)y=1/x+1;第三题实验结果 1.557146二分法在求方程近似根的方法中，最直接、最简单的方法是二分法。

二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用

求解方程的近似根，一般需要解决两个问题：1.根的隔离。

即找出有根区域，使得在一些小区间中方程只有一根（或一对共轭复根）以便获取各根的较粗糙的近似值。

2.近似根的精确化。

即用求根的数值方法，使求得的近似根逐步精确化，直到获得一定精度的近似根。

一、二分法和牛顿迭代法的基本思想1.二分法。

一般地，对于函数f （x ），如果存在实数c ，当x=c 时，若f （c ）=0，那么把x=c 叫做函数f （x ）的零点。

解方程即要求f （x ）的所有零点。

假定f （x ）在区间（x ，y ）上连续，先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f （a ），f （b ）异号，说明在区间（a ，b ）内一定有零点，然后求[f （a+b ）/2]，现在假设f （a ）<0，f （b ）>0，a<b ，①如果[f （a+b ）/2]=0，该点就是零点。

如果[f （a+b ）/2]<0，则在区间（（a+b ）/2，b ）内有零点，注：（a+b ）/2>=a ，从①开始继续使用中点函数值判断。

如果[f （a+b ）/2]>0，则在区间（a ，（a+b ）/2）内有零点，注：（a+b ）/2<=b ，从①开始继续使用中点函数值判断。

这样就可以不断接近零点。

通过每次把f （x ）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。

另外，二分法不能计算复根和重根。

2.牛顿迭代法。

设r 是f （x ）=0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（x0，f （x0））做曲线y=f （x ）的切线L ，L 的方程为y=f （x0）+f'（x0）（x-x0），求出L 与x 轴交点的横坐标x1=x0-f（x0）/f'（x0），称x1为r 的一次近似值。

过点（x1，f （x1））作曲线y=f （x ）的切线，并求该切线与x 轴交点的横坐标x2=x1-f（x1）/f'（x1），称x2为r 的二次近似值。

二分法和牛顿迭代法求解方程的比较

二分法和牛顿迭代法求解方程的比较200822401018 徐小良一、问题叙述求解12 -3x +2COS X =0的解；通过编写 matlab程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。

二、问题分析由matlab画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）;两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001 ）的情况下，得出 matlab迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。

三、实验程序及注释（1）、二分法程序：clear;f=inlin e('12-3*x+2*cos(x)'); format long%清除所有内存数据;%数据显示格式设为长型;a=2;b=4;er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; while er>er0x0=.5*(a+b); y0=f(x0);if ya*y0<0b=x0;elsea=x0;ya=y0;enddis p([a,b]);er=b-a;k=k+1%求解区间；%误差分析;%二分法求解程序;%显示各个区间值和求解次数;enddis %显示最后一个区间值;(2)、牛顿迭代法程序：clear;f=inlin e('12-3*x+2*cos(x)'); %清除所有内存数据;%数据显示格式设为长型;b=3;a=4;k=0;y0=f(b);y=f(a);while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0); b=a;y0=y;%求解区间;、%牛顿迭代法求解程序;四、实验数据结果及分析五、实验结论通过表1可知，在二分法下，程序迭代了 17次后和第18次的结果一致，即程序迭代了 17次达到要求的试验误差；通过表 2可知，在牛顿迭代法下，程序迭代了 4次后和第5次的结果一致，即程序迭代了 4次达到要求的试验误差；二者比较明显可以看出牛顿迭代法的求解效率要远远优于二分法。

