随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性随机微分方程是描述随机系统行为的数学模型，其在金融、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
分段连续型随机微分方程是一类比较常见的随机微分方程，在数值求解时需要考虑其收敛性和稳定性。
本文将从分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性两个方面进行探讨。
一、分段连续型随机微分方程的数值方法分段连续型随机微分方程是指其漂移系数和扩散系数在不同区间内可以是连续函数，而在不同区间之间可以有跳跃。
对于这样的随机微分方程，常见的数值求解方法有欧拉方法、Milstein方法等。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的随机微分方程数值求解方法之一，其基本形式可以表示为：\[Y_{n+1}=Y_n+a_n(\theta_n-Y_n)Δt+b_nΔW_n \]\(a_n\)是漂移系数，\(b_n\)是扩散系数，\(\theta_n\)是对应的确定性微分方程的解，\(Δt\)为时间步长，\(ΔW_n\)为布朗运动的增量。
二、分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性对于分段连续型随机微分方程的数值求解方法，其收敛性是一个重要的性质。
收敛性是指在网格逼近下，数值解是否能够逼近真实解。
通常来说，数值方法的收敛性可以通过两个方面来进行分析：弱收敛性和强收敛性。
1. 弱收敛性对于分段连续型随机微分方程的数值方法，弱收敛性是指数值解在某种意义下以概率收敛于真实解。
对于欧拉方法和Milstein方法，已经有一些研究证明了它们在一定条件下的弱收敛性。
比如在一维情况下，对于线性随机微分方程，欧拉方法是一阶弱收敛的，而Milstein方法是二阶弱收敛的。
1. 稳定性概念对于随机微分方程的数值方法，稳定性主要涉及到数值解的增长率和真实解的增长率。
如果数值解的增长率随着时间的增长而趋于有界，则该数值方法是稳定的；否则，则是不稳定的。
2. 欧拉方法的稳定性对于欧拉方法来说，其稳定性分析相对简单，通常只需要考虑离散时间步长是否足够小，以保证数值解在有限时间内不会发散。
微分方程中的数值解法稳定性分析
微分方程中的数值解法稳定性分析数值解法是微分方程求解中常用的方法之一。
对于许多复杂的微分方程，往往无法通过解析方法获得精确解，因此需要借助数值方法来进行近似求解。
然而，不同的数值解法存在着不同的稳定性特点，其对解的精确度和稳定性有着重要影响。
本文将对微分方程中常见的数值解法进行稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是最简单直观的数值解法，它采用离散化的方式逼近微分方程的解。
对于一阶常微分方程dy/dt = f(t,y)，欧拉法的迭代格式为：y_i+1 = y_i + h*f(t_i, y_i)其中，h为步长，t_i为离散的时间点。
欧拉法的稳定性分析可以通过线性稳定性分析方法进行。
假设精确解为y(t)，采用欧拉法得到的数值解为y_i，则欧拉法的局部截断误差为O(h^2)，即e_i = O(h^2)。
由此可以推导出欧拉法的增长因子为：g(h) = 1 + hf'(t_i, y_i)当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，欧拉法是稳定的；当|h*f'(t_i, y_i)| > 1时，欧拉法是不稳定的。
因此，欧拉法的稳定性要求步长h不能太大，且f(t, y)的绝对值不能太大。
二、改进的欧拉法（Heun法）改进的欧拉法，也称为Heun法，是对欧拉法的一种改进。
它通过估计两个点处的斜率来提高解的精确度。
Heun法的迭代格式为：k_1 = hf(t_i, y_i)k_2 = hf(t_i + h, y_i + k_1)y_i+1 = y_i + 0.5*(k_1 + k_2)Heun法的稳定性分析类似于欧拉法。
同样地，当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，Heun法是稳定的。
三、Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一类常用的数值解法，包括二阶(两步)、四阶(四步)、六阶(六步)等不同阶数的方法。
以四阶Runge-Kutta法为例，其迭代格式为：k1 = hf(t_i, y_i)k2 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k1)k3 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k2)k4 = hf(t_i + h, y_i + k3)y_i+1 = y_i + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)与欧拉法和Heun法相比，四阶Runge-Kutta法具有更高的精确度和稳定性。
微分方程数值方法中的稳定性分析
微分方程数值方法中的稳定性分析微分方程是描述自然现象和工程问题的重要数学模型，其解析解往往难以求得。
为了得到数值解，人们发展了各种微分方程数值方法。
在应用这些方法时，我们不仅要考虑其精确度和收敛性，还需要关注其稳定性，确保数值解的可靠性和准确性。
稳定性是微分方程数值方法中一个重要的性质，它描述了当初始条件有微小的变化时，数值解的变动情况。
解的稳定性可以保证当初始条件有微小扰动时，数值解不会产生剧烈的变化，从而使得数值结果更加可靠。
在微分方程数值方法中，稳定性通常通过离散化的截断误差来分析。
截断误差是数值解与确切解之间的差异，它由数值方法的近似性质和离散化过程中的舍入误差所决定。
当离散化误差的增长速度受到一定限制时，数值方法被认为是稳定的。
常见的微分方程数值方法中，有一些方法具有稳定性的特点。
例如，欧拉方法是最简单的一种数值方法，它是显式的一阶方法。
当微分方程满足一定的稳定性条件时，欧拉方法是稳定的。
另外，当微分方程是抛物型或拟抛物型时，差分方法具有稳定的特性。
此外，有限差分方法、有限元方法、谱方法等在不同的条件下也可以具有稳定性。
稳定性分析在选择合适的数值方法时起到重要的指导作用。
当我们面临多个数值方法选择时，稳定性可以帮助我们判断哪种方法更适合我们的问题。
当我们的微分方程具有稳定性条件时，我们可以选择稳定的数值方法进行求解，以确保数值结果的准确性。
除了稳定性分析，我们还可以通过数值实验来验证数值方法的稳定性。
通过选取不同的初始条件和参数，及时数值解是否在不同的情况下保持稳定性。
通过这种方法，我们可以更加直观地了解数值方法的稳定性表现，并根据实验结果进行方法的选择和改进。
总结起来，稳定性是微分方程数值方法中不可忽视的一个重要性质。
通过稳定性分析，我们可以选择合适的数值方法来求解微分方程，确保数值结果的可靠性。
与此同时，数值实验也可以作为一种验证方法，来进一步验证所选方法的稳定性。
稳定性分析和验证的有效性可以为微分方程数值方法的应用提供可靠的理论和实践基础。
求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性
1、For Itoˆ stochastic differential equations, The numerical method and its stability was studied mainly. First, θ-Heun method was obtained by improving the Heun method. Then, according to the definition of the mean square stability and exponential stability of numerical method, the mean square stability condition and the exponential stability condition of the θ-Heun method and its stability regions were gain. What’s more, the range of the θ that makes the stability of θ-Heun method was given, and the numerical validation was performed. Finally, the mean square stability and the asymptotic stability of these two methods were compared by numerical examples.
