数列及导数专题
导数与数列结合题目
导数与数列结合题目一、背景介绍数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规则排列的数构成。
数列的性质和规律对于数学的发展和应用有着重要的影响。
而导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的计算和性质对于函数的研究和应用有着重要的意义。
在数学学习中，我们常常会遇到一些题目涉及到导数和数列的结合。
这些题目既考察了对导数和数列的理解，也考察了学生的解题能力和思维灵活性。
本文将介绍一些常见的导数与数列结合题目，并通过具体的例子进行说明和解答。
二、题目示例题目1：数列的导数已知数列 {an} 满足 an = 2n + 1，求数列的导数{a’n}。
解答：首先，我们需要知道数列的导数的定义。
对于数列 {an}，其导数{a’n} 的定义为：a’n = limh→0 (an+h - an) / h代入题目给定的数列 {an} = 2n + 1，得到：a’n = limh→0 ((2(n+h)+1) - (2n+1)) / h化简上式得：a’n = limh→0 (2h) / h由此可知，数列的导数{a’n} = 2。
题目2：数列的极限与导数已知数列 {an} 满足 a1 = 2，an+1 = an + 3 / an，求数列的极限。
解答：首先，我们先对数列 {an} 进行求导。
令 f(x) = x + 3 / x，根据导数的定义，有：f’(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h代入 f(x) = x + 3 / x，得到：f’(x) = limh→0 ((x+h + 3 / (x+h)) - (x + 3 / x)) / h化简上式得：f’(x) = limh→0 (3h / (x(x+h))) / h通过化简，得到f’(x) = 3 / x^2。
接下来，我们考察数列 {an} 的极限。
根据题目中给定的递推关系式，我们可以得到数列 {an} 的通项公式：an = an-1 + 3 / an-1化简上式得：an^2 = an-1^2 + 3进一步推导，可得：an^2 - an-1^2 = 3再次化简，可得：(an + an-1) * (an - an-1) = 3由此可知，数列 {an} 是一个有界数列，其极限存在。
高中数学专题练习《数列、导数知识点》含详细解析
数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n =d(n∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则其通项公式为a n =a 1+(n-1)d.4.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d(n∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m)d(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn(A,B 为常数).(5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a n a n -1=q(n≥2,n∈N *,q 为非零常数).2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数) f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln x f'(x)=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x .四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.函数的极值与导数条件 f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x 0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值 f(x 0)为极大值 f(x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。
数列导数周练题(难)
数列导数周练题一．选择题(共8小题)1．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4=2，S8=34，则公比q=( )A．3B．2C．3或-3D．2或-22．中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1 OD1,CC1DC1,BB1CB1,AA1BA1，且成首项为0.114的等差数列，若直线OA的斜率为0.414，则该数列公差等于( )A．0.1B．0.2C．0.3D．0.43．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7>0，S8<0，则S na n(n=1,2,3,⋅⋅⋅,7,8)中，最大的项为( )A．S1a1B．S3a3C．S4a4D．S8a84．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板(不含天心石)( )A．3339块B．3402块C．3474块D．3699块5．若a=ln1.01，b=2201,c= 1.02-1，则( )A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．定义在R 上的函数f (x )与g (x )的导函数分别为f (x )和g (x )，满足f (x )-g (x -2)=0，f (-x )-g (x )=-2，且g (x -2)为奇函数，则2023k =1f (k ) =( )A ．-4046B ．-4045C ．-4044D ．-40437．已知e 是自然对数的底数，a =1e45，b =15，c =-ln 56，则( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．b <a <c8．已知函数f (x )=e x +ax +b -3(a ,b ∈R )在区间[1，2]上总存在零点，则a 2+(b -4)2的最小值为( )A ．(e +1)22B ．413C ．(e 2+1)25D ．8e4二．多选题(共4小题)9．关于函数f (x )=x 3-3x +1，下列说法正确的是( )A ．f (x )有两个极值点B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )有三个零点D ．2sin10°是f (x )的一个零点10．已知函数f (x )=ln (sin x )⋅ln (cos x )，下列说法正确的是( )A ．f (x )定义域为2k π,2k π+π2,k ∈ZB ．f (-x )=f (x )C ．f x +π4是偶函数D ．f (x )在区间0,π2上有唯一极大值点11．已知函数f (x )=sin x +ln x ，将f (x )的所有极值点按照由小到大的顺序排列得到数列{x n }，对于正整数n ，则下列说法中正确的有( )A ．(n -1)π<x n <n πB ．x n +1-x n <πC ．x n -(2n -1)π2为递减数列D ．f (x 2n )>-1+ln (4n -1)π212．已知函数f (x )=x (x -3)2，若f (a )=f (b )=f (c )，其中a <b <c ，则( )A ．1<a <2B ．a +b +c =6C ．a +b >2D ．abc 的取值范围是(0,4)三．填空题(共4小题)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=52，则a 5+a 7+a 9= ．14．已知函数f (x )=ln x -ax 在1e,+∞ 上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )=x emx +1-ln x +mx (x >0)的值域为[0，+∞)，则实数m 取值范围为 ．16．作单位圆的外切和内接正3×2n 边形(n =1，2，⋯)，记外切正3×2n 边形周长的一半为a n ，内接正3×2n 边形周长的一半为b n .计算可得a n =3×2n tan θn ，其中θn 是正3×2n 边形的一条边所对圆心角的一半．给出下列四个结论：①b n =3×2n sin θn ；②1a n +1=1a n+1b n；③b 2n +1=a n +1b n ；④记c n =a n -b n ，则∀n ∈N +，c n +1c n<14．其中正确结论的序号是 ．四．解答题(共6小题)17．已知函数f (x )=ln x x-ax ．(1)若f (x )≤-1，求实数a 的取值范围；(2)求证：f (x )有2个不同的零点．18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4=10．(1)若S 20=590，求{a n }的公差；(2)若a 1∈Z ，且S 7是数列{S n }中最大的项，求a 1所有可能的值．19．已知函数f (x )=xe x -m 2(x +1)2(m ≥0)．(1)当m =0时，求函数f (x )的极小值；(2)当m >0时，讨论f (x )的单调性．20．已知函数f(x)=1在x=1处取得极值2．3x3+ax2+3x+b(a,b∈R)(1)求a，b的值；(2)若方程f(x)=-x2+6x+k有三个相异实根，求实数k的取值范围．21．已知函数f(x)=x-a ln x．(1)当a=1时，求f(x)在区间(0，e]上的最小值；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．22．已知函数f(x)=a(x+4)，其中a∈R且a≠0．e x(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在实数x0，使得f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的“不动点”求函数f(x)的“不动点”的个数；(3)若关于x的方程f(f(x))=f(x)有两个相异的实数根，求a的取值范围．数列导数周练题参考答案与试题解析一．选择题(共8小题) 1．D．2．B．3．C．4．B．5．B．6．【解答】解：∵f (x)-g (x-2)=0，∴f (x)=g (x-2)，则f(x)=g(x-2)+c，∵f(-x)-g(x)=-2，∴g(x)=f(-x)+2，即f(x-2)=f(2-x)+2，∴f(x)=f(2-x)+2+c，令x=1，则f(1)=f(1)+2+c，解得c=-2，∴f(x)=f(2-x)①，f(x)=g(x-2)-2，又g(x-2)为奇函数，∴g(x-2)+g(-x-2)=0，即f(-x+2)+f(x+2)=-4②，由①+②得f(x)+f(x+2)=-4③，∴f(x+2)+f(x+4)=-4④，由③-④得f(x)=f(x+4)，∴f(x)是周期为4的周期函数，令x=0，由②得f(2)+f(2)=-4，解得f(2)=-2，令x=1，由③得f(1)+f(3)=-4，令x=2，由③得f(2)+f(4)=-4，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-8，∴2023k=1f(k)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2021)+f(2022)+f(2023)=505×(-8)+f(1)+f(2)+f(3)=-4040-6=-4046，故选：A．7．A．8．A．二．多选题(共4小题)9．ACD．10．ACD．11．AC．12．BCD．三．填空题(共4小题)13．12．14．[e，+∞)．15．-∞,1e2．16．【解答】解：对于①，等腰三角形AOB中，OA=OB=1，∠AOB=2θn，则sinθn=12AB，所以b n=3×2n sinθn，故①正确；对于②，因为a n=3×2n tanθn，b n=3×2n sinθn，所以a n+1=3×2n+1tanθn+1，θn=2θn+1，所以1a n+1=13×2n+1tanθn+1，1a n+1b n=13×2n tanθn+13×2n sinθn=13×2n 1tan θn +1sin θn=13×2n×cos θn +1sin θn =13×2n×cos2θn +1+1sin2θn +1=2cos 2θn +12sin θn +1cos θn +1=13×2n ×1tan θn +1，∴1a n +1≠1a n +1b n ，故②错误，对于③，因为a n =3×2n tan θn ，b n =3×2n sin θn ，所以a n +1=3×2n +1tan θn +1，b n +1=3×2n +1sin θn +1，θn =2θn +1，所以b 2n +1=(3×2n +1sin θn +1)2=9×22n +2sin 2θn +1，a n +1b n =3×2n +1tan θn +1×3×2n sin θn =9×22n +1tan θn +1sin2θn +1=9×22n +1sin θn +1cos θn +1×2sin θn +1cos θn +1=9×22n +2sin 2θn +1，故③正确；对于④，c n =a n -b n =3×2n tan θn -3×2n sin θn =3×2n (tan θn -sin θn )，∴c n +1c n =3×2n +1(tan θn +1-sin θn +1)3×2n (tan θn -sin θn )=2(tan θn +1-sin θn +1)tan2θn +1-sin2θn +1=2sin θn +11cos θn +1-1sin2θn +11cos2θn +1-1=1-cos θn +1cos θn +1cos θn +1⋅1-cos2θn +1cos2n +1=1-cos θn +1cos θn +1⋅cos2θn +1cos θn +1(1-cos2θn +1)=2cos 2θn +1-1cos θn +1⋅2sin 2θn +1=(1-cos θn +1)(2cos 2θn +1-1)2(1-cos 2θn +1)cos 2θn +1，令t =cos θn +1，(cos15°≤t <1)，则f (t )=(1-t )(2t 2-1)2t 2(1-t 2)=2t 2-12t 3+2t 2，所以f ′(t )=4t (2t 3+2t 2)-(2t 2-1)(6t 2+4t )(2t 3+2t 2)2=2t [2(1-t 3)+3t ](2t 3+2t 2)2>0，所以f (t )在[cos15°，1)上递增，所以f (t )<f (1)=14，所以cn +1c n<14，故④正确．故答案为：①③④．四．解答题(共6小题)17．【解答】解：(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞)，则f (x )≤-1等价于a ≥ln x +xx2，令h (x )=ln x +x x 2，则h (x )=1-x -2ln x x 3，令g (x )=1-x -2ln x ，由函数单调性的性质可知，g (x )在(0,+∞)上单调递减，又g (1)=0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(1,+∞)时，h (x )<0，h (x )单调递减，所以y =h (x )在x =1处取得最大值，则a ≥h (1)=1，即实数a 的取值范围为[1，+∞)．(2)证明：f (x )有2个不同的零点等价于a =ln x x2有2个不同的实数根．令F (x )=ln x x 2，则F (x )=1-2ln xx 3，令F ′(x )>0，解得x ∈(0,e )，此时F (x )单调递增，令F ′(x )<0，解得x ∈(e ,+∞)，此时F (x )单调递减，所以y =F (x )在x =e 处取极大值为F (e )=12e ．