江西省抚州一中等八校2014届高三第二次联考数学理试题 Word版含答案

数学试卷（理）本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合{}2|1,|21x A x B x x x -⎧⎫=≤=-≤⎨⎬⎩⎭，则=B C A A. {}1|<x x B. {}10|<<x x C. {}10|<≤x x D. {}1|≥x x2. 若bi ia-=-11，（其中b a ,都是实数，i 是虚数单位），则bi a +=A ．5B ．2C ．3D ．13. 已知数列{}n a 满足12n n a a +=-()n N +∈，它的前n 项和为n S ，“16a =”则是“n S 的最大值是3S ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知随机变量()2,,N ξμσ且()()11,2,2P P p ξξ<=>=则()01P ξ<<= A ． p +41 B ．p -41 C ． p +21 D ．p -215. 函数()2, 0,2,x x f x x -≤⎧=<≤，则()22f x dx -⎰的值为A . 6π+B .2π-C .2πD . 86. 设两个独立事件,A B 都不发生的概率为1.9则A 与B 都发生的概率值可能为A.89 B. 2C. 59D. 297. 已知函数()sin f x x x =，若()()124,f x f x ⋅=-则12x x +的最小值为A. 3πB. 2πC. 23πD. 43π8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2238x y -+=相交于,A B 两点，且4AB =，则此双曲线的离心率为A ．5BCD 9. 已知函数()22,(0)1,(0)x x x x f x e x ⎧-≤=⎨->⎩，若(),f x k x ≥则实数k 的取值范围是A. (],0-∞B. (],1-∞C. []2,1-D. []2,0- 10. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在此正方体的表面上运动，且PA x =（0x <<，记点P 的轨迹的长度为()f x ，则函数()f x 的图像可能是第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 11. 在右程序框图的循环体中，如果判断框内容采用 Do Loop 语句编程，则判断框对应的语句为 Loop While ．12. 对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导数()y f x '=的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数()32331f x x x x =-++对称中心为 ；13. 已知,,O A B 是平面上三个不同点，动点P 满足,PA PB =且3,1,OA OB ==则()OP OA OB ⋅-的值为 .14.定义{},m i n,,,b a ba b a a b≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足2,2x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩则{}min 32,2z x y x y =++的取值范围是 .三、选做题：本题共5分．请在下列两题中任选一题作答．若两题都做则按第1题评阅计分.在给出的四个选项中，选出你认为正确的一项作答．15 (1).（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若直线():cos sin l a ρθθ+=与曲线():1,0,C ρθπ=∈有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 .15 (2).（不等式选做题）若关于x 的不等式2x a x a a -++≤恰好有三个整数解，则实数a 的取值范围是 .四、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16． （本小题满分12分）已知将一枚质地不均匀．．．的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为.271（1）求抛掷这一枚质地不均匀．．．的硬币三次，仅有一次正面朝上的概率； （2）抛掷这一枚质地不均匀．．．的硬币三次后，再抛掷另一枚质地均匀．．的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望ξE .17. （本小题满分12分）设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2a cA C b+=+． （1）证明：,,A B C 成等差数列；（2）求222cos cos cos 222A B Cy =++的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且，2,n S n =等比数列{}n b 的前n 项和为,n M 且2.n n M t =-（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 中21,k k c k b -=⋅ 221,k k c a -=其中1,2,3,,k =求数列{}n c 的前2n 项和2.n T19. （本小题满分12分）如图，简单组合体ABCDPE ，其底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥平面,ABCDEC ∥,PD 且2 2.PD EC ==(1)在线段PB 上找一点M ，使得ME ⊥平面;PBD (2)求平面PBE 与平面PAB 的夹角.DCEP20. （本小题满分13分）抛物线()2:20C y px p =>，过抛物线C 的焦点()1,0F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点P .（1）求证：2;PFPA PB =⋅；（2）过P 作抛物线C 的切线，切点为D （异于原点）， 是否存在常数λ，使得11DA DB DFk k k λ+=恒成立?21. （本小题满分14分）已知函数()x x f x e k e -=+⋅的最小值为2，（k 为常数），函数()32,g x x ax =- （a 为常数）.（1）当1a =时，证明：存在()00,1x ∈使得()y f x =的图象在点()()00,x f x 处的切线和()y g x =的图象在点()()00,x g x 处的切线平行；（2）若对任意x R ∈不等式()()f x g x '≥恒成立，求a 的取值范围.理科数学参考答案及评分标准一、选择题（10×5=50分）：BAADA;DCCCB ．二、填空题（4×5=20分）：11．12-≤x y ；12．()1,2；13．4；14. []10,6-．三、选做题（选择题）（５分）(注：15题（1）（2）两题都了做只按所做（1）题给分．）15.（1）(； （2）12a ≤<.四、解答题（共75分）：16. （1）设抛掷一次质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为p ，依题意有： .271333=⋅p C ∴31=p 所以，抛掷这质地不均匀的硬币三次，仅有一次正面朝上的概率为213124.339P C ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭ ………………………………………….………5分（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.