微分方程数值解方法与稳定性分析
微分方程数值解方法与稳定性分析微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
求解微分方程的精确解并非总是可行的，因此需要借助数值方法来逼近方程的解。
本文将介绍微分方程数值解方法以及稳定性分析。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一，它基于微分方程的定义，通过离散化自变量的步长来逼近解。
假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0，我们可以将自变量x离散化为x0, x1, x2, ..., xn，步长为h = (xn - x0)/n。
利用欧拉方法，我们可以得到逼近解y1, y2, ..., yn。
具体而言，我们可以通过迭代公式y_{i+1} = y_i + h*f(x_i, y_i)，其中i = 0,1, ..., n-1，来计算逼近解。
这个迭代过程从初始条件y0开始，一步一步地逼近真实解。
然而，欧拉方法的精度较低，容易积累误差，并且对于某些微分方程可能不稳定。
二、改进的欧拉方法为了提高数值解的精度，可以使用改进的欧拉方法，如改进的欧拉方法和改进的欧拉-Cauchy方法。
改进的欧拉方法是在欧拉方法的基础上，利用两个点的斜率来逼近解。
具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i,y_i))/2)，来计算逼近解。
这种方法可以减小误差，并提高数值解的精度。
改进的欧拉-Cauchy方法是在欧拉方法的基础上，利用四个点的斜率来逼近解。
具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + 3*f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i, y_i))/4)，来计算逼近解。
这种方法进一步提高了数值解的精度。
三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括经典的四阶龙格-库塔方法。
它通过计算多个点的斜率来逼近解，并且具有较高的精度和稳定性。
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性随机微分方程是描述概率性系统的数学模型，它是普通微分方程与随机过程的结合。
随机微分方程在很多领域有着重要的应用，如金融工程、生物学、气象学等。
而分段连续型随机微分方程是随机微分方程的一种特殊形式，它的解在时间上是非连续的。
本文将围绕分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性展开讨论。
我们来看数值方法的收敛性。
在数值方法中，我们通常会用离散化的方法来逼近随机微分方程的解。
对于分段连续型随机微分方程，我们可以采用Euler方法、Milstein方法等来进行数值求解。
Euler方法是一种简单而常用的数值方法，它将时间区间等分，然后利用微分方程的近似值来计算下一个时间点的值。
Milstein方法是一种改进的方法，它在Euler方法的基础上增加了一项修正项，从而提高了数值解的精度。
对于分段连续型随机微分方程的数值方法而言，其收敛性是至关重要的。
收敛性意味着当离散化的步长趋于零时，数值解会逼近真实解。
一般来说，我们可以通过理论分析和数值实验来判断数值方法的收敛性。
对于Euler方法而言，当离散化的步长趋于零时，数值解与真实解之间的误差是会逐渐减小的，因此Euler方法是收敛的。
而对于Milstein方法，由于其更高的数值精度，其收敛性也是可以得到保证的。
我们来看数值方法的稳定性。
稳定性是指当系统的初始条件有微小变化时，数值解的变化情况。
对于分段连续型随机微分方程而言，其解在时间上是非连续的，因此其稳定性对于数值方法来说是一个很大的挑战。
一般来说，我们可以通过线性稳定性和非线性稳定性来评判数值方法的稳定性。
线性稳定性是指当系统的初始条件有微小变化时，数值解的变化情况是否受到限制；非线性稳定性是指当系统的初始条件发生较大变化时，数值解的变化情况。
分段连续型随机微分方程是一个重要的数学模型，其在实际应用中有着广泛的用途。
对于分段连续型随机微分方程的数值方法的收敛性和稳定性，我们可以通过理论分析和数值实验来进行评判。
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析微分方程是描述自然界中许多现象和过程的重要数学工具。
在实际问题中，我们常常需要通过数值方法来求解微分方程，以得到近似的解析解。
然而，数值解法的稳定性和收敛性是决定求解效果好坏的关键因素。
一、稳定性分析稳定性是指在微分方程数值解法中，当初始条件有微小变化时，解的计算结果是否也有微小变化。
稳定性的分析是判断数值解法是否能够稳定地求解微分方程的重要方法。
1. 显式数值方法显式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过已知的前一时间步骤得到的解来进行的。
例如，常见的显式欧拉法、显式Euler法和显式龙格-库塔法等。
显式数值方法通常具有简单和易于实现的优点，但其稳定性较差。
对于一些具有特殊特征的微分方程，如刚性方程，显式数值方法往往很难保持稳定，甚至会导致数值解的发散。
2. 隐式数值方法隐式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过未知的当前时间步骤得到的解来进行的。
隐式方法常常需要求解一个非线性方程，因此计算量较大。
然而，隐式方法通常具有良好的稳定性。
例如，隐式欧拉法、隐式梯形法和隐式龙格-库塔法等都属于隐式数值方法。
这些方法对于刚性方程的求解具有一定的优势，能够更稳定地求得数值解。
3. 李普希茨稳定性除了显式和隐式数值方法外，还有一种稳定性分析方法是通过李普希茨稳定性进行判断。
李普希茨稳定性是指对于微分方程的解和微分方程中的函数，存在一个常数K，使得在给定区间内，解的变化不超过K倍的函数的变化。
具有李普希茨稳定性的数值方法可以保证数值解的稳定性，并且能够更好地控制误差的增长。
二、收敛性分析收敛性是指数值解法中的数值解是否在步长逐渐缩小的情况下趋向于解析解。
收敛性的分析是判断数值解法是否能够得到精确解的重要方法。
1. 局部截断误差局部截断误差是指数值解法中每个时间步长的计算结果与精确解之间的差值。
通过分析局部截断误差的大小，可以判断数值解法的收敛性。
对于显式数值方法，局部截断误差通常跟时间步长成正比。
微分方程的数值解法与稳定性分析
微分方程的数值解法与稳定性分析微分方程是研究自然现象和物理问题的重要数学工具。
在实际问题中，许多微分方程往往难以解析求解，因此需要借助计算机进行数值求解。
本文将介绍微分方程的数值解法以及稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是最简单、最基础的数值解法之一。
基本思想是将微分方程中的导数用差商逼近，得到差分方程，再求解差分方程以获得离散的数值解。
