2.4 线段、角的轴对称性(4)
2.4线段-角的对称性
lQABP§线段，角的轴对称性（1）教学案主备人：赵廷尧自主学习问题1：如图，线段AB ，通过折叠，能否是使点A 与点B 重合问题2：线段是轴对称图形吗上面操作中的折痕是什么 <问题3：在折痕上任意取一点C ，连接AC 、BC ，AC 与BC 的数量关系怎样你能证明吗通过以上三个问题的解决你知道了什么 几何语言：∵MN ⊥AB ，AC ＝BC ，∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等）． "探究活动例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗为什么变形:在例1的条件下：1、若AP=6，BP=4，求△QPB 的周长；2、若△QPB 的周长为12，△APB 的周长为17，求AB ； %3、若△QPB 的周长为12，AB ＝7，求△APB 的周长。
4、若△QCB 的周长为24,△APB 的周长与四边形BPQC 的周长之差为12，求CQA BC例2、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长D FC ·例3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE＝AF．(【课堂练习】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.\§线段，角的轴对称性（1）达 标 自 测班级 学号 姓名自测内容1.线段垂直平分线上的点到 距离相等。
2、如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点．若AB ＝10 cm ，则BD ＝_______cm ；若PA ＝10 cm ，则PB ＝_______cm ．3.如图，在ΔABC 中，AB 的中垂线交AC 与点E ，若AC=9,AE:CE=2：1，则B 、E 两点间的距离是 。
2.4 线段、角的轴对称性(1)
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
例3、(1)课本P52练习1 （2）利用网格,在线段AC上找一点D,使点D到A、B两点的距离相等．
(3)课本P52练习2
2.3 设计轴对称图案
1、如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线DE分 别交AB、AC于点D、E． （1）若AC=12，BC=10，求△DBC的周长； （2）若AC=12，△DBC的周长为20，求BC的长； （3）若△ABC和△DBC的周长分别为35和23，求△ABC 的各边长．
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
A
B
2.4 线段的轴对称性
【例1】
1.如图，P是线段AB的垂直平分线上的一点。已2题图
2.如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分 线 l与AC相交于点D，则△ABD的周长为_____ cm．
2.4 线段的轴对称性
【练习】
（2）在对称轴上任意取一点P，连接PA、PB，再沿对称轴对折，你又 能发现折痕上任意一点到线段两端点的距离有什么关系？
垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
P
几何语言： 因为点P在线段AB的垂直平分线上
所以PA=PB
A
OB
2.4 线段的轴对称性
【思考】 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的 距离会相等吗？为什么？（借助图形说明）
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的轴对称 性（1）
2.4 线段的轴对称性
【复习回顾】
轴对称与轴对称图形的概念及性质
2.4__线段、角的轴对称性(1)
如图，在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q， 连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”，∵点Q在AB 的垂直平分线上，∴QA＝QB． ∴PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
A
∵三角形的两边之和大于第三边，
∴PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
2.4 线段、角的对称性（1）
A E B D C
3. 如图，△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂 直平分线，且∠BAD，∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.
C
D
A
E
B
4.如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2， 连结P1P2, 分别交OA、OB于点M、N，若P1P2=5cm， 则△PMN的周长为_________________.
l
∵点P是线段AB的垂直平分线上的点 ∴PA＝PB ．
P
或
∵PO⊥AB，OA=OB
∴PA＝PB ．
1 A
2 O
B
问题：到一条线段两端距离相等的点有
个.