又因为F (1)=0，当x ∈(0,1)时，F (x )<0，当x >1时，F (x )>0，且x →+∞时，F (x )→0．所以1<x 1<e <x 2，且a ∈0,12e．因为x 1，x 2是方程a =ln x x 2的2个不同实数根，则a =ln x 1x 12a =ln x 2x 22，所以x 22x 21=ln x 2ln x 1，令t =x 2x 1，则t >1，且t 2=ln x 2tln x 1，所以ln x 1=ln t t 2-1，ln x 2=t 2ln tt 2-1．又x 21=ln x 1a ，x 22=ln x 2a，所以要证2x 21+3x 22>125a ，只需证2ln x 1a +3ln x 2a >125a．又a >0，则只需证2ln x 1+3ln x 2>125，即证3t 2ln t t 2-1+2ln t t 2-1>125，又t >1，即证ln t -12(t 2-1)5(3t 2+2)>0，令G (t )=ln t -12(t 2-1)5(3t 2+2)(t >1)，则G(t )=(3t 2-2)2t (3t 2+2)2≥0，所以G (t )在(1,+∞)上单调递增，G (t )>G (1)=0，所以当t >1时，ln t -12(t 2-1)5(3t 2+2)>0成立，即得证．18．【解答】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4=a 1+3d =10S 20=20a 1+190d =590，解得d =3．(2)由(1)得a 4=a 1+3d =10，d =10-a 13，由于S 7是数列{S n }中最大的项，d =10-a 13<0，a 1>10，所以a 7≥0a 8≤0 ，即a 1+6d ≥0a 1+7d ≤0 ，即a 1+6×10-a 13=20-a 1≥0a 1+7×10-a 13=70-4a 13≤0，解得352≤a 1≤20，由于a 1是整数，所以a 1的可能取值是18，19，20．19．【解答】解：(1)当m =0时：f (x )=(x +1)e x ，令f (x )=0解得x =-1，又因为当x ∈(-∞,-1)，f (x )<0，函数f (x )为减函数；当x∈(-1,+∞)，f′(x)>0，函数f(x)为增函数．所以f(x)的极小值为f(-1)=-1 e．(2)f (x)=(x+1)(e x-m)，当m>0时，由f (x)=0，得x=-1或x=ln m．①若m=1e，则f (x)=(x+1)e x-1e≥0，故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；②若m>1e，则ln m>-1．故当f′(x)>0时，x<-1或x>ln m；当f (x)<0时，-1<x<ln m．所以f(x)在(-∞,-1)，(ln m,+∞)单调递增，在(-1,ln m)单调递减．③若0<m<1e，则ln m<-1．故当f′(x)>0时，x<ln m或x>-1；当f (x)<0时，ln m<x<-1．所以f(x)在(-∞,ln m)，(-1,+∞)单调递增，在(ln m,-1)单调递减．20．【解答】解：(1)f (x)=x2+2ax+3，依题意，f(1)=13+a+3+b=2 f′(1)=1+2a+3=0，解得a=-2，b=2 3，经检验，a=-2，b=23符合题意，∴a，b的值分别为-2，23；(2)由(1)可得，f(x)=x33-2x2+3x+2 3，若方程f(x)=-x2+6x+k有三个相异实根，即g(x)=x33-x2-3x+23的图象与直线y=k有三个不同的交点，因为g (x)=x2-2x-3，令g (x)>0，解得x<-1或x>3，令g (x)<0，解得-1<x<3，∴g(x)在(-∞,-1)，(3,+∞)单调递增，在(-1,3)单调递减，且g(x)极大值=g-1=73,g(x)极小值=g3 =-253，∴-253<k<73，即实数k的取值范围为-253,73．21．【解答】解：(1)由于f(x)=x-a ln x，则f′(x)=1-1x，令f′(x)=0，得x=1．当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当1<x≤e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．故当x=1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)=1；(2)若f(x)有两个零点，则f(x)=x-a ln x=0有两根，由题意a≠0，则1a=ln xx有两个零点，令g(x)=ln xx，则g′(x)=1-ln xx2，当0<x<e时，g′(x)>0，函数单调递增；当x>e时，g′(x)<0，函数单调递减．所以函数g(x)的最大值为g(e)=1 e，当x→0时，g(x)→-∞，当x→+∞时，g(x)→+∞，函数g(x)的图象如图所示，所以0<1a<1e，所以a>e．故a的取值范围为：(e,+∞)．22．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x+4e x，定义域为R，f′(x)=-x+3e x，令f′(x)=0，得x=-3，∴当x<-3时，f′(x)>0；当x>-3时，f′(x)<0．∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-3)，单调递减区间为(-3,+∞)．(2)函数f(x)的不动点即为方程f(x)-x=0的根，即方程a(x+4)e x-x=0，∴xe xx+4-a=0，设F(x)=xe xx+4-a(x≠-4)，F′(x)=(x+2)2e x(x+4)2≥0，当且仅当x=-2时取等号，∴F(x)在(-∞,-4)和(-4,+∞)上单调递增，由F(x)=xe x-a(x+4)x+4，设h(x)=xe x-a(x+4)，当a>0时，若x∈(-∞,-4)时，h(-4)=-4e4<0，h-4-1ae>0，∴存在t1∈(-∞,-4)，使得h(t1)=0，即存在唯一t1∈(-∞,-4)，使得F(t1)=0，当x∈(-4,+∞)时，h(0)=-4a<0，h(4a)>0，存在t2∈(0,+∞)，使得h(t2)=0，即存在唯一t2∈(0,+∞)使得F(t2)=0，当a<0时，当x∈(-∞,-4)时，F(x)=xe xx+4-a>0无零点，当x∈(-4,+∞)时，∵h(0)=-4a>0，h(-4)=-4e4<0，存在t0∈(-4,0)，使得h(t0)=0，即存在唯一t0∈(-4,+∞)使得F(t0)=0，综上所述，当a>0时，函数f(x)有两个“不动点”t1，t2，当a<0时，函数f(x)有一个“不动点”．(3)∵f(f(x))-f(x)=0，由(2)可得f(x)=t i(其中i∈{0，1，2})，由F(t i)=0得a=t i e t it i+4，代入x+4e x=t i+4e t i，设G(x)=x+4e x，由(1)知，当x∈(-∞，-4]时，G(x)单调递增，且G(x)∈(-∞，0]，∴在(-4,-3)上G(x)单调递增，且G(x)∈(0，e3)，在(-3,+∞)上G(x)单调递减，且G(x)∈(0，e3)，由G(x)=G(t1)<0可得x=t1，G(x)=G(t2)>0可得x=t2，x0，共三个解，∴F(t)有一个零点t0，∴f(f(x))-f(x)=0，∴f(x)=t0，由F(t0)=0得a=t0e t0t0+4，代入x+4e x=t0+4e t0，由(1)知当t0=-3，即a=-3e3时，G(x1)=G(t0)的解为t0，当t0≠-3，即a<0且a≠-3e3时，G(x1)=G(t0)的解为x1，t0，综上所述，当a<0且a≠-3e3时方程有两个不同实数根．。
数列导数知识点总结
数列导数知识点总结一、数列的概念1.数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合，其中每个数字称为数列的项。
一般地，数列可以表示为$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，其中$a_n$表示数列的第n项。
2.数列的性质数列具有一些重要的性质，比如常见的等差数列、等比数列等，这些性质对于数列的导数求解非常重要。
二、数列导数的概念数列的导数，也称为差商，是指数列相邻两项的变化率。
数列导数的概念对于分析数列的变化规律和求解数列的通项公式有着重要的作用。
1.差商的定义对于数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，其相邻两项的差商可表示为：$$\frac{a_{n+1}-a_n}{n+1-n} = a_{n+1}-a_n$$2.导数的性质数列的导数具有一些性质，如数列的导数为固定值时，称为等差数列；数列的导数为比值时，称为等比数列等。
三、数列导数的求解方法数列导数的求解方法有一些常用的技巧和原理，下面将主要介绍几种常用的求解方法。
1.直接求解对于一些简单的数列，可以直接对相邻两项进行求差商，得到数列的导数。
2.利用求导法则对于一些复杂的数列，可以利用求导法则进行求解，如使用差商的性质、导数的加减法则、导数乘除法则等进行计算。
3.利用数学归纳法对于一些特殊的数列，可以利用数学归纳法进行求解，即先求出数列的通项公式，再对通项公式进行求导，得到数列的导数。
4.利用数列性质对于特定性质的数列，如等差数列、等比数列等，可以利用其性质进行导数的求解，简化计算过程。
四、数列导数的应用数列导数在数学中有着广泛的应用，特别是在分析数列的变化趋势和推导数列的通项公式方面。
1.分析数列变化趋势通过求解数列的导数，可以分析数列的变化趋势，了解数列的增减性、凹凸性等特点，进而更好地理解数列的性质和规律。
2.推导数列的通项公式通过求解数列的导数，可以得到数列的变化规律，并进一步推导出数列的通项公式，从而更好地描述和表达数列的特点。
三角、数列、导数基础练习题(一)
三角、数列、导数基础练习题（一）一、选择题1、设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．32、函数y ＝f(x)的图象在点P （1，f (1)）处的切线方程为y ＝－2x ＋10,导函数为()f x '，则f (1)＋(1)f '的值为( )A. －2B.2 C .6 D. 83、若平面向量)2,1(-=a 与b 的夹角是︒180，且53||=，则的坐标为（ ）A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-4、已知集合{})1(log 2-==x y x A ，{}21x B y y x A ==+∈，，则=B A （ ） A ．φ B ．(1，3) C ．(3，∞+) D ．(1，∞+)5、函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．56、若αβ，为锐角，4sin cos()5ααβ=+=， 则cos β=（ ） A ．552- B ．2552 C ．2552552或 D ．552 7、已知数列}{n a 为等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +=（ ）A ．3-B ．3C ．3±D ．33- 8、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51026S S ==，，则=++++2019181716a a a a a （ ）A ．54B ．48C ．30D ．16二、填空题 9、已知向量(42)a = ，，(3)b x = ，，若a ∥b ，则x = .10、数列a n {}满足：11121(234)n n a a n a -==-= ，，，，，则15a = .选择题答案三、解答题11、在中，a b c ，，分别是的对边长，已知a b c ，，成等比数列，且，求的大小及的值.12、已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间.13、已知：a R a a x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2∈++=为常数）（1）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期；（2）若)(x f 在[]6,6ππ-上最大值与最小值之和为3，求a 的值.。
高二竞赛 解几,导数数列训练(免费超好)
高二竞赛解几、导数、数列训练一、解几1.已知曲线c上任意一点P到两个定点F1(-3，0)和F2(3，0)的距离之和为4．（1）求曲线c的方程；（2）设过(0，-2)的直线l与曲线c交于C、D两点，且OODOC(0=⋅为坐标原点），求直线l的方程．解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，其中2a=，c=则1b==．所以动点M的轨迹方程为2214xy+=．（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2y kx=-，设11(,)C x y，22(,)D x y，∵0OC OD⋅=，∴1212x x y y+=．∵112y kx=-，222y kx=-，∴21212122()4y y k x x k x x=⋅-++．∴21212(1)2()40k x x k x x+-++=．…①由方程组221,42.xyy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx+-+=．则1221614kx xk+=+，1221214x xk⋅=+，代入①，得()222121612401414kk kk k+⋅-⋅+=++．即24k=，解得，2k=或2k=-．所以，直线l的方程是22y x=-或22y x=--．2.已知点P（4，4），圆C：22()5(3)x m y m-+=<与椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP AQ⋅的取值范围．【解】（Ⅰ）点A代入圆C方程，得2(3)15m-+=．m＜3，∴m＝1．圆C：22(1)5x y-+=．设直线PF1的斜率为k，则PF1：(4)4y k x=-+，即440kx y k--+=．∵直线PF1与圆C=解得111,22k k ==或．当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）．2a ＝AF 1＋AF 2＝=a =a 2＝18，b 2＝2．椭圆E 的方程为：221182xy+=．（Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)A Qx y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182xy+=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]．3.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且经过点(4,1)M . 直线:l y x m =+交椭圆于,A B 两不同的点.(1);(2);(3),:m l M M A M B x 求椭圆的方程求的取值范围若直线不过点求证直线，与轴围成一个等腰三【解】222222222222(1)1,4,2161(4,1),1,5,20,1.205x y e ab abM b a abxy+===+===+=设椭圆方程为因为所以又椭圆过点所以解得故椭圆方程为222222(2)1584200.205(8)20(420)0,5 5.xyy x m x m x m m mm =++=++-=∆=-->-<<将代入并整理得得121221122121212122112121212211212(3),,0.8420(,),(,),,.5511(1)(4)(1)(4)44(4)(4)(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(M A M B k k k k m m A x y B x y x x x x y y y x y x k k x x x x x m x x m x x x m x x m +=-+=-=----+--+=+=----=+--++--=+-+--=设直线斜率分别为和只要证设则分子2420)8(5)8(1)0,55,.m m m m M A M B x -----=因此与轴所围的三角形为等腰三角形4.已知椭圆22122:1(0)xyC a b a b+=>>3，直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2P F 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（III ）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,Q R RS ⋅=求Q S 的取值范围.解：（Ⅰ）∵222222221,2333c a b e e a b ac-=∴===∴=∵直线22202:b y x y x l =+=--与圆相切，∴2,2,222==∴=bb b ∴32=a椭圆C 1的方程是12322=+yx（Ⅱ）∵MP=MF 2，∴动点M 到定直线1:1-=x l 的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离，∴动点M 的轨迹是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线∴点M 的轨迹C 2的方程为 x y 42=（Ⅲ）Q （0，0），设),4(),,4(222121y y S y y R ∴),4(),,4(122122121y y y y RS y y QR --== ∵0=⋅RS QR ∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y∵0,121≠≠y y y ，化简得 ∴)16(112y y y +-=∴6432256232256212122=+≥++=yy y当且仅当 4,16,2561212121±===y y yy 时等号成立∵6464)8(41)4(||2222222222≥-+=+=y y y y QS ，又∴当||58||8,64min 222QS QS y y ，故时，=±==的取值范围是),58[+∞二、导数及其应用1．设函数()()()f x x x a x b =--，R b a ∈,。
