例说分式型柯西不等式在求多元函数最值中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用孟德尔公式、勒贝格不等式、黎曼不等式，这些非常熟悉的不等式名称都与着名的克劳德柯西有关。
从美国科学家卡耐基到莫比乌斯，他们把柯西不等式应用到物理、生物、金融等多个领域，柯西不等式对科学研究发挥着重要作用。
在中学数学中，柯西不等式也被广泛应用。
大多数学生接触到柯西不等式是在小学阶段，而且这一点被有效地巩固了，所以学生在高中在应用柯西不等式时就感到很熟悉了。
在数学中，柯西不等式的作用是十分的重要的，下面将会阐述柯西不等式在高中数学学科中的应用。
首先，柯西不等式在函数分析领域中被广泛使用。
以求解函数最大值最小值为例，首先要确定函数的一阶导数为 0，然后再根据柯西不等式来判断最大值最小值的情况。
还有一个更为简单的应用，就是在求解函数极值时，利用乘积为正负少数的性质来判断最大最小值的情况，这也是由柯西不等式衍生出的结论。
此外，柯西不等式在三角函数中的应用也很常见。
比如，在复合三角函数的解析图中，通常需要用到柯西不等式，来判断函数变化的趋势。
如果仅仅是求解函数图像的最大值最小值，使用柯西不等式就可以实现，无需复杂的几何计算。
另外，柯西不等式也很常见的应用到空间解析几何中，比如曲线的求积分，以及面积的计算等。
在求积分过程中，由于柯西不等式作为优化的一种方法，可以用柯西不等式来优化积分和计算面积，提高计算效率，减少出错的几率。
总而言之，柯西不等式是在中学数学中一个非常重要的概念，它在很多数学问题中都有着广泛的应用。
它不仅可以解决如函数最大值最小值、求积分等问题，而且还能帮助学生更好地理解数学概念，更好的证明数学概念。
柯西不等式的了解和应用是学习数学的基础，更是学习数学的关键，是学习数学的进阶环节。
柯西不等式论在高中应用论文
柯西不等式在高中阶段的应用摘 要：本文主要介绍了在高中阶段利用柯西不等式在证明等式，不等式和求函数最值方面的应用。
关键词：柯西不等式 、等式、不等式、最值、技巧、应用一、引言在高中数学研究中，我们发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式，人们称它们为经典不等式，柯西不等式 就是这样的不等式。
2012年湖北省高考的选择题第6题就考到了利用柯西不等式求值问题。
首先我们来看一下柯西不等式定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122(++)(+)()n n n n a a a b b b a b a b a b +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥++⋅⋅⋅即211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当1212n nb b b a a a ==⋅⋅⋅=时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
二、柯西不等式在解等式、不等式、最值等方面的应用。
1 利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
例1、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
高中学习数学：柯西不等式
精品文档类型一：利用柯西不等式求最值例1．求函数的最大值解：∵且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为. 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。
利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】，，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．根据柯西不等式。
1欢迎下载精品文档， 故。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，变式 4：设a (1 ，0，2) ，b (x ，y ，z)，假设x 2y 2 z 216，那么a b 的最大值为。
【解】∵a (1 ，0， 2)，b(x ，y ，z)∴ a ．bx 2z由柯西不等式[120 (2) 2](x2y 2z 2) (x0 2z)2516 (x 2z) 2 45 x454 5a ．b4 5，故a ．b 的最大值为4 5:变式5：设x ，y ，zR ，假设x 2 y 2 z 2 4，那么x2y 2z 之最小值为时，(x ，y ，z)解(x 2y2z) 2(x 2y 2 z 2)[12( 2)222]4．9 36∴x2y2z 最小值为 6，公式法求(x ，y ，z)此时x y z62∴ x 2 ，4 412222(2)22233y， z33变式6：设x,y,zR，假设，那么x 2(y 1)2 z 2之最小值为________，又此时y________。
解析：[x 2(y1)2z 2][22( 3)2 12](2x 3y 3 z)2[x 2(y1)2z 2]36 ∴最小值1814xy1 7zt,2x 3yz3,2t(2)t3(3t1)323 13∴y2∴t779，那么4916变式7：设a ，b ，c 均为正数且abc之最小值为abc解：(2a3 b 4c)2( 49 16 )(a bc)abc ab c(4 9 16)．9(232814 9 16 81 9a b c4)a bc 9变式8：设a,b,c均为正数，且，那么123 之最小值为________a bc。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是数学中一个重要的不等式，具有广泛的应用。
本文将列举一些柯西不等式的应用，并对这些应用进行详细讲解。
应用一：向量内积的最大值柯西不等式给出了两个向量内积的最大值。
具体表述为：对于任意两个n维向量a和b，它们的内积满足：|a·b| ≤||a|| ||b|| ，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的范数（长度）。