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
l Q 1 2 B O P
初中数学 八年级(上册)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.4
线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
l 1 2 B
苏教版八年级上册数学线段、 角的轴对称性补充习题答案【三篇】
苏教版八年级上册数学线段、角的轴对称性补充习题答案【三篇】2.4线段、角的轴对称性（1）答案1、由点D在线段AB的垂直平分线上,可知DA=DB.于是△BDC的周长=BD+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=9.2、 (1)图略；(2)OA=OB=OC.∵点O在线段AB的垂直平分线m上,∴OA=OB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.2.4线段、角的轴对称性（2）答案1、点D在线段AC的垂直平分线上,∵BC=BD+DC,BC=BD+AD,∴BD+DC=BD+AD.∴DC=DA.∴点D在线段AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．2、∵∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4,∴△ABC≌△ADC,∴AB=AD,CB=CD.∴点A在线段BD的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.同理,点C在线段BD的垂直平分线上,∴AC是线段BD的垂直平分线（两点确定一条直线）．2.4线段、角的轴对称性（3）答案1、过点D作DE⊥AB,垂足为E.∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)．根据题意,得DC=6.∴点D到AB的距离为6.2、 DE=DC.∵AD平分∠BAC,DB⊥AB,DF⊥AC,∴DB=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)．又BE=CF,∴Rt△DBE≌Rt△DFC.∴DE=DC.3、∵∠FEB=∠FDC=90°,∠BFE=∠CFD,BE=CD,∴△BEF∽△CDF.∴FE=FD.∴点F在∠MAN的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）．。
2.4《线段、角的轴对称性》教案(4)
数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）2.4 线段、角的轴对称性（4）1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．学会证明点在角平分线上．教学过程（教师）学生活动设计思路上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能问题呢？回忆、思考．点明课题，制造悬念，习热情．知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求的角平分线上．证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE ＝PE，所以得证．上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置1．结合图形认真审题．2．分析、讨论证明思路．3．口述证明思路及证明过程．4．讨论归纳得到结论：三角形的三个内角的角平分线相交于一点．运用例题引导学生逐渐性质定理和逆定理．采用“要证，只要证”导学生逐步学会“分析法”问题解决完后及时进行出三角形“内心”，为学习三打好基础．知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．证AD垂直平分EF，，．AD＝∠CAD， DE⊥AB，DF⊥AC，，．学生利用分析法填空；阐述证明思路；完成证明过程．利用分析法引导学生学培养学生良好的思考习惯．开放的分析过程，提供考路径．完成练习．，说说你的发现，提出你的问题．练习：课本P56练习．学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．本题是角平分线性质定综合应用，实际上是例2的学生“一折，二画，三学生动手操作，获得成功，的积极性，再次鼓励学生使寻找证明方法．59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出学生根据自身实际情况，选题作业．实行作业分层，便于不学生自我发展．。
2江苏科版数学八年级上册专题训练.4 线段、角的轴对称性
2.4 线段、角的轴对称性（1）一、选择题1．下列命题正确的有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC=AD，BC=BD，则（）A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm二、填空题4．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是______°．5．已知：如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADC=______．6．在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=______ cm．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE：∠EBA=1：4，则∠A=______度，∠ABC=______度．8．底边AB=a的等腰三角形有______个，符合条件的顶点C在线段AB的______上．三、解答题9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1=2∠2，求∠A的度数．10．已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．11．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABC的周长为18厘米，△ABE的周长为10厘米，求BD的长．12．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线．（1）若BC=13，求△AEG的周长．（2）若∠BAC=126°，求∠EAG的度数．参考答案一、A 解析：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图.⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解.故选A．2．B 解析：AC=AD，BC=BD.根据线段垂直平分线的性质可得：AB垂直平分CD.故选B．3．D 解析：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.∵AC=5cm，BC=4cm，∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．故选D．二、4．15解析：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣50°）÷2=65°.∵DE为AB 的中垂线，∴AD=BD.∴∠ABD=∠A=50°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=15°．5．120° 解析：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠C=∠B==30°，∵AC的垂直平分线交BC于D，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C=120°．6．4解析：∵AB=AC=6cm，DE垂直且平分AB，∴BE=AE．∵△BCE的周长为10cm，BE+CE=AC=AB=6，∴BC=10﹣6=4（cm）．7．40 50解析：如图.∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A=∠EBA．∵∠CBE：∠EBA=1：4，∴可设∠CBE=x，则∠A=∠EBA=4x，∵∠C=90°，∴∠CBE+∠A+∠EBA=90°，即9x=90°，解得x=10°，∴∠A=4x=40°，∠ABC=5x=50°．8．无数垂直平分线解析：如图，作线段AB的垂直平分线，在该垂直平分线上任取两点M、N，则有MA=MB、NA=NB，即△MAB、△NAB均为等腰三角形，∴底边AB=a的等腰三角形有无数个，符合条件的顶点C在线段AB的垂直平分线上．