用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结
1.弦长问题模型11.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()25622=++y x（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ⎩⎨⎧==αα为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若43πα=，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。
2.已知直线t ty tx (32⎩⎨⎧=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB2.弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y=，其参数方程为⎧==ααsin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈=ραθ3.在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .3.参数方程最值问题模型4.已知曲线θθθ(sin 2cos 1:1⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C4πθ=()R ∈ρ（1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ∆面积的最大值。
4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程; (2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.5.综合问题例题1在平面直角坐标系xoy 中，曲线13:221=+y x C ，以坐标原点为极轴，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线a C 222)4sin(:2+=+πθρ（1）写出1C 的参数方程，2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C ，求PQ 的最小值以及此时P 点坐标。
高考极坐标与参数方程题型及解题方法
高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。
掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。
本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。
2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。
要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。
•根据这个周期，可以得到对应的关系式。
•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。
•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。
2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。
公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。
•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。
•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。
2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。
对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。
•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。
斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。
3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。
【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳
参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１ 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析 （１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解 （１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２ ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２ ＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４ ２ ＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４ ２ ＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２ （２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５ ＋槡３２ｔｙ ＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解 （Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２． 将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２ ＋槡５ ３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３ 已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解 （１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３ ＋槡２２ｔｙ ＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２ ６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２ ６５．评注 对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４ 已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析 （１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解 （１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２ ２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７ ２ －槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７ ２ －槡３４２．