浙江省新高考学业水平考试数学试卷

合集下载

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知F 是抛物线的焦点，过点F 且斜率为的直线交抛物线于A ，B两点，则的值为（）A．B．C．D．2. 已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（）A．B．C．D． 3. 等于（）A．B．C．D．4. 如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）A．北纬B．北纬C．南纬D．南纬5. 下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与A ．①B ．②C ．③D ．④6.将函数的图像向右平移个单位长度，然后将所得的图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像．则在区间上的值域为（）A．B．C．D．7. 若，且，则下列不等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．8. 的内角的对边分别为，则（）A ．当时，B．当时，C ．当时，是等腰三角形D ．当时，是等腰三角形9. 已知函数，则________．10. 函数定义域为________.（用区间表示）2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(高频考点版)2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(高频考点版)四、解答题11.若，则__________．12. “直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的____________条件.13. 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x ．(1)求函数f （x ）在R 上的解析式；(2)解关于x 的不等式f （x ）＜3．14. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．15.已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n 项和，且，数列的，．(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足：，当时，求证：．16. 如图,为平面外两点，点在平面上的射影分别为点为平面内的向量．求证：．。

2024年7月浙江省普通高中学业水平考试——数学仿真模拟试卷01(解析版)

2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

2024年7月浙江省高中学业水平测试数学试题试卷

2024年7月浙江省学业水平考试数学试卷班级______姓名______学号______得分______．一、单项选择题1．若{0,2,3,4},{2,3}A B ，则A B （） A ．B ．{0}C ．{2.3}D ．{0,2,3,4}2．(1i)(1i) （） A ．iB ．iC ．0D ．23．函数()21x f x 的值域是（） A ．(0.)B ．(0.]C ．(1,)D ．(1,]4．若(1,2)a ，(2,1)b ，||a b（）A ．10BCD ．5．6个球，2红4黄，求随机模到一个红球的概率为（）A ．16 B ．13 C ．12D ．236．“0a b ”是1a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要7．已知sin cos 1 ，则sin 2 （） A ．1B ．1C ．12D ．08．一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（）A ．3πB ．2πCD ．π9．甲某全年交税额为5617.19元，则他的交税等级为（题干不完整）（）A ．1B ．2C ．3D ．410．,m n 为两条异面直线，且m 平面，n 平面，若直线l 满足m 是l m ，l n ，l ，l ，则（） A ． ∥B ．lC ．若平面和平面相交，则交线a l ∥D ．若平面和平面相交，则交线l11．有一支队伍长Lm ，以V 的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为1V ，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了2Lm ，则1V V（）A ．2B ．3C ．12D ．3212．若()()()f x y f x f y xy ，(1)1f ，则(20)f （） A ．55B ．190C ．210D ．231二、多项选择题13．若π()sin 23f x x，则（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 关于直线π2x 对称 C ．()f x 的一个对称点是π,06D ．()f x 在ππ,62上单调递减 14．,A B 是两个随机事件，则（） A ．()()()P A B P A P B B ．若A B ，则()()P A P BC ．若,A B 互为独立事件，则()()()P AB P A P BD ．若,A B 互为对立事件，则()()1P A P B15．棱长为1的正方体，E 是1CC 的中点，P 是平面11ADD A 上的动点，平面PBE 与平面ABCD 的交线为l ，则（）A ．EP 的最小值为1B ．EP BP 的最小值为2C ．存在一点P ，使得EP CDD ．二面角E l C 最小时，平面角的正切值为12三、填空题16．奇函数3()f x x x a ，则a ______．17．a b 是两个单位向量，夹角为π3，则()a a b ______．18．已知一个四条棱均相等的四面体成A BCD ，则棱AB 与平面BCD 的夹角的余弦值为______．19．已知,x y 均为正实数，11x y，则4y x的最大值为______．四、解答题20．对某小区抽取100户居民的用电量进行调查，得到如下数据（1）求x 的值；（2）已知该小区的居民有800户，则用电量在150以下的有多少户；（3）求第50百分位数．21．已知ABC △为锐角三角形，角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b ，c sin cos B b A b （1）求A 的值；（2）若2a ，求2b c 的取值范围．22．已知()ln(),0,()ln b f x ax a g x x （1）若e,1a b ，求()()f x g x 的最大值；（2）若2a ，求关于x 的不等式()0()g x f x 的解集；（3）()|()||()|F x f x g x ，对于给定实数b ，有x 满足()1F x ，求a ．。