三、9．解：∵AB的垂直平分线交AC于D点，∴DB=DA，∠2=∠A（设为α），∴∠BDC=∠2+∠A=2α；∵∠C=90°，∠1=2∠2，∴∠1+∠BDC=90°，即4α=90°，∴α=22.5°，即∠A=22.5°．10．证明：∵点P是边AB，BC的垂直平分线的交点，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC．11．解：∵C△ABC=18cm，∴AB+AC+BC=18cm． 2分∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，BD=BC 4分∵C△ABE=10cm，∴AB+AE+EB=AB+AC=10cm． 5分∴BC=C△ABC﹣C△ABE=8cm． 7分∴BD=BC=4cm． 8分12．解：（1）∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，BC=13，∴BE=AE，CG=AG，∴△AEG的周长=AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=13；（2）在△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠1=∠B，同理可得∠2=∠C，又∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，∴2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，∴∠EAG=60°．2.4 线段、角的轴对称性（2）一、选择题1．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，有下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC的中点．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°，则△ABC是______三角形．4．如图，∠ABC=70°，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC=______°．5．如图，在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AC，则△ABD的周长是______．6．如图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=______度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=______度，∠BOC=______度．7．在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，则∠B 的度数是______．三、解答题8．（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC；（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的______；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．9．如图，已知AE=CE，BD⊥AC．求证：AB+CD=AD+BC．10．如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且∠OBC=∠OCB，求证：AO⊥BC．11．已知：如图∠ABC=∠ACB，AD平分∠BAC，点P在直线AD上，求证：PB=PC．参考答案1．D；2．B；3．直角；4．20；5．33；6．=；=；=；50；50；80；100；7．37.5°或67.5°；8．内部；斜边的中点；外部；9．10．11．。
2.4 线段、角的轴对称性(2)
2.4 线段的轴对称性
【操作】
（1）用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线；
A
A
B
B
C
（2）分别作△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O， 证明：点O在BC的垂直平分线上.
2.4 线已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4， AC、BD相交于点E.
求证：AC是线段BD的垂直平分线.
D
1 A
2
E
3
C
4
B
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
练习：如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上 取一点E，使BD＝DE，已知AB+BD＝DC. 求证：点E在线段AC的垂直平分线上.
A
B
D
E
C
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
例2、直线 l 外有点A、B，若要在l上找一点， 使这点与点A、B的距离相等，这样的点一定 能找到吗？请你画图表示各种可能的情况.
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
例4、如图，已知直线l及其两侧两点A、B. （1）在直线l 上求一点P，使PA＝PB，并说明理由； （2）在直线l 上求一点Q，使l 平分∠AQB，并说明理由； （3）能否在直线l 上找一点，使该点到点A、B的距离之 差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置；若不能， 请说明理由.
A
A
A
l
l
l
B
B
B
2.3 设计轴对称图案
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的轴对称 性（2）
2.4 线段的轴对称性
【情境创设】
如果一个点在一条线段的垂直平分 线上，那么这个点到这条线段两端的距 离相等．
反过来，如果一个点到一条线段两 端的距离相等，那么这个点在这条线段 的垂直平分线上吗？
八年级数学教案：线段、角的轴对称性(全4课时)
课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.4 线段、角的轴对称性（2）教学目标1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．教学重点利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．教学难点灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：实践探索一在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？这样的点有多少个？实践探索二如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？分析：全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记实践探索四如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？如图2-26，若点Q 在∠AOB 内部，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，且QD ＝QE ，点Q 在∠AOB 的角平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？二．探究交流如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点。
求证：点P 在∠C 的平分线上。
三．交流展示OAB Q DE 2-26如图,AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB 于点F，判断AD、BC与AB之间的数量关系并说明理由。
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
2.4-2 线段和角的轴对称性
用直尺、圆规作已知线段垂直平分线的一般步骤： 活动3 画一画 回顾作法：
1.分别以A 、B为圆心， 1 大于 AB长为半径画弧；
2
M
A
2. 两弧相交于点M、N；
B
3.过点M、N作直线.
∴直线MN即为线段AB 的 垂直平分线.
N
活动4
再画画 如图，任意三角形ABC，边AB、BC的 垂直平分线 l1 、 l2交于点O
.
画板 Z J G 反 共
P
A
B
在线段垂直平分线外， 不存在到线段两端距 离相等的点.
定理： 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直 平分线上.