导数+数列,满分哪里跑
导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种，下面就源于两个重要极限 的不等式利用近三年高考题举例加以说明。
1．设函数 f ( x) 在 R 上的导函数为 f ¢(x) ，且 2 f (x) + xf ¢(x) > x2 ，下面的不等式在R 上恒成立的是A． f (x) > 0B． f (x) < 0C． f (x) > x【答案】A【解析】由已知，首先令x = 0 得 f ( x) > 0，排除 B，D．D． f (x) < x令 g(x) = x2 f (x)，则 g¢(x) = x[2 f (x) + xf ¢(x)] ，①当x>0时，有2f(x) + xf ¢( x) =g¢(x) x>x2 g ¢(x)>0，所以函数g(x)单调 递增，所以当x>0时，g(x) > g(0) = 0，从而 f ( x) > 0 ．②当x<0时，有2f(x) + xf ¢( x) =g¢(x) x>x2 g ¢(x) < 0，所以函数g(x)单调 递减，所以当x<0时，g(x) > g(0) = 0，从而 f ( x) > 0 ．综上 f (x) > 0 ．故选 A．【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．2．已知函数f(x)=1 2x2-ax+(a-1)lnx，a>1．（Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；（Ⅱ）证明：若 a<5 ，则对任意 x1, x2 Î(0,+¥) ， x1x2 ，有f ( x1 ) x1 -f ( x2 ) x2>-1．解：（Ⅰ） f (x) 的定义域为(0,+¥) ．f¢(x)=x-a+a-1 x=x2- ax + a x-1 =(x -1)(x + 1- a) x（i）若 a-1=1即a=2 ，则f¢(x)=(x-1)2 x，故 f ( x) 在 (0,+¥) 单调增加．… … … … … … … 2分（ii）若 a -1 < 1 ，而 a > 1，故1 < a < 2 ，则当 x Î(a -1,1)时， f '(x) < 0 ；当 x Î(0,a -1)及 x Î (1,+¥) 时， f ' (x) > 0 ．故 f (x) 在 (a -1,1)单调减少， 在 (0,a -1),(1+, ¥) 单调增加．（iii）若 a -1 > 1 ，即 a > 2 ，同理可得 f (x) 在 (1,a -1)单调减少，在(0,1),(a -1,+¥) 单调增加．（II）考虑函数 g (x)=f(x) +x=1 2x2- ax + (a-1)ln x+x．则g¢(x)=x-(a-1)+a-1 x2xa-1 x-(a-1)=1-(a -1 -1)2 ．由于1 < a < 5, 故 g¢( x) > 0 ，即 g (x) 在 (0,+¥) 单调增加，从而当x1 > x2 > 0时有g(x1) - g( x2 ) > 0 ， 即 f ( 1 x-)f (2 +x ) 1 - x 2 ，>x 0故f(x1) x1-f (x2 ) x2>-1，当0 < x1 < x2时，有f(x1) - f (x2 ) x1 - x2=f(x2 ) - f (x1) x2 - x1> -1．… … … … … … … … … … … … 1分23．已知曲线Cn : x2 - 2nx + y2 = 0(n =1,2,) ．从点 P(-1,0)向曲线 Cn 引斜率为kn (kn > 0)的切线 ln ，切点为 Pn (xn , yn ) ．（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（2）证明： x1x3x5x2n-1 <1 - xn 1 + xn<2 sinxn yn．【解析】曲线Cn : (x - n)2 + y2 = n2是圆心为 (n,0 )，半径为 n 的圆，切线ln : y = kn (x +1)（Ⅰ）依题意有|nkn + kn | kn2 +1=n ，解得 kn2=n2 ，又 2n + 1xn2- 2nxn+yn2=0，yn = kn (xn + 1)联立可解得 xn=nn +1,yn=n2n + 1 n+1，（Ⅱ）1- xn 1+ xn=1， 2n +12 sin xn yn=2 sin1 2n + 1先证： x1 x3 x5 x2n-1 <1， 2n +1证法一：利用数学归纳法当n= 1 时，x1=1 2<1 ，命题成立， 3假设 n = k 时，命题成立，即x1 x3 x5 x2k -1 <1， 2k +1则当 n = k + 1 时， x1 x3 x5 x x 2k-1 2k+1 <1 2k +1x2k +1=2k +1 2(k + 2)∵(1 )2 2k + 3/[ 2k +1 ]2 2(k + 2)=4k 2 +16k 4k 2 + 8k+16 +3>1，故2k +1 2(k + 2)<1 2k + 3 =1．2(k +1) +1∴当 n = k +1 时，命题成立故 x1 x3 x5 x2n-1 <1 成立． 2n +1证法二：1 - xn 1 + xn=1 1+n n +1n n+1=1 2n +1，2n -1 2n=(2n -1)2 4n2<(2n -1)2 4n2 -1=2n -1 ， 2n +1x1 x3 x5 x2n-1=1 2´3 4´´2n 2n1<1 3´3 5´´2n 2n-1 +1=1 2n +1 =1- xn 1+ xn下证： 1 < 2 sin 1 ．2n +12n+1不妨设t =1 2n +1Î(0,3 3]，令f(t) =t-2 sint ，则 f ¢(t) =1-2 cost < 0 在 t Î (0,3 3]上恒成立，故f(t)=t-2 sint在t Î(0,3 3]上单调递减，从而 f (t) = t -2 sint < f (0)= 0，即1 2n +1 <2 sin1． 2n +1综上， x1 x3 x5 x2n-1 <1- xn 1+ xn<2 sin xn yn成立．4．【09 全国Ⅱ·理】22．（本小题满分 12 分）设函数 f (x) = x2 + aln(1+ x) 有两个极值点 x1，x2 ，且 x1 < x2 ．（I）求 a 的取值范围，并讨论 f ( x ) 的单调性；（II）证明：f( x2 )>1-2ln2 4．【解】（I）由题设知，函数 f ( x ) 的定义域是 x > -1,f¢(x)=2x2+ 2x 1+ x+a,且 f ¢( x) = 0 有两个不同的根x1、x2 ，故 2x2 + 2x + a = 0 的判别式D = 4 - 8a > 0 ，即且x1 =-1-122a,x2=-1 +1 2-2a.… … … … … … … … … … … … …①又 x1 > -1, 故 a > 0 ．因此 a 的取值范围是(0,12 ) ．当 x 变化时， f (x) 与 f ¢(x) 的变化情况如下表：a<1 2,因此 f ( x) 在区间 (-1,x1 ) 和 (x2 , +¥) 是增函数，在区间( x1, x2 ) 是减函数．（II）由题设和①知-1 2<x2<0,a=-2x2 (1+x2 ),于是f (x2 ) = x22 -2x2 (1+ x2)ln(1+ x2 ) ．设函数g (t ) = t2 - 2t(1+ t)ln(1+ t),则g¢(t ) = -2t(1+ 2t)ln(1+ t)当t=-1 2时，g¢(t)=0；当tÎ(-1 2,0)时，g¢(t)>0,故g(t)在区间[-1 2,0)是增函数．于是，当tÎ(-1 2,0)时，g(t)>g(-1 2)=1-2ln2 4.因此f(x2)=g(x2)>1-2ln2 4．5．【2008年山东理】 21．（本题满分 12 分）已知函数f(x)1 =（1 - x)n+ a ln(x -1),其中 n Î N * ,a 为常数．（I）当 n = 2 时，求函数 f (x) 的极值；（II）当 a = 1时，证明：对任意的正整数n ，当 x 2 时，有 f ( x) £ x - 1.【标准答案】（Ⅰ）解：由已知得函数 f (x) 的定义域为{x | x >1} ，当n=2 时，f( x)=1 (1- x)2+ a ln(x -1) ，所以f¢(x)=2 - a(1- x)2 (1- x)3．（1）当 a > 0 时，由 f ¢(x) = 0 得 x1 = 1+2 a> 1 ， x2=1-2 a<1，此时f¢(x)=-a( x - x1 )(x (1- x)3x2 )．当 x Î (1，x1 ) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减； 当 xÎ(x1，+ ¥) 时， f ¢(x) > 0 ， f ( x) 单调递增．（2）当 a £ 0 时， f ¢(x) < 0 恒成立，所以 f ( x) 无极值．综上所述，n = 2 时，当 a > 0 时， f (x) 在 x = 1 +2 a处取得极小值，极小值为fæ1+2 a ÷÷ø=a 2æ1+ln2 a ÷ø．当 a £ 0 时， f ( x) 无极值．（Ⅱ）证法一：因为 a= 1，所以f(x)=1 (1- x)n+ ln(x -1)．当 n 为偶数时，令g( x)=x-1-(1 1- xn)- l n (x - ，1 )则 g¢(x)=1+n ( x -1)n+1-1 x -1=x-2 x -1+n ( x -1)n+1>0（x2）．所以 当 x Î[2，+ ¥) 时， g( x) 单调递增，又 g(2) = 0，因此g( x)=x-1-(x1 -1n)- l n (x - 1 ) g( 2=恒) 成0立，所以 f ( x)£ x- 1成立．当 n 为奇数时，要证f(x)£x-1，由于1 (1- x)n<0 ，所以只需证ln(x -1) £x -1，令 h( x)= x- 1- l n (x - ，1则h¢( x)=1-1 x -1=x-2 x -10（x2 ），所以 当 x Î[2，+ ¥) 时， h(x) = x -1- ln(x -1)单调递增，又h(2) =1> 0 ，所以当 x 2 时，恒有h(x) > 0 ，即 ln(x -1)< x -1命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当 a= 1 时，f(x)=1 (1- x)n+ ln(x -1)．当x2时，对任意的正整数n，恒有1 (1- x)n£1，故只需证明1+ ln(x -1)≤ x -1．令 h( x)= x- 1- ( 1+ l nx(- 1 =) )x - -2 xl n，-( x Î[2，+ ¥) ，则h¢( x)=1-1 x -1=x-2， x-1当 x 2 时， h¢(x)≥0，故 h(x) 在[2，+ ¥) 上单调递增，因此 当 x 2 时， h(x) h(2) = 0 ，即1+ ln(x -1) £ x -1成立．故当x2时，有1 (1- x)n+ln(x- 1) £x-1．即 f ( x)£ x- 1．【试题分析】第一问对 a 讨论时要注意一些显而易见的结果，当a £ 0 时 f / ( x) < 0 恒成立， f (x) 无极值．第二问需要对构造的新函数h(x) 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断．【高 考 考 点】导数及其应用、构造函数证明不等式 【 易 错 提 醒 】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断f/(x)=-a(x - x1)(x （1- x)3x2 )的正负漏掉符号．【 学 科 网 备 考 提 示 】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一 定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造 函数证明不等式，从而体现导数的工具性． 6．【2007年山东理】 （22）（本小题满分 14 分）设函数 f (x) = x2 + bln(x +1)，其中b 0 ．（I）当 b>1 2时，判断函数f( x)在定义域上的单调性；（II）求函数 f ( x) 的极值点；（III）证明对任意的正整数n，不等式 ln(1 n+1)>1 n2-1 n3都成立．【 解 】（Ⅰ）由题意知，f( x) 的定义域为 (-1，+ ¥) ，f¢(x)=2x +b x +1=2x2+ 2x x+1+b设g(x)=2x2+2x+b，其图象的对称轴为x=-1 2Î(-1，+¥)，\ g(x)max=gæ -1 2 ÷ø=-1 2+b当b>1 2时，g (x)max=-1 2+b>0 ，即g( x)=2x2+2x + b>0 在 (-1，+ ¥) 上恒成立，\当 x Î (-1，+ ¥) 时， f ¢( x) > 0 ，\当 b>1 2时，函数f( x)在定义域(-1，+¥)上单调递增（Ⅱ）①由（Ⅰ）得：当b>1 2时，函数f(x) 无极值点②b=1 2时，f ¢(x) =2æ x+1 22 ÷øx+1= 0 有两个相同的解 x=-1 2，xÎæ -1，-1 2 ÷ø时，f¢(x)>0，xÎæ -1 2，+¥ ÷ø时，f¢(x)>0，\b=1 2时，函数f(x)在(-1，+¥)上无极值点③当b<1 2时，f¢(x)=0有两个不同解， x1=-1-122b，x2= -1+1- 2b ， 2b < 0 时， x1 = -1-1- 2b 2< -1 ， x2 =-1+1- 2b 2>0，即 x1 Ï(-1，+ ¥) ， x2 Î[-1，+ ¥)\ b < 0 时， f ¢( x) ， f (x) 随 x 的变化情况如下表：x(-1，x2 )x2( x2，+ ¥)f ¢( x)-0+f (x)极小值由此表可知：b < 0 时， f (x) 有惟一极小值点 x2 = -1+1- 2b ， 2当0 <b <1 2时， x1=-1-1- 2b 2> -1 ，\ x1，x2 Î(-1+ ¥) ，此时， f ¢(x) ， f (x) 随 x 的变化情况如下表：x(-1，x1)x1(x1，x2 )x2(x2，+ ¥)f ¢( x)+0-0+f (x)极大值极小值由此表可知：0 < b <1 2时，f (x) 有一个极大值 x1=-1 -1- 2b 2和一个极小值点x2 =-1+1- 2b ； 2综上所述：b < 0 时，f ( x) 有惟一最小值点 x2=-1 +1 - 2b 2；0<b<1 2时，f ( x) 有一个极大值点 x = -1-122b和一个极小值点x=-1+1- 2b ； xb1 2时，f( x) 无极值点（Ⅲ）当 b = -1时，函数 f (x) = x2 -ln(x +1) ，令函数 h(x) = x3 - f (x) = x3 - x2 + ln(x +1)，则 h¢(x)=3x2- 2x+1 x+1=3x3+ ( x -1)2 x+1．