考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，将自变量 x 分割为若干小区间，步长为 h。
欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)，其中 y_i 和 x_i 是第 i 个点的数值解和自变量值。
欧拉法的简单易懂，但存在局限性。
当步长过大时，数值解的稳定性较差，可能出现数值误差增大、解发散等问题。
二、改进的欧拉法（改进欧拉法）为克服欧拉法的局限性，改进的欧拉法在迭代过程中增加了更高阶的差商项，提高了数值解的精度和稳定性。
举例说明，考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * (f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h * f(x_i, y_i))) / 2。
改进的欧拉法相比于欧拉法具有更好的数值稳定性和精度，但复杂度略高。
三、龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的高精度数值解法，其思想是通过多个对函数 f(x, y) 的估计来提高数值解的准确性。
最常见的四阶龙格-库塔法（RK4）是利用四个不同的斜率估计来计算数值解。
其迭代公式为：k_1 = h * f(x_i, y_i)k_2 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_1/2)k_3 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_2/2)k_4 = h * f(x_i + h, y_i + k_3)y_{i+1} = y_i + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) / 6龙格-库塔法具有较高的精度和数值稳定性，适用于各种类型的微分方程。
河海大学常州分校学报2007年第21卷总目次
类 非局 部反 应扩 散方 程 的临界爆 破指 标 …… … ……… … ……… …… …… …… …… ……… 黄 金城 （ ，５ ２２） 种 改进 的基 于代 价 函数 的地 图 匹配算 法 …… … ……… …… …… …… ……… …… …… …… 李 建 （ ，９ ２２）
一
交换 关联 势对 Ｐ Ｓ电子 结 构 的影 响 … … … …… … … … … …… … … … 胡 兆 东 邢 怀 忠 黄 燕 ， （ ，０ ｂ 等 ３１）
多载 波 Ｃ ＭＡ技 术 的分析 与研 究 … … … … … … … … … … … … … … … … 闰 洁 康桂 华 李佳 珉 （ ， １ Ｄ ４２）
Ｈ２ ４快速运 动估 计算 法研 究 … …… … …… … …… …… … … …… …… …… … …… 王 恒 朱金 秀（ ，４ ．６ ４２）
含 任意 裂纹功 能梯 度材 料板 的奇异 积分 方程 及其 数值 解 …… …… …… ……… …… 张 建 勇 马 会礼 （ ，６ ２１）
ｐ Ｌ ｐ ｃａ － ａｌ ｉ ａ ｎ算 子 多点边 值 问题正解 的存 在性 … … … … … … … … … … … … … … … 李 志艳
一
严树 林 （ ， １ ２２）
改进 Ｄ Ｔ Ｂ ＭＡ协 议公 平性 的一 种方案 …… … …… … …… … …… … …… … 刘 娟 康 桂华 张理 华（ ， ） ２ ９
带证 书恢 复代 理签 名 的改进 方案 … …… …… …… ……… …… …… …… … 姚 华静
庄 卫 华 王 爱 芹（ ， ３ ２ １）
电磁 激振器 的变结构 控 制 … …… … ……… …… …… …… …… …… …… ……… …… 杨 清华 汤炳 新 （ ，８ ４２）
随机微分方程数值解稳定性研究综述
随机微分方程数值解稳定性研究综述
邓飞其;莫浩艺
【期刊名称】《南京信息工程大学学报》
【年(卷),期】2017(009)003
【摘要】本文回顾了近年来随机微分方程数值方法的稳定性的研究成果.作为相关话题,收敛性问题也有所涉猎.以经典It(o)型随机微分方程、中立型随机泛函微分方程、Markov跳随机微分方程和Poisson跳随机微分方程为代表,主要介绍了几类数值方法稳定性研究的成果.这些方法包括常见的 Euler-Maruyama 方法、Backward Euler-Maruyama方法、θ方法、分步方法等.文中分析了关于稳定性等价性定理经典论文的学术思路,提出了随机微分方程数值计算与仿真所面临的挑战及所要解决的问题.
【总页数】13页(P284-296)
【作者】邓飞其;莫浩艺
【作者单位】华南理工大学自动化科学与工程学院,广州,510640;华南理工大学自动化科学与工程学院,广州,510640;广东工业大学应用数学学院,广州,510006【正文语种】中文
【中图分类】P393
【相关文献】
1.分段连续型随机微分方程数值解收敛性与稳定性比较研究 [J], 刘国清
2.半线性分段连续型随机微分方程数值解的收敛性和稳定性 [J], 刘国清;张玲;郭爽
3.中立型时滞随机微分方程数值解的指数稳定性 [J], 王秋实; 兰光强
4.非线性中立型时滞随机微分方程数值解的指数稳定性 [J], 宋美玲; 胡良剑
5.中立型随机比例微分方程的数值解的指数稳定性（英文） [J], 程生敏;石班班因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数值微分方程的数值稳定性分析
数值微分方程的数值稳定性分析在数值微分方程的求解过程中，我们需要关注的一个重要问题就是数值稳定性。
数值稳定性是指在数值计算过程中，误差是否能够被有效地控制在一定范围内，以确保计算结果的准确性和可靠性。
本文将介绍数值微分方程的数值稳定性分析方法。
一、数值微分方程的概念和数值求解方法数值微分方程是用数值方法求解微分方程的一种数学模型。
它将微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程，得到近似解。
常见的数值求解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、隐式方法等。
二、数值稳定性的概念和判定标准数值稳定性是指数值方法在求解微分方程时能否产生稳定的解。
一个数值方法是稳定的，当且仅当其近似解对微小扰动不敏感，即当初始条件和参数有轻微变化时，数值解的变化也应该是微小的。
常见的数值稳定性判定标准有绝对稳定性和相对稳定性。
绝对稳定性是指数值方法对任意给定步长和初始条件，数值解都保持有界。
相对稳定性是指数值方法对特定的步长范围和初始条件，数值解在特定范围内保持有界。
三、稳定性分析方法1. 行列式法行列式法是一种常用的数值稳定性分析方法。
通过构造数值方法的增量方程，将其转化为一个线性代数问题，然后通过求解行列式的特征值来确定数值方法的稳定性。
2. 谱半径法谱半径法是一种基于特征值分析的数值稳定性分析方法。
通过求解数值方法的增量方程的特征值，计算特征值的最大模长，即谱半径，来判断数值方法的稳定性。
3. 稳定性界面法稳定性界面法是一种直观的数值稳定性分析方法。
通过绘制数值方法的稳定性区域，即在复平面上画出稳定的解的区域，来判断数值方法的稳定性。