例５ （２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析 （Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解 （Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２ ５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２ ５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２ ５５．例６ （２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ ＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析 （Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解 （Ⅰ）由ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ，得ρ２ ＝槡２ ３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ ＝槡２ ３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ －槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２ ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析 （Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２ ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解 （Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ ＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６ ２ ｍ＝０，故ＡＭ ＝槡１２ ２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ ｃｏｓ２α．由２ ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注 本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８ （２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２ 槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析 （Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解 （Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ －槡２ ３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２ ３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２ ３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注 如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解 （Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４ ＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０ （２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析 （Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解 （Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２ －槡３ ２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２ ２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注 过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳在高考数学试题中，关于极坐标与参数方程的题型占据着重要的位置。
理解和掌握这部分知识点，不仅有助于应对考试，也对于深入理解数学的概念和应用有着重要意义。
下面我们来归纳总结一些常见的高考数学极坐标与参数方程题型。
极坐标题型1.求一点在极坐标系中的坐标给定一点在极坐标系中的表示形式，要求将其转换为直角坐标系中的坐标表示。
2.求极坐标下的函数表达式已知一函数在直角坐标系中的表达式，要求将其转换为极坐标下的函数表达式。
3.求曲线在极坐标系中的方程已知函数在极坐标系中的表达式，要求确定其对应的曲线在极坐标系下的方程式。
4.求曲线与极轴、极径的交点给定曲线在极坐标系下的方程，要求求解其与极轴或者极径的交点。
参数方程题型1.极坐标与参数方程的互相转化给定一个曲线的参数方程，要求将其转换为极坐标系的方程表示，或者反之。
2.参数方程求切线斜率已知曲线的参数方程，要求求解某点处的切线的斜率。
3.参数方程求曲线间的距离给定两条曲线的参数方程，要求确定其之间的距离。
4.参数方程求曲线的长度已知曲线的参数方程，要求确定其在一定区间内的弧长。
解题技巧1.理解极坐标与参数方程的基本概念在解题时，首先要对极坐标、参数方程的定义及基本性质有清晰的理解。
2.熟练运用坐标转换公式对于极坐标与直角坐标系之间的转换，可以根据公式进行相应的转化，这是解题的基本技巧。
3.掌握参数方程的运算方法参数方程的运算方法在解题时非常重要，要善于利用参数方程的特点进行计算。
4.多练习，熟悉题型通过多练习不同类型的题目，熟悉题型变形和解题技巧，提高解题效率。
高考数学中的极坐标与参数方程题型涵盖了数学的多个重要概念，需要认真理解和掌握。
通过不断的练习和积累，相信在高考数学中能够取得优异的成绩。
高考试题中极坐标和参数方程问题解题思路
｛ ， 得 ｛ ， 所 以 Ｉ Ａ 曰 Ｉ ＝ １ ８ － （ － ８ ） Ｉ ＝ － ６ 。
Ｄ ｆ 一 ４ ， 孚 ） ， 由 于Ａ ， Ｃ 为同 一 点， Ｂ ， Ｄ 为同 一 点， 所以， Ｃ ，
点， 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标 系，则线段 Ｙ ＝１ 一 （ ０≤
≤１ ）的极坐标方程 为 （
（ Ａ ）ｐ＝
） 。
解 得 ＝ 孚 ， 或 ＝ 手 ， 或 ＝ 孚， 或 ＝ 孚。 从 而 ， 得 ｃ
一
极 坐 标 方 程 写 成 Ｐ＝ ＿ 厂（ ０ ） 的 形 式 ，则 ｆ（ Ｏ ） ＝
解 ：设 Ｐ （ Ｐ ， ） 为直线 １ 上 的任一 点 ，在 ＡＯ Ｐ Ｍ 中 ，由正 弦
解 ： 圆 Ｐ ：４ ｓ ｉ ｎ ０的 圆 心 为 Ｃ
ｆ ２ ， ， ｆ １ ， 记直线０ ： 为ｆ ， 设Ｃ Ａ 上 ｚ