\当 xÎ[0，+ ¥) 时， h¢(x) > 0，所以函数 h(x) 在 [0，+ ¥) 上单调递增，又 h(0)= 0 \ xÎ(0，+ ¥) 时，恒有 h( x) > h(0)= 0 ，即 x3 > x2 - ln(x +1)恒成立故当 x Î(0，+ ¥) 时，有 ln(x +1) > x2 - x3 ．对任意正整数n 取x=1 nÎ (0，+¥)，则有 lnæ1 n+1÷ø>1 n2-1 n3所以结论成立． 7．【2008年湖南理】 21．（本小题满分 13 分）已知函数f(x)=ln2 (1+x)x2 -1+ x．（I）求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）若不等式(1+1 )n+ a n£e对任意的 n ÎN* 都成立（其中e是自然对数的底数）．求 a 的最大值．解： （Ⅰ）函数 f (x) 的定义域是(-1,+¥) ，f¢(x)=2ln(1+ 1+ xx)-x2 + 2x (1+ x)2=2(1+x)ln(1+ x) (1+ x)2x2-2x.设 g(x) = 2(1+ x)ln(1+ x) - x2 -2x，则 g¢(x) = 2ln(1+ x) - 2x.令h(x)=2ln(1+x)-2x,则h¢(x)=2 1+x-2=-2 1+x x.当 -1 < x < 0 时， h¢(x) > 0, h( x) 在 (-1,0)上为增函数，当 x＞0 时， h¢(x) < 0, h( x) 在 (0,+¥) 上为减函数．所以 h( x) 在 x = 0 处取得极大值，而h(x) = 0 ，所以 g¢(x) < 0(x 0)，函数 g( x) 在 (-1,+¥) 上为减函数．于是当 -1 < x < 0 时， g( x) > g(0)= 0,当 x > 0 时， g( x) < g(0) = 0.所以，当 -1 < x < 0 时， f ¢(x) > 0, f ( x) 在 (-1,0)上为增函数．当 x > 0 时， f ¢( x) < 0, f ( x) 在 (0,+¥) 上为减函数．故函数 f (x) 的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间为(0,+¥) ．（Ⅱ）不等式(1+1)n+a n£e 等价于不等式(n +a) ln(1+1 n)£ 1.由1 +1 n> 1 知，a£1 ln(1+1 n)-n.设G(x)=1 ln(1+x)-1 x,xÎ(0,1],则G¢( x)=-(1+1 x)ln2 (1+x)+1 x2=(1+ x)ln2 (1+ x) - x2 x2 (1+ x)ln2 (1+ x).由（Ⅰ）知， ln2 (1+x)-x2 1+ x£0, 即 (1+x)ln2 (1+x)-x2£0.所以 G¢(x) < 0, xÎ(0,1], 于是G( x) 在 (0,1] 上为减函数．故函数G(x)在(0,1]上的最小值为G(1)=l1 n2-1.所以a的最大值为l1 n2-1.1．2009潍坊文科（22）（本小题满分14 分）设函数 f (x) = x2 - 2(-1)k ln x(k Î N* ), f ¢(x)表示 f ( x) 的导函数．（I）求函数 y = f (x) 的单调递增区间；（Ⅱ）当 k 为偶数时，数列{ an }满足 a1 =1, an f ¢(an) = an2+1 -3，求数列{ an2 }的通项公式；（Ⅲ）当k为奇数时，设 bn=1 2f¢( n) - n ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，证明不等式1( ) 1+ bn bn+1 > e 对一切正整数n 均成立，并比较 S2009-1 与 ln2009 的大小．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又y¢ =f¢(x)=2x- 2(-1)k1 x=2[ x2- (-1)k ] x，… … … … 1分10当k为奇数时，f¢( x)=2( x2 +1) x， x Î(0,+¥),\ f ¢(x) > 0在(0,+¥)恒成立.即 f ¢(x) 的单调递增区间为(0,+¥) ．… … … … 2分20当k为偶函数时，f¢( x)=2(x2 -1) x=2(x+1)(x x-1)又x Î(0,+¥), x > 0,x +1 > 0, 由 f ¢( x) > 0 ，得 x -1 > 0, \ x > 1，即 f ( x) 的单调递增区间为(1,+¥) ，综上所述：当 k 为奇数时， f (x) 的单调递增区间为(0,+¥)，当 k 为偶数时， f ( x) 的单调递增区间为(1,+¥).… … … … 4分（Ⅱ）当k为偶数时，由（Ⅰ）知f¢(x)=2(x2 -1) x所以f¢(an )=2(an2 -1). an根据题设条件有2(an2 -1) = an2+1 -3, \an2+1 = 2an2 +1, an2+1 +1 = 2(an2 +1),∴{ an2 + 1 }是以 2 为公比的等比数列，∴an2 +1 = (a12 +1) 2n-1 = 2n, \an2 = 2n -1. ………………………………分8（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k为奇数时，f¢=2(x+1 x),\bn=1 2f¢(n) - n=1 n,Sn=1+1 2+1 3++1 n.由已知要证æ1+1 nn+1 ÷ø>e,两边取对数，即证lnæ1+1 n ÷ø>n1 +1,… … … … … … … 10分事实上：设1 +1 n=t,则n=t1 -1(t>1),因此得不等式lnt>1-1 t(t>1)… … … … … … … … … … … … … … …①…构造函数g(t)=lnt+1 t-1(t>1),下面证明g(t)在(1,+¥)上恒大于0．g ¢(t)=1 t-1 t2>0,∴g(t) 在 (1,+¥) 上单调递增， g(t ) > g(1)= 0,即lnt>1-1 t,∴ln æ1 +1 n ÷ø>1 n +1,∴æ1+1 nn+1 ÷ø>e,1( ) 即 1 + bn bn+1 > e 成立． ………………………………………………………分12由lnn+ n1>n1 +1,得1 2+1 3++n1 +1<ln2 1+ln3 2++lnn+1 n=ln(n+1),即 Sn+1 -1 < ln(n +1),当 n = 2008 时， S2009-1 < ln2009. ……………………………………………分142．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题（22）（本小题满分 14 分）已知a>0，函数f(x)=1- x ax+lnx．（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若 f ( x) 在区间 [1,+¥) 上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当a = 1 时，设数列 1 n 的前n项和为Sn，求证：Sn-1 <f(n)-1nn<Sn-1(n Î N*且n2)解：（Ⅰ）f (x) 的定义域为(0,+¥)，f ¢(x) =ax ax21，由f ¢(x) = 0 得 x =1 a．……2分当x Î (a,1 a)时，f¢(x)<0，f(x)递减；当xÎ(1 a,+¥)时，f¢(x)>0，f(x) 递增．所以 y = f (x) 不是定义域上的单调函数．… … … … … … … … … … …分4（Ⅱ）若f(x)在x Î[1,+¥)是单调递增函数，则f¢(x)0恒成立，即a1 x恒成立．…………………………．…6 分即a 1 x max,x Î[1,+¥)\1 x£1\ a 1． ……………8分（Ⅲ）当 a=1 时，由（Ⅱ）知，f(x)=1xx+lnx在[1,+¥)上为增函数，f(n)-1- n n=1-n n+lnn-1nn=ln n,又 当 x > 1 时， f (x) > f (1)，\1-x x+l nx>0，即lnx>1-1 x．令g(x)=x-1-lnx,则g¢(x)=1-1 x，当xÎ(1,+¥)时，g¢(x)>0.从而函数 g(x) 在[1,+¥) 上是递增函数，所以有g(x) > g(1)= 0,即得 x -1 > ln x.综上有：1-1 x<lnx<x-1,(x>1).… … … … … … … … … … … … 1分0\1 x +1<lnx +1 x<1 x.… … … … … … … … … … … … … … … 1分2令x= 1,2,...,n-1, (n ÎN *且n2)时，不等式\x1 +1<lnx+1 x<1 x. 也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得1 2+1 3+ ...+1 n<ln2 1+ln3 2+ ...+lnn n -1<1+1 2+... +n 1-1.即1 2+1 3+...+1 n<lnn<1+1 2+...+1 n-1.即 Sn-1<f(n)-1nn<Sn -1 (n Î N *且n 2).… … … … … … … … 14分3．山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21．（本小题满分 12 分）已知函数f(x)=1 2x2-2x, g (x)=logax(a>0, 且a1),其中a为常数，如果h(x) = f ( x) + g(x) 在其定义域上是增函数，且h¢(x) 存在零点（ h¢(x)为h( x) 的导函数）．（I）求 a 的值；（ II ） 设 A( m, g( m) ) B<, n ( 是g 函n 数 my = gn(x) 的 图 象 上 两 点 ，g ¢(x0 )=g(n) - g(m) n-m(g¢(x)为g(x)的导函数),证明: m <x0<n.解：（I）因为 h(x)=1 2x2-2x+logax(x>0).所以h¢( x)=x-2+x1 lna.因为 h(x)在(0,+¥) 上是增函数．所以 x-2+x1 ln a0在(0,+¥) 上恒成立… … … … … … … … … … …分1当x>0时, x-2+1 xlna0Ûx2-2x1 - lna.而 x2 - 2x = (x -1) 2 -1在(0,+¥) 上的最小值是- 1．于是-1-1 lna,即1£1 lna.（※）可见a> 1(若0<a<1, 则1 lna<0.这与1 lna1矛盾)从而由（※）式即得ln a £ 1. ① ………………．．………………………… 分4同时， h¢(x)=x-2+1 xlna=x2lna - 2xlna xlna+1(x>0)由 h¢(x)存在(正)零点知D = (-2ln a)2 - 4lna 0,解得 ln a 1②，或 lna £ 0(因为a > 1, lna > 0,这是不可能的). 由①②得 ln a = 1. 此时， h¢(x)存在正零点x =1,故a = e 即为所求 ……………………………分6注：没有提到（验证）ln a = 1时， h¢(x)存在正零点x = 1, 不扣分．（II）由（I）， g (x)=ln x, g ¢(x0 )=1 x0,于是1 x0=g(n) n-g(m m),x0=n lnn-m lnm.以下证明m<lnn n-m lnm.（☆）… … … … … … … … … … …分7（☆）等价于 m ln n - m ln m - n + m < 0. ……………………………分8 构造函数 r(x) = x lnn - x ln x - n + x(0 < x £ n),则 r¢(x) = lnn - ln x,当x Î (0, n) 时，r¢(x) > 0, 所以r(x)在(0, n]上为增函数．因此当 m < n时, r(m) < r(n) = 0, 即 m ln n - m ln m - n + m < 0.从而 x0 > m 得到证明． ……………………………1分1同理可证 n>n lnn-m lnm.综上 ,m<x0<n.注：没有“综上”等字眼的结论，扣 1 分．… … … … … … … … … … … 1分24．烟台市三月诊断性检测数学理 22．（本小题满分 14 分）设函数 h(x) = x2 ,j(x) = 2eln x （ e 为自然对数的底数）． （1）求 F(x) = h(x) -j(x) 的极值； （2）若存在实常数k 和 b，使得函数 f (x) 和 g(x) 对其定义域上的任意实数x 分别满足 f (x) kx +b 和 g(x) £ kx + b ，则称直线l : y = kx +b 为 f (x) 和 g(x) 的“隔离直线”．试问函数 h(x) 和j (x) 是否存在“隔离直线”?若存在．求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．解：（1）∵F(x) = h(x) -j(x) = x2 - 2eln x(x > 0)∴F'(x)=2x-2e x=2(x-e )(x + xe) .∴当 x = e 时， F '(x) = 0 ．∵当 0 < x < e 时 F '(x) < 0 此时 F (x) 递减；……………………………………3’当 x > e 时， F '(x) > 0 ，此时 F ( x) 递增．∴当 x = e 时， F ( x) 取极小值，其极小值为 0．…………………………………6’（2）由（1）可知，当 x > 0 时， h(x) j(x) （当且仅当 x = e 时取等号）．若存在 h(x) 和 g (x) 的“隔离直线”，则存在实常数k 和 b ，使得 h(x) kx +b 和 j(x) £ kx + b(x > 0)恒成立．∵h( x) 和 g (x) 的图象在 x = e 处有公共点，因此若存在h(x) 和 g( x) 的“隔离直线”， 则该直线过这个公共点( e, e) ． …………………………………………………8’设“隔离直线”方程为 y - e = k(x - e) ，即 y = kx + e - k e.由 h(x) kx + e - k e(x ÎR),可得 x2 - kx - e + k e 0当 x Î R 时恒成立． ∵D = (k - 2 e)2 ∴由 D £ 0 ，得 k = 2 e ……………………………………………………………10’下面证明j(x) £ 2 ex -e当 x > 0 时恒成立．令 G(x) = j(x) -2 ex + e = 2eln x - 2 ex + e, 则G'(x)=2e x-2e= 2e(e x-x).当 x = e 时， G'(x) = 0 ；当 0 < x < e 时， G'(x) > 0 ，此时G(x) 递增；当 x > e 时， G'(x) < 0 此时G( x) 递减．∴当 x = e 时， G(x) 取极大值．其极大值为 0．从而 G(x) = 2eln x - 2 ex + e £ 0,即j(x) £ 2 ex - e(x > 0) 恒成立．………………………………………………13’∴函数 h(x) 和j (x) 存在唯一的“隔离直线” y = 2 ex -e.………………………14’5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数2）1．