利用柯西不等式，我们可以得到向量内积的最大值。
当两个向量a和b线性相关时，内积达到最大值；当两个向量a和b正交时，内积达到最小值。
应用二：函数内积的最大值在函数空间中，柯西不等式同样适用。
给定两个定义域为[a,b]的函数f(x)和g(x)，它们的内积满足：|∫f(x)g(x) dx| ≤ (∫f^2(x) dx)^(1/2) (∫g^2(x) dx)^(1/2)。
利用柯西不等式，我们可以得到函数内积的最大值。
当两个函数f(x)和g(x)线性相关时，内积达到最大值；当两个函数f(x)和g(x)正交时，内积达到最小值。
应用三：平均值与均方差的关系柯西不等式可以用来证明平均值与均方差的关系。
具体表述为：对于任意n个实数x1,x2,…,xn，它们的平均值avg和均方差sd满足：avg^2 ≤ sd^2，其中avg = (x1+x2+…+xn)/n，sd = [(x1-avg)^2 + (x2-avg)^2 + … + (xn-avg)^2]/n。
利用柯西不等式，我们可以得到均方差的最小值。
当n个实数x1,x2,…,xn相等时，均方差达到最小值；当n个实数x1,x2,…,xn分别与极值相等时，均方差达到最大值。
应用四：不等式约束条件下的最优化在最优化问题中，柯西不等式可以用来求解不等式约束条件下的最优解。
具体表述为：对于一组实数x1,x2,…,xn和正实数a1,a2,…,an，满足不等式约束条件：(x12/a12) + (x22/a22) + … + (xn2/an2) ≤ 1，以及目标函数f(x1,x2,…,xn)。
柯西不等式的应用(整理篇).doc
柯西不等式的证明及相关应用摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词 ：柯西不等式柯西不等式变形式 最值一、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成立（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2a nb n x b 12 b 22b n 2由构造知f x0 恒成立又 Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成立b 1b 2 b n方法 2证明 :数学归纳法（ 1） 当 n 1 时左式 = a 1b 1 22右式 =a 1b 1显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时 不等式成立（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2a 12 a 22a k 2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成立设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成立即n k 1时不等式成立综合（ 1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用柯西不等式（JensensInequality）是一种强大的数学不等式，它可以描述一个特殊的函数的性质。
它是由杰森斯克拉科夫（Jensens）在1906年发现的。
他的原理是，如果把所有人们知道的数学不等式当做一个东西，那么柯西不等式就是其中最有用的。
这个不等式可以用来判断函数是否满足一些其他数学不等式。
柯西不等式在中学数学中有着重要的应用。
它可以用来解决多元函数极大值和极小值的求解问题，并且可以用来证明凹凸性的定理。
同时，柯西不等式也被广泛用于中学数学中的统计学分析。
例如，它可以用来计算样本均值，方差等统计量。
柯西不等式也可以用来解决不等式中的定积分问题。
在微积分课程中，学生通过柯西不等式来证明不等式中的定积分公式。
这也是柯西不等式在中学数学中最重要的应用之一。
此外，柯西不等式还可以用来证明关于最优化问题的重要定理。
有时，为了解决一个特定的最优化问题，我们可以利用柯西不等式来证明一种定理，从而解决最优化问题。
比如，可以用柯西不等式证明“拉格朗日乘数法”，这是一种求解最优化问题的常用方法。
柯西不等式也可以用来解决最大值与最小值相关的一些问题。
它可以用来证明抛物线有最大值或最小值的定理，这在几何学中会有很多应用。
柯西不等式也可以用来证明关于极小值的定理，这对求解一些复杂的问题是非常有用的。
柯西不等式在中学数学中有着非常重要的应用，但它的使用有一定的限制。
比如，它只能用于非负函数，它的应用也会受到精度的影响，如果函数两端的差异较大，那么结果的精度会受到影响。
同时，柯西不等式也不能用于求解复杂函数，因为它只能用于简单的函数。
总之，柯西不等式是一种非常实用的工具，它在中学数学中有着重要的应用。
它不仅可以用来求解函数极大值和极小值的问题，还可以用来证明最优化问题的重要定理，并且它还可以用来证明不等式的定积分公式。
它的实用性与方便性使它成为中学数学中重要的工具之一。
微专题10 柯西不等式及其应用
2021届
高考第一轮复习
选考模块
微专题10 柯西不等式及其应用
柯西不等式在中学阶段,虽然只是选讲内容,但在高考中经常出现,应引起教师 教学的重视.柯西不等式不仅应用于证明代数不等式,它在实数大小比较、解方程、 确定参数的取值范围、求最值及几何不等式的证明等方面都有广泛的应用.
运用柯西不等式的过程中,要求我们要以敏锐的思维,细致的观察,构造出适合 柯西不等式的两组数,以便可以使用柯西不等式.这是学生拓宽知识,打开思维的钥 匙,是解决一系列问题的法宝.
3
当且仅当 x=43-������,y=13-������,z=2���3���-2时等号成立.
因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 的最小值为(2+3������)2.
由题设知(2+������
3
)2≥13,解得
a≤-3
或
a≥-1.
2.利用柯西不等式求某些函数的最值 【例 2】已知 2x+3y+4z=10,求 u=x2+y2+z2 的最小值.