出 一个 来 。例 如 ３ ２ Ｘ ２ ５ ，想 办 法 将 ３ ２看 成 ８ Ｘ ４ ，也 是 后 面 要 不会改变原算式 的意义和大小 ，还会 帮助我们快速解决 问题 。
讲 的用算式 ８ Ｘ ４代 替数 ３ ２ ，这样很 快可 以 口算 出答案 来 ，简
便 、快捷 。
ｆ ＝ ｔ ３＋ ａ
｛ ） ， ： 孚 ＋ ． １ ， 消 去 参 数 ｔ ， 得 ｙ 争 一 手＋ １ ， 所 以 ，
一
由 ０≤ ≤１ ，Ｙ：１ 一 ，得 ０≤Ｙ≤ １ ，从而 点（ ， ） 在第 象限或两轴的非负半轴上 ，结合选项 ，有 ０≤ ０≤ ，或 由 ｅ［ ０ ， １ ］ ，ｙ ＝
专题28 极坐标与参数方程的解题策略(解析版)
专题28极坐标与参数方程的解题策略[高考定位] 高考对本讲内容主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识考点一 极坐标方程及其应用 [核心提炼]1．直角坐标与极坐标的互化设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r 时：ρ＝r . (2)当圆心为M (a ，0)，半径为a 时：ρ＝2a cos θ. (3)当圆心为M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a 时：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a . (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [规律方法](1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键． (2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解． 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注3点(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【题型规律】一．利用椭圆的参数方程求最值 在平面直角坐标系中，曲线12cos ,:sin x C y αα=⎧⎨=⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程； （2）若P ，Q 分别为曲线，上的动点，求的最大值.【答案】（1），22(1)1x y ++=；（2）【解析】（1）的普通方程为. ∵曲线的极坐标方程为2sin ρθ=-， ∴曲线的普通方程为，即()2211x y ++=. （2）设为曲线上一点， 则点到曲线的圆心的距离d ==∵[]sin 1,1α∈-，∴当时，d 有最大值. 又∵P ，Q 分别为曲线，曲线上动点，∴的最大值为.练习1. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为，(为参数，且)． （1）求与的普通方程，（2）若分别为与上的动点，求的最小值．【答案】（1）的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为，；（2） 【解析】（1）消参可得的普通方程为250x y --=； 又因为的参数方程为，可得， 又，所以， 所以的普通方程为，（2）由题意，设的平行直线为20x y c -+=， 联立消元可得：， 令，解得，又因为，经检验可知时直线与相切， 所以5min AB ==.二．直角坐标与极坐标的互化例2.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.【答案】(1) 直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x －)2＋(y－1)2＝4. (2)4 【解析】(1)由题意有，()()12⨯+得，x ＋y ＝4，直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.因为ρ＝4sin 所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，两边同时乘以得，ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，因为，所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即(x －)2＋(y －1)2＝4， ∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x －)2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离直线l 过圆C 的圆心(，1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝ |MN |×d ＝4. 练习1. 在极坐标系下，已知圆：cos sin ρθθ=+和直线：20x y -+=. （1）求圆的直角坐标方程（2）求圆上的点到直线的最短距离．【答案】（1）:220x y x y +--=；（2）【解析】（1）圆：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆的直角坐标方程为：，即220x y x y +--=；（2）由圆的直角坐标方程为220x y x y +--=可知 圆心坐标为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 因此圆上的点到直线的最短距离为.练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标. 【答案】（1）：，：40x y +-=；（2），此时.【解析】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点的直角坐标为,sin )αα，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.三．直线参数方程的几何意义应用例3. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，直线与曲线交于，两点.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）已知，求的值.【答案】（1），4370x y --=；（2）.【解析】（1）因为直线的参数方程为（为参数）， 消去参数，可得直线的普通方程为4370x y --=， 因为曲线的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos ρθρθ=，因为，所以曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得， 设，，则，， 所以12121212121111t t t t t t t t t P P t A B +-=+==+. 练习1. 已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； (2)求的值. 【答案】(1)；(2)4.【解析】（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为， 故，曲线的方程.（2）直线的参数方程为，与曲线的方程联立， 得2220t t ''--=，则，12FA FB t t ''+=-==，故.四．参数方程的灵活应用例4. 