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = x2 - a lnx 在 (1, 2] 是增函数, g(x) = x - a x 在（0,1）为减函数． （1）求 f ( x) 、 g (x) 的表达式；（2）求证：当 x > 0 时,方程 f (x) = g(x) + 2 有唯一解；（3）当 b>-1时,若f(x)2bx-1 x2在x ∈(0,1]内恒成立,求 b的取值范围．解：（1）f¢(x)=2x-a x,依题意f¢( x)> 0 , x Î(1,2],即a<2x2 ,x Î(1,2]．∵上式恒成立,∴a £ 2 ① …………………………1分又g ¢( x)=1-a 2x,依题意g ¢(x)< 0,xÎ(0,1) ,即 a>2x , x Î (0,1) ．∵上式恒成立,∴a 2. ②…………………………分2由①②得 a = 2 ．… … … … … … … … … …分3∴ f (x) = x2 - 2ln x, g(x) = x - 2 x.… … … … … … … … … …分4（2）由（1）可知,方程 f (x) = g(x) + 2 ,即x2 - 2lnx - x + 2 x - 2 = 0.设 h(x) = x2 - 2lnx - x + 2x-2,则h¢( x)=2x-2 x-1+1, x令 h¢(x) > 0 ,并由 x > 0, 得 ( x -1)(2x x + 2x + x + 2) > 0, 解知 x > 1. ………5分令 h¢(x) < 0, 由 x > 0, 解得0 < x < 1. …………………………分6列表分析：xh¢( x) h (x)（0,1） -递减1（1,+¥）0+0递增可知 h(x) 在 x = 1 处有一个最小值 0, …………………………7分当 x > 0且x 1 时, h(x) ＞0,∴h(x) = 0 在（0,+¥）上只有一个解．即当 x＞0 时,方程 f (x) = g(x) + 2 有唯一解． …………………………分8（3）设j(x)=x2-2lnx-2bx+1 x2则j' (x)=2x -2 x- 2b -2 x3<0,… … … … 9分\j (x) 在 (0,1]为减函数\j(x)min = j(1) =1- 2b +1 0 又 b > -1………11分所以： - 1 < b £ 1 为所求范围．… … … … … … … … … … 12分6．山 东 省 实 验 中 学20 0 9届 高 三 第 三 次 诊 断 考 试 （ 数 学 理 ）22．已知函数f(x)=1- x ax+lnx（注：ln 2 » 0.693）（1）若函数 f ( x) 在 [1,+¥) 上为增函数，求正实数a 的取值范围；（2）当 a= 1时，若直线y= b 与函数y=f(x) 的图象在[1 , 2] 上有两个不同交点，求实数b 2的取值范围：（3）求证：对大于1的任意正整数n,lnn>1 2+1 3+1 4+…+1 n解：（1）因为f(x)=1-x ax+ln所以f'(x)=ax ax21(a>0)依题意可得，对"x Î[1,+¥).f'(x)=ax -1 ax20恒成立，所以 对 "x Î[1, +¥).ax -1 0 恒成立，所以对"xÎ[1,+¥),a1 x恒成立，a(1 x)max，即a1（2）当 a= 1时，f'(x)=xx21,若xÎ [ 12,1]，f'(x)£0，f( x) 单调递减；若 x Î[1,2].f '(x) 0, f (x) 单调递增；故 f (x) 在 x = 1 处取得极小值，即最小值 f (1)= 0又f( 12)= 1 - ln2,f(2)=ln2 -1 2,f( 12) -f(2)=3 2- 2ln2=ln e3- ln16 2>0所以要使直线 y= b 与函数y=f(x)的图象在[1 2,2]上有两个不同交点，实数b的取值范围应为(f(1),f(2)]，即0,ln2-1 2]；（3）当a=1时，由(1)可知，f(x)=1xx+lnx在[1,+¥)上为增函数，当n> 1 时，令 x=nn -1，则x>1，故f (x) >f (1)= 0 ，即f(nn -1)=1-n n -1 n+lnn n -1=-1 n+ln-n n -1>0所以 lnn n -1>1 n．n -1故ln2 1>1 2,ln3 2>1 3,ln4 3>1 4,…,lnn n -1>1 n相加可得ln2 1+ln3 2+ln4 3+…+ lnn n -1>1 2+1 3+1 4++1 n又因为ln2 1+ln3 2+ln4 3+…+lnnn -1=ln(213 24 3…nn-1)=lnn所以对大于1的任意正整书n,lnn>1 2+1 3+1 4+…+1 n（二）2009 年 4 月后7．山东省滨州市2009年 5 月高考模拟试题（理数）20．（本题满分 12）已知函数 f (x) = ax2 + lnx.（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）当 a = 0 时，设斜率为 k 的直线与函数 y = f (x) 相交于两点 A(x1, y1)、B(x2 , y2 )( x2>x1 ) ，求证： x1<1 k<x2 ．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当 a = 0 时， f (x) = ln x.以下先证 1 k>x1 ，k=y2 x2-y1 x1=ln x2 x2- ln x1 - x1>0,所以只需证 lnx2 x2-ln - x1x1<1 x1，即ln x2 x1<x2 - x1 x1=x2 x1-1.设j(t)=lnt-t+1(t> 1) ，则 j ¢(t )=1 t-1<0(t>1)．所以在t Î(1,+¥) 时，j (t) 为减函数， j(t )< j ( 1=) 0t >( ．1即 lnt < t -1(t >1)．又x2 x1>1，∴lnx2 x1<x2 x1-1成立，即1 k>x1 ．同理可证1 k<x2．∴x1<1 k<x2．8．山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22．（本题满分 14 分）设函数 f (x) = (e -1)x, g(x) = ex ．（ e 是自然对数的底数） （Ⅰ）判断函数 H (x) = f (x) - g(x) 零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{an} 满足： a1 Î(0,1)，且 f (an+1) = g(an ),n ÎN*,①求证：0 < an < 1； ②比较 an 与 (e -1)an+1 的大小． 解：（Ⅰ） H¢(x) = (e -1)- ex令 H¢(x) = 0, x0 = ln(e -1) 当 x(-¥, x0 ) 时， H¢(x) > 0, H ( x) 在 x(-¥, x0 ) 上是增函数 当 x( x0 , +¥) 时， H¢(x) < 0, H ( x) 在 x(x0 , +¥) 上是减函数 ……………．2 分 从而 H (x)max = H(0)= (e -1)x0 +1- ex0 = (e -1)ln(e -1) - e + 2 …………．4 分注意到函数k(t) = t lnt -t +1在[1,+¥) 上是增函数，从而 k(t) k(1)= 0,又e -1 >1 从而 H(x0 ) > 0 综上可知： H ( x) 有两个零点． ………………………………………………．…6 分（Ⅱ）因为 f (an+1) = g(an ),即 (e -1)an+1 +1 = ean所以 an+1=1 (ean e -1-1)………………………………………………．…7 分①下面用数学归纳法证明an Î(0,1)． 当 n = 1 时， a1 Î(0,1)，不等式成立．假设 n=k 时， akÎ(0,1)那么 ak +1=1 (eak e -1-1) 1< eak < e \ 0< eak - 1< e - 1\01 <e -1(ea k-1 ) < 1即 ak+1 Î (0,1)这表明 n = k + 1时，不等式成立．所以对 n Î N * ， an Î(0,1) ………………………………………………．…10 分②因为(e -1)an+1 - an = ean -1- an考虑函数 p( x) = ex -1- x (0 < x <1) ……………………………………．12 分p¢( x)= ex - 1 > 0 从而 p(x) 在 (0,1)上是增函数p(x) > p(0)= 0所以 (e -1)an+1 - an > 0即 (e -1)an+1 > an… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …14…分9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三 5 月联考 22．（本题满分 14 分）已知函数g( x)=1sinqx+lnx在 [1,+¥)上为增函数，且qÎ ( 0 ,p)，f(x)=mx-mx1-lnx，mÎR．（1）求q 的取值范围；（2）若 f (x) - g( x) 在 [1,¥) 上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设 h( x)=2e x，若在[1,e] 上至少存在一个 x0，使得f(x0 ) -g(x0 )>h(x0 ) 成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，g¢(x)=-1sinq x2+1 x0在[1,+¥)上恒成立，即sinq sinqx -1 x20 q Î( 0 ,p ) , \ s qi n >．故 sinq x -1 0 在[1,+¥) 上恒成立， ……………2分只须 sinq1-10，即sin q 1 ，只有sin q= 1．结合qÎ(0,p ),得q=p2．…4 分（2）由（1），得f(x)-g(x)=mx-m x-2lnx.\(f( x)-g( x))¢=mx2- 2x x2+m. f (x) - g(x)在 [1,¥) 上为单调函数，\mx2 - 2x + m 0 或者\mx2 - 2x + m £ 0 在[1,¥ ) 恒成立． ……………．． 6 分mx2-2x+m0等价于m(1+x2)2x,即m2x 1+ x2,而 2x 1+ x2=2x+1 x, x2 +1 x max=1\m 1．… … … … … … … … … … … … …分8\mx2- 2x + m £ 0 等价于 m(1+ x2 ) £ 2x, 即 m2x £ 1 + x2在[1,¥ ) 恒成立，而12 +x x2Î(0,1],m£0．综上， m 的取值范围是(-¥,0] [1, +¥) ． ………………………………………1分0（3）构造函数 F( x) =f (x) - g(x) - h(x),F (x) = mx -m x-2lnx-2e x.当m£0时，xÎ[1,e],mx-m x£0，-2lnx-2e x<0，所以在[1,e]上不存在一个x0，使得 f ( x0 ) - g(x0 ) > h(x0 ) 成立．当m>0时，F ¢( x)=m+m x2-2 x+2e x2=mx2-2x+ x2m+2e.… … … … 12分因为 x Î[1,e],所以 2e - 2x 0 ， mx2 + m > 0，所以 F¢(x) > 0 在 [1,e] 恒成立．故F ( x)在[1,e]上单调递增，F( x)max=me-4 e-4，只要me-4 e-4>0，。
导数、数列、不等式知识点
导数及其应用一．导数的概念：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0'.二．导数的几何意义： (1) 导数的几何意义: 函数在y=f(x)在x 0处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线斜率是)('0x f 。
相应地，切线方程为：))(('000x x x f y y -=-。
注：在导数几何意义的应用过程中，应注意几种关系：① 切点),(00y x P 在曲线上，即)(00x f y =；②切点),(00y x P 也在切线上； ③在切点处的切线斜率为)('0x f k = （2）求曲线过点),(00y x P 的切线方法：①设切点为),(11y x M ；②求导得)('1x f ；③列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)()(')(1011011x x x f y y x f y ，解出x 1 ④点斜式写出切线方程：))(('000x x x f y y -=-注：曲线在P 点处的切线与曲线过点P 的切线不是同一个概念：前者P 点为切点；后者P 点可能是切点也可能不。
一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点。
三、导数的计算 （1）常见函数的导数： 1．0='C 2．1)(-='n n nx x 3．xx e e =')( 4．a a a x x ln )(=' 5．1(ln )x x'= 6．a x e x x a a ln 1log 1)(log =='7．x x cos )(sin =' 8．x x sin )(cos -='（2）导数的四则运算1．和差：()u v u v '''±=± 2．积：v u v u uv '+'=')( 3．商：2)(v v u v u v u '-'=' 四、判断函数的单调性：设函数y=f(x)在区间（a ,b ）内可导（1） 如果恒有0)('>x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为增函数；（2） 如果恒有0)('<x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为减函数；（3） 如果f(x)在区间（a ,b ）上递增（或递减），则在该区间内0)('≥x f （或0)('≤x f ）。
数列与导数高考知识点
数列与导数高考知识点1. 数列的概念与性质数列作为数学中重要的概念之一，是指按照一定规律排列的一组数。
数列可以是有限的或无限的，其中的每一个数称为该数列的项。
在高考中，数列作为必考的知识点，具有以下重要性质：1.1 公式法数列中的每一项可以通过一个公式进行表示，这种公式称为通项公式。
在求解数列问题时，通过寻找数列的通项公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
1.2 递推关系数列中的每一项与前一项之间存在一种递推关系，通过该关系可以得到数列的后续项。
在高考中，经常会考察学生对数列递推关系的理解和应用能力。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的特点进行分类，如等差数列、等比数列、等差数列的和、等差数列的前n项和等。
掌握不同类型数列的性质和求解方法，对于解题非常有帮助。
2. 数列的应用数列作为数学中的基础概念，具有广泛的应用，不仅仅局限于数学领域。
在现实生活和其他学科中，也经常会遇到数列的应用问题。
以下是数列在实际问题中的一些常见应用：2.1 经济学中的数列经济学中常常使用数列来描述经济发展过程中的变化规律，如人口增长、GDP 增长等。
通过对数列的分析和计算，可以预测未来的经济趋势，对决策和规划具有指导作用。
2.2 生物学中的数列生物学中的进化过程、生物种群的数量等也可以用数列来描述。
通过分析数列的规律，可以研究生物体的演化规律，深入了解生物种群的变化趋势。
2.3 计算机科学中的数列在计算机科学中，数列也是一种基本数据结构。
常见的排序算法如冒泡排序、快速排序等都与数列的排列规律有关。
掌握数列的性质和求解方法，对于理解和设计算法非常重要。
3. 导数的概念与应用导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
在高考中，导数作为必考的知识点，具有以下重要性质：3.1 几何意义导数在几何上表示曲线在某一点上的切线斜率。
通过求解导数，可以研究曲线的变化趋势和几何性质，如曲线的凹凸性、极值点等。