四、稳定性分析的应用稳定性分析对于选择合适的数值方法和步长非常重要。
通过稳定性分析，我们可以选择稳定的数值方法，以保证数值解的准确性和可靠性。
同时，稳定性分析还有助于优化数值方法和步长的选择。
通过观察稳定性界面或谱半径的变化情况，我们可以找到最大的稳定步长，从而提高计算效率。
总结：数值微分方程的数值稳定性分析是确保数值解准确性和可靠性的重要环节。
微分方程中的数值解法稳定性分析
微分方程中的数值解法稳定性分析微分方程是数学中的一个重要概念，用于描述变量之间的关系和变化规律。
在实际应用中，我们经常需要求解微分方程的数值解，以便获得系统的行为和性质。
然而，数值解法的稳定性一直是一个重要的问题，它决定了我们得到的数值解是否可靠和准确。
本文将对微分方程中的数值解法的稳定性分析进行讨论。
1. 引言微分方程是描述自然界和工程中许多现象的重要数学模型。
一般来说，微分方程可以分为初值问题和边界值问题。
求解微分方程的确切解往往是困难的，因此我们需要采用数值解法来近似求解。
然而，数值解法的稳定性是一个关键问题，它影响着我们得到的解的准确性和可靠性。
2. 常见的数值解法在求解微分方程的数值解时，常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些数值方法基于一定的迭代过程，通过逐步逼近真实解来求得数值解。
3. 稳定性的概念在讨论数值解法的稳定性之前，我们首先需要明确稳定性的概念。
稳定性是指数值解法是否能够在系统误差和舍入误差的影响下，对真实解进行准确的近似。
简单来说，稳定性意味着数值解的误差不会随着迭代过程的进行而放大。
4. 稳定性分析方法为了评估数值解法的稳定性，我们可以采用线性稳定性分析和非线性稳定性分析两种方法。
线性稳定性分析通过考察数值解法的误差传播性质来评估其稳定性。
非线性稳定性分析则通过研究数值解法对非线性扰动的响应来评估稳定性。
5. 数值稳定性的判据在进行稳定性分析时，我们可以使用一些判据来评估数值解法的稳定性。
常见的判据包括绝对稳定域和相对稳定域等。
绝对稳定域是指数值解法在平面上的一个区域，该区域内的所有初值条件均能得到稳定的数值解。
相对稳定域则是指数值解法能够得到有界解的初值条件的集合。
6. 稳定性分析的应用稳定性分析在实际应用中起着重要的作用。
通过稳定性分析，我们可以选择合适的数值解法来求解微分方程，以确保数值解的准确性和可靠性。
在不同的应用领域中，我们需要根据具体情况选择适当的数值解法，并进行相应的稳定性分析。
随机微分方程Runge-Kutta方法的矩指数稳定及矩渐近稳定性
随机微分方程Runge-Kutta方法的矩指数稳定及矩渐近稳定性张雨馨【摘要】考虑逼近随机微分方程的1.5阶Runge-Kutta法的矩指数稳定性和矩渐近稳定性,对于标量线性检验方程,证明了随机Runge-Kutta法的矩指数稳定性和矩渐近稳定性是一致的,并给出了这两种稳定性的存在条件.%Moment exponentical and moment asymptotic stabilities of Runge-Kutta method with strong order 1.5 for stochastic differential equations was studied. We have proved that for scalar linear test equations, these stabilities of Runge-Kutta method are equivalent and we gave the conditions for these stabilities existing.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)001【总页数】2页(P67-68)【关键词】Runge-Kutta方法;矩指数稳定;矩渐近稳定【作者】张雨馨【作者单位】吉林大学数学学院,长春130012;哈尔滨工程大学理学院,哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】O211.63对于随机微分方程, 常用的数值方法是Euler-Maruyama格式和Milstein近似, 关于它们的稳定性研究目前已有许多结果[1-6]. 但Euler-Maruyama方法的强收敛阶仅为0.5, Milstein方法的强收敛阶为1. Burrage等[7]构造了1.5阶强收敛的随机Runge-Kutta方法, 并在文献[8]中修正了所构造的算法. 本文研究这类算法的p 阶矩指数稳定性和p阶矩渐近稳定性.Stranovich随机微分方程初值问题为:dy(t)=f(y(t))dt+g(y(t))∘dW(t), y(0)=y0∈Rn, (1)其中: f(y(t))为漂移项; g(y(t))为扩散项; W(t)为标准Wiener过程. 做稳定性分析时, 一般只需考虑标量线性检验方程dy(t)=ay(t)dt+by(t)∘dW(t), (2)其中a,b∈R . 选择h为步长, 用yn表示y(tn)的近似值, 将文献[9]提出的1.5阶Runge-Kutta法应用于随机微分方程(1)上, 有(3)其中:是s×s矩阵; α,γ(1),γ(2)是s维向量; I是单位矩阵; ⊗表示Kronecker积, 而F(Y)=(f(Y1)T,…, f(Ys)T)T, G(Y)=(g(Y1)T,…,g(Ys)T)T, e=(1,…,1).将Runge-Kutta法(3)应用到检验方程(2)上, 可得Y=yne+(haA+b(B(1)J1+B(2)(J10/h)))Y ⟹ Y=(I-haA-b(B(1)J1+B(2)(J10/h)))-1yne,因此,yn+1=yn+hαTaY+(γ(1)TJ1+γ(2)T(J10/h))bY ⟹ yn+1=Rn+1yn, (4)其中Rn+1=1+(haαT+b(γ(1)TJ1+γ(2)T(J10/h)))(I-haA-b(B(1)J1+B(2)(J10/h)))-1e.下面给出矩指数稳定和矩渐近稳定的定义[6,9-10].定义1 给定一个步长h>0, 如果对于所有的初值y0∈Rd, 都有则应用在方程(1)上的数值方法称为p阶矩指数稳定的. 当p=2时, 这种稳定性称为均方指数稳定.定义2 如果对于所有的初值y0∈Rd, 都有则应用在方程(1)上的数值方法称为p 阶矩渐近稳定的. 当p=2时, 这种稳定性称为均方渐近稳定.定理1 对于检验方程(2), Runge-Kutta法(3)的p阶矩指数稳定和p阶矩渐近稳定是一致的, 且充要条件均为E()<1.证明: 由式(4)通过迭代可知=…y0. (5)因为{R1,…,Rn}是独立同分布的随机变量序列, 所以对式(5)的两端同时取数学期望可得E()=(E())ny0, 计算此式的极限可得⟹⟹ E()<1,从而由定义1和定义2可知结论成立.衷心感谢吉林大学数学学院李勇教授的悉心指导.参考文献【相关文献】[1] Buckwar E, Kelly C. Towards a Systematic Linear Stability Analysis of Numerical Methods for Systems of Stochastic Differential Equations [J]. SIAM J Numer Anal, 2010, 48(1): 298-321.