数量关系 位置关系
P
A B
推理格式:
∵ PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
如图，点MN为直线l上两点，且满足 l MA=MB，NA=NB
GO
M B
完成以下填空：
A
∵MA=MB， N AB ∴点M在线段 的垂直平分线上． (理由是 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上 又∵ NA=NB ， ∴点N在线段AB的垂直平分线上． ∴直线MN是线段AB的 垂直平分线 ． (理由是 两点确定一条直线 )
)
活动2
l
回顾、发现
如图，已知直线l 是线段AB的垂直平分线
作PO平分∠APB
1 2
共线
∵PO平分∠APB ∴ ∠1=∠2 在△POA和△POB中 PO=PO ∠1=∠2 PA=PB ∴△POA≌△POB(SAS) ∴∠AOP=∠BOP, OA=OB 又∵A、O、B三点共线 ∴∠AOP + ∠BOP=180° ∴∠AOP =90° ∴ PO⊥AB 又∵OA=OB ∴ PO垂直平分AB 即P在线段AB垂直平分线上
2.4线段、角的轴对称性(第1课时)(同步课件)八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
思维拓展
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平
分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．
P
● 2
●
●
A●
●
P3
O
●
B(A)
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
l
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
●
A●
∴ PA=PB
（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
用途：
相等的线段
P
●
O
B
操作与思考
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？
B
理由： 在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
A
∴ AP=A'P，AM=A'M，
l
M
A'
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
P
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:
A'B＜A'P+BP.
即AM+BM最短.
课堂小结
线
段
垂
直
平
分
线
的
性
质
内容
线段和角的对称性典型例题
线段和角的轴对称性知识梳理1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段距离的点在线段的上．细节剖析线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的平分线，画出到线段两个的距离，这样就出现线段，直接或间接地为构造三角形创造条件.三角形三边交于一点，该点到三角形三顶点的相等，这点是三角形外接圆的圆心—— .:2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的.（2）角平分线上的点到角两边的相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的上.细节剖析（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，则PE＝PF.（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的上.若PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB典型例题【考点1】角平分线的性质【例1】（2019秋•淮安期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP∠OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则∠ODQ的面积是（）A．4B．5C．10D．20【变式1】（2019秋•南开区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD∠CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．12【变式2】（2019秋•裕华区校级期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE∠AC 于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时∠F AP面积恰好是∠EAP面积的2倍，则此时AF的长是（）A．10B．8C．6D．4【变式3】（2019秋•樊城区期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确【考点2】线段垂直平分线的性质【例2】（2019秋•宿豫区期中）如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，△BCE 的周长为18，则AC 的长等于（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1】（2020春•郫都区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝31°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么∠A 的度数为（ ）A ．31°B ．62°C ．87°D ．93°【变式2】（2019秋•海安市期末）如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，连接AE ，BE ，作直线EF 交AB 于点M ，连接CM ，则下列判断不正确的是（ ）A ．AB ＝2CM B ．EF ⊥ABC ．AE ＝BED ．AM ＝BM【变式3】（2019秋•涟源市期末）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．13本次课课后练习知识点1：角平分线的性质1.（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，AE 平分CAB ∠，交BD 于点E ，8AB =，3DE =，则ABE ∆的面积等于( )A ．15B ．12C ．10D ．142.（2020秋•渝中区校级月考）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB =，CAB ∠和ABC ∠的平分线交于点O ，OM BC ⊥于点M ，则OM 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.（2020春•五华区校级期末）在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE = ．4.（2019秋•濉溪县期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，//BF DE 交CD 于点F ．求证：DE BF =．知识点2：线段垂直平分线的性质5.（2020•枣庄）如图，在ABC∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若6∆的周长为()BC=，5AC=，则ACEA．8B．11C．16D．176.（2020春•太原期末）如图，在ABC∠=︒，AB边的垂直平分线交AB于点D，∆中，80BAC交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则EAG∠的度数为()A．15︒B．20︒C．25︒D．30︒7.（2019秋•贵阳期末）如图，ABC∆中，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若6FC=，则ABC∆的周长AE=，8EF=，10是．8.（2020春•东明县期末）如图，在ABC∆中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，A ABE∠=∠．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB AC∠的度数．∠及F=，46A∠=︒时，求EBC。
2-4 线段、角的轴对称性(解析版)