3.2 物理应用在物理学中，导数与速度、加速度等物理量的关系密切。
高二数学知识点总结数列和导数
高二数学知识点总结数列和导数高二数学知识点总结 - 数列和导数数学是一门重要而广泛应用的学科，数学中有许多重要的概念和知识点需要我们掌握和理解。
在高二数学中，数列和导数是我们需要重点掌握的知识点之一。
本文将对高二数学中的数列和导数进行总结和归纳。
一、数列数列是指按照一定规律排列的一串数字组成的序列。
在高二数学中，我们主要学习了等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与其前一项之间的差都相等的数列。
我们可以通过以下公式来表示等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
在解题中，我们可以通过已知的条件求解等差数列的某一项或者整个数列的和。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与其前一项之间的比都相等的数列。
我们可以通过以下公式来表示等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
在解题中，我们可以利用已知的条件求解等比数列的任意一项或者整个数列的和。
二、导数导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在一点处的变化率。
在高二数学中，我们主要学习了一元函数的导数和导数的应用。
1. 一元函数的导数对于一元函数y = f(x)，在某一点x处的导数可以通过以下公式来计算：f'(x) = lim(h->0) (f(x + h) - f(x))/h导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
求导可以帮助我们进一步了解函数的性质以及相关变化趋势。
2. 导数的应用导数在数学中有广泛的应用，特别是在物理、经济学等领域中。
在高二数学中，我们主要学习了导数的几何和物理应用。
几何应用方面，我们可以通过导数求解函数的最值、切线和法线方程等问题。
物理应用方面，我们可以通过导数来描述物体的速度、加速度等运动特性。
例如，我们可以通过对位移函数求导得到速度函数，再对速度函数求导得到加速度函数。
导数应用之数列
导数应用之数列一．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim limx x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项 解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当0<x<316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,316）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=316时，函数取最大值。
对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75.2.利用导数研究数列的增减性例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x 的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.（1） 证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明 证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立.(2)设n=k 时 k a >a因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()121+n n 当x ≠1时，因x+2x+23x+…+nx=xx x n --+11，两边求导数，得1+2x+32x +…+n-1-n x =1-(n+1)nx +()()21111x x x n n n -++-+ 综上可知：当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()21111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[21,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：nn n T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<222 证明： 构造辅助函数 f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[21,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当121≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0故f(t )在[21,1]上递减，在[1,2]上递增 所以 ()m a x t f =f(21)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)1212...222122nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛+-=222211212说明这里需要证明 ：212221121n nn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n nn n n n ∴nn n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221211212所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用 例5 1≠x ，求下列数列之和 （1）12...321-++++n nx x x （2）12222...321-++++n x n x（3）222242322...-+++n n x c x c x c c分析 （1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=而 )1(11 (11)32≠--=++++++x xx x x x x n n上式两端对x 求导，并整理得 2212)1()1(1...321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++- [1] （2） 比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导 便可得到： 22212212222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x xn x x n n n n ---+++-+=+++++-- （3） 由 21222)(212)1(---=-=n n n nnx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x=212212)1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+-∴ 312212222242322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n xc x c x c c n n n n n----++-=+++++-- 三．数列是特殊的函数（导数的应用）1. 函数的单调性与导数 例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.解析 （1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数， 所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2. 函数的极值与导数例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围. 解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4a+6-10=0, 因此a=16.(2)由(1)知，)('x f =x+116+2x-10 = xx x +--1)3)(1(2 (x>-1).此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f ′(x) + 0 -0 +f(x) 单增 极大值 单减 极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)， 令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：x -3 (-3,-) -2(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17单增极大 值24单减极小 值-8单增-1显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。
导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法
导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)n C x nx y n -+== (1,0)P -n C 的切线，切点为．(0)n n k k >n l (,)n n n P x y （1）求数列的通项公式； {}{}n n x y 与（2）证明：．13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<<A A A A 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆， 222:()n C x n y n -+=(,0)n n 切线 :(1)n n l y k x =+ （Ⅰ，解得，又，n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+= 联立可解得， (1)n n ny k x =+,1n n n x y n ==+（Ⅱ=n n x y = 先证：， 13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 证法一：利用数学归纳法 当时，，命题成立， 1n =112x =<假设时，命题成立，即 n k =13521kx x x x -⋅⋅⋅⋅< 则当时，1n k =+135212121k kk x x xx x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵， 2222416161483k kk k ++=>++．<=∴当时，命题成立，故成立． 1n k =+13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<不妨设，令，t=()f t t t=则在上恒成立，故在上单调递减，()10f tt'=<t∈()f t t t=t∈从而()(0)0f t t t f=-<=<综上，成立．13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2．设函数表示的导函数．2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x（I）求函数的单调递增区间；()y f x=（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；na2111,()3n n na a f a a+'==-2na （Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式()12nb f n n'=-{}n b n n S对一切正整数均成立，并比较与的大小．()111n bnb e++>n20091S-2009ln解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k为奇数时，，122(1)()xf xx+'=即的单调递增区间为．(0,),()0(0,)x f x'∈+∞∴>+∞在恒成立.()f x'(0,)+∞当k为偶函数时，222(1)2(1)(1)()x x xf xx x-+-'==(0,),0,10,x x x∈+∞>+>又由，得，即的单调递增区间为，()0f x'>10,1x x->∴>()f x(1,)+∞综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为， ()f x (0,)+∞当k 为偶数时，的单调递增区间为()f x (1,).+∞（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知， 所以22(1)()x f x x-'=22(1)().n n n a f a a -'=根据题设条件有 2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+∴{}是以2为公比的等比数列， 21n a +∴ 221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+ 11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+由已知要证两边取对数，即证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭事实上：设则 11,t n+=1(1),1n t t =>-因此得不等式 …………………………………………① 1ln 1(1)t t t>->构造函数下面证明在上恒大于0．1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞∴在上单调递增，即211()0,g t t t '=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t>-∴ ∴即成立．11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>由得 11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即当时， 11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． 0a >1()ln xf x x ax-=+（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为，求证：n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． ()f x ()0,+∞21()ax f x ax -'=()0f x '=1x a=当时，，递减； 1(,x a a∈()0f x '<()f x 当时，，递增． 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x所以不是定义域上的单调函数．()y f x =（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． ()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥即．1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞ 111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 又当时，， ，即．