[2] Buckwar E, Sickenberger T. A Comparative Linear Mean-Square Stability Analysis of Maruyama and Milstein-Type Methods [J]. Math Comput Simu, 2011, 81: 1110-1127. [3] Higham D J, MAO Xue-rong, YUAN Cheng-gui. Almost Sure and Moment Exponential Stability in the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations [J]. SIAM JNumer Anal, 2007, 45(2): 592-609.[4] Saito Y, Mitsui T. Mean-Square Stability of Numerical Schemes for Stochastic Differential Systems [J]. Vietnam J Math, 2002, 30: 551-560.[5] Saito Y, Mitsui T. Stability Analysis of Numerical Schemes for Stochastic Differential Equations [J]. SIAM J Numer Anal, 1996, 33(6): 2254-2267.[6] Higham D J, MAO Xue-rong, Stuart A M. Exponential Mean-Square Stability of Numerical Solutions to Stochastic Differential Equations [J]. LMS J Comput Math, 2003, 6: 297-313.[7] Burrage K, Burrage P M. High Strong Order Explicit Runge-Kutta Methods for Stochastic Ordinary Differential Equations [J]. Appl Numer Math, 1996, 22(1/2/3): 81-101.[8] Burrage K, Burrage P M. Order Conditions of Stochastic Runge-Kutta Methods by B-Series [J]. SIAM J Numer Anal, 2000, 38(5): 1626-1646.[9] Burrage P M. Runge-Kutta Methods for Stochastic Differential Equations [D]: [Ph D Thesis]. Brisbane, Australia: Department of Mathematics, University of Queensland, 1999.[10] MAO Xue-rong. Stochastic Differential Equations and Applications [M]. Chichester, UK: Horwood, 1997.。
微分方程的稳定性分析
微分方程的稳定性分析稳定性分析是微分方程研究中的重要内容，它关注的是系统解的长期行为。
通过稳定性分析，我们可以了解系统解的极限情况，以便更好地理解和预测系统的行为。
一、什么是微分方程的稳定性分析微分方程的稳定性分析是通过研究方程解的渐进行为来确定方程的稳定性质。
在稳定性分析中，我们需要关注解的局部和整体行为，包括解的收敛性、周期性和渐近性等。
二、稳定性分析的方法稳定性分析有多种方法，常见的包括线性稳定性分析、李雅普诺夫稳定性分析和拉普拉斯变换等。
下面我们将介绍其中的两种方法。
1. 线性稳定性分析线性稳定性分析是一种常用的稳定性分析方法，适用于线性微分方程或非线性微分方程的线性化问题。
该方法通过分析线性近似方程的特征值来判断系统的稳定性。
线性稳定性分析的基本步骤如下：1）求出线性近似方程；2）求解线性近似方程的特征值；3）根据特征值的实部和虚部判断系统的稳定性。
2. 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是一种适用于非线性微分方程的稳定性分析方法，主要用于判断解的渐进稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析的基本思想是引入李雅普诺夫函数或李雅普诺夫方程，通过研究该函数或方程的性质来判断系统的稳定性。
常见的李雅普诺夫稳定性定理有李雅普诺夫第一定理和李雅普诺夫第二定理。
三、稳定性分析的应用稳定性分析在很多领域中有广泛的应用，以下举两个例子说明。
1. 电路分析在电路分析中，稳定性分析可以用来判断电路的稳定性和输出响应的稳定性。
通过对微分方程进行稳定性分析，可以预测电路的稳态工作点和响应特性，为电路设计和优化提供指导。
2. 生态学研究在生态学研究中，稳定性分析可以用来分析种群的演化和稳定性。
通过建立动态方程，研究种群数量随时间的变化规律，可以评估种群的稳定性和系统的可持续性。
四、总结稳定性分析是微分方程研究中的重要内容，它通过分析方程解的渐进行为来确定系统的稳定性质。
常用的稳定性分析方法有线性稳定性分析和李雅普诺夫稳定性分析。
求解随机微分方程PL方法和RS方法的稳定性
法, 得到迭代式为:
y n+ 1 = R ( h, a, b, J ) y n
( 4)
其中, J = w n = w ( tn+ 1 ) - w ( t n ) ~ N ( 0, h) ; h 是
步长。
定义 1 称 R1( h, a, b) = E( R2( h, a, b, J ) ) 是数
值方法( 4) 式的均方稳定函数; 如 果给定步长 h,
dy = f ( y ( t) ) dt + g( y ( t ) ) dw ( t) ,
t [ t0 , T ] , y ( t0 ) = y 0 , y R ( 2)
其中, f ( y ( t) ) = f ( y ( t) ) -
1 2
g(
y(
t)
)
!g !y
(
y
(
t
)
)
;
f ( y ( t ) ) 是漂移系数; g( y ( t) ) 是扩散系数且二阶
第 33 卷 第 12 期 2010 年 12 月
合肥工业大学学报( 自然科学版)
JO U RN AL O F H EFEI U N IV ERSIT Y OF T ECH N OL O GY
Doi: 10. 3969/ j. issn. 1003 5060. 2010. 12. 035
V ol. 33 No. 12 Dec. 2010
本文讨论了二阶显式随机 Runge Kut ta 方法 中的另外 2 种方法 PL 方法和 RS 方法, 并给 出此方法的均方稳定性的条件, 进一步 证明了 2 种方法求解随机微分方程时均方稳定和指数稳定 是等价的, 同时给出了 2 种方法求解随机微分方 程 T 稳定性的充要条件。
数值微分方程的稳定性分析