姓名： 班级2.4 线段、角的轴对称性本课重点（1）垂直平分线与角平分线的性质与判定 本课难点 （2）利用垂直平分线与角平分线的性质与判定解决实际问题全卷共25题，满分：120分，时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·河北保定市·八年级期末）ABC 内一点P 到三边距离相等，则点P 一定是ABC （ ） A ．三条角平分线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：∵点P 到三边距离相等，∴点P 一定在三条角平分线的交点上，故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．2．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ，若ABC 的周长为16，3BE =，则ABD △的周长为（ ）A ．6B ．10C ．12D ．20【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD CD =，BE CE =，即可得到10AB AC +=、ABD △的周长为AB AD BD AB AD CD AB AC ++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 为BC 的垂直平分线，∴BD CD =，BE CE =，∵ABC 的周长为16，3BE =，∴10AB AC +=，∴ABD △的周长为10AB AD BD AB AD CD AB AC ++=++=+=，故选：B ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键．3．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A 、B 、C 三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A 、B 、C 三名同学所在位置看作△ABC 的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边上高的交点D ．三边垂直平分线的交点 【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC 的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．4．（2021·吉林九年级二模）如图，在锐角三角形ABC 中，BC BA >，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，BA 长为半径作圆弧，交AC 于点D ；②分别以点A 、D 为圆心，大于12AD 长为半径作圆弧，计两弧交于点E ；③作射线BE ，交AC 于点P ，若60A ∠=︒，则ABP ∠的大小为（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒【答案】C【分析】根据作图步骤可知BP ⊥AC ，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案．【详解】由作图步骤可知：BP ⊥AC ，∴∠BP A =90°，∵60A ∠=︒，∴ABP ∠=90°-∠A =30°，故选：C ．【点睛】本题考查尺规作图——作垂线，熟练掌握各基本作图的步骤是解题关键．5．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB 于点F ，且DE ＝DG ，S △ADG ＝24，S △AED ＝18，则△DEF 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B 【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线的性质得到DH =DF ，进而证明Rt △DEF ≌Rt △DGH ，根据全等三角形的性质得到△DEF 的面积=△DGH 的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴DH =DF ，在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，DF DH DE DG =⎧⎨=⎩，∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ）， ∴△DEF 的面积=△DGH 的面积，设△DEF 的面积=△DGH 的面积=S ，同理可证，Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴△ADF 的面积=△ADH 的面积，∴24-S =18+S ，解得，S =3，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．6．（2021·辽宁九年级二模）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，点C 的对应点为点C '，C B ''的延长线交BC 于点D ，连接AD ．则下列说法错误的是（ ）A ．△ABC △ABC ''≅ B ．//AB BC ' C ．CDC CAC ∠∠''=D ．AD 平分BDB '∠【答案】B【分析】A 、根据旋转的性质即可判断；B 、由旋转角的任意性可以判断；C 、由三角形内角和为180︒且两个角相等即可判断；D 、利用角平分线的判定定理即可证明． 【详解】解：A 、由旋转的性质可知：△ABC △ABC ''≅，故A 正确，不符合题意；B 、''ABC 由ABC 绕A 旋转任意角度得到，'//AB BC ∴只是特殊情况，故B 错误，符合题意；C 、''ABC AB C ≌，'C C ∴∠=∠，''1801C AC C ∠=︒-∠-∠，'1802CDC C ∠=︒-∠-∠，''12,CDC CAC ∠=∠∴∠=∠，故C 正确，不符合题意；D 、过A 分别作',C D CB 的垂线，垂直分别是,EF ，''ABC AB C ≌，''BC B C ∴=，''ABC AB C S S =△△； 11''22B C AE BC AF ∴⨯⨯=⨯⨯，AE AF ∴=， ',AE C D AF CB ⊥⊥，AD ∴平分BDB '∠，故D 正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．7．（2021·湖南八年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB于M 、AC 于N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列四个结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:1:3ACD ACB S S =△△．其中正确的有（ ）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④【答案】D【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．【详解】解：根据作图过程可知AD是BAC∠的角平分线，①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD=30°，∴CD=12AD，∵AD=DB，∴CD=12DB，∴CD=13CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，故选D．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键．8．（2021·广东七年级期末）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE BC=，PG//AD交BC于F，交AB于G，①2ACB APB=∠∠；②S△P AC：S△P AB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③【答案】B【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．【详解】解：∵P A平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠P AB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠P AB+∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S △P AC ：S △P AB =（12AC •PN ）：（12AB •PM ）=AC ：AB ；故②不正确；∵BE =BC ，BP 平分∠CBE ∴BP 垂直平分CE ，故③正确；∵PG ∥AD ，∴∠FPC =∠DCP ∵PC 平分∠DCB ，∴∠DCP =∠PCF ，∴∠PCF =∠CPF ，故④正确．