1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x>- 令则，当时，()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>从而函数在上是递增函数， ()g x [1,)+∞所以有即得()(1)0,g x g >=1ln .x x -> 综上有： 11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x+∴<<+ 令时，不等式也成立，1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+ 于是代入，将所得各不等式相加，得1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--即 11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-即 111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）()(1),()x f x e x g x e =-=e （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由； ()()()H x f x g x =-（Ⅱ）设数列满足：，且 {}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈①求证：；②比较与的大小．01n a <<n a 1(1)n e a +-解：（Ⅰ）， 令 ()(1)x H x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =- 当时，在上是增函数 0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞ 当时，在上是减函数 0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞ 从而max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x e e e e ==-+-=---+注意到函数在上是增函数， ()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞ 从而 从而 ()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x > 综上可知：有两个零点．()H x （Ⅱ）因为即， 所以 1()(),n n f a g a +=1(1)1na n e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=-- ①下面用数学归纳法证明． 当时，，不等式成立． (0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈ 假设时， 那么 n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011kka a e e e e << ∴<-<- 即 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈ 这表明时，不等式成立． 所以对， 1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈②因为，考虑函数1(1)1na n n n e a a e a +--=--()1(01)x p x e x x =-- << ，从而在上是增函数()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=所以，即1(1)0n n e a a +-->1(1)n n e a a +->5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． {}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a （1）求数列的通项公式；{}n a（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，{}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e=2．71828…）和任意正整数，总有；n 2n T <（3）在正数数列中，．求数列中的最大项． {}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c 解：由已知：对于，总有成立 (1)n N *∈22n n n S a a =+ (2)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+-- 111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-均为正数，1,n n a a - 11(2)n n a a n -∴-=≥ 数列是公差为1的等差数列∴{}n a 又时，，解得，1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有(]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22223)1n n n ⎛⎫=+-+-++-=-<⎪-⎝⎭（3）解：由已知22112a c c ==⇒= ，33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>> 猜想时，是递减数列2n ≥{}n c令，则 ln ()x f x x=221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==当时，，则，即 ∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '< 在内为单调递减函数， ∴()f x [)3,+∞由知 11n n n a c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+ 时，是递减数列，即是递减数列 2n ∴≥{}ln n c {}n c又，数列中的最大项为12c c <∴{}n c 2c =6．已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数的极值点；()()2()F x f x g x =-⋅（2）若函数在上有零点，求的最小值；()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t （3）证明：当时，有成立；0x >[]1()1()g x g x e +<（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．e 解：（1）由题意，的定义域为23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞,函数的单调递增区间为和， (32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞的单调递减区间为，()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以为的极大值点，为的极小值点，23x =()F x 2x =()F x （2）在上的最小值为 ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F且，在上没有零点， 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦须且即可，23t e <()0F t ≤易验证 121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当时均有所以函数在上有零点， 2,t t Z ≤∈()0,t F e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣即函数在上有零点， 的最大值为()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-（3）证明：当时，不等式0x >[]1()1()g x g x e +<即为： 11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<构造函数则 ()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++所以函数在上是减函数，因而时， ()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<（4）因为 1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1n n n n n n n n n n n b n n e n n b n b n n n n n++++++++++++===⋅+<<令，得， 23(1)1n n+<2330n n -->因此，当时，有4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当时，，即 4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>又通过比较的大小知：， 1234b b b b 、、、1234b b b b <<<因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项11,b =1n ≠111,n n b n +=≠{}n b 23b b 、可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项， 11113964283528,35b b b b ====>={}n b 即．28b b =7．在数列中， {}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列为等差数列； }2{nn a（II ）若m 为正整数，当时，求证：． 2n m ≤≤1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤解：（I ）由变形得：1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列是以为首项，1为公差的等差数列 }2{nn a121=a （II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅= m m n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令mn m nn m n f n m n f 123()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时m m m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又 23221211211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 123(211>-+∴则为递减数列． )(,1)1()(n f n f n f 则>+当m=n 时，递减数列．)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴ mm m m f x f m m 1)1(49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证要证：时，2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证49221212212122122)1(121111(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．（法二）由（I ）得n n n a 2⋅= mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x则上单调递减． ],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ ∴ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证，时而2,)11(149≥+≤m mm49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．。
数列与导数高考知识点归纳
数列与导数高考知识点归纳数学作为一门科学，是很多人望而却步的学科之一。
尤其是数列与导数等高中数学知识点，更是很多学生头疼的难题。
为了帮助大家更好地理解和掌握这些知识点，本文将对数列与导数的相关概念、性质和解题技巧进行归纳总结。
一、数列的概念与性质数列是由一串有序的数按照一定规律排列而成的。
数列的一般形式可以表示为{an}，其中an是数列的第n项。
数列有许多重要的性质，包括公差、等差数列、公比、等比数列等。
1. 公差与等差数列公差指的是相邻两项之间的差值，用d表示。
若数列的相邻两项之间的差值是一个常数d，那么该数列就是等差数列。
等差数列的通项公式是an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，n是项数。
2. 公比与等比数列公比指的是相邻两项之间的比值，用q表示。
若数列的相邻两项之间的比值是一个常数q，那么该数列就是等比数列。
等比数列的通项公式是an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，n是项数。
除了等差数列和等比数列，数列还有其他一些特殊的形式，如递推数列、斐波那契数列等。
掌握数列的概念和性质，对于解题时的运算和推导起到至关重要的作用。
二、导数的概念与性质导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某点处的变化率。
函数f(x)在点x0处的导数表示为f'(x0)或dy/dx|x=x0，它的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
1. 导数的定义导数的定义是极限的思想，函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗。
这个定义可以理解为：当自变量x的增量趋近于0时，函数f(x)在点x0处的增量与x的增量的比值的极限值。
2. 导数的性质导数具有许多重要的性质，包括导数的四则运算、导数的复合运算、导数的乘积法则和导数的链式法则等。
导数的四则运算指的是对于两个求导函数f(x)和g(x)，他们的和、差、积、商的导数分别为：(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)，(f(x)-g(x))' = f'(x)- g'(x)，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2。
专题05 概率与数列、导数交汇问题(解析版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练
1 3
1 6
，
所以数列
Pn
1 3
是以
1 6
为首项，
1 2
为公比的等比数列，
所以
Pn
1 3
1 6
1 2
n
1
，即
Pn
1 6
1 2
n1
1 3
.
（3）由题意， i 次传球后球在乙手中的次数 Yi ，Yi 服从两点分布，且 P Yi 1 1 P Yi 0 Pi ,所以
E Y
E
i
n
Yi
2 3
，
则第 n n 2 号盒子有一个红球和三个白球的概率为1 an1 bn1 ，且
bn1
2 3
bn2
1 2
an2
1 2
1
an2
bn2
n
3
，化解得 bn1
1 6
bn2
1 2
，即可求解.