【解析】(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2
=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]
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柯西不等式的应⽤（整理篇）.doc柯西不等式的证明及相关应⽤摘要：柯西不等式是⾼中数学新课程的⼀个新增容，也是⾼中数学的⼀个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的⼀个强有⼒的⼯具。
关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值⼀、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成⽴（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：⽅法 1 证明：构造⼆次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2由构造知f x0 恒成⽴⼜ Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成⽴b 1b 2 b n⽅法 2证明 :数学归纳法（ 1）当 n 1 时左式 = a 1b 1 22显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时不等式成⽴（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成⽴即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成⽴设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成⽴即n k 1时不等式成⽴综合（ 1）（2）可知不等式成⽴式结构和谐，应⽤灵活⼴泛，常通过适当配凑，直接套⽤柯西不等式解题，常见的有两⼤类型：1、证明相关数学命题（ 1）证明不等式例 1 已知正数a, b, c满⾜a b c 1 证明a3 b3 c3 a2 b2 c23证明：利⽤柯西不等式2 3 1 3 1 3 12323232a2 b2 c2 a 2 a 2 b 2b 2 c2 c2 a2 b2 c 2 a b ca3 b3 c32Q a b c 1 a b c⼜因为a2 b2 c2 ab bc ca 在此不等式两边同乘以2，再加上 a2 b2 c2 得：3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a b c 2a2 b2 c2 2 a3 b3 c3 a b c 2 a3 b3 c3 3 a2 b2 c2故 a3 b3 c3 a2 b2 c23（2）三⾓形的相关问题例 2 设p是VABC的⼀点，x, y, z是p到三边a,b, c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明 xyz 1 a2 b2 c22R证明：由柯西不等式得：xyzax1 by 1ax by czg 1 11ab ca b c记 S 为 VABC 的⾯积，则ax by cz 2S2g abcabc4R2Rxyzabc ab bc ca 1 ab bc ca1a 2b 2c 22R abc 2R2R故不等式成⽴。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
例说分式型柯西不等式在求多元函数最值中的应用
例说分式型柯西不等式在求多元函数最值中的应用作者：傅建红来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第01期摘要：柯西不等式是一个重要的不等式，它有多种变形的形式，不同形式在解题中的作用不尽相同．本文介绍其分式形式，并例说其在求多元函数最值中的基本应用．关键词：分式型柯西不等式；最值；应用分式型柯西不等式：设ai∈R，bi>0（i=1，2，3，…，n），则++…+≥……（★），当且仅当ai=λbi时等号成立．柯西不等式是高中数学中新引入的一个重要不等式，它的出现使得函数的最值问题又多了一条解决途径．但由于柯西不等式形式多样，结构灵活，学生掌握起来普遍感到比较困难．笔者在教学实践中发现，相对其他形式的柯西不等式来说，分式型柯西不等式由于结构简单，形式对称，应用它求函数最值时配凑起来更简洁、更自然，因此学生相对比较容易掌握．下面分四种情形例说它在求多元函数最值时的基本应用，供参考．一、若ai为常数，bi为变量，则当b1+b2+…+bn为定值时，++…+有最小值例1 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求++的最小值．解：因为++=++≥=，等号当且仅当==时成立，结合a+b+c=1，所以当a=b=c=时，++的最小值为．变式1：已知a，b，c∈R+，且a+2b+3c=1，求++的最小值．解：因为++=++≥=36，所以当==，即a=b=c=时，++的最小值为36．点评：此型因ai已为常数，故欲使++…+有最小值，须构造b1+b2+…+bn为定值．例1中分母之和已为定值，故无须构造，直接利用（★）式即可获解．但变式1在给定条件下分母之和不是定值，因此需要进行配凑，方法是分子分母同乘以常数，即将++写成++，使其分母之和变为定值，再利用（★）式，即可解决．二、若a为常数，b为变量，则当++…+为定值时，b1+b2+…+bn有最小值例2 已知a，b，c∈R+，且++=2，求a+2b+3c的最小值．解：由2=++=++≥=，得a+2b+3c≥18，所以当==，即a=b=c=3时，a+2b+3c的最小值为18．变式2：已知a，b，c∈R+，且++=1，求a+2b+3c的最小值．解：由1=++=++≥，得（a+2b+3c）+8≥36，所以a+2b+3c的最小值为28（此时a=6，b=5，c=4）．点评：此型ai仍为定值，欲使b1+b2+…+bn有最小值，须构造++…+为定值．