用近似公式开平方

用近似公式开平方开平方是一项基本的数学运算，它可以用来求一个数的平方根。

除了直接使用准确的计算公式外，我们还可以使用近似公式来进行快速计算。

在本篇文章中，我们将介绍两个常用的近似公式：二分法和牛顿迭代法。

1.二分法二分法是一种常见的近似算法，它可以用来求一个数的平方根。

该算法的基本思想是通过不断缩小范围，找到一个足够接近的数值，并且满足要求的精度。

以下是二分法求平方根的步骤：-首先，确定一个初始的上下界范围，使得目标数在这个范围内。

-然后，计算上下界的平均值，得到一个中间值。

-判断中间值的平方是否等于目标数，如果是则返回该中间值。

-如果中间值的平方大于目标数，则将中间值作为新的上界。

-如果中间值的平方小于目标数，则将中间值作为新的下界。

-使用新的上下界范围，重复上述步骤，直到达到指定的精度。

二分法的优点是简单易懂，容易实现。

然而，它的缺点是收敛速度相对较慢，特别是对于较大的数值。

2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更高级的近似算法，它可以用来求一个数的平方根。

该算法的基本思想是通过不断逼近函数的零点，找到一个数值，并且满足要求的精度。

以下是牛顿迭代法求平方根的步骤：-首先，选择一个初始的猜测值。

-然后，计算猜测值的平方与目标数的差，并将该差值除以猜测值的两倍。

-然后，将上述结果与猜测值相加，并将得到的数值作为新的猜测值。

-使用新的猜测值，重复上述步骤，直到达到指定的精度。

牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，特别是对于较大的数值。

然而，它的缺点是算法复杂度较高，并且对于一些初始猜测值，可能会出现发散的情况。

总结起来，二分法和牛顿迭代法是两种常用的近似开平方的方法。

它们各有优缺点，适用于不同的场景。

求立方根的计算方法

求立方根的计算方法立方根是高中数学中非常重要且基础的知识之一。

在计算机科学中，求立方根也是一种常见的操作。

本文将介绍两种计算立方根的方法。

方法一：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种初等的数值计算方法，利用数列的极限来逼近某个特定的数。

可以利用牛顿迭代法计算立方根。

设一个数 $x$ 的立方根为 $y$，则 $y^3=x$。

根据牛顿迭代法的公式：$$ y_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2y_n+\frac{x}{y_n^2}\right) $$其中 $y_0$ 为初始值，计算若干次后得到的 $y$ 的值将不再变化，即为所求的立方根。

代码实现：```def cube_root(x, y_0=1):while True:y = (2*y_0 + x / (y_0 ** 2)) / 3if abs(y - y_0) < 1e-10:return yy_0 = y```方法二：二分法二分法是一种简单且高效的数值计算方法，可以用于计算函数在某个区间内的根。

可以利用二分法计算立方根。

设一个数 $x$ 的立方根为 $y$，则 $y^3=x$。

设一个区间$[a,b]$ 满足 $a^3\leq x\leq b^3$。

在每次迭代中，找到区间的中点 $c=\frac{a+b}{2}$。

如果 $c^3>x$，则立方根在区间 $[a,c]$ 中；如果 $c^3<x$，则立方根在区间 $[c,b]$ 中。

按照这种方式逐步缩小区间，直到区间的长度小于一个给定的误差阈值，即得到所求的立方根。

代码实现：```def cube_root(x, error=1e-10):a, b = 0, xwhile b - a > error:c = (a + b) / 2if c ** 3 > x:b = celse:a = creturn a```本文介绍了两种计算立方根的方法：牛顿迭代法和二分法。

这两种方法各有优劣，可以根据实际情况选择。

二分法,不动点迭代法和牛顿迭代法

二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法是数值计算中常用的三种求根方法。

它们在不同的数学领域及实际问题中有着广泛的应用。

本文将对这三种方法进行介绍和比较。

一、二分法1. 原理二分法是一种基于区间不断缩小的求根方法。

其原理是通过在函数值的两个不同点处得到异号的情况下缩小区间来逼近实根。

具体过程为：首先确定一个区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号，然后将区间一分为二，取中点c=(a+b)/2，若f(c)为零或在一定误差范围内，则c即为所求的根；否则，根据f(a)和f(c)的符号确定新的区间[a,c]或[c,b]，重复上述步骤，直到满足要求。

2. 特点二分法的优点是简单易实现，对于连续且单调函数一定能收敛。

但其缺点是收敛速度较慢，尤其在根附近时迭代次数较多。

二、不动点迭代法1. 原理不动点迭代法是求解方程f(x)=0的一种迭代方法，通过将方程变换为x=g(x)，其中g(x)为连续函数，然后通过不断地迭代计算得到方程的根。

具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=g(xn)来逼近实根。

2. 特点不动点迭代法的优点是迭代过程简单，不需要对函数进行求导。

但其缺点是收敛性有一定要求，不是所有的g(x)函数都能得到收敛结果。

三、牛顿迭代法1. 原理牛顿迭代法是一种通过不断线性化函数来逼近方程根的方法。

其原理是通过对函数f(x)进行泰勒展开，并取展开式的线性部分来进行迭代计算。

具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)来逼近实根。

2. 特点牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，在根附近有二次收敛性。

但其缺点是需要对函数进行求导，且初始值的选取对迭代结果有一定影响。

二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法都是求解方程根的有效方法，各有其优缺点和适用范围。

在实际应用中，根据问题的特性和计算要求来选择适当的方法，以达到准确和高效的求解目的。

4. 比较与应用通过对二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法的介绍，我们可以对它们进行比较与应用。

(完整word版)数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根(word文档良心出品)

《数值分析》实验报告一**: **学号: PB********实验一一、实验名称方程求根二、实验目的与要求：通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；比较二者的计算速度和计算精度。

三、实验内容：通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点。

（一）二分法算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。

（1）令c=(a+b)/2（2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3）（3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令)()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。

（二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。

（1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。

（2）计算)('/)(0001x f x f x x -=（3）若 < 或 < ，则输出，程序结束；否则执行（4）。

（4）令 = ，转向（1）。

四、实验题目与程序设计1、二分法3.1.1、用二分法求方程a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根,c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。