【详解】（1）由题可知
2
号盒子里有
2
个红球的概率为 P
C12C12 C24
2 3
；
（2）由题可知 可取1, 2,3，
所以 E X
E
n i 1
X i
n i 1
pi 1
n i 1
2
3
2 5
i
1
3
2 3
2 5
1
1 2
2 n 5
n 3
n 3
4 9
1
2 5
n
，
5
故甲的总得分的期望为
n 3
4 9
1
2 5
n
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与概率的综合问题.关键点在于通过阅读题目得到
专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0， 由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；
导数和数列结合的大题
导数和数列结合的大题好嘞，今天咱们就聊聊导数和数列这对“老冤家”，听起来有点复杂，但其实咱们可以轻松搞定它。
想象一下，导数就像一辆飞驰的车，而数列呢，就像那条蜿蜒的公路。
这车在这条路上，时不时得停下看看风景，顺便计算一下它的速度，明白了吧？数列就像一颗颗珍珠，串在一起。
每一个数都是一个珍珠，大家手拉手，排成一行。
可别小看这些数列哦，搞得好的话，可以为我们揭开很多数学的秘密。
就拿等差数列来说，想象一下你在走路，每一步都是固定的长度，那就是等差。
每次前进都一样，简单又明了，像是每天都要吃的泡面，一碗接一碗，没啥新花样。
但这也好，稳稳的，不容易出错。
然后，咱们再来看看导数。
导数可不简单，速度、变化，它就像是人生的节奏。
有时候慢悠悠地走，有时候拼命狂奔。
你想，生活中许多事情都是在变化的，导数就帮我们把这些变化给捋顺了。
比如，你开车的时候，车速一会快一会慢，想知道什么时候加油，什么时候刹车，导数给你个明确的答案。
这个时候，你会发现，原来数学和生活是息息相关的，不是说只有在教室里才有用。
大家可能会想，导数和数列能有什么关系呢？嘿嘿，这可就有意思了。
数列中的每个数，其实都可以看作是一个瞬间，而导数呢，就负责告诉我们这些瞬间之间的变化。
举个例子，一个数列是：1, 3, 5, 7, 9，大家都知道它是等差数列，后一个数比前一个数大2。
想象一下，这就像你在跟朋友聊天，话题在不断变化，而导数就是你的语气，偶尔高昂，偶尔低沉，传递着每个瞬间的感受。
我们再深入点，考虑一下数列的极限。
极限就像是人生的终点，每个数列都在追求某个目标，想要达到某个状态。
就像小孩子长大一样，逐渐成熟，走向自己的目标。
这时候，导数就像是助推器，帮你加速，推动你更快地达到那个目标。
设想一下，你在山坡上爬，慢慢地，越来越接近山顶。
导数告诉你，这一路的高度变化，给你提个醒：要坚持啊，快到了！大家应该也听说过“微分”的概念，这其实和导数是好朋友。
微分就像是把导数放大了，细细地观察每一个细节。
导数数列综合题
选择题已知数列{a_n} 的前n 项和为S_n，且满足S_n' = 2n + 1（S_n 对n 求导），则a_3 等于A. 3B. 5（正确答案）C. 7D. 9设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2x，数列{a_n} 满足a_n = f'(n)（f'(n) 为f(x) 在x=n 处的导数），则数列{a_n} 的前5 项和为A. -5B. 0（正确答案）C. 5D. 10已知数列{a_n} 的通项公式为a_n = n2 + n，设b_n = a_n'（a_n' 为a_n 对n 求导的导数），则数列{b_n} 的前n 项和S_n 为A. n2B. (n+1)2C. 2n（正确答案）D. 2n + 1函数f(x) = ex - 2x 的导数为f'(x)，数列{a_n} 满足a_n = f'(n)，则a_2 + a_3 =A. e2 - 2B. e2 + e - 6（正确答案）C. 2e - 4D. 2e2 - 6已知数列{a_n} 的递推公式为a_{n+1} = a_n' + a_n（a_n' 为a_n 对n 求导），且a_1 = 1，则a_4 =A. 4B. 7C. 11（正确答案）D. 16设函数g(x) = sin(x) + cos(x)，数列{a_n} 满足a_n = g'(n)（g'(n) 为g(x) 在x=n 处的导数），则a_1 + a_2 + a_3 + a_4 =A. 0（正确答案）B. 1C. -2D. 2已知数列{a_n} 的通项公式为a_n = (n+1)ln(n+1) - nln(n)，设b_n = a_n'（a_n' 为a_n 对n 求导），则b_5 =A. ln(5) + 1 - ln(6)B. ln(6) - ln(5) + 1（正确答案）C. ln(6) - ln(5)D. ln(5) + 1函数h(x) = x2ex 的导数为h'(x)，数列{a_n} 满足a_n = h'(n)，则a_1 * a_2 * a_3 =A. 6e3B. 12e3（正确答案）C. 24e3D. 48e3已知数列{a_n} 的前n 项和S_n = n3 + n，设b_n = a_n'（a_n 为数列的通项，a_n' 为a_n 对n 求导的导数，n ≥ 2；当n = 1 时，b_1 = a_1），则b_2 + b_3 =A. 12B. 18（正确答案）C. 24D. 30。
数列+导数,挑战150 (1)
， .得 f （1）+f （2）+…+f （n ）>.（1）“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例 1.已求证：证明：若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去，从而是使和式得到化简. 例 2．函数，求证.证明：由 f(n)==1-此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
（2）. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例 3..数满 （1）求 通项公；（2）令，数列前 项 和为 ，两边平方得：相加得：又∴…………………………………………9 分求证：当时，；解（1），两边同除以得：∴∴是首项为，公比的等比数列………………4 分∴∴（2），当时，，………………5 分……例4.已知数的前n 项和，点在曲线上且.（1）求数的通项公式；（2）求证：.解：(1)∴∴∴数列是等差数列，首项公差d=4∴∴∵∴…………（4 分）(2)∴∴……………………12 分例5.已知数的首，前项和，、、分别是直上的点A、B、C 的横坐标，点B 分所成的比，设。
⑴判断数是否为等比数列，并证明你的结论；⑵设，证明：。
， （解 ⑴由题意得 ……………3 分数是为首项，以 2 为公比的等比数列。
………………6 分则 ⑵及得，……………………………………………………………8 分则……………………10 分………………12 分（3）. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
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高三数列及导数专题数列专题等差数列[重点]等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式。
1． 定义：数列{a n }若满足a n+1-a n =d(d 为常数)称为等差数列，d 为公差。
它刻划了“等差”的特点。
2． 通项公式：a n =a 1+(n-1)d=nd+(a 1-d)。
若d 0≠，表示a n 是n 的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。
3． 前n 项和公式：S n =2)(1n a a n + =na 1+n da n d d n n )2(22)1(12-+⋅=-。
若d ≠0,表示S n是n 的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示S n =na 1.4． 性质：①a n =a m +(n-m)d 。
② 若m+n=s+t,则a m +a n =a s +a t 。
特别地；若m+n=2p,则a m +a n =2a p 。
5.方程思想：等差数列的五个元素a 1、、d 、n 、a n 、s n 中最基本的元素为a 1和d ，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。
函数思想：等差数列的通项和前n 项和都可以认为是关于n 的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。
[难点]等差数列前n 项和公式的推导，通项和前n 项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。
如：a n 与s n 关系：a n =⎩⎨⎧--11n ns s s 21≥=n n此公式适用于任何数列。
化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。
等比数列[重点]等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式。
1． 定义：数列{a n }若满足nn a a 1+=q(q q ,0≠为常数)称为等比数列。
q 为公比。
2． 通项公式：a n =a 1q n-1(a 1≠0、q ≠0)。
3.前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧--=--q q a a q q a na n n 11)1(111 （q 1≠）4.性质：（1）a n =a m q n-m 。
（2）若 m+n=s+t ，则a m a n =a s a t ,特别地，若m+n=2p ，则a m a n =a 2p ，（3）记A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列。
5．方程思想：等比数列中的五个元素a 1、q 、n 、a n 、S n 中，最基本的元素是a 1和q ，数 列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。
函数思想：等比数列的通项和前n 次和都可以认为是关于n 的函数。
[难点]等比数列前n 项和公式的推导，化归思想的应用。
一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 。
2．三个正数a,b,c 成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为 3．已知a>0,b>0,a ,b ≠在a 与b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ，使a,x 1,x 2…,x n ,b 成等比数列，则n n x x x ⋯21=4．在正数项列{a n }中，a 2n+3=a n+1,a n+5,且a 3=2,a 11=8,则a 7= 5．已知首项为21，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k 项顺次为M ，N ，K ，则(n-k)log 21M+(k-m)log 21N+(m-n)log 21K=6．若数列{a n }为等比数列，其中a 3,a 9是方程3x 2+kx+7=0的两根，且(a 3+a 9)2=3a 5a 7+2,则实数k=7．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log 92222dc b a ++= 8.2+(2+22)+(2+22+23)+…+（2+22+23+…+210）=9．数列{a n }的前n 项和S n 满足log a (S n +a)=n+1(a>0,a ≠1),则此数列的通项公式为10．某工厂在某年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n 年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元。
二、解答题1． 已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
2． 已知数列{a n }的前n 项和为Sn=n 2+C(C 为常数)，求数列{a 0}的通项公式，并判断{a n }是不是等差数列。
3． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =n S 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n 。
4． 已知数列{a n }为首项a 1≠0，公差为d ≠0的等差数列，求S n =13221111++⋯++n n a a a a a a 。
5． 求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。
填空题答案1． 12． 50，10，2或2,10,50 3． ab4.45.06.±9 a 3+a 9=-,3k a 3a 9=a 5a 7=-,37∴ (-3k )2=3×37+2 ∴k=±97.-161 8.212-24 9.a n =(a-1)a n10.1)1()1(-++nn r r Ar解答题答案1．S 50-S 30=a 31+a 32 +…+a 50=)(10)(102)(2080150315031a a a a a a +=+=+=30-50=-20。
∴a 1+a 80=-2 ∴S 80=802)(80801-=+a a 。
2．当n=1时，a 1=S 1=1+c当n 2≥时，a n =S n -S n-1=(n 2+c)-[(n 2+c)]-[(n-1)2+C]=2n-1。
∴a n =⎩⎨⎧-+121n c 21≥=n n 若C=0，a n =2n-1,此时a n -a n-1=2(n 2≥){a n }为等差数列。
若C ≠0,C+1≠1,{a n }不为等差数列。
3．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯++⨯+=⨯++21223324552122331)2(1111d a d a d a d a ②① 由①，得a 1=d 。
由②，得8a 1+13d=1。
故a 1=d=1。
∴S n =nn bn n n +=+222,2 4.)11(1111++-=n n n n a a d a a∴Sn=111111132211)11(1)]11()11()11[(1++++-=-=-+⋯+-+-n n n n n a a a a d a a d a a a a a a d =)(11nd a a n+。
5.设S 表示从1到100的所有整数之和。
S 1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和。
S 2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。
S 3表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。
则S=50502)1001(100=+。
由99=3+（n-1）×3,得n=33。
16832)993(331=+=∴S 。
由100=5+(n-1) ×5,得n=20。
10502)1005(202=+=∴SS 3表示15，30，45，…，90之和 S 3=3152)9015(6=+从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S 1-S 2+S 3=2632。
6.购买时付了150元，欠款1000元。
每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{a n },则a 1=50+1000×0.01=60a 2=50+(1000-50) ×0.01=60-0.5a 3=50+(1000-50×2) ×0.01=60-0.5×2 类推,得a 10=60-0.5×9=55.5a n =60-0.5(n-1)(1≤n ≤20)。
∴ 付款数{a n }组成等差数列，公差d=-0.5,全部贷款付清后，付款总数为S 20+150=125515010)192(1502)(201201=+⨯+=++d a a a （元）。
7．由S 20=S 10得2a 1+29d=0∴d=-2,a n =a 1+(n-1)d=-2n+31Sn=2)(1n a a n +=-n 2+30n=-(n-15)2+225 ∴当n=15时，S n 最大，最大值为225。
8．（1）f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8 ∴a n =3n-8,∵ a n+1-a n =3 , ∴{a n }为等差数列。
（2）b 0=83-n当12≤≤n 时，b n =8-3n,b 1=5。
S n =23132)385(2n n n n -=-+ 当n ≥3时。
b n =3n -8 S n =5+2+1+4+…（3n-8）=7+2281332)831)(2(2+-=-+-n n n n∴Sn=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--228133231322n n n n 321≥≤≤n n导数高考大题专题（理科）例题2011高考：（21）（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围。
（21）解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 11x x x++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。
考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=。
(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。
而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2+1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾。