鲁棒控制理论第四章

4.1 对象的不确定性模型


建模基本方法：集合模型（模型族） 用一个集合P来代表对象的模型。这个集合可以是结构 化的或者是非结构化的。 结构化不确定性模型(Structured Uncertainty)

描述不确定性的来源和位置明确的情况。 参数化不确定性：以有限个参数的不确定性来表示集 合模型。 1 a ∈ [ amin , amax ] P = 2
∆
则称 β sup 为乘积摄动模型下的稳定裕度。

定理1可用于寻找乘积摄动模型下的稳定裕度
ˆ )P ˆ ∆ ≤ β = P = (1 + ∆ 'W ˆ ')P ˆ ∆' ≤ β 由 P = (1 + ∆W 2 2 ∞ ∞
' ∆ 其中 =
{
} {
}
∞
1
β ˆ 'T ˆ 则由定理1， 摄动系统℘( β )的内稳定 ⇔ W 2 1 ˆ ˆ < W T 即 2 ∞ β

定义：鲁棒跟踪性

设对象不确定性满足乘积摄动模型，即 ˆ ∆ ≤1 ℘ = P = (1 + ∆W2 ) P ∞
{
}

ˆ 对于给定的参考输入信号，当鲁棒稳定的控制器C ˆ S < 1 ，称系统是鲁棒跟踪 对于∀P ∈℘ ，有 W 1 ∞ 1 的，其中S = ˆ 为摄动系统的敏感函数。
1 + PC
极点
[s]
×
ˆ ( s )的零点 F
(-1,j0)
0
Re 零点
σ
鲁棒稳定性判据
r

考察如图的不确定性系统
−
ˆ C
P
y

定理1：设对象不确定性满足乘积摄动模型，即
ˆ ∆ ℘ = P = (1 + ∆W2 ) P
{
∞
≤1
}
ˆ 使标称对象 P ˆ 内稳定 设控制器 C ˆ ˆ <1 内稳定 ⇔ W T 则控制器 C 使 P
选择
0.21s ˆ W2 ( s ) = 0.1s + 1
ω
例3：模型嵌入方法

(s) = 设实际对象传递函数 P k0 ˆ 令标称对象 P ( s ) = s−2
k ，其中 k ∈ [0.1,10] s−2
现将它嵌入乘积摄动模型。

选择
ˆ ( jω ) W 2
，满足
( jω ) − P ˆ ( jω ) P ˆ ( jω ) ≤W 2 ˆ ( jω ) P
描述“未建模动态”造成的不确定性 乘积摄动模型 ˆ (s) (s) 设标称对象的传递函数为P ，实际对象的传递函数为 P

∆ P ˆ (s) = 1 + ε ( s )=1 + ∆ ( s )W 当 P 2 ，或 ˆ
P ˆ (s) −1 = ∆ ( s )W 2 ˆ P
ˆ ( s ) 是稳 通常假定 ∆ ( s ) 和 W 2 定的传递函数，而且∆ ( s ) ˆ ( s ) 中不 的摄动不构成 P ˆ (s) 和 稳定极点的消除（P ( s ) 具有相同的不稳定极 P

s

现将上述不确定性模型嵌入乘积摄动模型。 ( jω ) 由 P ˆ ( jω ) , ∀ω , ∀τ ∈ [0,1] −1 = e−τ s −1 ≤ W 2 ˆ ( jω ) P
ˆ ( jω ) W 2
τ =1
− jωτ ˆ ( jω ) 画出 e −1 和 W 2
e
− jωτ
τω = 2k π 0, −1 = 2 (1− cos τω ) = 2, τω = (2k + 1) π
P k −1 = −1 ˆ k0 P
为取得最小上界，取 则
ˆ ( s ) = 4.95 W 2 5.05
min max
k0
0.1≤k ≤10
k 10 − 5.05 0.1− 5.05 4.95 −1 = = = k0 5.05 5.05 5.05
ˆ ( s ) = 5.05 P s−2
ˆ (s) P ( s ) = 1 + ∆ ( s )W2 ( s ) P
(
)
(
)(
)