2020届浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题及答案解析版

2020届浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =（）A ．{}4B ．{}1,6C ．{}2,4D ．{}1,2,4,6【答案】D【解析】根据集合的并集运算,即可求解. 【详解】因为集合{}1,2,4A =,{}2,4,6B = 由集合的并集定义可知{}1,2,4,6A B =故选:D 【点睛】本题考查了集合的并集运算,属于基础题. 2．()tan a π-=（） A ．tan a - B ．tan a C ．tan a ±D ．1tan a【答案】A【解析】根据诱导公式,化简即可求解. 【详解】由诱导公式可知()tan a π-tan a =-故选:A本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题. 3．66log 2log 3+=（） A ．0 B ．1 C ．6log 5 D ．12log 5【答案】B【解析】根据对数的运算及常数对数的值即可求解. 【详解】根据对数的运算性质可知66log 2log 3+()6log 23=⨯6log 61==故选:B 【点睛】本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题. 4．圆22280x y x ++-=的半径是（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】B【解析】将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径. 【详解】因为圆22280x y x ++-= 化为标准方程可得()2219x y ++=所以圆的半径为3 故选:B本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题. 5．不等式12x -<（）A ．{}13x x -<<B ．{}13x x <<C ．{1x x <-或}3x >D ．{1x x <或}3x > 【答案】A【解析】根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解. 【详解】不等式12x -<当1x ≥时,不等式可化为12x -<,即3x <.所以13x ≤< 当1x <时,不等式可化为12x -<,即1x -<.所以11x -<< 综上可知,不等式的解集为13x ,即{}13x x -<<故选:A 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式,属于基础题.6．椭圆221259x y +=的焦点坐标是（）A ．()5,0-，()5,0B ．()0,5-，()0,5C ．()4,0-，()4,0D ．()0,4-，()0,4【答案】C【解析】根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得,a b .再根据椭圆中a b c 、、的关系即可求得焦点坐标.椭圆221259x y +=所以为焦点在x 轴上,且2225,9a b == 由椭圆中222a b c =+ 可得22225916c a b =-=-= 因而4c =所以焦点坐标为()4,0-,()4,0 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中a b c 、、的关系及焦点坐标求法,属于基础题.7．若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值. 【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:将12y x =-平移即可得目标函数122zy x =-+因而当经过点()0,2A 时,目标函数的截距最大此时20224z x y =+=+⨯= 所以2x y +的最大值是4 故选:D 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题.8．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，不一定在平面α内【答案】B【解析】假设m 是过点P 且平行于l 的直线， n 也是过点P 且平行于l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案. 【详解】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾，故过点P 且平行于l 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内．故选B 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．9．过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（）A ．210x y ++=B ．210x y +-=C ．270x y -+=D ．270x y --=【答案】D【解析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解. 【详解】因为直线230x y +-=可化为1322y x =-+ 当直线垂直时的斜率乘积为1,所以2k = 因为经过点()3,1A -由点斜式可知直线方程为()123y x +=-化简可得270x y --= 故选:D 【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（） A ．1 BC ．2D【答案】D【解析】根据正弦定理,即可求得b 的值. 【详解】在ABC ∆中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 若60A =︒,45B =︒,3a = 由正弦定理可知sin sin a bA B = 代入可得3sin 60sin 45b =解得b故选:D 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.11．函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像. 【详解】因为()sin f x x x =⋅而()g x x =为偶函数, ()sin h x x =为奇函数,所以()sin f x x x =⋅为奇函数,所以排除C,D.当0.001x =时, ()0.0010.0010.0010g ==>,()0.001sin0.0010h =>,所以()0.0010.001sin0.0010f =⋅>,所以排除B 选项.故选:A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】B【解析】根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:则由三视图中的线段长度可知12112ABC S ∆=⨯⨯=则121233P ABC V -=⨯⨯=故选:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题.13．设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当0a b +>时,223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,所以330a b +>.即“0a b +>”是“330a b +>”的充分条件.当330a b +>时,由于223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭成立,所以0a b +>,即“0a b +>”是“330a b +>”的必要条件.综上可知, “0a b +>”是“330a b +>”的充要条件故选:C 【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.14．设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF∠=︒，则该双曲线的离心率是（）A B ．3C D【答案】B【解析】根据双曲线的定义及124PF PF =,用a 表示出12PF PF 、,再在三角形12F PF 中由余弦定理求得a c 、的关系,进而求得离心率. 【详解】1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足124PF PF =所以121224PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得128323a PF a PF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为1260F PF∠=︒,122F F c =所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠,代入可得2222644821499332a a c a a =⨯⨯⨯+- 化简可得22913c a=,即222139c ea==所以e =故选:B 【点睛】本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题.15．点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【详解】易知, 选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成的折线;选项(D)中当点P 走过的路程为2lx =时，OP 不是最大值(过点P 作OP 的垂线交椭圆于点P′, 显然, OP′>OP);选项(C)中πsin πl xy l=, 其图像如图.选C.16．设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（） A ．7 B ．9 C ．12 D ．14【答案】C【解析】根据数列{}n a 满足的条件,讨论n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n 的最大值. 【详解】数列{}n a 满足11a =,2212n n a a -=+,2121n n a a +=-23a =则21211n n a a +--=则当n ∈奇数时, 12n n a +=所以4n a n -≤,代入可得142n n +-≤,解不等式可得79n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是9 则当n ∈偶数时, 22n n a =+所以若4n a n -≤,代入可得242nn +-≤,解不等式可得412n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是12 综上可知, n 的最大值是12 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.17．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2x y =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅，2I BP BA =⋅.（） A ．若12II =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12II =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ=，则12II =【答案】C【解析】根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项. 【详解】根据题意,在直线AB 上取','P Q ,且''AP BQ =.过','P Q 分别作直线AB 的垂线,交曲线2x y =于12,P P 和交2log y x =于12,Q Q .在曲线2x y =上取点3P ,使13AP AP =.如下图所示:1cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB =⋅=⋅∠=⋅2cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA=⋅=⋅∠=⋅若''AP BQ =,则''AQ BP =若12II =,则''AQ BP =即可.此时P 可以与1P 重合,Q 与2Q 重合,满足题意,但是()PQ AB R λλ=∈不成立,且AP BQ≠所以A 、B错误;对于C,若()PQ AB R λλ=∈,则PQ AB ∥,此时必有1P 与1Q 对应(或2P 与2Q ),所以满足12I I =,所以C 正确;对于D,对于点3P ,满足13AP AP =,但此时3P 在直线AB 上的投影不在P'处,因而不满足''AQ BP =,即12I I ≠,所以D 错误综上可知,C 为正确选项故选:C 【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性强,较为复杂,属于难题. 18．如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56π B ．23πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值. 【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点则22,0,,,0,3333ra r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin ry z aθθ=-=-所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m n m nα⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33ra B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x =,解得221cos 2,sin ry z aθθ--==-所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=-⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足cos 1k h k hβ⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<<所以203πθ<≤所以θ的最大值是23π故选:B 【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、填空题19．设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若22a =，34a =，则1a =______，4S =______. 【答案】1 15【解析】根据等比数列的通项公式,可求得1a 与q .再求得4a ,即可求得4S 的值. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式可知11n n a a q -=而22a=,34a =所以2123124a a q a a q ==⎧⎨==⎩,解方程组可得112a q =⎧⎨=⎩所以3341128a a q ==⨯= 所以41234+++S a a a a =124815=+++=故答案为:1;15 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n 项和的求法,属于基础题.20．设u ，v 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-，()2,4,v m =--.若a β∥，则实数m =______. 【答案】4【解析】根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m 的值.因为a β∥,且u ,v 分别是平面a ,β的法向量则u v ∥因为()1,2,2u =-,()2,4,v m =-- 所以存在λ,满足u v λ= 则()()1,2,22,4,m λ-=--即12242m λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩解得124m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以4m = 故答案为:4 【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题.21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.【答案】916【解析】作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.作'B M CD ⊥于交CD 于M因为,'AD CD AD DD ⊥⊥ 且'CD DD D ⋂= 所以AD ⊥平面'DB C 而AD ⊂平面ACD 所以平面ACD ⊥平面'DB C又因为平面ACD 平面'DB C DC =,且'B M CD ⊥ 所以'B M ⊥平面ACD则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角因为直角ABC ∆中,3AB =,4AC = 所以229165BC AB AC +=+=341255AB AC AD BC ⨯⨯===则22221216455DC AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以169'555DB BC DC =-=-= 在直角三角形'B DC 中,9'95cos 'cos '16165DB B DM B DC DC ∠=∠=== 故答案为:916【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题. 22．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.【答案】2+【解析】根据函数()f x 存在a R ∈在[]2,b 上恰有两个零点,则求得当2x =时满足条件的a .再由当x b =时取到零点,即可求得b 的值. 【详解】因为函数()226f x x ax =+--,()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则必在2x =与x b =时恰好取到零点的边界若2x =时,()f x 的零点满足()2222260f a =+--=解方程求得2a =或4a =- 当2a =时, ()2226f x x x =+--,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()22260f b bb =+--=,且2b >解方程可得2b =(舍)或4b =-(舍) 当4a =-时, ()2426f x x x =---,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()24260f b bb =---=,且2b >解方程可得2b =-(舍)或2b =+综上可知,当2b =+()f x 在[]2,b 上恰有两个零点故答案为:2+【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题.三、解答题23．已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R （Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（Ⅰ）3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Ⅱ）π（Ⅲ）⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将3π代入解析式,即可求得3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. （Ⅱ）根据正弦的二倍角公式化简后,即可求得()f x 的最小正周期.（Ⅲ）根据正弦函数的图像与性质,可求得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【详解】（Ⅰ）2sin cos 33636f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin cos 266222ππ==⨯⨯=即3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）因()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ== （Ⅲ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因此当233x ππ-=-,即0x =时,()3min f x =-当232x ππ-=,即512x π=时,()max 1f x =所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了正弦函数的求值,正弦函数的图像与性质简单应用,属于基础题.24．如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.【答案】（Ⅰ）32t p =；（Ⅱ）24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将M 的横坐标为t 代入抛物线1C 解析式可得()2,M t t ,再代入抛物线2C 解析式,化简即可用t 表示p 的值.（Ⅱ）设出点A 的坐标,结合M 的坐标即可表示出直线MA 的方程.联立抛物线1C ,根据相切时判别式0∆=可得2kt ,表示出直线MA 的方程.利用两点式表示出直线MA 的斜率,即可用t 表示出点A 的坐标.同理可求得B 点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出MB ,利用点到直线距离公式求得A 到直线MB 的距离,即可表示出MBA ∆的面积S .结合S 的取值范围,即可求得t 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t t t >又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222t pt =,则32t p =（Ⅱ）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=则()()222420k kt t k t ∆=--=-=因此2kt即直线MA 的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k ty x t y t tt --====-+- 从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此2t MB t =-=点2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==故MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===即32732t S =因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即31272432t ≤≤ 解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题,两点间距离公式及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.。

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(含详细答案)