例2中++=2虽为定值，但其分母之和并非所求的a+2b+3c，为了迎合定值和（★）式结构的需要，须对++的分母进行配凑，即将++写成++，然后利用（★）式加以解决．变式2的解法与例2一样，只是在定值的配凑上更加复杂．三、若bi为常数，ai为变量，则当a1+a2+…+an为定值时，++…+有最小值例3 已知实数a，b，c满足a+b+2c=1，求a2+b2+2c2的最小值．解：因为a2+b2+2c2=++≥=，所以当a=b=c=时，a2+b2+2c2有最小值为．变式3：求实数x，y的值，使（y－1）2+（x+y－3）2+（2x+y－6）2达到最小值．解：待定常数a，b，c，使a（y－1）+b（x+y－3）+c（2x+y－6）=（b+2c）x+（a+b+c）y－a－3b－6c为常数，由b+2c=0和a+b+c=0得b=－2c，a=c. 令c=1，则有（y－1）－2（x+y－3）+（2x+y－6）=－1，所以（y－1）2+（x+y－3）2+（2x+y－6）2=++≥，所以当==，即x=，y=时，（y－1）2+（x+y－3）2+（2x+y－6）2达到最小值．点评：此型因bi已为定值，故欲使++…+有最小值，须构造a1+a2+…+a n为定值．故例3中须将a2+b2+2c2配凑成++，以迎合定值和（★）式结构的需要，再由（★）式加以解决．变式3中由于题目没有直接给出定值，故须使用待定系数法自己构造出定值，即待定常数a，b，c，使得a（y－1）+b（x+y－3）+c（2x+y－6）为定值与x，y的变化无关，再由（★）式加以解决．四、若b为常数，a为变量，则当++…+为定值时，（a1+a2+…+an）2有最大值例4 设x，y，z∈R，且满足x2+y2+z2=5，求x+2y+3z的最大值与最小值．解：因为5=x2+y2+z2=++≥，即（x+2y+3z）2≤70，所以x+2y+3z的最大值为（此时x=，y=，z=），最小值为－（此时x=－，y= －，z=－）．变式4：设x，y，z∈R，且满足（x－1）2+（y+1）2+（z+3）2=25，求x+2y+2z的最大值与最小值．解：由25=++≥=，得－15≤（x+2y+2z）+7≤15，故x+2y+2z的最大值为8（此时x=，y=，z=），最小值为－22（此时x=－，y=－，z=－）．点评：此型bi仍为常数，故欲使（a1+a2+…+an）2有最大值，须构造++…+ 为定值．例4中x2+y2+z2=5虽为定值，但其各式开方之和并非所求的x+2y+3z，故须把定值条件配凑成5=x2+y2+z2=++，使其运用（★）式后能与所求的x+2y+3z形成对接即可．变式4的解法与例4一样，只是在定值的配凑上更为复杂．通过以上的例题及其变式可以看出，利用分式型柯西不等式求最值的基本思想有两点：一是根据所求问题的结构特点，进行合理的变形与配凑（其目的是使由（★）式放缩后的不等式的一边为定值）；二是将所求问题与（★）式形成对接，使其能使用（★）式进行放缩．其中合理的配凑是解题成功的关键．当然，最后能否取到最值，仍须考虑等号成立的条件是否满足．需要指出的是，本文所举的例子及变式是分式型柯西不等式的最值应用中最简单、最基本的应用，而在有些问题中，则需要利用（★）式进行多次的放缩，或者再结合其他的知识方能解决，限于篇幅，本文不再赘述．演练身手⑴①已知a，b，c>0，且a+2b+c=1，则++的最小值是________．②设α，β均为锐角，则+的最小值是________．⑵①已知a，b，c，x，y，z∈R_，且++=1，则x+y+z的最小值是_______．②已知a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+c的最小值________．（3）①已知x+y+z=2，则m=x2+2y2+z2的最小值是_______．②已知x，y，z∈R，且2x+2y+z+8=0，则（x－1）2+（y+2）2+（z－3）2的最小值是________．（4）①已知a，b，c∈R+，且a+2b+3c=9，则++的最大值是________．②若不等式+≤k对任意正实数x，y成立，则k的最小值是________?摇．附参考答案：（1）①6+4，②9；（2）①（++）2，②16；（3）①8，②9；（4）①，②．。
灵活运用柯西不等式,快速求解最值问题
们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们探索探索与与研研究究考查角度三:有关类比推理的应用类比推理作为一种重要的推理方式，在寻求解题思路的过程中具有极为重要的作用.运用类比推理解题时，要先仔细分析题目中所给出的条件、结论，找出两类事物之间的相似性或一致性，进一步探索或提炼出有用的信息，然后用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或结论.例3.斐波纳契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….在数学上，斐波纳契数列{}a n 定义为：a 1=1,a 2=1，a n +2=a n +a n +1.根据a n +2=a n +a n +1可得a n =a n +2-a n +1，所以a 1+a 2+⋯+a n =(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+⋯+(a n +2-a n +1)=a n +2-a 2=a n +2-1.类比该方法，对于斐波纳契数列{}a n ，a 21+a 22+⋯+a 210=().A.714B.1870C.4895D.4896解：根据题意可知数列{}a n 满足a n +2=a n +a n +1，即a n +1=a n +2-a n ，在该式的两边同乘以a n +1，可得a 2n +1=a n +2a n +1-a n +1a n ，则a 21+a 22+⋯+a 210=a 21+(a 2a 3-a 2a 1)+(a 3a 4-a 2a 3)+⋯+(a 10a 11-a 9a 10)=1-a 2a 1+a 10a 11=1-1+55×89=4895.故选C 项.求解本题，要先明确求斐波纳契数列{}a n 和的方法为裂项相消法，再进行类比推理.将各项的平方转化为差的形式，这样便于灵活运用裂项相消法，达到解题的目的.此外，由于本题的求解目标是求a 21+a 22+⋯+a 210，而斐波纳契数列{}a n 的前10项在题设中已经给出，且该数列的前10项的值均较小，故完全可以用代值的方法进行求解。