数值微分方程的稳定性分析数值微分方程是求解微分方程数值解的一种方法，它在很多科学和工程领域具有重要的应用价值。
然而，数值微分方程的求解过程中存在着一些稳定性问题，对于保证数值解的准确性和可靠性具有重要意义。
稳定性是指在数值计算过程中，解的误差是否会放大或者衰减。
如果数值方法对于微小的扰动非常敏感，解的误差会不断放大，从而导致数值解的不可信。
而如果数值方法对于微小的扰动具有稳定性，解的误差可以被控制在一定的范围内，数值解就是可靠的。
为了进行数值微分方程的稳定性分析，一般采用线性稳定性和非线性稳定性两种方法。
下面我将分别介绍这两种方法。
1. 线性稳定性分析线性稳定性分析是通过对数值微分方程进行离散化，然后分析离散化误差的增长情况来判断数值方法的稳定性。
常用的线性稳定性分析方法有稳定性函数法和相容性条件法。
稳定性函数法是通过构造稳定性函数来分析离散化误差的增长情况。
稳定性函数是一个关于步长和离散化参数的函数，当稳定性函数的模小于等于1时，数值方法是稳定的。
相容性条件法则是通过对方程进行泰勒展开，得到离散化误差的表达式，然后对离散化误差进行分析得到稳定性条件。
2. 非线性稳定性分析非线性稳定性分析是在线性稳定性分析的基础上，进一步考虑微分方程的非线性特性对稳定性的影响。
非线性稳定性分析通常使用Lyapunov函数方法和能量方法来进行。
Lyapunov函数方法通过构造Lyapunov函数，根据Lyapunov函数的增减性判断数值方法的稳定性。
当Lyapunov函数单调递减时，数值方法是稳定的。
能量方法则是通过考虑系统的能量守恒来进行稳定性分析，通常通过构造系统的总能量以及能量的变化率来进行分析。
总结起来，数值微分方程的稳定性分析对于保证数值解的准确性和可靠性至关重要。
通过线性稳定性分析和非线性稳定性分析，可以判断数值方法的稳定性，并选择合适的数值方法来求解微分方程。
在实际应用中，还需要结合数值方法的精度、效率等方面进行综合考虑，以获得满足实际需求的数值解。
随机微分方程2种数值方法的稳定性分析
随机 微 分 方 程 ２种 数 值 方 法 的稳 定 性 分 析
邱 妍 ．朱 永 忠
（ 河海 大 学 理 学 院 ，江苏 南 京 ２０９ ） １ ０ ８
摘 要 ：给 出 了求 解 随机 微 分 方 程 的 ２种 数 值 方 法 ： 限差 分 法 和 向 后 Ｍｉ ｔｉ 有 ｌ ｅｎ法 ． 于 随 机 微 分 方 程 的 试 验 方 程 分 ｓ 基 析 讨 论 了 ２种 数值 方 法 的均 方 稳 定 性 和 Ａ 稳 定 性 ． 到 了相 应 的稳 定 性 条 件 和 稳 定 域 ． 后 应 用 ＭａＬ ｂ进 行 模 拟 。 得 最 ｔａ 演 示 ， 拟 演 示 结 果 表 明 ， 限差 分 法 和 向 后 Ｍｉ ｔｉ 都 全 局 一 阶强 收 敛 于 随 机微 分方 程 的求 解 过 程 ． 且 验 证 了 模 有 ｌ ｅｎ法 ｓ 并
（） 。 ｏ ：Ｘ ￡∈ ［， ｏ ］
．
…
式中： 参数 ｔ 示 时 间 ； 表 指标 集 是一 个 有 限或 无 限区 间 ， 常 取为 实 轴或 实 轴上 的一个 区间 ； （ 和 ｇ Ｘ） 通 厂Ｘ） （ 是 区间 ［ ， 上 的连续 可 测 函数 ， 别称 为偏 移 系数 和扩 散 系数 ； ｔ 为标 准 Ｗｉ ｅ 过 程 ， ０ ］ 分 Ｗ（） ｅ ｒ ｎ 其增 量 ＡＷ（） ｔ＝
均 方 稳 定 理论 的正 确 性 ． 关 键 词 ：随机 微 分 方 程 ；均 方 稳 定 ；Ａ一 定 ；向后 Ｍｉｓｅ ｎ法 ：有 限 差 分 法 稳 ｌｔ ｉ
中图 分 类 号 ：０ ４ ． ２ １ ８
文献 标 识 码 ：Ａ
随 机微 分方 程是 针对 物 理 、 济等 领 域 中 的随 机 现象 而 建立 的数学 模 型 ． 理 论 研 究 和实 际 应 用均 取 经 其
微分方程的定性与稳定性分析
微分方程的定性与稳定性分析微分方程是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的许多现象和规律。
在研究微分方程的过程中，定性与稳定性分析是一项关键的工具和方法。
本文将介绍微分方程的定性与稳定性分析的基本概念和方法。
一、微分方程的定性分析1. 定性分析的概念定性分析是通过分析微分方程的特征和重要性质，来了解方程解的大致行为和特点的过程。
它主要关注方程解的长期行为和稳定性，而不是具体的解析形式。
2. 相图和关键点相图是微分方程解的图形表示，通常以自变量和因变量的关系进行绘制。
关键点是方程解在相图中具有特殊意义的点，如平衡点、周期点、奇点等。
3. 平衡点和稳定性分析平衡点是方程解中保持不变的点，即导数为零的点。
稳定性分析是判断平衡点的性质，包括稳定、不稳定和半稳定等。
二、微分方程的稳定性分析1. 稳定性的概念稳定性是指方程解在平衡点附近的行为趋势，包括渐近稳定、指数稳定、周期稳定等。
稳定性分析是研究方程解在不同情况下的稳定性质。
2. 稳定性分析的方法（1）线性稳定性分析：通过线性化微分方程，求得线性化方程的特征根，并根据特征根的实部和虚部来判断解的稳定性。
（2）李雅普诺夫稳定性分析：通过构造适当的李雅普诺夫函数，证明解的稳定性。
（3）数值稳定性分析：通过数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，模拟方程解的行为和稳定性。
三、案例分析考虑一个常见的微分方程模型，如Logistic方程，描述了物种的增长和竞争过程。
通过定性与稳定性分析，可以了解方程解的行为特点。
具体的分析过程和结果省略。
四、结论微分方程的定性与稳定性分析是研究方程解行为和稳定性的重要方法。
通过相图、关键点、稳定性分析等工具和方法，可以揭示微分方程解的长期行为和稳定性质，为对实际问题的理解和解决提供基础。
总之，微分方程的定性与稳定性分析是研究方程解行为和稳定性的重要方法，在实际问题中有着广泛的应用。
通过本文的介绍，希望读者对微分方程的定性与稳定性分析有更深入的了解，并能在实际问题中灵活运用。
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性作者：卢树强来源：《商情》2019年第35期【摘要】近年来，分段连续型随即分方程被广泛应用在经济、物理、天文、生物、工程、信号等领域，因而普遍受到专家学者的关注。
分段连续型随机微分方程不仅具有理论价值，还具有应用价值。
本文主要分析分段连续型随机微分方程的重要意义，又解析分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性，并且给出了数值方法应用在分段连续型随机微分方程稳定的条件，证明这种数值方法保持和实现了精确解的稳定性。
【关键词】分段连续型随机微分方程;数值方法;收敛性;稳定性一、分段连续型随机微分方程的重要意义分段连续型随机微分方程与动力系统相对应，主要分为超前型、向前型、振动型等分段连续型微分方程。
在现实生活中，对事物变化描述，主要分为两大类，一类是被内在规律支配，被描述为与时间t有关的一个确定性函数的确定性过程，另一类受外界环境影响，没有确定表达形式，是一种随机过程，例如花粉在液体中的无规则运动。
因此，分段连续型随机微积分方程作为一种有效工具，能够更加真实的对物理现象、生物进化过程以及控制理论等进行真实的描绘。
