用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。

一、极坐标与直角坐标的互化

1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等.

2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤：

(1)运用ρ＝x 2

＋y 2

，tan θ＝y

x

(x ≠0)；

(2)在[0，2π)内由tan θ＝y

x

(x ≠0)求θ时，由直角坐标的符

号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).

解题时必须注意：

① 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.

② 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.

③ 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： Ⅰ.注意ρ，θ的取值范围及其影响.

Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用. 例如、（2015年全国卷）在直角坐标系xOy 中。直线

1C :

2x =-，圆2C ：()()22

121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；

（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点

为M ,N ,求2C MN V 的面积

解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为

cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=

（Ⅱ）将4

π

θ=

代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得

240ρ-+=，解得12ρρ==

12ρρ-=||MN =

由于2C 的半径为1，所以2C MN V 的面积为12

二、简单曲线的极坐标方程及应用

1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点M 的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.

2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.

3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性.

例如、（2015全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：

cos sin x t y t α

α=⎧⎨

=⎩

（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极

点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3

：

ρθ

=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；

（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

解：

（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角

坐标方程为220x y +-=.

联立2

2

2220,0

x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩

或3.2

x y ⎧

=⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和3)22

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<

因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα

所以|||2sin |4|sin()|3

AB π

ααα=-=-

当56

π

α=

时，||AB 取得最大值，最大值为4 三、简单参数方程及应用

1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:

① 准确把握参数形式之间的关系; ② 注意参数取值范围对曲线形状的影响.

2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.

3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.

例如、（2014年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线C ：

22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos ,

3sin ,

x y θθ=⎧⎨

=⎩（θ为参数）

直线l 的普通方程为260x y +-=

（Ⅱ）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离

为

|4cos 3sin 6|d θθ=

+-

则|||5sin()6|sin 305

d PA θα=

=+-o ，其中α为锐角，且4

tan 3

α=

当sin()1θα+=时，||PA

取得最小值，最小值为

5

四、参数方程与极坐标方程的综合应用

第一步:消去参数,将曲线C1的参数方程化为普通方程; 第二步:将曲线C1的普通方程化为极坐标方程; 第三步:将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;

第四步:将曲线C1与曲线C2的直角坐标方程联立,求得交点的直角坐标;

第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.

例如、（2017年全国卷）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数

方程为2+,

,x t y kt =⎧⎨

=⎩

（t 为参数），直线

l 2的参数方程为2,

,x m m m y k =-+⎧⎪⎨

=⎪⎩

（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .

（1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设