柯西不等式证明及在极值问题上应用
柯西不等式证明及在极值问题上应用摘要, 本文通过对柯西不等式的研究,得出了几种新的证明方法,配方法、向量法、行列式性质、数学归纳法、运用二元二次型的正定性,最后讨论了柯西不等式在极值问题上的应用.关键词, 柯西不等式证明方法极值问题柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,价值不可估量.它以对称和谐的结构,应用的广泛性,引起了人们的兴趣和探讨。
它对推导其他数学结论和数学解题及在实际运用中都有非常重要的作用.本文主要研究柯西不等式的几种证明方法及利用柯西不等式来解决一些数学问题,最后还给出柯西不等式的一些推广.柯西不等式在理论中占有很重要的地位,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,起到事半功倍的作用,也有利于培养人的逻辑思维能力和推理论证能力.同时,柯西不等式也是高考考查的重点内容.柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式,而且对初等数学也有很重要的指导作用,利用它能高瞻远瞩、居高临下,能够方便地解决一些中学数学中的有关问题.构造柯西不等式解题能够打破常规,有利于培养学生的创新思维,充分发挥柯西1不等式的教育功能.一、柯西不等式的证明柯西不等式是一个重要的不等式,其应用极为广泛.无论是高等数学还是初等数学,都有不少问题可以用它来解决.柯西不等式的多种方法证明及灵活应用,对培养数学思维能力也颇有益处.下面给出柯西不等式的五种证明方法.1.配方法证明,,a+a+…+a,,b+b+…+b,-,ab+ab+…+ab,=,a,,b,-,ab,=ab-abab=,ab+ab-2abab,=,ab-2abab+ab,=,ab-ab,?0即,ab+ab+…+ab,?,a+a+…+a,,b+b+…+b,当且仅当,ab=ab,=0,即a=kb,k为常数,i=1,2,…,n,时,等号成立.2.向量法证明,设n维向量=,a+a+…+a,,=,b+b+…+b,,则有|•|?||•||,即,•,?||||,所以,ab+ab+…+ab,?,a+a+…+a,,b+b+…+b,,当且仅当,ab=ab,=0,即a=kb,k为常数,i=1,2,…,n,时,等号成立.3.数学归纳法证明,当n=1时,显然成立.2当n=2时,,ab+ab,=ab+2abab+ab?ab+ab+ab+ab=a,b+b,+a,b+b,=,a+a,,b+b, 当且仅当ab=ab时,等号成立.假设当n=k时成立,即,ab+ab+…+ab,?,a+a+…+a,,b+b+…+b,,当且仅当ab=ab,k为常数,i=1,2,…,n,时,等号成立.当n=k+1时,2ab=,a+a+…+a+a,,b+b+…+b+b,=,a+a+…+a,,b+b+…+b,+b,a+a+…+a,+a,b+b+…+b,+ab?,a+a+…+a,,b+b+…+b,+2ab+ab?,ab+ab+…+ab,+2ab,ab+ab+…+ab,+ab=,ab+ab+…+ab,即,ab+ab+…+ab,?,a+a+…+a+a,,b+b+…+b+b,,当且仅当ab=ab,k为常数,i=1,2,…,n,时,等号成立.综上所述,,ab+ab+…+ab,?,a+a+…+a,,b+b+…+b,,当且仅当,ab=ab,=0,即a=kb,k为常数,i=1,2,…,n,时,等号成立.4.运用二元二次型的正定性证明,显然0?,ax+by,=,a,x+2,ab,xy+,b,y为x,y的正定二次型,所以其判别式不大于0.即4,ab,3-4ab?0,ab,?ab,1,且,ax+by,=0,当且仅当ax+by=0,即=-,i=1,2,…,n.所以当且仅当==…=时,,1,式等号成立.即,ab+ab+…+ab,?,a+a+…+a,,b+b+…+b,,当且仅当a=kb,k为常数,i=1,2,…,n,时,等号成立.5.运用行列式证明,设A=,a+a+…+a,,b+b+…+b,-,ab+ab+…+ab,= a+a+…+a ab+ab+…+abab+ab+…+ab b+b+…+b= aababb=abaabb因为A=abaabb=ab,-1,aabb所以2A=,ab-ab,aabb=,ab-ab,?0,因此A?0,即,ab+ab+…+ab,?,a+a+…+a,,b+b+…+b,,当且仅当a=kb,k为常数,i=1,2,…,n,时,等号成立.二、柯西不等式的应用柯西不等式也可以写成如下形式,,ab,?abb,当且仅当==…=时,等号成立.灵活运用柯西不等式,可以使一些数学问题的解题过程得到简化.下面给出柯西不等式的一些应用,利用柯西不等式来解决函数极值问题.例,设2x+5y+6z=60,求μ=++的最大值.4解,因为3,2x+3+5y+2+6z+7,=3,2x+5y+6z+3+2+7,=216,所以由柯西不等式得,1+1+1,,,2x+3,+,5y+2,+,6z+7,,?,1•+1•+1•, 所以,++,?=6,当且仅当2x+3=5y+2=6z+7,即x=,y=,z=时,等号成立.所以μ的最大值为6.参考文献,,1,张,,杨红梅.试论柯西不等式的应用,J,.山西广播电视大学学报,2008,,2,,53-54.,2,徐丽君.柯西不等式的证明与推广应用,J,.科技信息,科学教研,,2008,,11,,45-48.,3,穆晓霞,郭德怀.柯西不等式证法探讨,J,.洛阳师范学院学报,2006,,1,,8-10.,4,赵朋军.柯西不等式的多种证法推广及其应用,J,.南洛师范专科学校学报,2004,,1,,72-75.,5,李芹.柯西不等式在中学数学中的证明和应用,J,.井冈山学院学报,2008,,2,,124-128.,6,鞠建恩.柯西不等式在初等数学中的应用,J,.南平师专学报,2002,,2,,35-38.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装5原版全文6。