随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍

又 ｒ（ !） ＝ " ＜ ０， 因此 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的绝对稳定域是以－ １ ＋ ｉ０ 为圆心， 以 １ 为半径的圆的外部区域， 且是 Ａ! 稳定的．
３．２ 有限差分法的 Ａ! 稳定性
将数值方法式（ ６） 应用到式（ ３） 得： Ｘｎ＋１ ＝ （ １ ＋ !ｈ） Ｘｎ ＋ "#Ｗｎ． 根据式（ ９） 有 Ｇ ＝ （ !ｈ） ＝ （ １ ＋ !ｈ） ， 由定义 １ 可得
为讨论 ２ 种数值方法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性， 给出式（ １） 的 ２ 类试验方程， 即
ｄＸ（ ｔ） ＝ !Ｘ（ ｔ） ｄｔ ＋ "Ｘ（ ｔ） ｄＷ（ ｔ）
（ ２）
ｄＸ（ ｔ） ＝ !Ｘ（ ｔ） ｄｔ ＋ #ｄＷ（ ｔ）
（ ３）
式中： !， "， # 是常系数．
对于求解随机微分方程的数值方法， １９７４ 年， Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 给出了以下差分格式［２］：
（ １０）
Ｘ（ ０） ＝ １ ｔ∈［ ０， １］
! " 在初始条件下式（ １０） 的精确解为 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ
－
５ ２
ｔ ＋ Ｗ（ ｔ）
．
因为 ｒ（ !） ＋
１ ２
$ ２ ＝ － ２ ＋ １ ＝ － ３ ＜ ０， 所以由 ２２
命题 １ 可知 Ｘ（ ｔ） 是均方稳定的．
为数值模拟精确解， 取步长 ｈ ＝ ２－８， ｔ∈［ ０， １］ ， 在 ＭａｔＬａｂ 中分别做出精确解曲线和 ２ 种数值方法的仿真曲
ｔ→∞
定的． 这是因为 ｈ ＝ １ 时， ｐ ＝ !ｈ ＝ － ２， ｑ ＝ μ$ ｈ ＝ １， （ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ／ ２ ＝ １ ＋１ ＋ １ ＝ ５ ＞ １， 不满足
２２ 均方稳定的充要条件； 而当 ｈ＝１ ／ ２ 时， ｐ ＝ !ｈ ＝ － １，
－ ｇ（ Ｘｎ－
!ｈ） ］ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …；
! ＝ １， ２， …
（ ６）
２ 均方稳定性
根据式（ ２） 的理论解 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ［ （ " － １ μ２） ｔ ＋ μ!Ｗ（ ｔ） ］ ， 得如下命题： ２
命题 １［３－４］ Ｘ（ ｔ） 均方稳定， 即ｌｉｍ Ｅ（ Ｘ（ ｔ） ２） ＝ ０ 的充要条件是 ｒ（ "） ＋ １ μ ２ ＜ ０， 式中， ｒ（ "） 为 " 的实部．
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ ＋ !ｈ） ｜ ＜ １#（ １ ＋ "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＜ １
因此有限差分法的绝对稳定域是以 １ ＋ ｉ０ 为圆心， 以 １ 为半径的圆的内部区域， 但不是 Ａ! 稳定的．
４ 仿真实例
在试验方程式（ ２） 中取 ! ＝ － ２， $ ＝ １， 得：
!ｄＸ（ ｔ） ＝ － ２Ｘｄｔ ＋ ＸｄＷ（ ｔ）
１＋
μ!Ｗｎ
＋
１ ２
μ２［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
（ １ － "ｈ） －１Ｘｎ
令 !Ｗｎ ＝ % ｈ Ｈｎ， Ｈｎ 服从标准正态分布， 即 Ｈｎ ￣ Ｎ（ ０， １） ， 以 ｐ ＝ "ｈ， ｑ ＝ μ% ｈ 代入上式得
Ｘｎ＋１ ＝［ １ ＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈｎ２ － １） ］ （ １ －
法的均方稳定性进行验证， 验证结果如图 ３ 所示．
从图中可看出， 当 ｈ ＝ １ 时， 曲线随时间增大呈上升
趋势， 即ｌｉｍ Ｅ（ Ｘ（ ｔ） ２） ≠ ０， 故 此时有限差 分法是
ｔ→∞
不稳定的． 当 ｈ ＝１ ／ ２， １ ／ ４ 时， 曲线随时间增大递减
并趋于零， 即ｌｉｍ Ｅ（ Ｘ（ ｔ） ２） ＝ ０， 故此时数值方法是稳
第 ２１ 卷第 ４ 期 ２００７ 年 １２ 月
河海大学常州分校学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＯＨＡＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＣＨＡＮＧＺＨＯＵ
Ｖｏ１．２１ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ． ２００７
文章编号： １００９－ １１３０（ ２００７） ０４－ ００３５－ ０４
随机微分方程 ２ 种数值方法的稳定性分析
邱 妍， 朱永忠
ｐ） － １ Ｘｎ
等式两端同时平方后取期望得
& $ Ｅ（ Ｘｎ＋１ ２） ＝ Ｅ
［ １ ＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈｎ２ － １） ］ （ １ －
ｐ） －１
２
Ｅ（
Ｘｎ
２）
根据递归式和命题 ２ 可知稳定函数
& $ Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ
［ １ ＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈｎ２ － １） ］ （ １ －