源程序：3.1.1.a#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float a,b;double c,y,z;printf("plese input two number a and b:\n");scanf("%f%f",&a,&b);c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)>0.00001|| fabs(y)>0.00001){z=1/a-tan(a);if(z*y<0)b=c;elsea=c;c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);}x x 01-ε)(1x f ηx 1x 0x 1}输入0 1.5707563( /2~1.5705563)得到下表：由上表可以看出刚开始时f（c）取值幅度很大，但是经过一段历程之后，幅度变得平缓甚至基本接近与零，我们认为，x=0.8603是方程的根，结果与实际想要得到的值相当接近。

二分法和牛顿迭代法

⼆分法和⽜顿迭代法先说⼀个⾯试题：问 1.2 - 0.2 == 1 ？答案是False！为什么？其原因在于⼗进制和⼆进制的转换上，计算机先要把⼗进制的数转化为⼆进制，然后再计算。

但是，在转化中，浮点数转化为⼆进制，就出问题了，例如：⼗进制的 0.1，转化为⼆进制是：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011…（不能精确）也就是说，转化为⼆进制后，不会精确等于⼗进制的 0.1。

同时，计算机存储的位数是有限制的，所以，就出现上述现象了。

这种问题不仅仅是 Python 中有，所有⽀持浮点数运算的编程语⾔都会遇到，它不是 Python 的 bug求⼀个数的平⽅根函数sqrt(int num)，在⼤多数语⾔中都提供实现。

那么要求⼀个数的平⽅根，是怎么实现的哪？实际上求平⽅根的算法⽅法主要有两种：⼆分法( binary search)和⽜顿迭代法( Newton iteration):说到这两种⽅法，⼼⾥就感慨重重，记得⼤学开了⼀门叫《计算⽅法》的课程，后来就忘了，直到有⼀天⽼师讲到这⾥的时候才想起这种计算⽅法⾃⼰曾⼏何时学过！1、⼆分法：（夹逼法）以求根号5为例： a:折半： 5/2=2.5 b:平⽅校验: 2.5*2.5=6.25>5，并且得到当前上限2.5 c:再次向下折半:2.5/2=1.25 d:平⽅校验：1.25*1.25=1.5625<5,得到当前下限1.25 e:再次折半:2.5-(2.5-1.25)/2=1.875 f:平⽅校验：1.875*1.875=3.515625<5,得到当前下限1.875每次得到当前和5进⾏⽐较，并且记下下限和上线，依次迭代，逐渐逼近我们设好的误差范围：import mathfrom math import sqrtdef sqrt_binary(num):x=sqrt(num) # 求出系统给我们的准确值y=num/2.0 #中分low=0.0up=num*1.0count=1while abs(y-x)>0.00000001:print count,ycount+=1if (y*y>num):up=y #⼆分后中间值⽐预期⼤了y=low+(y-low)/2else:low=yy=up-(up-y)/2 #⼆分后中间值⽐预期⼩了return yprint(sqrt_binary(5))print(sqrt(5))运⾏结果: 1 2.5 2 1.25 3 1.875 4 2.1875 5 2.34375 6 2.265625 7 2.2265625 8 2.24609375 9 2.236328125 10 2.2314453125 11 2.23388671875 12 2.23510742188 13 2.23571777344 14 2.23602294922 15 2.23617553711 16 2.23609924316 17 2.23606109619 18 2.23608016968 19 2.23607063293 20 2.23606586456 21 2.23606824875 22 2.23606705666 23 2.2360676527 24 2.23606795073 25 2.23606809974 26 2.23606802523 27 2.236067987982.236067969352.2360679775经过27次⼆分迭代，得到的值和系统sqrt()差别在0.0000001，2、⽜顿迭代法：仔细思考⼀下就能发现，我们需要解决的问题可以简单化理解。

数值分析——二分法和牛顿法

数值分析——二分法和牛顿法二分法和牛顿法的比较二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)<0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)<0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。

但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。

牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为)(')()(x f x f x x -=?。

牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。

用二分法和牛顿法分别计算多项式024323=-+-x x x 的解。

该多项式的解为1、1+i 和1-i ，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。

误差都为0.0001。

编程如下二分法(erfen.m)：syms x ;fun=x^3-3*x^2+4*x-2; a=-1; b=2;d=0.0001; f=inline(fun); e=b-a; k=0;while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0a=c; elsea=c;b=c; end e=e/2; k=k+1; end k x=(a+b)/2牛顿法(newton.m)：function [k,x,wuca] = newton() k=1; x0=0; tol=0.0001; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); x1=x0-yx1/yx2; while abs(x1-x0)>tol x0=x1; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); k=k+1; x1=x1-yx1/yx2; end kx=x1wuca=abs(x1-x0)/2 endfunction y1=fun(x) y1=x^3-3*x^2+4*x-2; endfunction y2=fun1(x)y2=3*x^2-6*x+4; end 分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。