本题正确的有：①③④故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．9．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A ．BDE BAC ∠=∠B ．BAD B =∠∠C ．DE DC =D ．AE AC =【答案】B 【分析】先通过作图过程可得AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,然后证明△ACD ≌△AED 说明C 、D 正确，再根据直角三角形的性质说明选项A 正确，最后发现只有AE =EB 时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD 和△AED 中∠AED =∠C ，∠EAD =∠CAD ,AD =AD∴△ACD ≌△AED （AAS ）∴DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt △BED 中，∠BDE =90°-∠B 在Rt △BED 中，∠BAC =90°-∠B ∴∠BDE =∠BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．10．（2021·江西八年级期末）如图，在ABC 中，DE 是边AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交AB 于点E ，点P 是直线DE 上的一个动点，若5AB =，则PB PC +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】由条件可得点A 是点C 冠以ED 的对称点，即求PB+PC 的最小值就是求PB+PA 的最小值，在点P 运动的过程中，P 与E 重合时有最小值．【详解】解：∵ED 是AC 的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB ，∵P 运动的过程中，P 与E 重合时有最小值，∴PB+PC 的最小值=AB=5．故选：A 【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·静宁县阿阳实验学校八年级期末）如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．【答案】4．【分析】作直线l 1、l 2、l 3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P 1、P 2、P 3，内角平分线相交于点P 4，然后根据角平分线的性质进行判断．【详解】解：如图示，作直线l 1、l 2、l 3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P 1、P 2、P 3，内角平分线相交于点P 4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故答案是：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．12．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．【答案】11．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC，∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13．（2021·全国八年级专题练习）已知：如图，点P在线段AB外，且P A=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．①作∠APB的平分线PC交AB于点C②过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC③取AB中点C，连接PC④过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】①③④ 【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．【详解】解：①利用SAS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确； ②过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；③利用SSS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；④利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．14．（2021·广东八年级期末）在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝6，AD 平分∠BAC ，则S △ABD ：S △ACD ＝___．【答案】5：6【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质得出DE ＝DF ，根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，设DE ＝DF ＝R ，∵S △ABD ＝12AB DE ⨯⨯＝152⨯⨯R ，S △ACD ＝12AC DF ⨯⨯＝162R ⨯⨯， ∴S △ABD ：S △ACD ＝5：6，故答案为：5：6．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．（2021·四川八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，利用尺规在BA ，BC 上分别截取BM BN =；分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内部交于点E ；作射线BE 交AC 于点F ．若2CF =，点H 为线段AB 上的一动点，则FH 的最小值是______．【答案】2【分析】如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．根据角平分线的性质定理证明GF =FC =2，利用垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．由作图可知，FB 平分∠ABC ，∵GF ⊥BA ，FC ⊥BC ，∴GF =FC =2，根据垂线段最短可知，HF 的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2021·辽宁九年级二模）如图，在Rt ABC 中，90,22,C B PQ ∠∠=︒=︒垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC ，AB 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；作射线AF ，射线AF 与直线PQ 相交于点G ，则AGQ ∠的度数为__________度．【答案】56【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC ＝68°，由角平分线的定义得∠BAG ＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG 是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ ．【详解】解：∵△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，∴∠B ＋∠BAC ＝90°，∵∠B ＝22°，∴∠BAC ＝90°−∠B ＝90°−22°＝68°，由作法可知，AG 是∠BAC 的平分线，∴∠BAG ＝12∠BAC ＝34°，∵PQ 是AB 的垂直平分线，∴△AGQ 是直角三角形，∴∠AGQ ＋∠BAG ＝90°，∴∠AGQ ＝90°−∠BAG ＝90°−34°＝56°，故答案为：56．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．17．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，分别作AC ，AB 两边的垂直平分线PM 、PN ，垂足分别是点M 、N ．以下说法正确的是______（填序号）．①60P ∠=︒；②EAF B C ∠=∠+∠；③PE PF =；④点P 到点B 和点C 的距离相等．