数列及导数专题

高三数列及导数专题

数列专题

等差数列

[重点]

等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式。

1． 定义：数列{a n }若满足a n+1-a n =d(d 为常数)称为等差数列，d 为公差。它刻划了“等差”

的特点。

2． 通项公式：a n =a 1+(n-1)d=nd+(a 1-d)。若d 0≠，表示a n 是n 的一次函数；若d=0，表示

此数列为常数列。 3． 前n 项和公式：S n =

2)(1n a a n + =na 1+n d

a n d d n n )2

(22)1(12-+⋅=-。若d ≠0,表示S n

是n 的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示S n =na 1.

4． 性质：①a n =a m +(n-m)d 。② 若m+n=s+t,则a m +a n =a s +a t 。特别地；若m+n=2p,则a m +a n =2a p 。 5.方程思想：等差数列的五个元素a 1、、d 、n 、a n 、s n 中最基本的元素为a 1和d ，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。 函数思想：等差数列的通项和前n 项和都可以认为是关于n 的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。 [难点]

等差数列前n 项和公式的推导，通项和前n 项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。

如：a n 与s n 关系：a n =⎩⎨⎧--11n n

s s s 21

≥=n n

此公式适用于任何数列。

化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。

等比数列

[重点]

等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式。 1． 定义：数列{a n }若满足

n

n a a 1

+=q(q q ,0≠为常数)称为等比数列。q 为公比。 2． 通项公式：a n =a 1q n-1

(a 1≠0、q ≠0)。

3.前n 项和公式：S n =⎪⎩

⎪

⎨⎧--=--q q a a q q a na n n 11)1(111 （q 1≠）

4.性质：（1）a n =a m q n-m 。（2）若 m+n=s+t ，则a m a n =a s a t ,特别地，若m+n=2p ，则a m a n =a 2

p ，（3）记A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列。

5．方程思想：等比数列中的五个元素a 1、q 、n 、a n 、S n 中，最基本的元素是a 1和q ，数 列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。

函数思想：等比数列的通项和前n 次和都可以认为是关于n 的函数。 [难点]

等比数列前n 项和公式的推导，化归思想的应用。

一、填空题

1．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-

2

15

,S 4=-5,则a 4= 。 2．三个正数a,b,c 成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为 3．已知a>0,b>0,a ,b ≠在a 与b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ，使a,x 1,x 2…,x n ,b 成等比数列，则n n x x x ⋯21=

4．在正数项列{a n }中，a 2

n+3=a n+1,a n+5,且a 3=2,a 11=8,则a 7= 5．已知首项为

2

1

，公比为q(q>0)的等比数列的第m,n,k 项顺次为M ，N ，K ，则(n-k)log 2

1M+(k-m)log 2

1N+(m-n)log 2

1K=

6．若数列{a n }为等比数列，其中a 3,a 9是方程3x 2

+kx+7=0的两根，且(a 3+a 9)2

=3a 5a 7+2,则实数k=

7．若2，a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log 92

22

2d

c b a ++= 8.2+(2+22

)+(2+22

+23

)+…+（2+22

+23

+…+210

）=

9．数列{a n }的前n 项和S n 满足log a (S n +a)=n+1(a>0,a ≠1),则此数列的通项公式为

10．某工厂在某年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度偿还一定的金额，恰在n 年内还清，年利率为r,则每次偿还的金额为 元。

二、解答题

1． 已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

2． 已知数列{a n }的前n 项和为Sn=n 2

+C(C 为常数)，求数列{a 0}的通项公式，并判断{a n }是

不是等差数列。

3． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =n S 1，且a 3b 3=2

1

，S 5+S 3=21,求b n 。

4． 已知数列{a n }为首项a 1≠0，公差为d ≠0的等差数列，求S n =1

32211

11++

⋯++n n a a a a a a 。

5． 求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。

填空题答案

1． 1

2． 50，10，2或2,10,50 3． ab

4.4

5.0

6.±9 a 3+a 9=-

,3k a 3a 9=a 5a 7=-,3

7∴ (-3k )2=3×37

+2 ∴k=±9

7.-16

1 8.212-24 9.a n =(a-1)a n

10.1)1()1(-++n

n r r Ar

解答题答案

1．

S 50-S 30=a 31+a 32 +…+a 50=

)(10)(102

)

(2080150315031a a a a a a +=+=+=30-50=-20。

∴a 1+a 80=-2 ∴S 80=

802

)

(80801-=+a a 。

2．当n=1时，a 1=S 1=1+c

当n 2≥时，a n =S n -S n-1=(n 2+c)-[(n 2+c)]-[(n-1)2

+C]=2n-1。 ∴a n =⎩

⎨

⎧-+121n c 21

≥=n n 若C=0，a n =2n-1,此时a n -a n-1=2(n 2≥){a n }为等差数列。

若C ≠0,C+1≠1,{a n }不为等差数列。