已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为2sin 1ρθ+=（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.【答案】（1），22(4x y ++=；（2）.【解析】（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，362P x π===，＝， ∴点的直角坐标，由2sin 1ρθ+=，得221x y ++=， 即，所以曲线的直角坐标方程为（2）曲线的参数方程为（为参数），由（为参数），得直线的普通方程为270x y --=.设()2cos ,2sin Q θθ，则中点，那么点到直线的距离，()11d θϕ-+===，所以点到直线的最小距离为.练习1. 在平面直角坐标点xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsinθ＝6.（1）A 为曲线C 1上的动点，点M 在线段OA 上，且满足|OM |•|OA |＝36，求点M 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）点E 的极坐标为（4，），点F 在曲线C 2上，求△OEF 面积的最大值 【答案】（1）x 2+（y ﹣3）2＝9（y ≠0）（2）【解析】（1）设点A （ρ1，θ），点M （ρ，θ），由于曲线C 1的极坐标方程为ρsinθ＝6，A 为曲线C 1上的动点，故，点M 在线段OA 上，且满足|OM |•|OA |＝36，所以，整理得点M 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣3）2＝9（y ≠0）.（2）设F 点为（ρ0，α），（），则ρ0＝6sinα，|OF |＝ρ0，且（），或（），|OE |＝4， 所以12OEFSOE OF sin EOF ∠=⋅=123， 由于044ππαπ∈⋃（，）（，），故当α时，6OEF S=+的最大值练习2. 如图，在极坐标系中，曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，曲线C 2是以为圆心的圆，曲线C 1、C 2都过极点O ．（1）分别写出半圆C 1，C 2的极坐标方程；（2）直线l ：与曲线C 1，C 2分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为C 2上的动点，求△PMN 面积的最大值．【答案】（1）802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；() 0ρθθπ=≤≤；（2）． 【解析】（1）曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线C 2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为()0ρθθπ=≤≤． （2）由（1）得：|MN |＝|．显然当点P 到直线MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大． 此时点P 为过C 2且与直线MN 垂直的直线与C 2的一个交点， 设PC 2与直线MN 垂直于点H ， 如图所示：在Rt △OHC 2中，|22|62HC OC sinπ==，所以点P 到直线MN 的最大距离d 22||22C HC r =+=+=，所以11122PMNS MN d =⨯⋅=⨯=五．极坐标的几何意义应用例5. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是，曲线C 的参数方程是（φ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若是曲线C 上一点，是直线l 上一点，求的最大值. 【答案】（1）sin 2ρθ=；；（2）最大值为.【解析】（1）直线l 的方程是，转换为极坐标方程为sin 2ρθ=， 曲线C 的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为， 将代入，得∴22224=cos 2si 41sin n θθρθ+=+，故. 所以曲线C 的极坐标方程为. （2）点是曲线C 上一点， 所以：，所以， 点是直线l 上一点， 所以，所以， ，当时，最大值为.练习1. ．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． （1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点．求和的值．【答案】（1）222210x y x y +--+=，3430x y +-=．（2），．【解析】（1）∵22sin 2cos 1ρρθρθ=--+，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线的直角坐标方程为222210x y x y +--+= ∵（为参数），消去，得3430x y +-=． ∴直线的普通方程为3430x y +-=． （2）设点，，．∵曲线的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将代入，210ρ-+=． ∴，．∵直线的极坐标方程为， ∴333cos4sin3044ππρρ+-=，解得．∴31||17AM ρρ=-=-，32||17BM ρρ=-=+． 练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足2OP OM =. （1）求点的轨迹方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求. 【答案】（1） ；（2）.【解析】（1）设,则由条件知.由于M 点在上, 所以即从而的参数方程为 .(2)曲线的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线与的交点A 的极径为, 射线与的交点B 的极径为.所以21||AB ρρ=-=练习3. 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线和曲线的极坐标系方程；（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值. 【答案】（1）cos sin 30ρθρθ+-=；（2）【解析】（1）由题可知直线的普通方程为30x y +-=， 直线的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=. 曲线的普通方程为， 因为，所以的极坐标方程为.（2）直线的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=，令，则3||cos sin OM ραα==+，所以3cos sin ||OM αα=+. 又||cos ON α=，所以3||sin 2cos )(tan 2)||ON OM αααϕϕ+=+=+=， 因为，则的最大值为.。
极坐标与参数方程基本题型及解题思路
极坐标与参数方程高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)
又因为 O是圆 C 上的点，所以 POQ PCQ π 。
26
【三】最值、几何意义的综合问题