【答案】①②④【分析】根据垂直的定义、四边形内角和等于360°计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC =EA ，FB =F A ，进而得到∠EAC =∠C ，∠F AB =∠B ，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．【详解】解：∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴∠PMA =∠PNA =90°，∠BAC =120°∴∠P =360°-90°-90°-120°=60°，①说法正确；∵∠BAC =120°，∴∠B +∠C =180°-120°=60°，∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴EC =EA ，FB =F A ，∴∠EAC =∠C ，∠F AB =∠B ， ∴∠EAF =∠BAC -∠EAC -∠F AB =∠BAC -（∠B +∠C ）=120°-60°=60°，∴ ∠EAF =∠B +∠C ，②说法正确；△ABC 不一定是等腰三角形，∴PE 与PF 的大小无法确定，③说法错误；连接PC 、P A 、PB ，∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴PC =P A ，PB =P A ，∴PB =PC ，即点P 到点B 和点C 的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么∠BOC 和∠BPC 的数量关系是___．【答案】4360BPC ∠-︒【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2180BAC BPC ∠=∠-︒；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2BOC BAC ∠=∠，进而得出BOC ∠和BPC ∠的数量关系．【详解】解：BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠180(=︒-11)22ABC ACB ∠+∠1180()2ABC ACB =︒-∠+∠ 1180(180)2BAC =︒-︒-∠1902BAC =︒+∠，即2180BAC BPC ∠=∠-︒； 如图，连接AO ．点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，OA OB OC ∴==，OAB OBA ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，1802AOB OAB ∴∠=︒-∠，1802AOC OAC ∠=︒-∠，360()BOC AOB AOC ∴∠=︒-∠+∠360(18021802)OAB OAC =︒-︒-∠+︒-∠，22OAB OAC =∠+∠2BAC =∠2(2180)BPC =∠-︒4360BPC =∠-︒，故答案为：4360BPC ∠-︒．【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19．（2021·山东八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M ，N 表示大学，OA ，OB 表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．【答案】作图见解析．【分析】根据题意，分别作AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线即可求得【详解】解：分别作AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线；作图步骤如下：①以O 为圆心，任意长度为半径作弧，交,OA OB 于两点,C D ，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 为半径在角的内部分别作弧，交于一点E ，作射线OE ；②分别以,M N 为圆心，以大于12MN 为半径在MN 的两侧分别作弧，交于,F G ,作直线FG ；FG 与OE 的交点P 即为所求如图所示，P 在AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线的交点上，点P 就是仓库应该修建的位置．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的作图，熟练作图步骤是解题的关键．20．（2021·重庆南开中学七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 、F 分别为AB 边，AC 边上的点，连接DE 、DF ，使得DA 平分∠EDF ，且DE =DF ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ．（1）若DF //AB ，求证：AE =DE ；（2）求证：DG =CD ．【答案】见详解【分析】（1）先利用平行线性质证得EAD ADF ∠=∠，再利用角平分线的定义证得EDA ADF ∠=∠，利用等量代换可得EDA EAD ∠=∠，即可得到答案AE =DE ；（2）先证AED AFD ≌，得EAD FAD ∠=∠，即可利用角平分线的性质得到答案．【详解】解：（1）∵//DF AB ∴EAD ADF ∠=∠∵DA 平分∠EDF ∴EDA ADF ∠=∠∴EDA EAD ∠=∠∴AE =DE ．（2）∵EDA ADF ∠=∠，DE =DF ，AD=AD∴AED AFD ≌∴EAD FAD ∠=∠∵90ACB ∠=︒，DG ⊥AB ∴DG =CD ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及全等的应用，解题关键是利用性质找到角与角之间的关系．21．（2021·福建九年级一模）如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转DAC ∠的度数得到AED ．（1）尺规作图：确定AED 的顶点E 的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；（2）连接AE，DE，设BC的延长线交DE于点G，连接AG．求证：AG平分DGB∠．【答案】（1）作图见解析，（2）证明见解析．【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，证AN=AM即可．【详解】解：(1) 点E位置如图所示；(2)证明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，由旋转可知AED≌ABC，DE=BC，∴12AEDS DE AN=⋅，12ABCS BC AM=⋅，∴1122DE AN BC AM⋅=⋅，∴AN AM=，∴AG平分DGB∠．【点睛】本题考查了尺规作图和角平分线的判定，解题关键是明确尺规作图方法，熟练运用角平分线的判定证明．22．（2021.江苏八年级期中）如图，ABC中，边AB BC，的垂直平分线交于点P．==．（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由．（1）求证：PA PB PC【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，P A=PB，PB=PC，则P A=PB=PC．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴P A=PB，PB=PC．∴P A=PB=PC．（2）∵P A=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．23．（2021·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．【答案】见解析【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB ∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE ∴EB 平分∠ABC ．（3）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB ∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC ∴BE=EF又∵AE= BE ∴AE=EF 【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形． 24．（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在ABC 中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线AE 于E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥交AC 的延长线于G ．