()3032140;3227P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭()23103312121101;3323227P C C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22213312112192;33233227P C C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3232331112173;3233254P C C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3331114;3254P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ 所以ξ得分布列为：所以31234272754542E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………………12分17. (1)由正弦定理可得：cos cos 2a cA C b+=+可化为sin sin 2sin (cos cos )A C B A C +=+， 即sin()sin()2sin (cos cos )B C A B B A C +++=+.展开整理得到：()()sin sin ,A B B C -=-,A B B C ∴-=-或()(),A B B C π-+-= 2,A C B ∴+=或.A C π-=（舍去）所以,,A B C 成等差数列.………………………………………………………….6分 （2）由,,A B C 成等差数列，得到.3B π=22,,33A C C A ππ∴+==- 222cos cos cos222A B C y ∴=++21cos 1cos 33224A A π⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=++ 712c o s c o s 423A A π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦711i n c o s 422A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭71sin 426A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin ,1,62A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦222cos cos cos 222A B C y ∴=++719sin 2,.4264A π⎛⎫⎛⎤=++∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦………………12分18. （1）由于2,n S n =知{}n a 为等差数列，且12,1,2 1.n d a a n ==∴=-()1122,n n n n b M M n --=-=≥可知公比 2.q = 212, 1.b b ==又1121, 1.b M t t ==-=∴= 12.n n b -∴=121,2.n n n a n b -∴=-= …………………………………… ……..…… ………….6分（2）()()2135212462n n n T c c c c c c c c -=+++++++++()()12313521123n n b b b nb a a a a -=+++++++++()()12311223242215943n n n -=+⋅+⋅+⋅++⋅+++++-令()123112232422n H n n -=+⋅+⋅+⋅++⋅ ()1234222232422n H n n ∴=+⋅+⋅+⋅++⋅()1231122222n n H n n -∴-=+++++-⋅()()121n H n n ∴=-⋅+又2159432n n n ++++-=-()221221n n T n n n ∴=-⋅+-+ (12)分19.（1）M 为线段PB 的中点. 连结AC 与BD ,交点为F ，过F 作底面ABCD 的垂线交PB 于M ,由CF ⊥平面,PBD 又四边形FCEM 为矩形，∴ME ⊥平面.PBD ……………6分（2）如图建立空间坐标系.D xyz - 设PA 中点为.N各点坐标如下:()0,0,0D ;()2,0,0A ;()2,2,0B ;()0,2,1E ;()0,0,2;P ()1,0,1.N 由,,DN PA DN AB ⊥⊥得ND ⊥平面.PAB 所以平面PAB 有法向量()1,0,1;DN n == 设平面PBE 法向量(),,,m x y z = 因为()2,0,1BE =-,()2,2,2BP =--,由00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2x z x y z =⎧⇒⎨+=⎩，取()1,1,2m =cos ,22m nm n m n⋅∴===⋅所以平面PBE 与平面PAB 夹角为.6π...........................................................12分y20. (1) 由题意可知抛物线C 方程为24.y x =设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，()0,,P k ∴-设()()1122,,,,A x y B x y联立()()2222242401y xk x k x k y k x ⎧=⎪⇒-++=⎨=-⎪⎩， 1212242,1,x x x x k∴+=+⋅= 由于,,,P A F B 四点共线，结论22121PF PA PB x x =⋅⇔=⋅，所以2PFPA PB =⋅成立…………………………………………………………6分（2）设过点P 的切线方程为：0y k x k =-，联立24y x = 得到()22200240k x k k x k -++=010k k=⇒=， 且切点坐标为()2,2D k k -， 2212121122DA DB x k x k k k y k y k --+=+++()232121221212121224224x y kx k y k x y kx k y y y k y y k+--++-=+++ ()()()3421222212244412444k x x k k k k x x k k k k +----===+-++ 又2112DF k k k-=, 112DA DB DF k k k ∴+= 2.λ∴=…………….13分21．（1）当0k >时，()2x x f x e k e -=+⋅≥=， 1.k ∴=当0k ≤时，()x xf x e k e -=+⋅在R 上递增，无最小值. 不合题意. 所以1,k =().x xf x e e -=+ ……………………………………………………….2分依题意可知存在()00,1x ∈使得()()00f x g x ''=且()()00.f x g x ≠ 即()00,1x ∈满足002023xx e ex --=-且()()00.f x g x ≠令()h x =232xxe ex --+-因为()()102,110h h ee=-=-+>，所以区间()0,1内存在0x ，使得()()00f x g x ''=，又当()00,1x ∈时()02f x ≥，且()223g x x '=-，()02g x g ∴≤=<⎝⎭，所以区间()0,1内存在0x ，使得()()00f x g x ''=且()()00.f x g x ≠ .. ………7分（2）()()f x g x '≥即223xxe eax -+≥-在R 上恒成立，即2320x xe eax -++-≥在R 上恒成立，令()x ϕ=232xxe eax -++-，因为()x ϕ是偶函数，问题转化为：()x ϕ=2320x x e e ax -++-≥在[)0,+∞上恒成立, ……………………….9分又令()()6x x x e e ax x ϕω-'=-+=， 所以()6x x x e e a ω-'=++当13a ≥-时，()60x x x e e a ω-'=++≥，()x ω在[)0,+∞上递增，有()()00x ωω≥=，所以()x ϕ在[)0,+∞上递增，有()()00x ϕϕ≥=，适合题意. ………………12分当13a <-时，设()60x x x e e a ω-'=++=在[)0,+∞上有解1,x 且[)10,x x ∈时，()0x ω'<，()1,x x ∈+∞时，()0x ω'>，可知()x ω在[)10,x x ∈时递减，在()1,x x ∈+∞时递增，且()00ω=，这说明[)10,x x ∈时()0x ϕ'<，即此时()x ϕ递减，所以有()()00x ϕϕ<=，这与()x ϕ=2320xxe eax -++-≥在[)0,+∞上恒成立矛盾. 综上可得：1.3a ≥- …………………………………………………………….14分。