1.距离最值（点到点、曲线点到线、） 距离的最值： ---用“参数法” （1）曲线上的点到直线距离的最值问题 （2）点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 2.面积的最值问题 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 3.几何意义及其综合应用：
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
42
所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为
2 cos ， 2sin ， 2 cos ．
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
42
【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略
极坐标与参数方程高考常有题型及解题策略【考大纲求】（1）坐标系①认识坐标系的作用，认识在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况。
②认识极坐标的基本观点，会在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，能进行极坐标和直角坐标的互化。
表示点的地点，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的地点的差别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。
④认识参数方程，认识参数的意义。
能在极坐标系中给出简单图形的方程，经过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义。
⑤能选择适合的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。
认识柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的地点的方法，并与空间直角坐标系中表示点的地点的方法对比较，认识他们的差别。
（2）参数方程①认识参数方程，认识参数的意义②能选择适合的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
③认识平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。
④认识其余摆线的生成过程，认识摆线在实质中的应用，认识摆线在表示行星运动轨迹中的作用。
【热点考点】高考题中这一部分主要考察简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。
热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。
冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。
盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的地点的方法，摆线在实质中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。
波及许多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。
多以选做题形式出现，以考察基本观点，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。
【常有题型】知识块能力层次知识点11 年12 年13 年14 年备注十八、 理解 54．坐标系 23 23 23 23 坐标系 理解55．参数方程23232323与参数方程一．极坐标方程与直角坐标方程的互化例 1. （ 2011 新课标 1，第23 题）在直角坐标系xoy 中，曲线 C 1 的参数方程为x 2cos aM 是 C 1 上的动点，uuur uuuury 2 (为参数)P 点知足 OP 2OM ， P 点的轨迹2sin a为曲线 C 2 。
极坐标系与参数方程解题策略分析
极坐标系与参数方程解题策略分析摘要：高考中对极坐标系与参数方程这一部分主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求轨迹方程，还考察距离，角度等问题，涉及了直线、圆、圆锥曲线等几何对象，交汇了平面几何知识，三角函数化简求值等知识点，属于一道综合题，是教学中的难点，更是学生的盲点，需要更为合理有效的参数方程，本文就次问题进行阐述。
关键词：参数方程参数方程距离一. 方程互化问题.若是极坐标方程与直角坐标方程互化，需要记好直角坐标系与极坐标系的坐标关系;若是参数方程与普通方程互化，需牢记直线、圆、椭圆参数方程的基本结构，还要掌握消参基本方法。
1. （2019全国I卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求和的直角坐标方程.1. 解：（1）曲线 :由题意得，即，则，然后代入即可得到，而直线：将，代入即可得到；2.（2018全国II卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），求和的直角坐标方程.2. 曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．二. 坐标系选择，优先选择直角坐标系思考问题，使用以往的思考模式考虑问题，若运算量过大，且涉及到原点的距离问题，可以选用极坐标系。
1.（ 2019全国III卷）如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，分别写出，，的极坐标方程.3. 由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为，，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为 .4. （2019全国II卷）在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为，当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程．1.，，则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，化成极坐标方程为，又在线段上，由，可得，点轨迹的极坐标方程为．三.在直角坐标系，有普通方程和参数方程的选用，优先选用普通方程，在熟悉的模式下思考问题，有三种情况使用参数方程：①直线标准参数方程，用于在直线上到定点的距离问题；②圆、椭圆参数方程：与圆、椭圆上的动点有关的几何量值或最值；③普通参数方程：给定参数，求参数方程.1.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 .以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.①写出的普通方程和的直角坐标方程；②设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.5. ①的普通方程为，的直角坐标方程为. ②由题意，可设点的直角坐标为 .因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为 .6.已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为.