（1）求证：BF CG =；（2）若5AB =，3AC =，求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接BE 、EC ，证明Rt BFE △≌Rt CGE △即可；（2）证明Rt AEF Rt AEG △≌△，则AF AG =，继而求得AF 的长【详解】（1）证明：如图，连接BE 、EC ，∵ED BC ⊥，D 为BC 中点，∴BE EC =，∵EF AB ⊥，EG AG ⊥，且AE 平分FAG ∠，∴FE EG =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，BE CE EF EG =⎧⎨=⎩，∴Rt BFE △≌Rt CGE △（HL ）∴BF CG =． （2）解：在Rt AEF 和Rt AEG 中，AE AE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt AEF Rt AEG △≌△（HL ），∴AF AG =，∴2AB AC AF BF AG CG AF +=++-=，∴28AF =，∴4AF =．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（2020·湖北）（1）模型：如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，求证：::ADB ADC S S AB AC =△△．（2）模型应用：如图2，AD 平分EAC ∠交BC 的延长线于点D ，求证：::AB AC BD CD =．（3）类比应用：如图3，AB 平分DAE ∠，AE AD =，180D E ∠+∠=︒，求证：::BE CD AB AC =．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，12ADBS AB DE∆=，12ADCS AC DF∆=，即可得出ADBS∆：ADCS∆=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出BD DEAB AE=，BD CDAB AD=，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即AB AM ACBE EM DC==，即可得出答案；【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵12ADBS AB DE∆=，12ADCS AC DF∆=，∴ADBS∆：ADCS∆=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE 又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，AC AECAD DAEAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴BD DEAB AE=，∴BD CDAB AD=，∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC与△AEM中，AD AED AEMDC EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，故AB AM ACBE EM DC==，∴BE：CD=AB：AC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；。
2.4 线段、角的轴对称性 第1课时 苏科版数学八年级上册课件
2 . 4 线段、角的轴对称性 练习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线 ：
l
解：如图所示.
2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等?
2 . 4 线段、角的轴对称性
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l， 直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A， B 两村到车站的距离相等.
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利 用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分； 二是取中点，证垂直.
2 . 4 线段、角的轴对称性
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB
2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等.
2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言
如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC.
2 . 4 线段、角的轴对称性 易错提醒
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是 它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的 对称轴.
A. 2
B. 4
(C )
C. 6
D. 8
2 . 4 线段、角的轴对称性
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是 一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂 直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解.
2.4 线段、角的轴对称性(3)
线段、角的对称性（3）
AOB
做一做
如图，∠AOB，请回答： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O BБайду номын сангаас
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
位置关系数量关系
A
C
P O D
E
B
∵点P在∠AOB的平 分线OE上， 且 PC⊥OA于点C，
PD⊥OB于点D，
∴PD＝PC
判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
反过来：
如果一个点在角的内部，且到角两边的距离相等， 那么这个点的位置又在哪里呢？ 如图，若点Q在∠AOB内部， QD⊥OA， QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线 A D 上吗？为什么？
O E Q B
通过上述研究，你得到了什么结论？
A
C
· · · 由此可知：
P
B
O
D
角平分线是到角的两边距离相等的点的集合.
例：如图，在△ABC中，AD是角平分线， BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：EB=FC.
A
E B D
F C
说说你本节课你有什么收获？
作业：
P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任 选1题写出过程.
2.4线段、角的轴对称性(3)
八年级(上册)
2.4
Байду номын сангаас
线段、角的对称性（3）
AOB
2.4 线段、角的对称性（3）
做一做
在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O B
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点 在这个角的角平分线上吗？
A
E B D C
A
A C
B
E
B
P
P
F
2.4 线段、角的对称性（3）
1、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点， CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝， 理由是 。
A E C P
O F
B
2.4 线段、角的对称性（3）
2、如图，AD平分BAC，∠C=90°,DE⊥AB,那么 (1)DE和DC相等吗？为什么？ (2)AE和AC相等吗？为什么？
d
p
B O A
2.4 线段、角的对称性（3）
问题 ：三角形的两条内角平分线的交点在第三 个内角的平分线上吗？
已知:如图,在Δ ABC中.P是∠B、∠C的平分线的交点， 那么点P在∠A的平分线上吗？ 为什么？