二、解析随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性（一）数值方法的收敛性Maruyama最早讨论和研究随机微分方程数值方法的收敛性，在1955年他给出最简的收敛方法是Euler法：2000年，C.T.H Baker和E.Buckwar在文献中证明，在全局Lipschitz条件和线性增长条件下用于方程的Euler数值方法是0.5阶收敛的。
2002年，Higham等针对方程，证明了当系数f和g满足局部Lipschitz条件、解析解与Euler数值解的p阶矩有界时，Euler数值解是收敛的;并证明了系数f满足单边Lipschitz条件、g满足局部Lipschitz条件、解析解与Euler数值解的p阶矩有界时，Euler数值解是收敛的。
（二）数值方法的稳定性关于数值稳定的定义，最早在1985年由Pardoux和Talay给出，之后很多学者就数值方法的稳定性给出研究和讨论。
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－ ｇ（ Ｘｎ－
!ｈ） ］ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …；
! ＝ １， ２， …
（ ６）
２ 均方稳定性
根据式（ ２） 的理论解 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ［ （ " － １ μ２） ｔ ＋ μ!Ｗ（ ｔ） ］ ， 得如下命题： ２
命题 １［３－４］ Ｘ（ ｔ） 均方稳定， 即ｌｉｍ Ｅ（ Ｘ（ ｔ） ２） ＝ ０ 的充要条件是 ｒ（ "） ＋ １ μ ２ ＜ ０， 式中， ｒ（ "） 为 " 的实部．
ｎ ＝ ０， １， …
（ ９）
式中， Ｙｎ 为不依赖于 Ｘｎ 的随机变量． 数值方法的绝对稳定域 Ｄ ＝ ｛!ｈ｜ｒ（ !） ＜０， 且｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＜ １｝．
定义 １［５］ 若数值方法的绝对稳定域包含整个左半平面， 即 ｒ（ !） ＜ ０ #｜Ｇ（ !ｈ） ｜＜１， 则称数值方法是 Ａ! 稳
定的．
３．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的 Ａ! 稳定性
将数值方法式（ ５） 应用到式（ ３） 得： （ １ － !ｈ） Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "#Ｗｎ． 根据式（ ９） 有 Ｇ（ !ｈ） ＝ （ １ － !ｈ） －１， 其中 ! ＝ " ＋ ｉ #， 由定义 １ 可得
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ － !ｈ） －１｜ ＜ １#（ １ － "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＞ １
ｐ） －１
２
＝ （ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ２
故向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １， 即（ １ ＋ ｑ２ ） ２ － ２（ １ － ｐ） ２ ＋１＜ ０ ； 相应的 ２
& $ 均方稳定域 Ｓ ＝
域 Ｓ ＝ "（ ｐ， ｑ） ∶Ｒ（ ｐ， ｑ） ＜ １ #．
２．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的均方稳定性
将数值方法式（ ５） 应用于式（ ２） 得如下差分方程：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "ｈＸｎ＋１ ＋ μ!Ｗｎ Ｘｎ ＋
１ ２
μ２Ｘｎ （ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ）
（ ７）
整理得
" $ Ｘｎ＋１ ＝
第 ２１ 卷第 ４ 期 ２００７ 年 １２ 月
河海大学常州分校学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＯＨＡＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＣＨＡＮＧＺＨＯＵ
Ｖｏ１．２１ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ． ２００７
文章编号： １００９－ １１３０（ ２００７） ０４－ ００３５－ ０４
随机微分方程 ２ 种数值方法的稳定性分析
邱 妍， 朱永忠
ｔ→∞
定的． 这是因为 ｈ ＝ １ 时， ｐ ＝ !ｈ ＝ － ２， ｑ ＝ μ$ ｈ ＝ １， （ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ／ ２ ＝ １ ＋１ ＋ １ ＝ ５ ＞ １， 不满足
２２ 均方稳定的充要条件； 而当 ｈ＝１ ／ ２ 时， ｐ ＝ !ｈ ＝ － １，
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ ＋ !ｈ） ｜ ＜ １#（ １ ＋ "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＜ １
因此有限差分法的绝对稳定域是以 １ ＋ ｉ０ 为圆心， 以 １ 为半径的圆的内部区域， 但不是 Ａ! 稳定的．
４ 仿真实例
在试验方程式（ ２） 中取 ! ＝ － ２， $ ＝ １， 得：
!ｄＸ（ ｔ） ＝ － ２Ｘｄｔ ＋ ＸｄＷ（ ｔ）
（ ｐ， ｑ） ∶（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １ ２
．
２．２ 有限差分法的均方稳定性
将数值方法式（ ６） 应用于式（ ２） 可得如下差分格式：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "ｈＸｎ ＋ μＸｎ!Ｗｎ ＋
１ ２
μ２Ｘｎ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
（ ８）
整理后得
Ｘｎ＋１ ＝ ｛１ ＋ "ｈ ＋ μ!Ｗｎ ＋
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ＋１） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） !Ｗｎ ＋
１ ２
［ ｇ＇ ｇ］ （ Ｘｎ ） ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］ ，
ｎ ＝ ０， １， …
（ ５）
ｂ． 有限差分法， 其表达式为
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） !Ｗｎ ＋
１ ４!ｈ
ｇ（ Ｘｎ ） ［ ｇ（ Ｘｎ＋ !ｈ）
（ １０）
Ｘ（ ０） ＝ １ ｔ∈［ ０， １］