①写出直线的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；②设与圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积．6. 直线的参数方程为 ,即 (为参数) 由 ,得，所以，，∴.②把代入 .得， .7.（2018年全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求中点的轨迹的参数方程．7.的参数方程为（为参数，）．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足，所以点的轨迹的参数方程是，（为参数，）．最后对极坐标系与参数方程解题策略进行小结，①首先化方程为直角坐标系下的一般方程，然后作图分析；② 平台选择：首先在直角坐标系下尝试解决问题，若思路简洁，运算不繁，可以继续在此平台处理；若所求的几何量涉及点到原点的距离，及角度，可以尝试在极坐标系平台处理问题，若运算不繁可以坚持使用此平台. 参考文献： <1>李红庆, 陶友根, 马俊. 极坐标系与参数方程的题型及解题策略分析[J]. 中学数学教学参考旬刊, 2018, 000(006):P.41-44. <2>倪淑雯. 极坐标与参数方程解题策略及教学建议[J]. 中学教研:数学版, 2020(4):13-18. <3>王希红. 注重解后反思寻求最优解法——一道极坐标和参数方程题的多种解法[J]. 教学考试, 2018(29):29-31. <4>张锋. 洞悉命题意图寻求最优解法——一道市模考题的答卷情况分析与思考[J]. 新高考(高三数学), 2015(2):16-18.3。
高考极坐标与参数方程题型总结
高考极坐标与参数方程题型总结1.在极坐标系中，要将直线C1：x=-2和圆C2：(x-1)^2+(y-2)^2=1转化为极坐标方程。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，将直线和圆的方程中的x和y用极坐标中的r和θ表示，然后化简即可得到它们的极坐标方程。
求出C2和C3的交点M、N的坐标，然后计算三角形OMN的面积即可求出C2MN的面积。
2.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=tcosα，y=tsinα，其中α∈[0,π)。
将C1的参数方程转化为极坐标方程，即可得到C2和C3的极坐标方程。
求出C2和C1的交点A和C3和C1的交点B的极坐标，然后计算AB的极坐标差值的正弦值的最大值，即可得到AB的最大值。
3.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=acos(t)，y=1+asin(t)，其中a>0.将C1的方程转化为极坐标方程，即可得到C2的极坐标方程。
设C3的极坐标方程为ρ=k，其中k>0.将C1和C2的极坐标方程代入C3的极坐标方程中，解出a即可。
1.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为r=cos(2θ)，参数方程为x=cos(2t)，y=sin(2t)。
2.求解：(1) C1的极坐标方程为r=cos(2θ)；(2) 射线x=λ与曲线C1分别交于M,N，求实数λ的最大值。
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=cos(θ)，直线L的极坐标方程为θ=π/3.1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程得y=cos(x)，其中x=θ-π/2；2) 直线L与曲线C交于A,B两点，点P(0,1)过点A，求点B的坐标为(√3/2,-1/2)。
4.在极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为r=2cos(θ)。
1) 点P的轨迹的极坐标方程为r=2cos(θ)+2sin(θ)；2) 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线L：y=√3x 与曲线C相交于E，求E的坐标为(1,√3)。
备战2022届高考三轮解答题系列之极坐标与参数方程题型解法篇（1）（解析版）
备战2022届高考三轮解答题系列 --------极坐标与参数方程 （2）题型解法篇（1）方程互化题型一、化参数方程为普通方程【罗师导航】根据参数结构选择合理的消参方法，在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性，即补漏去杂心才安． 考查角度一、消“数”参 【罗师导航】①代入消参法,例如： ，普通方程：y=3x-7②加减消参法,例如：3214x t y t =-⎧⎨=--⎩,普通方程：2x-y=7,即2x-y-7=0③乘除消参法,例如：例如：t 1y 41xt 2==｛，普通方程：y 2=4x(x>0) ○4整体消参法,例如：，由可得： ○5(难点）灵活消参法,例如：法一、反解代换，因为x1x -1t ,t 1t -1x 222+=+=，22222)t 1(t 16y ,t 1t 4y +=+=普通方程：221(1)4y x x +=≠-. ()323323x t y x y t =+⎧⇒=+-⎨=+⎩2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭22x y =+2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，法二、分析结构配凑，因为222t 1t 4y t 1t -1x +=+=｛，222222222t 1t 16y t 1t -1x ）（）（）（｛+=+=，222222222t 1t 44y t 1t -1x ）（）（）（｛+=+=普通方程：221(1)4y x x +=≠-. 法三、整体常数化，因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，普通方程：221(1)4y x x +=≠-.法四、三角代换：略【能力达标检测】【1-1-1】化下列参数方程为普通方程:（1）t-t t-te -e y e e x =+=｛；（2）t1-t y t 1t x =+=｛； （3）222t 1t -1y t 1t 6x +=+=｛；（4）（5）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ；（6）22413(1)m x m m y ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪⎩（m 为参数）; （6）212x m y m ⎧=-⎨=⎩;（8）2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋;（9）{x =k 2+1k ,y =k 2−1k,(k 为参数)；（10）2221212212t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（1）x 2-y 2=4（2x ≥）；所以x 2-y 2=4．（3）1y 9x 22=+；（4）x 2+=1（0≤x ≤1，0≤y ≤2）;（5）因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.