第7章 特殊关系

A A1
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A A2 (b)
A1
(a)
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例7.2.5
设A={0,1,2,4,5,8,9}， 1、写出R是A上的以4为模的同余关系R的所有元素； 2、求分别与元素1,2,4有关系R的所有元素所作成的 集合。
解：1、R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<4,4>,<5,5>,
{11,23},
这12个A的子集具有如下特点： 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R； 2、不同子集的元素之间无关系R。
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例7.2.3设n为正整数，考虑集合Z上的整除关系R如 下R={<x,y>|x,yZ∧(n|(x-y))},证明R是一个等价 关系。 设n为正整数，考虑整数集合Z上的整除关系如下： 证明 (1) 对xZ，有n|(x-x)，所以<x,x>R， R={<x,y>|{x,y∈Z}∧(n|(x-y))} 即R是自反的。 证明R是一个等价关系。 (2) 对x,yZ，若<x,y>R，即n|(x-y)，所以 n|(y-x)，所以，<y,x>R，即R是对称的。 (3) 对x,y,zZ，若<x,y>R且<y,z>R，有 n|(x-y)且n|(y-z)，所以由(x-z)=(x-y)+(y-z) 得n|(x-z)， 所以，<x,z>R，即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知，R是Z上的等价关系。 ■
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计算商集A/R的通用过程：
（1）任选A中一个元素a，计算[a]R；
（2）如果[a]R≠A，任选一个元素b∈A-[a]R，计 算[b]R；
由1,2,3知R是等价关系。■
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从例7.2.2可以看出
关系R将集合A分成了如下的12个子集：
{1, 13},
{6, 18},
{2,14}, {3,15}, {4,16}, {5,17}, {12,24}。
{7,19}, {8,20}, {9,21}, {10,22},
和良序关系的
相关性质。
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判定下列关系具有哪些性质
1、在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”关系； 2、对任何非空集合A，A上的全关系； 3、三角形的“相似关系”、“全等关系”； 4、直线的“平行关系”； 5、“朋友”关系； 等价 关系
解：1，2，3都具有自反性，对称性和传递性； 4 具有反自反，对称和传递性，不具有自反性； 5 具有自反和对称性，不具有传递性。
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7.2 等价关系
定义7.2.1 设R是定义在非空集合A上的关系，如 果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等 价关系。
由定义7.2.1知： （1）关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反 性、对称性和传递性； （2）关系R不是等价关系当且仅当R不具备自反 性或对称性或传递性。
<8,8>,<9,9>,<0,4>,<4,0>,<4,8>,<8,4>,<0,8>,
<8,0>,<1,5>,<5,1>,<1,9>,<9,1>,<5,9>,<9,5>}. 显然，R是A的一个等价关系。
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例7.2.5 解
2、与元素1有关系R的所有元素所作成的集合{1,5,9}; 与元素2有关系R的所有元素所作成的集合{2};
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例7.2.5(续)
设A={0,1,2,4,5,8,9}，R是A上的以4为模的同余关 系。求 （1）R的所有等价类；（2）画出R的关系图。 解: (1)[1]R＝{1,5,9}＝[5]R＝[9]R；[2]R={2}； [4]R＝{0,4,8}=[0]R＝[8]R。
x R 3）因为对任意x∈A，[x]R A，所以 xA A。
对任意x∈A，因R是自反的，所以<x,x>∈R，即x∈[x]R。 xR ，即A xR 。故 xR =A。 所以x∈
xA xA xA
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商
集
定义7.2.4 设R是非空集合A上的等价关系，由R 确定的一切等价类的集合，称为集合A上关于R的 商集(QuotientSet)，记为A/R，即 A/R＝{[x]R|(x∈A)} 例7.2.6 设集合A={0,1,2,4,5,8,9}，R为A上以4为模 的同余关系。求A/R。 解 根据例7.2.5，商集 A/R={[0]R,[1]R,[2]R}={{0,4,8},{1,5，9},{2}}。
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例7.2.1
判定下列关系是否是等价关系? 不具有对称性 1. 幂集上定义的“”关系； 2. 整数集上定义的“<”关系； 不具有对称性，自反性
3. 全体中国人所组成的集合上定义的“同性别”
关系。 是等价关系
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例7.2.7
设集合A={1,2,3,4,5,8}，R为A上以3为模的同余关 系。求A/R。 解 根据例7.2.3知，A上以3为模的同余关系R是等 价关系。 因为[1]R={1,4}=[4]R,[2]R=[5]R=[8]R={2,5,8}, [3]R={3}， 所以根据商集的定义， A/R={[1]R,[2]R,[3]R}={{1,4},{2,5,8},{3}}。
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说明
同样地，这n个Z的子集具有如下特点： 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R； 2、不同子集的元素之间没有关系R； 3、不同子集的交集是空集； 4、所有这些子集的并集就构成集合Z。
称为集合 Z的一个 划分
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所以，由a)和b)知：[x]R＝[y]R。
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定理7.2.1的证明（续）