则鲁棒跟踪性的条件归结为

ˆT ˆ W 2
鲁棒控制理论
第四章 不确定性和鲁棒性
前言

没有任何一个物理系统是可以用准确的数学模型来代表 的。由于这一原因，我们必须知道建模误差对控制系统 的性能可能会产生怎样的不利影响。

本章开始论述各种不确定对象的模型，进而用小增益定 理研究鲁棒稳定性，即在对象存在不确定性的情况下的 稳定性问题。最后一个专题是鲁棒性能问题，在对象不 确定的情形下确保跟踪目标的实现。
ω
∞
<1
~ ~ 令 F = 1+ L
(摄动系统的闭环特征多项式) ˆ L ˆ = 1+ L ˆ + ∆W ˆ L ˆ = 1 + 1 + ∆W 2 2 ˆ 1 + L ˆ + ∆W ˆ L ˆ ˆ + ∆W ˆT ˆ ˆ = 1+ L = 1+ L 2 2 1+ L ˆ 1+ L ˆT ˆF ˆ Im = 1 + ∆W
其他不确定性模型

一些常用的不确定性模型
ˆ (1 + ∆W2 ) P ˆ + ∆W P 2 ˆ) P (1 + ∆W2 P ˆ (1 + ∆W ) P 2

ˆ 作适当 在用每一种模型时都要对 ∆ 和 W 2 的假设。
4.2 鲁棒稳定性(Robust Stability)

定义：鲁棒性
分析

ˆ= 其中 T
ˆT ˆ <1 ˆ 为鲁棒稳定控制器的条件为 W C 2 ∞
ˆˆ PC 为标称系统的补敏感函数 ˆ ˆ 1 + PC

ˆ 为鲁棒跟踪控制器的条件为 对于摄动系统， C
其中
ˆS W 1
∞
<1
ˆ S 1 1 1 1 S= = = = = ˆ ˆT ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 + L 1 + ∆W 1 + PC 1 + 1 + ∆W2 L 1 + L 1 + ∆W2T 2
(
ˆ P ˆ 1 + ∆W 2
)
ˆT ˆ W 2
ˆˆ ˆ CS W 2
∞
<1
<1
ˆ + ∆W ˆ P 2
ˆ 1 + ∆W ˆP ˆ P 2
∞
(
)
ˆ PS ˆˆ W 2
∞
<1
ˆ 1 + ∆W ˆ P 2
(
)
ˆ ˆS W 2
∞
<1
4.3 鲁棒性能（鲁棒跟踪性）

假定对象传递函数属于集合 ℘ 。鲁棒性能的一般含义 是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性 能。
2 ∞
其中
Tˆ
为标称系统的补敏感函数
Tˆ =
ˆ ˆC P ˆ ˆC 1+ P
定理1的证明
充分性 ˆT ˆ <1 已知 W 2

∞
，摄动系统的开环传递函数
∆ ˆ L = PC = (1 + ∆W2 ) PC = (1 + ∆W2 ) L
根据Nyquist稳定性判据，由于标称系统内稳定

( jω ) P ˆ P = (1 + ∆W2 ) P ⇒ −1 ≤ W2 ( jω ) ˆ P ( jω ) ˆ ( jω ) 为半径 W 对每个 ω ,上式表示一个以（1，j0)为圆心， 2
的圆。 简单，规范，但较保守。
1
例2：模型嵌入方法
结构化不确定性模型与非结构化不确定性模型之间的转换（结构化 不确定性模型嵌入非结构化不确定性模型） ˆ ( s ) = 1 （如理想的直流电机，无阻尼） 设标称模型为P −τ s s2 e (s) = , 其中τ ∈ [0,1] 设实际对象含有时间滞后，即 P 2

给定不确定性系统的模型（模型族） P 给定控制器C 给定系统的性能指标J
三 大 要 素
若 ∀P ∈ P ,闭环系统性能满足J，则称C对于P在J的意义下是鲁棒控制 器，或闭环系统在J的意义下具有鲁棒性

定义：鲁棒稳定性（乘积摄动）

ˆ 设P = P = (1 + ∆W2 ) P ∆ ∞ ≤ 1 为系统的不确定性模型，则当控制
ˆ ' = βW ˆ ∆, W 2 2
∞
β sup
ˆT ˆ = βW 2
<1
ˆT ˆ 则可取 β sup = sup β β W 2
β
{
∞
ˆT ˆ < 1 = sup β β i W 2
β
}
{
∞
<1
}
1 = ˆT ˆ W
2
∞
图示鲁棒稳定性
ˆT ˆ < 1 也可以用图形来解释。注意到 条件 W 2 ∞
s + as + 1