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） "Ｗｎ ＋
１ ２
［ ｇ′ｇ］ （ Ｘｎ ） ［ （ "Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …
（ ４）
并 证 明 了 该 方 法 在 均 方 意 义 下 的 收 敛 阶 为 Ｏ（ ｈ） ． 本 文 在 此 基 础 上 给 出 了 ２ 种 数 值 方 法 ： 第 １ 种 为 向
收稿日期： ２００７－ ０６－ １９ 作者简介： 邱妍（ １９８４－ ） ， 女， 江苏扬州人， 硕士研究生， 应用数学专业．
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河海大学常州分校学报
２００７ 年 １２ 月
了求导运算， 因此只需将试验数据代入该方法即可计算． 式（ １） 的 ２ 种数值方法如下：
ａ． 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法， 其表达式为
均方稳定理论的正确性．
关键词： 随机微分方程； 均方稳定； Ａ! 稳定； 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法； 有限差分法
中图分类号： Ｏ２４１．８
文献标识码： Ａ
随机微分方程是针对物理、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型， 其理论研究和实际应用均取 得了丰富而又成熟的成果． 但在多数情况下随机微分方程与常微分方程类似， 其解析解不易求出， 因此， 构 造有效的数值方法进行数值求解显得十分重要． 近 ２０ 年来， 随机微分方程数值计算方法不仅作为随机分 析、微分方程数值分析的交叉研究方向得到了高度重视和发展， 而 且在自然科 学以及工程 领域得 到 了 广 泛 的应用， 但随机变量的存在给数值方法的构造和各种性质的研究带来了一定的难度． 本文中作者在 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的基础上建立有限差分格式， 讨论了向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法［１］和有限差分法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性．
（ ｐ， ｑ） ∶（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １ ２
．
２．２ 有限差分法的均方稳定性
将数值方法式（ ６） 应用于式（ ２） 可得如下差分格式：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "ｈＸｎ ＋ μＸｎ!Ｗｎ ＋
１ ２
μ２Ｘｎ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
（ ８）
整理后得
Ｘｎ＋１ ＝ ｛１ ＋ "ｈ ＋ μ!Ｗｎ ＋
是区间［ ０， Ｔ］ 上的连续可测函数， 分别称为偏移系数和扩散系数； Ｗ（ ｔ） 为标准 Ｗｉｅｎｅｒ 过程， 其增量 "Ｗ（ ｔ） ＝
Ｗ（ ｔ ＋ ｈ） － Ｗ（ ｔ） ， ｔ ＋ ｈ∈［Fra Baidu bibliotek０，Ｔ］ ， 若步长 ｈ 充分小， 则 ΔＷ（ ｔ） 的均值和方差分别为
Ｅ ""Ｗ（ ｔ） #＝ ０， Ｅ "［ "Ｗ（ ｔ） ］ ２ $＝ ｈ
ｔ→∞
２
当参数 " 和 μ满足命题 １ 时， 关心的问题是 ｈ 取何值时， 数值方法是稳定的， 即模拟意义上的均方稳定．
为此将数值方法应用于式（ ２） ， 得递归式 Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ＋ ｙ（ "， μ， ｈ， !Ｗｎ） Ｘｎ． 命题 ２［３－４］ 数值方法均方稳定的充要条件是均方稳定函数 Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ ｙ（ "， μ， ｈ， !Ｗｎ） ２ ＜ １， 且其稳定
ｐ） －１
２
＝ （ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ２
故向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １， 即（ １ ＋ ｑ２ ） ２ － ２（ １ － ｐ） ２ ＋１＜ ０ ； 相应的 ２
& $ 均方稳定域 Ｓ ＝
１ ２
μ２［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］ ｝Ｘｎ
采样同样的方法可得有限差分法的均方稳定函数
’ ( Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ
［１
＋ｐ
＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈ２ｎ －
１） ］
２
＝ （ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ２
第 ２１ 卷第 ４ 期
邱 妍， 等 随机微分方程 ２ 种数值方法的稳定性分析
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ＋１） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） !Ｗｎ ＋
１ ２
［ ｇ＇ ｇ］ （ Ｘｎ ） ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］ ，
ｎ ＝ ０， １， …
（ ５）
ｂ． 有限差分法， 其表达式为