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题卷（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D【解析】∵{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，∴{}1,2A B = .2.复数2i -（i 为虚数单位）的实部是（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C【解析】显然复数2i -的实部是2.3.函数()f x =的定义域是（）A.(),1-∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞- D.[)1,-+∞【答案】D【解析】∵10x +≥，∴1x ≥-，即函数()f x =的定义域为[)1,-+∞.4.已知tan 1α=，ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，则α=（）A.4π B.π4-C.π3D.π3-【答案】A【解析】∵tan 1α=，∴ππ4k α=+，又ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，∴π4α=.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为35.6.已知平面向量()2,4a =r ，(),6b x = .若//a b r r，则实数x =（）A.3-B.3C.12-D.12【答案】B【解析】由a b ∥，可得2640x ⨯-=，解得3x =.7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π【答案】D【解析】224π4π216πS R ==⨯=，8.设0a >，下列选项中正确的是（）A.313a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2233a a-= C.2332a a a= D.2332a a a÷=【答案】A【解析】对于A ，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2223023331a aa a--===，故B 错误；对于C ，23213332362a a aa ==，故C 错误；对于D ，221133332a a a a a a-÷===，故D 错误.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数()600.9227250ty t =⨯+≥近似刻画了茶水温度y （单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据： 6.70.92270.5833≈，8.70.92270.4966≈）（）A.5min B.7min C.9min D.11min 【答案】B【解析】由题可知，函数()600.9227250ty t =⨯+≥，当 6.7t =，59.998y ≈，已经接近60，又函数()600.9227250ty t =⨯+≥在()0,∞+上单调递减，则大约在7min 时口感最佳.故A ，C ，D 错误.10.设a ，b 是实数，则“a b >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于a b >，比如3a ==-，显然13a b =<=，不能推出a b >；反之，如果a b >，则必有0,a a a b b >∴=>≥；所以“a b >”是“a b >”的必要不充分条件；11.在ABC 中，设2AD DB = ，2BE EC =，CF FA λ= ，其中R λ∈.若DEF 和ABC 的重心重合，则λ=（）A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】设O 为DEF 和ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以()2211133233AO AM AB AC AB AC==+=+，2111133333DO DA AO AB AB AC AB AC=+=-++=-+，()()22113323DO DN DE DF DB BE DA AF==+=+++()112211121333313331AB BC AB AC AB AC AB AC λλ=+-+=-+-+++11213331AB AC λ=-+++，可得21131λ=++，解得2λ=.12.如图，棱长均相等的三棱锥-P ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，锐二面角A BD C --的大小为θ.当x 增大时，（）A.θ增大 B.θ先增大后减小 C.θ减小 D.θ先减小后增大【答案】C【解析】由题意，三棱锥-P ABC 是正四面体，以PBC 的重心为原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：设三棱锥P -ABC的棱长为，则有：22221228OA AP PO =-=-=，()(()()1,,0,0,,1,,2,0,0B A C P --，3231,,022x D x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,,1,,22x AB AD x ⎛-=--=-- ⎝ ，设(),,m t y z = 是平面ABD 的一个法向量，则有·0·0m AB m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01022t x x t y ⎧--=⎪⎛⎫⎛⎫⎨--+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令y =，解得(,,,t x z m x =-=-=-，显然()0,0,1n =是平面PBC 的一个法向量，cos m nm n θ∴===；显然当x =x 的取值范围是0x <<），πcos 0,2θθ==最大，当x >或x <时，cos θ都变大，即θ变小；二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A.2y x= B.3y x= C.23y x= D.1y x -=【答案】BD【解析】由幂函数的图象可知，A 中，2y x =过第一、二象限；B 中，3y x =过第一、三象限；C 中，320y x ==≥且定义域为R ，过第一、二象限；D 中，1y x -=过第一、三象限.14.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C .过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行【答案】AC【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A 正确；对于B ，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B 不正确；对于C ，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C 正确；对于D ，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D 不正确．15.在锐角ABC 中，有（）A.sin sin sin A B C +> B.222sin sin sin A B C +>C.cos cos sin A B C +> D.222cos cos sin A B C +>【答案】ABC【解析】对于A ，根据正弦定理，因为a b c +>可得sin sin sin A B C +>，故A 正确；对于B ，因为222cos 02a b c C ab+-=>可得222a b c +>，再由正弦定理可得222sin sin sin A B C +>，故B 正确；对于C ，因为π0,2A B <<中，所以0sin ,sin 1A B <<，所以()cos cos cos sin cos sin sin sin A B A B B A A B C +>+=+=，故C 正确；对于D ，当222π13cos cos sin 324A B C A B C ===⇒+=<=，故D 错误16.已知a ∈R ，设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2y x a =-与1sin y x =-图象的两个公共点，记()12f a x x =-.则（）A.函数()f a 是周期函数，最小正周期是πB.函数()f a 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f a 的图象是轴对称图形D.函数()f a 的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】分别作出()2y x a =-与1sin y x =-（周期为2π）的图象（如图）.对于B ，由图可知，当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，故B 正确；对于C 、D ，对于任意a ∈R ，此时作()2y x a =-关于2x π=-的对称函数()2πy x a =---⎡⎤⎣⎦，且1sin y x =-也关于2x π=-对称，故()()πf a f a --=，即()f a 关于2x π=-对称，即()f a 关于2x π=-对称，故C 正确，D 错误.错误.对于A ，由于当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，()f a 关于π2x =-对称，由于1sin y x =-是最小正周期为2π的函数，其图象呈周期性变换，而()2y x a =-在平移过程中大小与形状不变，所以()12f a x x =-呈周期性变换，根据函数的对称性作出()f a 的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为2πT =，故A错误；非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数()25,1,log ,1,x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则()1f -=______，()1f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】①.4②.2【解析】()1154f -=-+=；()()214log 42f f f ⎡⎤-===⎣⎦.故答案为：4；2.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm ），那么一个石凳的体积是______（单位：3dm ）.【答案】1603【解析】正方体的体积为3464=，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，则石凳的体积为416064833-⨯=.19.已知实数0x >，0y >，则2x yx y x++的最小值是______.【答案】1-【解析】211x y x y xx y x x y x ++=+-≥-++，当且仅当2x y xx y x+==+.20.已知平面向量a ，b 是非零向量.若a 在b上的投影向量的模为1，21a b -= ，则()4a b b -⋅ 的取值范围是______.【答案】[]3,4【解析】解：由题意，令(),0b b = ，()1,a y =±，则()()2221221a b b y -=⇒±-+= ，所以[]240,1y ∈，由21a b -= ，得22441a a b b -⋅+= ，所以()2441a b b a -⋅=- .()[]222411433,4y y ⎡⎤=±+-=+∈⎣⎦.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组[)60,70的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.22.已知函数()222cos f x x x =+.（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.解：（1）22πππππ22cos 2cos 144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24.综上，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.23.已知函数()()20xa f x a x x x=+->，其中1a >.（1）若()24f ≤，求实数a 的取值范围；（2）证明：函数()f x 存在唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()22021222a a f x a a -+<+<-+.解：（1）因为()()20xaf x a x x x=+->，由()2224f a a =+-≤，可得220a a --≤，所以()()210a a -+≤，即12a -≤≤，又1a >，所以12a <≤；（2）证明：因为函数()()20xaf x a x x x=->，其中1a >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，且()11210f a a a =+-=-<，()221722024f a a a ⎛⎫=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理，得()f x 在()1,2内有唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点；（3）证明：若()00f x =，则()()001,212,3x x ∈⇒+∈，所以()()20221f a a f x =+-<+，又()000020xa f x a x x =+-=，0002x a a x x =-，所以()()()021000000022211111x a a af x ax ax x x x x ++=++-=-++-++()200002211a x a x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()22000002222212211g a a a f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又0220x ->，所以()g a 的图象开口向上，对称轴()()200020000000221104141222x x x x x x a x x x x ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭=-=-=--+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以()g a 在()1,+∞上单调递增，所以()()20000002222121211111g a g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=-⋅+-+⋅+-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()22000000000000002122120111x x x x x x x x x x x x x x +-+++-+-===>+++，即()201222f x a a +<-+，所以()22021222a a f x a a -+<+<-+.。

2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(学生版+解析版)

2022年1月浙江省普通高中学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个
是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
I.己知｜集合P={O, I. 2}, Q={ I. 2, 3｝，则PnQ= ( )
A (O}
B. {0, 3}
c. { 1, 2}
A.2
B.2.Ji百
c. 8
D. 4M
15.如阁，正方体 ABCD-A,B1C1D1 中，N是梭 DDI 的中点，则直线 CN 与平而 DBB1 D1 所成角的正强健等于（）
D,
A,.
N 人 ·· L
／ D
B,
－－ a
ve
p
t
A hL ，， B
A.
_!_ 2
Jw B.一一一
c. 一Ji一s一
D. '!:JJi
D. (-1, -2)
冯； · (x+1)2 +(y-2) 2 =4 的圆心坐标为（ - l
故；i在：A.
6.某几何体的三视图如 l到所示，则这个几何体可能是（
厂＼厂＼
。
A.棱校
B.回校
【答案】C
【j衍析】
【分析】根据几何体的特征可以直接求出结果
【详解】由三视图知，从正面非II侧面看都是梯形，
C.四台
故地：B
� 12.为了得到函数y
=cosl
\
x
－
3
JI的｜到象
，
可以将函数y = cosx的图象（
）
A向左移二个单位长度 C时平时个单位长度【答案】D
－ B 向右平移 3π 个曲中恍