离散化不确定性：以离散的对象模型的集合来表示集 合模型。 1 e−τ s bs + 1
P =
2 3 2 s as 1 Ts 1 s a s a s 1 + + + + + + 2 1 , ,
非结构化不确定性模型 Unstructured Uncertainty
{
器C对于P中的每一个对象 稳定的。
保持闭环系统内稳定时，则称系统是鲁棒 P
}
Nyquist图
r
−
ˆ C
ˆ P
y
ˆˆ 开环传递函数 L = PC
闭环传递函数
ˆ=0 闭环特征方程 F = 1 + L
r→ y
ˆ L ˆ T= ˆ 1+ L
Im
s = σ + jω
jω
F ˆ ( s )
∞
ˆ 设 W2T
= k ≥1
假定 ω
*
* * W j ω T j ω ( ) ( ) =k = 0 处，有 2
1 则若取 ∆ = − k
（满足 ∆
∞
* ），则在 处，有 ω ≤1
* F ( jω * ) = 0 由于 F = 1 + ∆W2T F ，则在 ω 处，
1 1 + ∆W2 ( jω ) T ( jω ) = 1 − ik = 0 k
例1：乘积摄动模型建模实例

根据试验，获得稳定对象的频率响应特性
{ω ,(M
i
ik
, φik )
n
其中i为频率点的编号，k为试验次数的编号
k =1 i =1
}
n
m
ˆ (s) 选取标称对象传递函数 P ，获得频率响应特性 ωi , ( M i , φi
k
{
k
)
k =1 i =1
}
m
u
ωi
P
y
MBiblioteka Baidu
( jω ) P
(
)
ˆ ( jω ) 通过(-1,j0)点 即L
则摄动系统不稳定。证毕。
说明

设系统不确定性满足以下模型
ˆ ∆ ℘ (β ) = P = (1 + ∆W2 ) P
{
∞
≤β
}
ˆ 使标称对象 P ˆ 内稳定，则 ˆ ，设 C 给定控制器 C
若
β sup = sup β
ˆ 使得P ˆ内稳定 ∀P ∈℘( β sup ) , C
L
ˆL ˆ W 2
如图
小增益定理
∆
M
设M ∈ RH ∞，且令γ > 0，则对所有的∆ ( s ) ∈ RH ∞ , 如图所示的互连系统是适定而且是内稳定的，且
(1) ( 2)
∆ ∆
∞ ∞
≤ 1 γ 当且仅当 M ( s ) < 1 γ 当且仅当 M ( s )
∞ ∞
<γ ≤γ
鲁棒稳定性检验小结
摄动 条件
ˆ ( jω ) P
M ik , φik

ˆ ( s ) ，满足 选取 W 2
W2 ( jωi ) ≥ M ik e
φik
M i eφi
−1 ,
i = 1, " m,
k = 1, " n
M
ωi
ω
ˆ ( jω ) W 2
ˆ ⇒ P = (1 + ∆W2 ) P
0
ω
乘积摄动不确定性模型又称圆状不确定性模型（Disk-like Uncertainty）
ˆT ˆ W 2
∞
ˆ ( jω ) L ˆ ( jω ) W 2 <1⇔ < 1, ∀ω ˆ 1 + L ( jω ) ˆ ( jω ) L ˆ ( jω ) , ∀ω ˆ ( jω ) < 1 + L ⇔W 2
-1
最后一个不等式表明，在每一个频率
ˆ ( jω ) 下，临界点-1都位于以 L 为圆
ˆ ( jω ) L ˆ ( jω ) 为半径的圆外， 心，以 W 2
ˆ ( jω ) 不通过 (− 1, j 0) 点，而 ∆ 可容许的 (1) L ~ ⇒ L ( jω )也不通过(− 1, j 0 )点
(2)
ˆT ˆ ∆W 2
∞
ˆ ( jω )T ˆ ( jω ) = sup ∆( jω )W 2
ω
ˆ ( jω )T ˆ ( jω ) = W ˆT ˆ ≤ sup ( jω )W 2 2
(
( ) ( )
2
) ( ) ( )
∞
( )
∆W2T
∞
≤ W2T
<1
ˆ ( jω ) 位于以1为圆心，半径小于1 1 + ∆W2T
的闭圆内，相位角变化 <360° 0
L ( jω ) 围绕(-1,j0)的圈数 ˆ ( jω ) 围绕(-1,j0)的圈数 = L
1
R
则摄动系统内稳定

必要性：用反证法
ˆ 变形为 P = 1 + ∆ ( s )W2 ( s ) P
构造乘积摄动模型
ˆ (s) ∆ P = P ( s ) = 1 + ∆ ( s )W2 ( s ) P
{
∞
≤1
}
点），此时称 ∆ ( s ) 是可容 许的（allowable)。
∆ ( s ) 为尺度因子。