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） !Ｗｎ ＋
１ ４!ｈ
ｇ（ Ｘｎ ） ［ ｇ（ Ｘｎ＋ !ｈ）
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因此有限差分法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＜ １， 相应的均方稳定域为 ２
! " Ｓ ＝ （ ｐ ＋ ｑ） ∶（ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＜ １ ２
３ Ａ! 稳定性
将数值方法应用于式（ ３） 可得如下递归式：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｇ（ !ｈ） Ｘｎ ＋ Ｙｎ
线， 如图 １、２ 所示． 从图中可见在相同的 Ｂｒｏｗｎ 路径下［６］， ２ 种数值方法的仿真曲线与精确解曲线十分逼近， 并
且都为全局一阶强收敛 ．［７］ 利用 ＭａｔＬａｂ 计算出向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的最大误差为 ０．００４ １， 平均误差为０．００２ １； 有限
图 １ 精确解与向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法近似解 Ｆｉｇ． １ Ｔｒ ｕｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ａ ｂａｃｋ Ｍｉｌｓｔｅｉｎ
（ 河海大学 理学院， 江苏 南京 ２１００９８）
摘要： 给出了求解随机微分方程的 ２ 种数值方法： 有限差分法和向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法， 基于随机微分方 程的试验方程分
析讨论了 ２ 种数值方法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性， 得到了相应的稳定性条件和稳定域． 最后应用 ＭａｔＬａｂ 进行模拟
演示， 模拟演示结果表明， 有限差分法和向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法都全局一阶强收敛于随机微分方程的求解过程， 并且验证了
域 Ｓ ＝ "（ ｐ， ｑ） ∶Ｒ（ ｐ， ｑ） ＜ １ #．
２．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的均方稳定性
将数值方法式（ ５） 应用于式（ ２） 得如下差分方程：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "ｈＸｎ＋１ ＋ μ!Ｗｎ Ｘｎ ＋
１ ２
μ２Ｘｎ （ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ）
（ ７）
整理得
" $ Ｘｎ＋１ ＝
ａｐｐｒ ｏｘｉｍａｔｉｏｎ
图 ２ 精确解与有限差分法近似解 Ｆｉｇ． ２ Ｔｒ ｕｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ａ ｆｉｎｉｔｅ
ｄｉｆｆｅｒ ｅｎｃｅ ａｐｐｒ ｏｘｉｍａｔｉｏｎ
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河海大学常州分校学报
２００７ 年 １２ 月
差分法的最大误差为 ０．００２， 平均误差为 ９．３４×１０－４．
选取 ｔ∈［ ０， ２０］ ， ｈ ＝ １， １ ／ ２， １ ／ ４， 对有限差分
ｎ ＝ ０， １， …
（ ９）
式中， Ｙｎ 为不依赖于 Ｘｎ 的随机变量． 数值方法的绝对稳定域 Ｄ ＝ ｛!ｈ｜ｒ（ !） ＜０， 且｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＜ １｝．
定义 １［５］ 若数值方法的绝对稳定域包含整个左半平面， 即 ｒ（ !） ＜ ０ #｜Ｇ（ !ｈ） ｜＜１， 则称数值方法是 Ａ! 稳
１ 求解随机微分方程的 ２ 种数值方法
考虑如下标量自治初值问题：
"ｄＸ（ ｔ） ＝ ｆ（ Ｘ（ ｔ） ） ｄｔ ＋ ｇ（ Ｘ（ ｔ） ） ｄＷ（ ｔ）
（ １）
Ｘ（ ０） ＝ Ｘ０
ｔ ∈ ［ ０，Ｔ］
式中： 参数 ｔ 表示时间； 指标集 Ｔ 是一个有限或无限区间， 通常取为实轴或实轴上的一个区间； ｆ（ Ｘ） 和 ｇ（ Ｘ）
后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法， 即将式（ ４） 中偏移系数变为隐式； 第 ２ 种为有限差分法， 即将式（ ４） 中的微分用有限差分代替．
有限差分法是十分有用的， 因为在通常情况下 用式（ ４） 求解随 机微分方 程（ １） 时需要对 其中的 ｇ（ Ｘｎ） 求导 ， 若 ｇ（ Ｘｎ） 的值是由试验得出的具体数据， 则无法进行求导计算， 而采用有限差分法将微分转化为差分， 避免
定的．
３．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的 Ａ! 稳定性
将数值方法式（ ５） 应用到式（ ３） 得： （ １ － !ｈ） Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "#Ｗｎ． 根据式（ ９） 有 Ｇ（ !ｈ） ＝ （ １ － !ｈ） －１， 其中 ! ＝ " ＋ ｉ #， 由定义 １ 可得
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ － !ｈ） －１｜ ＜ １#（ １ － "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＞ １