浙江省份普通高中学业水平考试数学试题

浙江省 2021 年 1 月份普通高中学业水平考试数学试题选择题局部一、选择题〔共 25 小题， 1－15 每题 2 分， 16－ 25 每题 3 分，共 60 分 . 每题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分1、设集合 M={0,1,2} ，那么∈M B.2 M ∈M. 〕D.{0}∈M〔〕2、函数 y x 1 的定义域是〔〕 A. [0 ，+∞〕3、假设关于 x 的不等式A. －1B.[1 ，+∞〕 mx － 2>0 的解集是 {x|x>2} B. － 2C. 〔－∞， 0]，那么实数 m 等于D.〔－∞， 1]〔〕4、假设对任意的实数 A. 〔1，2〕 k ，直线 y － 2=k(x+1) B. 〔 1，－ 2〕恒经过定点 M ，那么 M 的坐标是C.〔－ 1，2〕〔〕D.〔－ 1，－ 2〕5、与角－终边相同的角是〔〕6A. 56B.3C. 116D. 236、假设一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如下图，那么该几何体的正视图是〔〕A. B. C.D.〔第 6 题图〕7、以点〔 0，1〕为圆心， 2 为半径的圆的方程是〔〕A.x 2+(y －1) 2=2B. (x － 1) 2+y 2=2C. x 2+(y －1) 2 =4D. (x －1) 2+y 2 =48、在数列 { an } 中， a =1，a =3a (n ∈ N*) ，那么 a 等于〔〕1n+1n49、函数 yx 的图象可能是〔〕yyyyOxOxOxOxA.B.C. D.a ba bab〔〕10、设 ,是两个平面向量，那么“＝〞是“|| ＝| | 〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11、设双曲线 C ：x 2y 2 0)的一个顶点坐标为〔，〕，那么双曲线C 的方程是〔〕a 21(a2 03A. x2y21B. x2y21C. x2y21D. x2y21163123834312、设函数 f(x)＝sinxcosx ， x∈ R，那么函数f(x)的最小值是〔〕A. 1B.1C.3D.－ 1 422、假设函数f(x)=x a(a∈R)是奇函数，那么 a 的值为〔〕13x21C.－1D.±114、在空间中，设α，表示平面， m，n 表示直线 . 那么以下命题正确的选项是〔〕A. 假设 m∥ n， n⊥α，那么m⊥αB.假设α⊥，m α，那么 m⊥C.假设 m上有无数个点不在α内，那么 m∥αD.假设 m∥α，那么 m与α内的任何直线平行15、在△ ABC中，假设 AB=2，AC=3，∠ A=60°，那么 BC的长为〔〕A. 19B. 13 D.716、以下不等式成立的是〔〕A.1.2 2>1.2 3B.1.2 －3<1.2 －2C. log 2>log 3D.log 2<log 317、设 x0为方程 2x+x=8 的解 . 假设x0∈ (n,n+1)(n ∈N*) ，那么 n 的值为〔〕18、以下命题中，正确的选项是〔〕A. x 0∈Z，x02<0B. x∈Z，x2≤0C.x 0∈Z，x02=1D. x∈Z，x2≥119、假设实数 x,y 满足不等式组x y00，那么 2y－ x 的最大D1C1 x y2E值是〔〕A1B1A. －2B. －1DC20、如图，在正方体 ABCD－A B C D 中， E 为线段 A C 的中点，111111A B那么异面直线 DE 与 B C 所成角的大小为1〔〕〔第 20 题图〕°°°°21、研究发现，某公司年初三个月的月产值y〔万元〕与月份 n 近似地满足函数关系式 y=an2+bn+c〔如 n=1 表示 1 月份〕 . 1 月份的产值为 4 万元， 2 月份的产值为11 万元， 3 月份的产值为 22 万元 . 由此可预测 4 月份的产值为〔〕A.35 万元B.37 万元C.56 万元D.79 万元22、设数列 { a n } ， { a n 2 } (n ∈N*) 都是等差数列，假设 a1＝ 2，那么a22+ a 33+ a 44 + a55 等于〔〕23、设椭圆：x2y21(a b0)的焦点为1，F2 ，假设椭圆上存在点P，使△ P F1F2是以F1P a2b2F为底边的等腰三角形，那么椭圆的离心率的取值范围是〔〕A. (0,1) B. (0,1) C. (1,1) D.(1,1) 232324、设函数 f ( x)x，给出以下两个命题：x1①存在 x0∈(1,+ ∞) ，使得 f(x 0)<2 ；②假设 f(a)=f(b)(a≠b)，那么a+b>4.其中判断正确的选项是〔〕A. ①真，②真B. ①真，②假C. ①假，②真D. ①假，②假25、如图，在 Rt△ABC中， AC=1，BC=x，D 是斜边 AB的中点，将△ BCD沿直线 CD翻折，假设在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，那么 x 的取值范围是〔〕A. (0, 3]B. ( 22,2] C. ( 3, 2 3] D.〔 2， 4] BBDDC ACA〔第 25 题图〕非选择题局部二、填空题〔共 5 小题，每题 2 分，共 10 分〕26、设函数 f(x)=x2 , x 2，那么 f(3) 的值为3x2, x227、假设球 O的体积为3cm.36 cm，那么它的半径等于28、设圆 C：x2+y2=1，直线 l:x+y=2 ，那么圆心 C 到直线 l 的距离等于.29、设 P 是半径为1 的圆上一动点，假设该圆的弦AB= 3uuur uuur，那么 AP AB 的取值范围是30、设 ave{a,b,c}表示实数 a,b,c 的平均数， max{a,b,c} 表示实数 a,b,c的最大值 . 设 A=ave{ 1111，假设的取值范围是2 x 2, x, 2 x 1}，M= max{2 x 2, x,2 x 1}M=3|A－ 1| ，那么 x三、解答题〔共 4 小题，共 30 分〕31、〔此题 7分〕sin 32 ，求cos和 sin(4 ) 的值.5 ,032、〔此题 7分，有〔 A〕，〔B〕两题，任选其中一题完成，两题都做，以〔A〕题记分 . 〕〔A〕如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对P角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段 PD的中点为 F.〔1〕求证： EF∥平面 PBC；〔2〕求证： BD⊥PC.FD CEA B〔第 32 题〔 A〕图〕〔B〕如图，在三棱锥 P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点 D，E 分别为线段 PB， AB的中点 .〔1〕求证： AC⊥平面 PBC；〔2〕设二面角 D－ CE－B 的平面角为θ，假设 PC=2，BC=2AC=23，求 cosθ的值 .33、〔此题 8 分〕如图，设直线 l : y=kx+ 2 (k ∈R)与抛物线 C：y=x2相交于 P， Q 两点，其中 Q点在第一象限.〔1〕假设点 M是线段 PQ的中点，求点 M到 x 轴距离的PDC BEA〔第 32 题〔 B〕图〕yRQ最小值；〔2〕当 k>0 时，过点 Q作 y 轴的垂线交抛物线C于uuur uuur POx点 R，假设PQ PR＝0，求直线 l 的方程 .〔第 33 题图〕34、〔此题 8 分〕设函数 f(x)=x 2－ax+b,a,b ∈ R..〔1〕 f(x) 在区间 ( －∞ ,1) 上单调递减，求 a 的取值范围；〔2〕存在实数 a，使得当 x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时 a 的值 .浙江省 2021 年 1 月份普通高中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题〔共25 小题， 1－15 每题 2 分， 16－ 25 每题 3 分，共 60 分 . 每题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分 . 〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 15答案A B CC CA CCA AD BBAD题号 1617 18 1920 21 22 232425 答案B BCCBBADCA25 题解答x 2 1 ，BC=x ，取 BC 中点 E ，〔 1〕由题意得， AD=CD=BD=2翻折前，在图 1 中，连接 DE,CD,那么 DE=1 AC=1，22翻折后，在图 2 中，此时 CB ⊥AD 。

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知，，则下列结论正确的是（）A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件C．是的既不充分也不必要条件D．是的充要条件2. 设集合，，则（）A．B．C．D．3. 一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（）A ．5海里B ．4海里C ．3海里D ．2海里4. 设复数满足（是虚数单位），则（）A．B．C．D．5. 已知的展开式中的系数为10，则实数a 的值为（）A．B．C．D ．26. 若是第四象限角，则是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.函数满足，，函数的图象关于点对称，则（）A ．-8B ．0C ．-4D ．-28. 已知正四棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9.已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为B ．直线的倾斜角为C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的是（）A ．若过点，则的准线方程为B ．若过点，则C ．若，则D ．若，则点的坐标为11. 甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（）2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题A ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等B ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定C．乙城市日均气温的极差为D．乙城市日均气温的众数为12. 已知，下列结论正确的是（）A ．与向量垂直且模长是2的向量是和B．与向量反向共线的单位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得，则实数a 的值为________．14. 现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是________.（用数字作答）15.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.16.设椭圆：的焦点分别为、，抛物线:的准线与轴的交点为，且．（1）求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图），求四边形面积的最大值和最小值．17. 如图，多面体中，平面，底面为等腰梯形，，，，，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18. 如图所示，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABE，点F为CE中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．19. 2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为．（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；（2）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：（参考公式：，其中）20. 已知函数.（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围；（2）证明：当时，在区间恰有一个零点.21. 已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.。

2020年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷(1月份) (解析版)