! " 在初始条件下式（ １０） 的精确解为 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ
－
５ ２
ｔ ＋ Ｗ（ ｔ）
．
因为 ｒ（ !） ＋
１ ２
$ ２ ＝ － ２ ＋ １ ＝ － ３ ＜ ０， 所以由 ２２
命题 １ 可知 Ｘ（ ｔ） 是均方稳定的．
为数值模拟精确解， 取步长 ｈ ＝ ２－８， ｔ∈［ ０， １］ ， 在 ＭａｔＬａｂ 中分别做出精确解曲线和 ２ 种数值方法的仿真曲
３７
因此有限差分法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＜ １， 相应的均方稳定域为 ２
! " Ｓ ＝ （ ｐ ＋ ｑ） ∶（ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＜ １ ２
３ Ａ! 稳定性
将数值方法应用于式（ ３） 可得如下递归式：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｇ（ !ｈ） Ｘｎ ＋ Ｙｎ
１ ２
μ２［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］ ｝Ｘｎ
采样同样的方法可得有限差分法的均方稳定函数
’ ( Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ
［１
＋ｐ
＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈ２ｎ －
１） ］
２
＝ （ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ２
第 ２１ 卷第 ４ 期
邱 妍， 等 随机微分方程 ２ 种数值方法的稳定性分析
ｔ→∞
２
当参数 " 和 μ满足命题 １ 时， 关心的问题是 ｈ 取何值时， 数值方法是稳定的， 即模拟意义上的均方稳定．
为此将数值方法应用于式（ ２） ， 得递归式 Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ＋ ｙ（ "， μ， ｈ， !Ｗｎ） Ｘｎ． 命题 ２［３－４］ 数值方法均方稳定的充要条件是均方稳定函数 Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ ｙ（ "， μ， ｈ， !Ｗｎ） ２ ＜ １， 且其稳定
ｐ） － １ Ｘｎ
等式两端同时平方后取期望得
& $ Ｅ（ Ｘｎ＋１ ２） ＝ Ｅ
［ １ ＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈｎ２ － １） ］ （ １ －
ｐ） －１
２
Ｅ（
Ｘｎ
２）
根据递归式和命题 ２ 可知稳定函数
& $ Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ
［ １ ＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈｎ２ － １） ］ （ １ －
为讨论 ２ 种数值方法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性， 给出式（ １） 的 ２ 类试验方程， 即
ｄＸ（ ｔ） ＝ !Ｘ（ ｔ） ｄｔ ＋ "Ｘ（ ｔ） ｄＷ（ ｔ）
（ ２）
ｄＸ（ ｔ） ＝ !Ｘ（ ｔ） ｄｔ ＋ #ｄＷ（ ｔ）
（ ３）
式中： !， "， # 是常系数．
对于求解随机微分方程的数值方法， １９７４ 年， Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 给出了以下差分格式［２］：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） "Ｗｎ ＋
１ ２
［ ｇ′ｇ］ （ Ｘｎ ） ［ （ "Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …
（ ４）
并 证 明 了 该 方 法 在 均 方 意 义 下 的 收 敛 阶 为 Ｏ（ ｈ） ． 本 文 在 此 基 础 上 给 出 了 ２ 种 数 值 方 法 ： 第 １ 种 为 向
均方稳定理论的正确性．
关键词： 随机微分方程； 均方稳定； Ａ! 稳定； 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法； 有限差分法
中图分类号： Ｏ２４１．８
文献标识码： Ａ
随机微分方程是针对物理、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型， 其理论研究和实际应用均取 得了丰富而又成熟的成果． 但在多数情况下随机微分方程与常微分方程类似， 其解析解不易求出， 因此， 构 造有效的数值方法进行数值求解显得十分重要． 近 ２０ 年来， 随机微分方程数值计算方法不仅作为随机分 析、微分方程数值分析的交叉研究方向得到了高度重视和发展， 而 且在自然科 学以及工程 领域得 到 了 广 泛 的应用， 但随机变量的存在给数值方法的构造和各种性质的研究带来了一定的难度． 本文中作者在 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的基础上建立有限差分格式， 讨论了向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法［１］和有限差分法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性．
（ 河海大学 理学院， 江苏 南京 ２１００９８）
摘要： 给出了求解随机微分方程的 ２ 种数值方法： 有限差分法和向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法， 基于随机微分方 程的试验方程分
析讨论了 ２ 种数值方法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性， 得到了相应的稳定性条件和稳定域． 最后应用 ＭａｔＬａｂ 进行模拟
演示， 模拟演示结果表明， 有限差分法和向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法都全局一阶强收敛于随机微分方程的求解过程， 并且验证了
ａｐｐｒ ｏｘｉｍａｔｉｏｎ
图 ２ 精确解与有限差分法近似解 Ｆｉｇ． ２ Ｔｒ ｕｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ａ ｆｉｎｉｔｅ
ｄｉｆｆｅｒ ｅｎｃｅ ａｐｐｒ ｏｘｉｍａｔｉｏｎ
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河海大学常州分校学报
２００７ 年 １２ 月
差分法的最大误差为 ０．００２， 平均误差为 ９．３４×１０－４．
选取 ｔ∈［ ０， ２０］ ， ｈ ＝ １， １ ／ ２， １ ／ ４， 对有限差分
１＋
μ!Ｗｎ
＋
１ ２
μ２［ （ !Ｗｎ） ２ －