反比例函数培优讲解(含答案)

反比例函数专题综合讲解(解答题)

1．（2010 四川成都）如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．

【答案】解：（1）∵已知反比例函数经过点，

∴，即∴∴A(1，2)

∵一次函数的图象经过点A(1，2)，

∴∴

∴反比例函数的表达式为，

一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。即,∴或。

∴或。∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。

2．（2010江苏徐州）如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的

两个交点，直线AB与y轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)求△AOC的面积；

(3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)．

【答案】

3．（2010 浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象

限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交轴、轴于点C 、D ，

且S △PBD =4，

．

（1）求点D 的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例

函数的值的的取值范围. 【答案】解：（1）在

中，令

得

∴点D 的坐标为（0，2）

（2）∵ AP ∥OD ∴Rt △P AC ∽ Rt △DOC

∵

∴

∴AP =6

又∵BD =

∴由S △PBD =4可得BP =2

∴P (2，6) 把P (2，6)分别代入

与

可得

一次函数解析式为：y =2x +2

反比例函数解析式为：

（3）由图可得x ＞2 4．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润

为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？

【答案】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即

；②当

时，

，所以当

＞5时，

；

⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．

5．（2010 山东）如图,已知直线

与双曲线

交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4.

（1）求k 的值； （2）若双曲线

上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；

y x

P

B

D A

O C

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

【答案】(1）∵点A横坐标为4 ，∴当x = 4时，y = 2

∴点A的坐标为（4，2 ）…………2’

∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点，

∴k = 4×2 = 8 ………….3’

(2)解法一：∵点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1 ∴点C的坐标为（1，

8）………..4’

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON

S矩形ONDM= 32 ，S△ONC = 4 ，S△CDA = 9，S△OAM = 4

S△AOC= S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM = 32－4－9－4 =

15 ………..6’

解法二：

过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1。

∴点C的坐标为（1，8）

∵点C、A都在双曲线上，

∴S△COE = S△AOF = 4

∴S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .

∴S△COA = S梯形CEFA

∵S梯形CEFA =×（2+8）×3 = 15，

∴S△COA = 15

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，

∴OP=OQ，OA=OB

∴四边形APBQ是平行四边形

∴S△POA = S平行四边形APBQ =×24 = 6

设点P的横坐标为m（m > 0且），

得P（m，）…………..7’

过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4

若0＜m＜4，

∵ S △POE + S 梯形PEFA = S △POA + S △AOF ， ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 ∴

解得m = 2，m = － 8（舍去） ∴ P （2，4） 若 m ＞ 4，

∵ S △AOF + S 梯形AFEP = S △AOP + S △POE ，∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 ∴

，解得m = 8，m =－2 （舍去）∴ P （8，1）

∴ 点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）………….9’ 6．（2010 河北）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．

（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；

（2）若反比例函数

（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是

否在该函数的图象上； （3）若反比例函数

（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．

写出m 的取值范围． 【答案】解：（1）设直线DE 的解析式为

，

∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴

解得 ∴

∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴ 点M 的纵坐标为2．又 ∵ 点M 在直线上，∴ 2 =

．∴ x = 2．∴ M （2，2）． （2）∵

（x ＞0）经过点M （2，2），∴

．∴

.

又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4． ∵ 点N 在直线上， ∴

．∴ N （4，1）．

∵ 当

时，y =

= 1，∴点N 在函数

的图象上．

（3）4≤ m ≤8．

7．（2010 山东省德州） ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为

E ，

F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________； (2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d )，求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示），并给出求解过程．

●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A (a ，b )，B (c ，

d )， AB 中点为D (x ，y ) 时，x =_________，y =___________．（不必证明）

x

M

N

y

D A

B C

E

O

O x

y

D

B

A

第22题图1

O x y

D

B A C