2020年普通高校招生学业水平考试数学试卷一、选择题（共18小题）.1．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{4}B．{1，6}C．{2，4}D．{1，2，4，6} 2．tan（π﹣α）＝（）A．﹣tanαB．tanαC．±tanαD．3．log62+log63＝（）A．0B．1C．log65D．log1254．圆x2+y2+2x﹣8＝0的半径是（）A．2B．3C．6D．95．不等式|x﹣1|＜2的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x＜1或x＞3}6．椭圆+＝1的焦点坐标是（）A．（﹣5，0），（5，0）B．（0，﹣5），（0，5）C．（﹣4，0），（4，0）D．（0，﹣4），（0，4）7．若实数x，y满足不等式组则x+2y的最大值是（）A．1B．2C．3D．48．已知直线l∥平面α，点P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（）A．只有一条，且在α内B．有无数条，一定在α内C．只有一条，不在α内D．有无数条，一定不在α内9．过点A（3，﹣1）且与直线x+2y﹣3＝0垂直的直线方程是（）A．x+2y+1＝0B．x+2y﹣1＝0C．2x﹣y+7＝0D．2x﹣y﹣7＝0 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝（）A．1B．C．2D．11．函数f（x）＝|x|•sin x的图象大致是（）A．B．C．D．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．1D．213．设a，b∈R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点．若双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝4|PF2|，且∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．15．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，点O、P的距离（y）与点P走过的路程（x）的函数关系如图所示．那么点P所走过的图形是图中的（）A．B．C．D．16．设数列{a n}满足a1＝1，a2n＝a2n﹣1+2，a2n+1＝a2n﹣1，n∈N*，则满足|a n﹣n|≤4的n的最大值是（）A．7B．9C．12D．1417．设点A，B的坐标分别为（0，1），（1，0），P，Q分别是曲线y＝2x和y＝log2x上的动点，记I1＝•，I2＝•（）A．若I1＝I2，则＝λ（λ∈R）B．若I1＝I2，则||＝||C．若＝（λ∈R），则I1＝I2D．若||＝||，则I1＝I218．如图，在圆锥SO中，A，B是⊙O上的动点，BB'是⊙O的直径，M，N是SB的两个三等分点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），记二面角N﹣OA﹣B，M﹣AB'﹣B的平面角分别为α，β，若α≤β，则θ的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若a2＝2，a3＝4，则a1＝，S4＝．20．设，分别是平面α，β的法向量，＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，m）．若α∥β，则实数m＝．21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，现将△ABD 沿AD翻折△AB'D，使得四面体AB'CD为一个鳖臑，则直线B'D与平面ADC所成角的余弦值是．22．已知函数f（x）＝|x2+ax﹣2|﹣6．若存在a∈R，使得f（x）在[2，b]上恰有两个零点，则实数b的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共31分。

2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。

，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。

表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。

浙江普通高校招生学业水平考试数学试题(解析版)