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用作者：花新矿来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期柯西不等式在中学数学的应用比较广泛，其应用包括证明不等式，求函数的最值，解方程，解三角形相关问题，解析几何学上的应用等［柯西（）不等式定理］（），即，n)，当且仅当或为常数，i=1,2,…,n)时，等号成立.令则∵，∴f(x)≥0恒成立.∴-∴当且仅当或为常数，i＝1，2，…，n)时，等号成立.应用柯西不等式可以解决如下问题一、证明不等式【例1】已知a,b,c∈，且a+b+c=3.求证：证明：利用柯西不等式得∵a+b+c=3，∴，当且仅当a=b=c=1时，等号成立.二、求函数的最值问题【例2】求函数y=6x-2+86-x的最大值解：函数的定义域为［2，6］，由柯西不等式得：-2+86--2)+(6-，当且仅当6x-2=86-x，即x＝4.56时，等号成立.所以函数的最大值为20.三、解方程组【例3】解方程组：x+y+z=6，，解：由柯西不等式得，当且仅当x=y=z=2时，等号成立.四、解三角形的相关问题【例4】设D是△ABC内的一点，a、b、c分别为△ABC的三条边，x、y、z是点D到BC、AC、AB边的距离，R是△ABC外接圆的半径求证：（x+y+z）证明：利用柯西不等式得设△ABC的面积为S，则ax+by+cz=2S=2×abc4R=abc2R,∴五、在解析几何学上的应用柯西不等式变形公式：，＞0(i=1,2,3,…,n),则当且仅当时取等号.【例5】若直线通过点M（）,则（）.解：由题设可得：1＝（）∴所以选【例6】设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.解：依题意得，椭圆的方程为｜BO｜=1,｜AO｜＝2，由椭圆的对称性可知，四边形AEBF的面积等于四边形AOBF的两倍设点F（x,y）,则四边形AEBF的面积为＝2（△△）=x+2y.∵，∴x+2y≤22.四边形AEBF的面积的最大值为22，当且仅当x4=2y4，即x=2时取等号.责任编辑金铃）。
例说分式型柯西不等式在求多元函数最值中的应用
一
ａ ２ｂ ３ｃ
ａ ２ ３ ｂ ｃ
即 ６：： ： ３时 ，＋ ｂ ｃ ａ２＋
３ 的 最 小值 为 １ ． ｃ ８
时 ． ＋ ＋ 的 最 小 值 为３ ． — ６
ｂ Ｃ
变 式２： 已知。 ６ ｃ ，，
， 且 ＋
＋
、
若 啦 常 数 。 ｉ 变 量 ， 当６＋ 为 ｂ为 则 。
教 学 实践 中 发 现 ． 对 其 他 形 式 的 柯 西 相
变 式 １ 已知 ａ ｂ Ｃ ， ｌ ＋ ｂ ３ ＝ ： ，，∈ Ｆａ ２ ＋ ｃ
１求 ＋２ ａ ｒｍａ值 ． ＋ ｏ 、
ａ ｂ Ｃ
三 ： ａ ２ ＋ ｃ 最小 值 ． ２ ＋ｂ ３的
．
．
不 等 式 来 说 ． 式 型 柯 西 不 等 式 由 于 结 分 构 简 单 ． 式 对 称 ， 用 它 求 函 数 最 值 形 应
．
投稿铘箱：ｊ ｖ ３０ ｓｋ ｉ１ ．ｍ ￣＠ ｐ６ ｅ
通 过 以 上 的 例 题 及 其 变 式 可 以 看
３） ｃ ２ ＋ 一 ） Ｅ６ ￣ｘ， 变化 无 关 ， ＋ （ｘ ｙ ６ 为 ｔ－ 的
出 ．利用 分式 型柯 西不 等式 求 最 值 的基
本 思 想 有 两 点 ：一 是根 据 所 求 问题 的结
； ≥ ｝
写 成 ＋ ４ ９
＋
．
使 其 分母 之 和 变为 定
＋ ｎ 最 小值 ， 须 构 造 ＋ ＋ ６有 …＋
５ ７
试题 研究 ＞ 知识延 伸
为定值． 中— 十 ＋３ ２ 例２ １ 三 ＿ 虽为定值 ＿ Ⅲ ：
ａ ｂ ｃ
数学教学通 讯（ 教师版 ）
唐景豪：柯西不等式在分式、根式最值和值域问题中的运用
唐景豪：柯西不等式在分式、根式最值和值域问题中的运用精华博览17年新课标I、10年新课标II、5年新课标III高考数学真题详细解析16年新课标I、9年新课标II、4年新课标III高考数学真题分类详解2020年高考数学重要专题讲座2020届全国各地高考数学模拟试题选椭圆与双曲线性质的对偶113条:椭圆椭圆与双曲线性质的对偶113条:双曲线每日一题（001-099）试题分类2021年高考数学常用公式及结论单墫数学随笔文集（2019.10.20-2020.2.4）杨志明公开征解问题385题【相关链接】杨志明：揭示问题本质，简证安振平问题5687傅轶瑜：一个三元分式不等式的证明陈辉：《罗马尼亚数学杂志》2021年秋季刊问题初级组385的一个证明吴国胜：Euler反常积分的一类推广及其算法吴国胜：欧拉（Euler）反常积分的几类推广及算法吴国胜：欧拉反常积分的若干推广的结果樊益武：安振平问题5967的证明樊益武：安振平问题5968的证明杨志明：安振平问题5969的证明张云华：安振平问题5970证明杨志明公开征解问题385题蔡玉书：杨志明四个征解不等式的证明杨志明：《数学通报》数学问题2571的解答及最佳形式杨志明：《数学通报》数学问题2571的类似杨志明：《数学通报》数学问题2571的又一类似杨志明：《数学通报》数学问题2571的一个类似不等式杨志明：《数学通报》数学问题2571的一个变式杨志明：《数学通报》数学问题2571的一个类似变式及训练题杨志明：《数学通报》数学问题2571的一个类似及训练题2019年全国数学联赛各省预赛试题集锦2007-2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题集锦2010-2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试题详细解答集锦2003-2018 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷集锦近十五年（2005-2019）全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷及详细解答三角形的五心问题集锦杨志明：安振平问题6346的证明杨志明：安振平问题6347、6348的证明唐景豪：一道优美的解三角形问题的另解戴汉有：Mathematical Reflections 