(2) 若y[x]R，（反证）：设[x]R∩[y]R≠Φ,则存在 z∈[x]R∩[y}R。 z∈[x]R，z∈[y]R，则有：<x,z>∈R，<y,z>∈R，由R 的对称性，<z,y>∈R。 由R的传递性有：<x,y>∈R，即y∈[x]R，矛盾。所以 [x]R∩[y]R＝Φ。■
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以n为模的同余关系(CongruenceRelation)
上述R称为Z上以n为模的同余关系，记xRy为 x＝y(mod n) 称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数，则 x＝y(mod n) resn(x)＝resn(y)。 此时，R将Z分成了如下n个子集： {…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…} {…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…} {…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…} … {…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
xA
x R＝A；
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定理7.2.1的证明
证明：1）对任意x∈A，因为R是等价关系，所以R是 自反的，因此<x,x>∈R，即x∈[x]R，故[x]R≠Φ 。 2) 对任意x,y∈A，若y∈[x]R，则<x,y>∈R。 a) 对 z∈[x] b) 对 z∈[y] R，则有：<x,z>∈R，又<x,y>∈R， R，则有：<y,z>∈R，又<x,y>∈R， 由 R的传递性有： 由R R的对称性有：<y,x>∈R，由 的传递性有：<x,z>∈R。所以，z∈[x] R，即： <y,z>∈R。所以z∈[y] [y]R [x]R。 R，即：[x]R[y]R。
（2）此等价关系的关系图：
1 2
3
……
12
13
14
15 图7.2.1
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例7.2.2 解 (续)
1、对x∈A，有(x-x)被12所整除，所以<x,x>∈R，即 R是自反的。
2、对x,y∈A,若<x,y>∈R,有(x-y)被12整除，则(y-x)
＝-(x-y)被12整除,所以,<y,x>∈R,即R是对称的。 3、对x,y,z∈A,若<x,y>∈R且<y,z>∈R,有(x-y)被12 所整除且(y-z)被12所整除,所以(x-z)＝(x-y)＋(yz)被12所整除,所以,<x,z>∈R,即R是传递的.
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数学系
2015年1月20日星期二
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第三篇 二元关系
第7章 特殊关系
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7.0 内容提要
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集合的概念 等价关系
集合的表示方法 拟序关系 偏序关系 全序关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例7.2.2
在时钟集合A＝{1,„,24}上定义整除关系：R＝ {<x,y>|{x,yA)∧((x-y)被12所整除)｝。 （1）写出R中的所有元素； （2）画出R的关系图； （3）证明R是一个等价关系。
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例7.2.2 解
（1）R={<1,1>, …, <24,24>, <1,13>, <13,1>, <2,14>, <14,2>, …,<11,23>, <23,11>, <12,24>, <24,12>}}
良序关系
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7.1本章学习要求
重点掌握 1
1 几个特殊关 系的概念 2 等价和偏序 关系的证明 3 等价类和商 集的计算 4 8个特殊元
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一般掌握
了解 3 1 拟序、全序
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1 拟序、全序 和良序关系的 定义； 2拟序与偏序关 的联系 3 拟序、全序、 良序的联系。
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图7.2.3
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定理7.2.1
设R是非空集合A上的等价关系，则有下面的结论成立： 1)对xA，[x]R≠Φ； 2)对x,y∈A， a)如果y∈[x]R，则有[x]R=[y]R， b)如果y [x]R，则有[x]R∩[y]R＝Φ。 3)
7.2.2 集合的划分
定义7.2.2 给定非空集合A，设有集合 S={S1,S2,S3...Sm}.如果满足 SiA且Si≠Φ，i＝1,2,...,m； Si∩Sj＝Φ，i≠j，i,j＝1,2,...,m；
。 S A i 1 i
m
则集合S称作集合A的一个划分(Partition)，而 S1,S2,...Sm叫做这个划分的块(Block)或类 (Class)。
[x]R＝{y|y∈A∧<x,y>∈R}
为x关于R的等价类(equivalence class)，或叫作 由x生成的一个R等价类，其中x称为[x]R的生成元 (或叫代表元，或典型元)(generator) 。
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由定义7.2.3可以看出：
（1）等价类产生的前提是A上的关系R必须是等价 关系； （2）A中所有与x有关系R的元素y构成了[x]R； （3）A中任意一个元素一定对应一个由它生成的等 价类； （4）R具有自反性意味着对x∈A，[x]R≠Φ； （5）R具有对称性意味着对任意x，y∈A，若有 y∈[x]R，则一定有x∈[y]R。
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例7.2.4
试给出非空集合A上2个不同的划分 解（1）在A中设定一个非空子集A1，令A2=A-A1，则根 据集合划分的定义，{A1,A2}就构成了集合A的一个 划分，见图 (a)； （2）在A中设定两个不相交非空子集A1和A2，令A3=A(A1∪A2)，则根据集合划分的定义，{A1,A2,A3}就 构成了集合A的一个划分，见图 (b)。
与元素4有关系R的所有元素所作成的集合{0,4,8}.
集合{1,5,9}称为元素1关于等价关系R的等价类， 记为[1]R，即[1]R ={1,5,9};
[2]R= {2}, [4]R = {0,4,8}.
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7.2.3 等价类与商集
定义7.2.3 设R是非空集合A上的等价关系，对任意 x∈A，称集合