浙江普通高校招生学业水平考试数学试题一、选择题1．已知集合{3,4,5,6}A =，{}B a =，若{6}A B =I ，则a =（） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D.【解析】试题分析：由{6}A B =I 可知6a =，故选D. 【考点】集合的运算.2．直线1y x =-的倾斜角是（） A.6π B.4π C.2π D.34π 【答案】B.【解析】试题分析：记直线1y x =-的倾斜角为θ，∴tan 14πθθ=⇒=，故选B.【考点】直线的倾斜角.3．函数()ln(3)f x x =-的定义域为（）A.{|3}x x >-B.{|0}x x >C.{|3}x x >D.{|3}x x ≥ 【答案】C.【解析】试题分析：由303x x ->⇒>，故定义域为{|3}x x >，故选C. 【考点】函数的定义域.4．若点(3,4)P -在角α的终边上，则cos α=（） A.35-B.35C.45-D.45【答案】A.【解析】试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，3cos 5x r α==-，故选A. 【考点】任意角的三角函数定义.5．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程22(1)(3)4x y -+-=，则点P 的轨迹经过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限【答案】A.【解析】试题分析：由题意得，点P 在以(1,3)为圆心，2为半径的圆上，如下图所示，故可知点P 在第一、二象限，故选A.【考点】圆的标准方程. 6．不等式组36020x y x y -+>⎧⎨-+≤⎩表示的平面区域（阴影部分）是（）【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，不等式组表示的区域应为直线360x y -+=的下方以及直线20x y -+=的上方及其边界所围成的区域，故选B. 【考点】二元一次不等式组与平面区域. 7．在空间中，下列命题正确的是（） A.经过三个点有且只有一个平面B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个【答案】D.【解析】试题分析：A ：若三点共线，则平面有无数个，故A 错误；B ：若点在线上，则平面有无数个，故B 错误；C ：若点在线上，则该平面不存在；D 正确，故选D. 【考点】空间中点、线、面的位置关系.8．已知向量a r ，b r ，则“//a b r r”是“||||||a b a b -=-r r r r ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：设a r ，b r 的夹角为θ，故22()(||||)||||||||||a b a b a b a b a b ⎧-=-⎪-=-⇔⎨≥⎪⎩r r r r r r r r r r||||(1cos )0||0||||a b b a b θ⎧⋅⋅-=⎪⇔⇔=⎨≥⎪⎩r u u rr r r r 或cos 1θ=，故是必要不充分条件，故选B. 【考点】1.共线向量；2.充分必要条件. 9．函数2()12sin 2f x x =-是（）A.偶函数且最小正周期为2πB.奇函数且最小正周期为2πC.偶函数且最小正周期为πD.奇函数且最小正周期为π【答案】A.【解析】试题分析：2()12sin 2cos 4f x x x =-=，故是偶函数且最小正周期为242T ππ==，故选A. 【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的性质.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若48a =，4=20S ，则8a =（） A.12 B.14 C.16 D.18 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，144141204201022a a S a a a +=⇒⨯=⇒+=⇒=，∴4123a a d -==， ∴81716a a d =+=，故选C.【考点】等差数列的通项公式.11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A.32cm B.322cm C.32cm D.322cm 【答案】A.【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一三棱锥，故其体积11221232V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积.12．设向量(2,2)a x =-r ，(4,)b y =r ，(,)c x y =r ，x ，y R ∈，若a b ⊥r r，则||c r 的最小值是（） A.25 B.45C.2D.5 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，4(2)20240x y x y -+=⇒+-=，故||c r的最小值即为原点到直线240x y +-=的距离：4555d ==，故选B. 【考点】1.平面向量数量积；2.点到直线距离公式.13．如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，若2PA AB ==，AC BC =，则二面角P AC B --大小的正切值是（）6677 【答案】B.【解析】试题分析：如图，取AC 中点D ，连结PD ，OD ，由题意得，PD AC ⊥，OD AC ⊥，故PDO ∠即为二面角P AC B --的平面角，在Rt PDO ∆中，3tan622POPDO OD∠===，故选B.【考点】二面角的求解.14．设函数2()()x f x e =，()()3x e g x =，其中e 为自然对数的底数，则（） A.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≥ B.存在正实数x 使得()()f x g x >C.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≤D.存在正实数x 使得()()f x g x < 【答案】D.【解析】试题分析：∵22()6()()f x g x e =，6e <，∴2601e<<，∴当0x >时，()1()()()f x f xg x g x <⇒<，当0x <时，()1()()()f x f x g x g x >⇒>，当0x =时，()1()()()f x f xg x g x =⇒=，故选D.【考点】函数的性质.15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若12||3||F B F A =，则该双曲线的离心率是（） A.54 B.43 C.32D.2 【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，连结1AF ，由题意得，1112||||||2F A F B F F c ===，21212||||33cF A F B ==，又∵12||||2F A F B a -=，∴232232c c c a e a -=⇒==，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其性质.16．函数()f x 按照下述方法定义：当2x ≤时，2()2f x x x =-+；当2x >时，1()(2)2f x f x =-，方程1()5f x =的所有实数根之和是（） A.8 B.13 C.18 D.25【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，画出()f x 的函数图象，根据对称性可知，方程1()5f x =共有6个实数根，其和为261018++=，故选C.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．17．设实数a ，b ，c 满足：1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立．．．的是（） A.b a bca ab ac +<<+ B.1a bc b a b ac +<<+C.1a bc c c b ac+<<+ D.a bc ab b acab +<<+ 【答案】D. 【解析】试题分析：令()(1)a bxf x a b b ax+=>>+，∴222()()()b b b ax a a bx b a b a a f x b ax b ax a a ax b +⋅+-+-===++++， ∴22()1()b b a b f c a a a a b -<<+=+，A ：()1b f c a a<<<，故A 成立；B ：1()1b f c b a a <<<<，故B 成立；C ：11()()11=b b ac bc b c a bc c c c b ac b ac c b ac c+⋅+--+=+>+++，()1f c c <<，故C 正确；D ：∵b a b ba ab a b--=，其差的符号未定，故D 不一定成立；故选D.【考点】1.构造函数；2.不等式的性质.【思路点睛】一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系，而有些不等式的问题，由于条件的限制，利用不等式的性质难以解决，此时可以构造相应的函数，从函数的的观点来解决. 18．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BD ==，4AC BC ==，点E ，F ，G ，H 分别在棱AD ，BD ，BC ，AC 上，若直线AB ，CD 都平行于平面EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值是（）A.12B.22C.1D.2【答案】C.【解析】试题分析：=()AB CD CB CA CD CB CD CA CD⋅-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1649164942420242242+-+-=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴AB CD GH HE ⊥⇒⊥u u u r u u u r ，设(01)AH k k AC =<<，则1CH k AC=-，由AHE ACD ∆∆:， ∴2HE kCD k==，同理(1)2(1)GH k AB k =-=-，∴4(1)EFGH S HE GH k k =⨯=-214()12k k +-≤⋅=，当且仅当112k k k =-⇒=时，等号成立，故选C. 【考点】1.线面平行的性质；2.立体几何中的最值问题.【方法点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1.结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2.直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.二、填空题19．已知抛物线22y px =过点(1,2)A ，则p =______，准线方程是______. 【答案】2，1x =-.【解析】试题分析：由题意得，422p p =⇒=，∴准线方程是12px =-=-，故填：2，1x =-.【考点】抛物线的标准方程及其性质.20．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若11a =，121n n a S +=+，则5S =_______. 【答案】121. 【解析】试题分析：由题意得，1111112121313()22n n n n n n n n n a S S S S S S S S ++++=+⇒-=+⇒=+⇒+=+， ∴1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，∴455132433121222S S +=⋅=⇒=，故填：121.【考点】数列的通项公式及其运算.21．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，2AB AC ⋅=u u u r u u u r ，若点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，则AP BC ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4. 【解析】试题分析：如下图所示，则可知2212()3333AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22121214182()()433333333AP BC AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-+-⋅=-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故填：4.【考点】平面向量数量积及其运算.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 22．函数设1()3()2f x x a R ax =+∈+，若其定义域内不存在．．．实数x ，使得()0f x ≤，则a 的取值范围是_____.【答案】2[0,]3.【解析】试题分析：若0a =：1()32f x x =+，符合题意；若0a <：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，故取22121()332()2f t t t a a a at a t a -+=-++=-++-++，其中0t >，显然，当0t +→时，2()f t a -+可取负值，故0a <不合题意；若0a >：①：2233a a -=-⇒=，1()3223f x x x =++，定义域为(3,)-+∞，显然()0f x >恒成立，符合题意；②22303a a -<-⇒<<：()f x 的定义域为[3,)-+∞，此时2320ax a +≥-+>，()0f x >恒成立，符合题意；③：2233a a ->-⇒>：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，取22121()332()2f t t t a a a at a t a--=--+=--+--+，其中203t a <≤-，显然，当0t +→时，2()f t a --可取负值，故23a >不合题意；综上所述，可知实数a 的取值范围是2[0,]3，故填：2[0,]3.【考点】1.恒成立问题；2.函数综合题；3.分类讨论的数学思想.【思路点睛】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值，另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：1.()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；2.()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<；3.()a f x >有解min ()a f x ⇔>；4.()a f x <有解max ()a f x ⇔<.三、解答题23．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 23cos C C =，其中C 为锐角.（1）求角C 的大小；（2）1a =，4b =，求边c 的长. 【答案】（1）3π；（2）13. 【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的式子进行三角恒等变形即可求解；（2）利用（1）中求得的C 的大小结合余弦定理即可求解.试题解析：（1）由2sin 23cos C C =得2sin cos 3cos C C C =，又∵C 为锐角，∴cos 0C ≠，从而3sin C =，故3C π=；（2）由1a =，4b =，根据余弦定理得2222cos133c a b ab π=+-=，故边c 的长是13.【考点】1.三角恒等变形；2.解三角形．24．设1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(1,)m -，过点2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点.（3）求1F ，2F 的坐标；（4）若直线PA ，2PF ，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 【答案】（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）2-，1-，0，1，2.【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的椭圆的标准方程即可求解；（2）设出直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立后利用韦达定理结合条件斜率之和为0可得到m 的函数表达式，求得其范围后即可求解.试题解析：（1）由椭圆的标准方程是22143x y +=，可知1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）①当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知0m =；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意得11x ≠-，21x ≠-，直线PA 的斜率为1111()11y m kx k m x x --+=++，直线2PF 的斜率为2m-，直线PB的斜率为2222()11y m kx k m x x --+=++，由题意得1212()()0121kx k m kx k m m x x -+-+-+=++，化简整理得1212(4)3()(45)0(*)k m x x m x x k m --+-+=，将直线AB 方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得222(43)84120k x k x k +-+-=，由韦达定理得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，代入(*)并化简整理得 216200k m k m ++=，从而220161km k =-+，当0k =时，0m =；当0k ≠时，220||5||1612k m k =≤=+，故m 的所有整数值是2-，1-，0，1，2.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.25．设函数21()(|1|)f x x a =--的定义域为D ，其中1a <. （1）当3a =-时，写出函数()f x 的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的[0,2]x D ∈I ，均有2()f x kx ≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【解析】试题分析：（1）对x 的取值范围分类讨论，去绝对值号后即可求解；（2）分析题意可知，问题等价于min 2()[]f x k x≤，对a 和x 的取值分类讨论，求得函数最值后即可求解.试题解析：（1）当3a =-时：2221(4)1()1(|1|3)(2)x f x x x ⎧⎪-⎪==⎨-+⎪⎪+⎩，∴()f x 单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当0x =时：不等式2()f x kx ≥成立；当0x ≠时：2()f x kx ≥等价于21[(|1|)]k x x a ≤--，设(1),01()(|1|)[(1)],12x x a x h x x x a x x a x --<≤⎧=--=⎨-+<≤⎩， ∵|1|0x a --≠，∴1x a ≠±，即{|1}D x x a =≠±，若1a <-：(0,2](0,2]D =I ，()h x 在(0,2]上单调递增，∴0()(2)h x h <≤，即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-；若1a =-：(0,2](0,2)D =I ，()h x 在(0,2)上单调递增，∴0()(2)h x h <<，即0()2(1)h x a <<-，故214(1)k a ≤-；若10a -<<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =++--I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，1[,1]2a -上单调递减，[1,1)a -上单调递增，(1,2]a -上单调递增，∴max 1()max{(2),()}2ah x h h -=，而21(1)(1)(7)(2)()220244a a a a h h a ---+-=--=>，∴1(2)()2ah h ->，∴0()(2)h x h <≤，即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-；若0a =：(0,2](0,1)(1,2]D =I U ，()h x 在1(0,]2上单调递增，在1[,1)2上单调递减，在(1,2]上单调递增，∴1(1)()max{(2),()}2h h x h h <≤，而(2)2h =，11()24h =，∴0()2h x <≤，14k ≤；若01a <<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =--++I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，在1[,1)2aa --上单调递减，(1,1]a -上单调递减，在[1,1)a +上单调递增，在(1,2]a +上单调递增， ∴1(1)()max{(2),()}2ah h x h h -≤≤且()0h x ≠，而21(1)(2)()2224a a h h a ---=--(1)(7)4a a -+=>，∴()22a h x a-≤≤-且()0h x ≠，故当|22|||a a ->-⇒203a <<时， 214(1)k a ≤-；当2|22|||13a a a -≤-⇒≤<，21k a≤；综上所述，当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【考点】1.函数综合题；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】二次函数在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．。

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学模拟试题A ．()e ln xf x x =⋅C ．()e ln xf x x=+()0,πα∈A ．．．．．已知函数()e 2x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩的方程()f x a =有两解，．1ea =B ea =D ．如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱C D ''的中点，过,,A D BC '''分别交于点A ．存在点H ，使得AE ⊥B ．线段D G '的长度的最大值是C ．当点F 与点C 重合时，多面体D ．点D 到截面AEF 的距离的最大值是19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为20．已知函数()12e2x f x x x -=+-，则使得四、解答题（本大题共3小题，共21．已知函数()22cos sin 2f x x x ⎛=+ ⎝(1)求AA '的长；(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角23．已知函数()(2f x x x =+(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；16．BD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解【详解】为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，DD )()()('2,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,2E D D ()()'2,1,2,,2,2,AE D H p =-=- 点不在线段BC 上，错误；平面//ABCD 平面''''A B C D ，GE AH 、GE ，此时1m =，88,5489x DO ==-+梯形AFEG 的高()22252⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭四棱锥D AFEG -的体积D AFEG V -由②③式可知，当42255m ==⨯时，故选：BD.23．(1)单调递减区间为10,⎛ ⎝(2)(][),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；（2）不妨令12x x <，则(f。