5(2020)问题J532和O530的证明杨志明：安振平问题6342的证明杨志明：安振平问题6343的证明杨志明：安振平问题6344的证明刘锐：函数观点下的安振平问题6337的一个证明杨志明：安振平问题6339的证明杨志明：安振平问题6242的证明吴康：一组漂亮的几何恒等式----《数学教学》2021年第6期问题1121的求解及推广戴汉有：加拿大数学难题杂志（2021年6月号）86的证明杨志明：安振平问题6337的证明戴汉有：安振平问题6338的证明杨志明：四个二元不等式的证明杨志明：安振平问题6335的证明杨志明：刘保乾提出的一个三元二次不等式的证明戴汉有：安振平问题6329、6330的证明杨志明：安振平问题6329的证明杨志明：安振平问题6330的证明杨志明：安振平问题6326的证明杨志明：安振平问题6328的证明刘锐：安振平问题6320的又一个证明杨志明：安振平问题6324的证明杨志明：安振平问题6325的证明戴汉有：安振平问题6320的证明杨志明：安振平问题6321的证明杨志明：安振平问题6322的证明杨志明：《数学通报》数学问题2610的证明戴汉有：构造三角形解题两例杨志明：安振平问题6318的否定与修正戴汉有：加拿大数学难题杂志（2021年6月号）4656的证明刘锐：安振平问题6313的又一个证明杨志明：安振平问题6314、6315、6316的证明杨志明：安振平问题6310的证明张克显：杨志明代数征解问题3的解答杨志明：《数学通报》数学问题2608的证明杨志明：安振平问题6311的证明杨志明：安振平问题6313的证明戴汉有：证sqing一个不等式戴汉有：安振平问题6309的证明杨志明：安振平问题6309的证明杨志明：安振平问题6308的证明戴汉有：几个sqing不等式的证明戴汉有：安振平问题6306、6307的证明杨志明：安振平问题6301的证明杨志明：安振平问题6302的证明刘锐：安振平问题6300的又一个证明刘锐：安振平问题6298的又一个证明戴汉有：安振平问题6296的证明杨志明：安振平问题6298的证明杨志明：安振平问题6299的证明杨志明：安振平问题6300的证明戴汉有：Sqing一个不等式的证明杨志明：一道2021德国数学奥林匹克不等式题的证明及上界戴汉有：安振平问题6295的两种证明唐景豪：柯西不等式在函数最值问题中的运用杨志明：安振平问题6291的证明杨志明：安振平问题6292的证明杨志明：安振平问题6293的证明戴汉有：安振平问题6287的证明杨志明：安振平问题6287的证明及推广杨志明：安振平问题6289的证明戴汉有：安振平问题6282、6283、6284的证明杨志明：安振平问题6282、6283、6284的证明杨志明：安振平问题6242的证明杨志明：一道三元条件最值问题的解答杨志明、戴汉有：安振平问题6276的两种证明戴汉有：再证一个数列难题杨志明：安振平问题6277的三种证明杨志明：安振平问题6278的证明一道椭圆难题的解答吴国胜：一个二元不等式的加强及其逆向不等式杨志明：安振平问题6271的证明杨志明：2021年德国数学奧林匹克第1题解答戴汉有：2021阿贝尔数学竞赛题2B和4A的解答戴汉有：安振平问题6270的证明杨志明：安振平问题6270的证明王小国：张云华一个二元不等式的证明杨志明：一道解三角形最值的多种解法谢振亚：安振平问题6264的简证杨志明：安振平问题6262的证明戴汉有：张云华一个二元不等式的证明袁方：数学通报2598问题的解答杨志明、戴汉有：安振平问题6264的两种证明戴汉有：再证一个不等式吴康：一道“谋财害命”的“小学题”杨志明、苏利祥：一道平面向量最值问题的两种解答睡仙：一个三元分式不等式的证明戴汉有：一道平面向量最小值问题的解答杨志明：安振平问题6261的证明及推广戴汉有、杨志明、刘锐：安振平问题6259的三种证明戴汉有：安振平问题6258的证明戴汉有：《数学通讯》2021年第6期问题500的解答戴汉有、杨志明：Mathematical Reflection 2021年第二期征解题J548的两种证明戴汉有：Mathematical Reflection 2021年第二期征解题S549的证明杨志明：安振平问题6255、6256、6257的证明李晓斌、李浩研：一道三角形问题的简洁解法之优化解法（6月19日）李晓斌：2021浙江省数学竞赛预赛第9题命题背景解析刘锐：安振平问题6252的一个证明杨志明：安振平问题6253的两种证明杨志明、张艳宗等：匈牙利《Kö̈MaL》2021年5月号4178不等式的证法集锦吴国胜：数形结合引发的若干类最值的配方法杨志明：安振平问题6248的证明杨志明：安振平问题6251的证明及推广杨志明、褚小光等：《数学通讯》2021年第6期问题496的证法集锦褚小光：Mathematical Reflection 2021年第二期征解题S548的初等证明戴汉有：Mathematical Reflection 2021年第二期征解题S548的证明杨志明：安振平问题6247的证明曾俊毅：《数学通讯》2021年第6期问题497的另证戴汉有：安振平问题6243的证明陈辉：切线法解Mathematical Reflections 2021年第三期征解题S556杨志明：安振平问题6239的证明戴汉有：安振平问题6231的两种证明杨志明：切线法证明安振平问题6237杨志明：安振平问题6238的证明杨志明：安振平问题6240的证明杨志明：加拿大数学难题杂志(2021年5月号)4646的解答戴汉有、杨志明：安振平问题6235的两种证明杨志明、戴汉有：安振平问题6236的两种证明陈辉、杨志明：《数学通讯》2021年第6期问题497的两个证明戴汉有：《数学通讯》2021年第6期问题497、500的解答陈辉：《数学通讯》2021年第6期问题500的两个解答戴汉有、杨志明：安振平问题6234的两种证法杨志明：安振平问题6222的加强、隔离及探源戴汉有：安振平问题6222的证明刘锐：《数学通讯》2021年第6期问题496的一个解答戴汉有：安振平问题6233的证明杨志明：2021年罗马尼亚数学奥林匹克不等式的证明杨志明：安振平问题6231的证明任迪慧、张小林：关于三角形中线及角平分线的不等式新探究杨志明：《数学通报》数学问题2603的证明戴汉有：导数法证明安振平问题6228张云华：安振平问题6228证明杨志明：“SOS”法证明安振平问题6228杨志明：安振平问题6227的证明戴汉有：再解一个 sqing 