2021年浙江省普通高中学业水平考试_数学_含答案

浙江省普通高中学业水平考试数学卷选择题部分一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。

每小题中只有一个选项是符合题意的。

不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB 的元素个数是(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2．22log 12log 3-=(A)2- (B)0 (C)12(D)2 3．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 4．函数R))(3π2sin()(∈+=x x x f 的最小正周期为 (A)2π(B) π (C) π2 (D) 4π 5．直线230x y ++=的斜率是 (A)12-(B)12(C)2- (D)2 6．若1x =满足不等式2210ax x ++<，则实数a 的取值范围是 (A)(3,)-+∞ (B)(,3)-∞- (C)(1,)+∞ (D)(,1)-∞ 7．函数3()log (2)f x x =-的定义域是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)(,2]-∞ (D)(,2)-∞ 8．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3 (C)(1,0),3- (D)(1,0),3(第3题图)9．各项均为实数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a = (A)2 (B)2- (C)2 (D)2- 10．下列函数中，图象如右图的函数可能是(A)3y x = (B)2xy = (C)y x =(D)2log y x =11．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(A) ()+∞,0 (B)()2,0 (C)()+∞,1 (D) ()1,0 13．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（A ）p ⌝：∈∃0x R,020<x （B ）p ⌝：∈∃0x R, 020≤x （C ）p ⌝：x ∀∈R,20x < （D ）p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ 14．若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则实数a 的值为(A)1 (B)0 (C)1- (D)1± 15．在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面 16．在△ABC 中，三边长分别为c b a ,,，且︒=30A ，︒=45B ，1=a ，则b 的值是(A)21(B) 22 (C) 2 (D) 2617．若平面向量,a b 的夹角为60，且|2|=|a b |，则 (A)()⊥+a b a (B)()⊥-a b a (C)()⊥+b b a (D)()⊥-b b a(第10题图)18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与面11B BCC 所成角的正切值为 (A)62 (B) 63(C)2 (D)2219．函数44sin cos y x x =-在]3π,12π[-的最小值是(A)1- (B)32- (C)12(D)1 20．函数1()2x f x x=-的零点所在的区间可能是 (A)(1,)+∞ (B)1(,1)2 (C)11(,)32 (D)11(,)4321．已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为 (A)0 (B)18 (C)96 (D)60022．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则此双曲线的离心率是(A)3 (B)22 (C)3 (D)10 23．若将一个真命题．．．中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题．．．，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是(A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④CD A 1B 1C 1E（第18题图）24．用餐时客人要求：将温度为10C 、质量为25.0 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至C C ～︒︒4030.服务员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、5.2 kg 质量为的热水中，5分钟后立即取出．设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提高的温度1t C ∆与2m kg 水降低的温度2t C ∆满足关系式11220.8m t m t ⨯∆=⨯⨯∆，则符合客人要求的x 可以是(A)4 (B)10 (C)16 (D)2225．若满足条件20,20,210x y x y kx y k -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--+≤⎩的点(,)P x y 构成三角形区域，则实数k 的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)(0,1) (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞非选择题部分二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)26．已知一个球的表面积为4πcm 3，则它的半径等于 ▲ cm ．27．已知平面向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．28．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．29．数列{}n a 满足⎩⎨⎧≤≤≤≤=--,1911,2,101,2191n n a n n n 则该数列从第5项到第15项的和为 ▲ ．30．若不存在．．．整数x 满足不等式2(4)(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是 ▲ ．三、解答题(共4小题，共30分) 31．(本题7分) 已知,54sin ),π,2π(=∈θθ求θcos 及)3πsin(+θ的值.32．（本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，）（A ）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB .（B ）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD ，32,2,3===AB AD PA ,BC =6.(1)求证:;PAC BD 平面⊥ (2)求二面角A BD P --的大小.（第33题B 图）DA B 1CBA C （第33题A 图）33．(本题8分) 如图，由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线 2(1)y a x =-（0y ≥，0a >）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点(2,3).（1）求a 的值；（2）设(1,0)A ,(1,0)B -，过A 且斜率为k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于P ,A ,Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．34．(本题8分) 已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；(2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．yxO A B PQ（第33题图）参考答案一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S ，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（）A．B．C．D ．12. 已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．3. 已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（）A．B．C．D．4.已知函数A．B．C．D．5. 2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）A ．18B ．24C ．36D ．486. 在连锁交换定律中，重组率指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，重组率通常也称作交换率，但是二者之间是有区别的.生物学家在研究基因重组率和绘制遗传图时，用函数作为重组率和交换率的校正公式（R 代表基因重组率，x 代表基因交换率），当某生物的基因重组率为时，其交换率为（）（参考数据：，）A ．1.2424B ．0.2894C ．0.0323D ．0.14387.如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（）A．B．C．D．8. 双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9. 已知直线：与圆：相切，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．10.如图，已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，，，，，且，则下列说法正确的是2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题（）．A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则二面角的余弦值为D．若，则四面体的外接球的体积为11. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（）A ．若复数z ＝3+i，则B ．复数z 满足|z ﹣2i|＝1，z 在复平面内对应的点为，则x 2+＝1C ．若复数z 1，z 2，满足，则D ．复数z ＝13i 的虚部是312. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（）A．B．若，则C．D．（）13.已知等差数列公差，其前n 项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则___________.14.在递增等比数列中，是其前项和，若，，则_________.15.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则=_________.16. 某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.17. 随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观､生活观．某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级．(1)求a的值，并估计该年级生涯规划大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数；(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在的概率．18. 某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：1234567611213466101196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次106030已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据：62.14 1.54253550.12 3.47其中.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.19. 如图1，在四边形中，.将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.(1)设平面与平面的交线为，证明：.(2)若点在线段上（点不与端点重合），平面与平面夹角的正弦值为，求的值.20. 某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有列联表：有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食不爱吃甜食总计(1)根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.附：，.0.050.010.0053.841 6.6357.87921. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，.（1）若，此三角形是否存在？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由；（2）若，点在边上，且，求长.。

2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题(解析版)

2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x R x =∈<<，则下列关系正确的是（） A ．1A ∈ B ．2A ∉ C ．3A ∈ D ．4A ∉【答案】D【解析】根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为集合{}13A x R x =∈<<，所以1A ∉，2A ∈，3A ∉，4A ∉ 故选：D 【点睛】本题考查的是元素与集合的关系，较简单. 2．函数()2xf x =的值域是（）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),-∞+∞【答案】B【解析】根据指数函数的知识可直接选出答案. 【详解】函数()2xf x =的值域是0,故选：B 【点睛】本题考查的是指数函数的值域，较简单.3．已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（） A ．7 B ．9C ．11D ．13【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式可算出答案. 【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+= 故选：C 【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.4．已知直线1l ：10x y --=与2l ：220x ay -+=平行，则实数a 的值是（） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】根据直线平行可直接构造方程求得结果. 【详解】12//l l ，()()()()()1211012210a a ⎧⨯---⨯=⎪∴⎨-⨯--⨯-≠⎪⎩，解得：12a =.故选：A . 【点睛】本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=且12210B C B C -≠.5．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（）A ．0y ±=B ．0x ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【答案】A【解析】双曲线2213y x -=的渐近线方程是2203y x -=，即可得到答案.【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程是2203y x -=0y ±=故选：A 【点睛】本题考查的是由双曲线的方程得其渐近线方程，简单题.6．已知()f x 是奇函数，其部分图象如图所示，则()f x 的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可直接选出答案. 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以()f x 的图象是故选：B 【点睛】本题考查的是奇函数的图象特点，较简单.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知6A π=，4B π=，3a =，则b =（） A ．6 B ．33C ．32D 6【答案】C【解析】利用正弦定理直接求得结果. 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得：3sinsin 421sin sin 62a Bb A ππ====故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题. 8．设a R ∈，则“1a =”是“21a =”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用定义法判断即可. 【详解】当1a =时，21a =，充分性成立；反过来，当21a =时，则1a =±，不一定有1a =，故必要性不成立，所以“1a =”是“21a =”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.9．若实数x ，y 满足不等式组40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是（）A ．0B ．4C ．8D ．12【答案】C 【解析】画出不等式组表示的平面区域，然后令2x y z +=，即122zy x =-+，然后可得答案. 【详解】不等式组4040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图，令2x y z+=，即122zy x=-+，由图可得当直线122zy x=-+过点()0,4时z最大，最大值为8故选：C【点睛】本题考查的是线性规划，准确地画出可行域是解题的关键，较简单. 10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1 B．32C．3 D．92【答案】B【解析】分析三视图可知，该几何体为三棱锥，再利用体积公式求解即可. 【详解】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为113333322V=⨯⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型. 11．已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（）A ．1B 3C ．22D ．12【答案】D【解析】根据222x y xy +≥求解即可. 【详解】解：因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查利用222x y xy +≥求最值，是基础题.12．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，1a b ⋅=，则a 与b 的夹角是（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C【解析】直接根据向量夹角公式求解. 【详解】由已知1a =，2b =，1a b ⋅=得1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,a b π≤≤，所以a 与b 的夹角为60︒，故选：C. 【点睛】本题考查求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.13．已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．10-B ．10C ．10D ．10【答案】A【解析】首先求出m ，然后由任意角的三角函数的定义得cos α和sin α，然后由正弦的两角和计算公式可得πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】因为角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以45m =- 所以由任意角的三角函数的定义得4sin 5α=-，35=cos α则πsin α4⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin cos 2αα+= 10- 故选：A 【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.14．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下面说法正确的是（） A ．若//αβ，m α⊥，βn//，则//m n B ．.若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥ C ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n D ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m n ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥，故A 错误，B 正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交或异面，故C 、D 错误；故选：B【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单. 15．设数列(){}113n n +-⋅的前n 项和为n S ，则对任意的正整数n 恒成立的是（）A ．1n n S S +>B ．1n n S S +<C ．221n n S S ->D ．221n n S S -<【答案】D【解析】由()21222211330n n n n n S S +--=-⋅=-<可得答案.【详解】因为()12113n n n n S S +++-=-⋅，确定不了符号；()21222211330n n n n n S S +--=-⋅=-<，所以221n n S S -<故选：D 【点睛】本题考查的是数列的通项与前n 项和的关系，较简单. 16．已知1a b >>，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()log log log log 0a a b b b a ⋅> B ．()()log log log log 0a a b b b a +> C ．()()log log log log 0a b b a a b ⋅> D ．()()log log log log 0a b b a a b +> 【答案】B【解析】由1a b >>可得0log 1a b <<，log 1b a >，然后利用对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为1a b >>，所以0log 1a b <<，log 1b a >，所以()()log log 0,log log 0a a b b b a <>所以()()log log log log 0a a b b b a ⋅<，故A 错误，同理可得()()log log log log 0a b b a a b ⋅<，故C 错误令()log 0,1a t b =∈，则1log b a t= 所以()()log log 111log log log log log log log log log log log log t t a a b b a b a b t t t t b a b a t t t t a b a b-+=+=-=-=⋅因为()0,1t ∈，1a b >>，所以log log t t b a >，log 0,log 0t t a b <<，所以log log 0log log t t t t b aa b->⋅，即()()log log log log 0a a b b b a +>，故B 正确同理可得()()log log log log 0a b b a a b +<，故D 错误故选：B 【点睛】本题考查了对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C上的点，PF x ⊥轴，且sin 10PAF ∠<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得，()()2,0,,0,,b F c A a P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，然后可得2sin 10b PAF ∠=<，然后结合222b a c =-和ce a=可得2230e e --<，解出即可.【详解】由题意可得，()()2,0,,0,,b F c A a P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭所以2sin 10b PAF ∠=<，所以()4422210b b a c a a<++所以()4229b a c a<+，所以()23b a a c <+，所以()2223a c a ac -<+所以22230a ac c --<，所以2230e e --<，解得23e >或1e <- 因为()0,1e ∈，所以2,13e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查的是椭圆离心率的求法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E ，F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点，满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，则点P 的轨迹的面积是（）A ．3π B ．23π C ．43π D ．83π 【答案】B【解析】根据已知条件得P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面，再根据球的面积公式求解即可. 【详解】解：∵ 二面角1A EF A --为直二面角 ∴ 平面AEF ⊥平面1EFA ，又∵ 点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，AP ⊂平面AEF ，平面AEF平面1EFA EF =∴ AP ⊥平面1EFA ，连接1A P ，∴ AP ⊥1A P ，∴ P 在以1AA 为直径的球上，且P 在三棱柱111ABC A B C -内部， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面，又∵ 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球面，占球面的16， ∴ 点P 的轨迹的面积是12463S ππ=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何面面垂直的性质定理，考查空间想象能力，是中档题.二、双空题 19．已知A 的方程为()()22221x y -+-=，则其圆心A 坐标为______；半径为______.【答案】()2,2 1【解析】根据圆的方程可直接得到答案. 【详解】因为A 的方程为()()22221x y -+-=，所以其圆心A 坐标为()2,2，半径为1 故答案为：()2,2；1 【点睛】本题考查的是由圆的标准方程得其圆心坐标和半径，较简单.三、填空题20．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()4f =______. 【答案】2【解析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得()f x 解析式，代入4x =可得结果. 【详解】()y f x =为幂函数，∴可设()f x x α=，()33f α∴=，解得：12α=，()12f x x ∴=，()42f ∴=.故答案为：2. 【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11BC BB ==，则直线1A B 与平面11A B CD 所成角的正弦值是______.【答案】1010【解析】连接1BC ，交1CB 于K ，连接1A K ，易得1BA K ∠为直线1A B 与平面11A B CD 所成的角，再由已知算出1,BK AB 的长度即可得到答案. 【详解】如图，连接1BC ，交1CB 于K ，连接1A K ，由题，11A B ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥1BC ，又四边形11BB C C 是正方形，所以1BC ⊥1CB ，11A B 11CB B =，所以1BC ⊥平面11CB A D ，即1BA K ∠为直线1A B 与平面11A B CD 所成的角，又2AB =，11BC BB ==，所以22115A B AB AA =+=1122BK BC ==，故112102sin 105BK BA K A B ∠===. 10【点睛】本题主要考查利用定义法求线面角，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.22．若数列{}n a 满足12a =，1441n n n a a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______. 【答案】11【解析】根据递推关系式可证得数列{}1n a 为等比数列，根据等比数列通项公式求n a n *∈N 可求得结果. 【详解】()2144121n n n n a a a a +=+=，121n n a a +=，)1121n na a +=，∴数列{}1na +1121a =为首项，2为公比的等比数列， ()11212n na -=⨯，)12121n n a -=⨯-，由22020n a ≥2020n a ≥，即)1220212183721n -≥=⨯≈+，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.四、解答题23．已知函数()22cos sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .（Ⅰ）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合. 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）1，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）直接代入计算即可；（2）先根据二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】解：（Ⅰ）22cos sin 1322f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）由二倍角公式得： ()cos 2cos 263f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，()f x 的最大值为1. 当且仅当223x k ππ+=时，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 取得最大值，所以，取得最大值时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，三角函数的最大值问题，是基础题.24．在平面直角坐标系中，点()1,0M -，()1,0N ，直线PM ，PN 相交于点(),P x y ，且直线PM 的斜率与直线PN 的斜率的差的绝对值是2. （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：()0y kx k =>交轨迹E 于不同的四点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .问：是否存在满足AB BC CD ==的直线l ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）()()211y x x =±-≠±；. 【解析】（Ⅰ）根据条件直接建立方程即可；（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立直线的方程与21y x =-消元，然后韦达定理再结合点B 是AC 的中点可得2,22k k B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后代入21y x =-可解出k ，同理，由BC CD =可解出k .【详解】（Ⅰ）由已知得，2PM PN k k -=，即211y yx x -=+-，化简得到点P 的轨迹E 的方程为()()211y x x =±-≠±.（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y .由方程组21y kx y x=⎧⎨=-⎩消去y ，整理得210x kx +-=，所以13x x k +=-. 因为AB BC =，所以点B 是AC 的中点，故2,22k k B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点B 在21y x =-上，故22122k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由0k >，得233k =. 同理，由BC CD =得到233k =. 综上可知存在233k =的直线l 满足题意.【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.25．设a R ∈，已知函数()22f x x a a x =-+-，[]1,1x ∈-.（Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当0a ≤时，证明：()22f x a a ≤-+；（Ⅲ）若()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 为偶函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）利用偶函数的定义可判断()f x 为偶函数. （Ⅱ）利用绝对值不等式可证()22f x a a ≤-+.（Ⅲ）就0a ≤、01a <≤、1a >分类讨论，注意利用（Ⅱ）的结论和绝对值不等式放缩后可求函数的最大值，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0a =时，()2f x x x =+，定义域为[]1,1-，且对于任意的[]1,1x ∈-，有()()2f x x x f x -=+=恒成立，所以函数()f x 为偶函数.（Ⅱ）当0a ≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222f x x a a x x a a x =-+-=-+-222222x a a x a a x x a a ≤-++=-++≤-+.即对于任意的[]1,1x ∈-，()22f x a a ≤-+恒成立.（Ⅲ）记()()2211f x x a a x x =-+--≤≤的最大值为M ，则()4f x ≤恒成立4M ⇔≤. （ⅰ）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知，对于任意的[]1,1x ∈-，()()221f x a a f ≤-+=-恒成立，所以，22M a a =-+.由2240a a a ⎧-+≤⎨≤⎩解得10a -≤≤. （ⅱ）当01a <≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()22224f x x a a x x a a x =-+-≤+++≤恒成立.（ⅲ）当1a >时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222221124f x x a a x a x a x x a a ⎛⎫=-+-=-+-=-++++ ⎪⎝⎭，此时21124M f a a ⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭，由21441a a a ⎧++≤⎪⎨⎪>⎩，得312a <≤. 综上所述，a 的取值范围为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题含绝对值函数的奇偶性以及与绝对值函数相关的不等式的恒成立，还考查了放缩法，对于不等式的恒成立问题，注意利用绝对值不等式合理放缩，本题属于较难题.。