最值问题杨志明：安振平问题6225的证明杨志明：安振平问题6226的证明戴汉有：再解一道方程刘锐：《数学通讯》2021年第5期问题492的一个解答陈辉：《数学通报》2021年第5期问题2601的一个证明杨志明：《数学通报》数学问题2601的修正戴汉有：2020阿拉伯数学奥林匹克不等式题及其证明杨志明：安振平问题6221的证明陈辉：《数学通报》2021年第5期问题2605的一个解答戴汉有：安振平问题6203的证明杨志明：安振平问题6219的证明杨志明：安振平问题6220的证明唐一博：杨志明有奖问题征解（2021.05.28）的解答戴汉有、杨志明：安振平问题6215的两种解答杨志明：安振平问题6216、6217、6218的证明樊益武：安振平问题6187的证明戴汉有：第163期问题研究B的解答杨志明：叶军数学工作站第163期问题研究B的证明戴汉有：安振平问题6213的证明戴汉有：安振平问题6214的证明戴汉有：《Mathematical 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Reflections》3(2021)J553题解答杨志明：安振平问题6204的证明杨志明：安振平问题6205的证明杨志明：安振平问题6206的证明戴汉有：安振平问题6201的证明杨志明：安振平问题6197的证明戴汉有：安振平问题6200的证明戴汉有：安振平问题6198的证明杨志明：叶军数学工作站第162期问题研究B的证明及推广杨志明：叶军数学工作站第162期问题研究B的证明及推广樊益武：安振平问题6191的证明戴汉有：安振平问题6195的证明杨志明：安振平问题6195的两种简证戴汉有：《数学通讯》2021年第5期问题494、495的解答吴国胜：几个无穷级数的研究吴国胜：欧拉广义积分的几个有趣推广杨志明：安振平问题6194的证明陈辉：《数学通讯》2021年第5期问题495的两个证法杨志明：《数学通讯》2021年第5期问题495的简证樊益武：安振平问题6158的证明戴汉有：安振平问题6188的证明戴汉有：安振平问题6186的证明任迪慧、谢雪芹：ー个逆向Euler不等式的证明及应用吴国胜：一类含立方根式的分式不等式戴汉有：安振平问题6184、6185的证明杨志明：安振平问题6186的部分证明杨志明：安振平问题6184、6185的证明任迪慧、张小林：三角形角平分线的不等式新思考戴汉有：第161期问题研究A的解答戴汉有：安振平问题6183的证明杨志明：安振平问题6181、6182的证明吴国胜：一类含根式的分式不等式一道无理根式函数的最小值的求法----兼谈安振平问题6180的解答戴汉有：安振平问题6180的解杨志明：安振平问题6176的证明杨志明：安振平问题6175的证明杨志明：越南《数学与青年》杂志2021年第4期T6.52的证明戴汉有：安振平问题6167的证明谢振亚：第160期问题研究A的简证陈辉：越南《数学与青年》杂志2007年的一道数列不等式的一个证明戴汉有：第160期问题研究A的解答戴汉有：安振平问题6169的证明谢振亚：安振平问题6170的另证戴汉有：安振平问题6170的证明戴汉有：再证安振平老师一道征解题杨志明：安振平问题6168的证明戴汉有：安振平问题6162的证明杨志明：安振平问题6165的证明谢振亚：安振平问题6164的简证樊益武：安振平问题6164的证明戴汉有：安振平问题6163的证明樊益武：安振平问题6154的证明陈辉：安振平问题6161的一个证明戴汉有：安振平问题6149的证明任迪慧：一道三角形不等式的证明杨志明：切线法证明安振平问题6156任迪慧、张小林：《数学通报》问题征解栏问题樊益武：安振平问题6155的证明樊益武：安振平问题6156的证明杨志明：安振平问题6155、6157的证明杨志明：珠峰不等式（601）中的第16个四元不等式的证明戴汉有：安振平问题6152的证明樊益武：安振平问题6151的证明杨志明：叶军数学工作站第158期问题研究A的两种解法樊益武：安振平问题6150的证明杨志明：利用拉格朗日恒等式证明安振平问题6146、6147的证明樊益武：复数法证明安振平问题6146,6147樊益武：安振平问题6148的证明杨志明：加拿大数学难题杂志(2021年2月号)问题4574的另证樊益武：安振平问题6145的证明樊益武、程辉、杨志明：安振平问题6142的三种证法樊益武：安振平问题6141的证明罗瑞：安振平问题6094的加强杨志明：叶军数学工作站第157期问题研究A的解答樊益武：安振平问题6140的证明罗瑞：安振平问题6136的证明吴国胜：Euler反常积分的一类推广及其算法杨志明：安振平问题6138的证明樊益武：安振平问题6137的证明杨志明：安振平问题6136的最佳形式杨志明：安振平问题6131的证明杨志明：安振平问题6132的证明樊益武：安振平问题6123的证明杨志明：局部不等式法证明安振平问题6029、6130杨志明：《数学通讯》2021年第4期问题488题的简证樊益武：安振平问题6127的证明杨志明：THUSSAT2021年3月诊断性测试理科数学第12题的探究杨士俊：安振平问题6121另证杨志明、谢振亚：安振平问题6121的别证杨志明、谢振亚：安振平问题6115的简证睡仙：一个四元不等式的两种证法樊益武：安振平问题6122的证明樊益武：安振平问题6119的证明樊益武：安振平问题6121的证明杨志明：安振平问题6121的两种证法戴汉有：杨志明代数征解问题148的部分解答樊益武：安振平问题6114的简证樊益武：安振平问题6115的证明杨志明：安振平问题6114的证明樊益武：安振平问题6113的证明谢振亚：一道三元最小值征解题的解答樊益武：安振平问题6111的证明杨志明：安振平问题6112的证明樊益武：安振平问题6097的证明杨士俊：安振平问题6109的别证樊益武、陈辉、杨志明：安振平问题6109的三种证法杨士俊：安振平问题6107-6108的别证樊益武：安振平问题6110的证明樊益武：安振平问题6107的证明杨志明：安振平问题6108的证明杨志明：安振平问题6107的证明樊益武：安振平问题5952，5953，6106的证明杨志明：安振平问题6106的证明樊益武：安振平问题6099的证明樊益武：安振平问题6104的证明樊益武：安振平问题6100的证明睡仙：柯西法再证一个不等式戴汉有：杨志明代数征解问题22的部分解答杨志明：安振平问题6101、6102的证明杨志明：2021年广州一模数列解答题的另解樊益武：自编自演10樊益武：自编自演9 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