（6）∵23(1)33m -<≤22()(123x +=，∴C 的普通方程为221(3)43x y y +=≠-;（7）244y x =+；（8）221(1)x y x +=≠-； （9）x 2−y 2=4；（10）()22111x y x +=-<≤考查角度二、消“角”参 【罗师导航】①平方消参法（利用消去参数）,例如：cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩ ，普通方程：221x y +=例如：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，，普通方程：()4x 004-y x ≤≤=+②三角恒等变换消参法,例如：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.,普通方程：y 2=2-x,(x ∈[0,2])备注：利用三角函数的有界性，一定要限制范围22sincos 1θθ+=○3构万能正切代换消参法,例如：1cos21cos22tan x y θθθ-⎧=⎪+⎨⎪=⎩，2221cos 22sin tan 1cos 22cos x θθθθθ-===+，2tan y θ=，∴24y x =，即普通方程：y 2=4x ；【能力达标检测】【1-2-1】化下列参数方程为普通方程:；(2);(3)为参数）;(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(5)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ；(6)cos 3sin 3x a ay a a ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩；(7)23sin (23cos 2sin 2x y αααααα⎧+⎪⎨=-+⎪⎩为参数）(8)3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩；(9)1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩；(10)33x y tan θ⎧=⎪⎨⎪=⎩（1）(x+1)2+y=sin 2θ+cos 2θ，所以 (x+1)2+y=1，(0≤y ≤1)． (2)y=x+2（﹣2≤x ≤﹣1）． (3)．(4)x 24＋y 216＝1．(5)(x －1)2＋(y －2)2＝16(6)224x y +=；(7)21,[2,2]y x x =-∈-；(8)221259x y +=；(9)22222cos cos 1+cos 221cos 2sin sin 22x αααααα===-， 24sincos2cos 2sin 2221cos 2sin sin22y ααααααα===-2224cos 24sin2y xαα∴==，即普通方程为24y x =；(10)22133x y -=，3x ≤题型二、化极坐标方程为普通方程 【罗师导航】点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx(x ≠0)①直接公式法（利用消去参数）,例如：cos 3sin 40ρθρθ＋＋＝ ，普通方程：340x y ++=②配凑公式法,例如：，因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆.例如：2sin()3πρθ=+,得2(sincos cossin )3sin 33ππρθθθθ=+=+，23cos sin ρρθρθ=+，即223x y x y +=+，配方为2231(()12x y +-=例如：223645cos ρθ=+，普通方程：22149x y +=.备注：θ＝α(ρ∈R)（或θ＝π＋α(ρ∈R)）表示过极点，倾斜角为α的直线.【能力达标检测】【2-1】化下列极坐标方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.（1）ρ=2；(2)ρ＝cos θ＋sin θ；(3)213sin ρθ=+；(4)2sin cos a ρθθ=+22sincos 1θθ+=θθρcos 2sin +=ρρθρθρρcos 2sin 2+=,222x y y x +=+45)21()1(22=-+-y x 2125(5)2222cos 3sin 12ρθρθ+=；(6)222sin 404ρρθπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭(7)ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22 ；(8) ρ2cos θ﹣ρ=0 ；(9)θ＝π3(ρ∈R +)；(10)()R θαρ=∈【解析】(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，(2)两边同时平方,42=p 422=+y x ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，(3) 2214x y +=；(4)20ax y +-=；(5)221124x y +=；(6)由题意得22sin 422θθθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()22sin cos 40ρρθθ+--=，即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=，从而222240x y y x ++--=，即()()22116x y -++=，故圆C 的6．(7)x －y ＋1＝0；(8) x 2+y 2=0或x=1 ；(9) y ＝3x （x>0)；(10)当2πα=时，直线:0l x =；当0,,22ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，直线:tan l y x α=⋅题型三、求参数方程【罗师导航】注意限制参数的取值范围【例3-1】已知圆锥曲线{x =3cos θy =2√2sin θ （θ是参数）和定点A(0,√33)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点，求经过点F 2且垂直地于直线AF 1的直线l 的参数方程． 【解析】圆锥曲线{x =3cos θy =2√2sin θ 化为普通方程x 29+y 28=1，所以F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，则直线AF 1的斜率k =√33， 于是经过点F 2垂直于直线AF 1的直线l 的斜率k 1=−√3，直线l 的倾斜角是120∘， 所以直线l 的参数方程是{x =1+t cos 120y =t sin 120（t 为参数），即{x =−12t +1y =√32t（t 为参数）．【例3-2】（2018年新课标III 卷）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(02，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）3(,)44ππ，（2）22,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，344ππα<<). 【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2πα=时，l 与O 交于两点．当2πα≠时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =l 与O 交于两点当且仅当2211k<+，解得1k <-或1k >，即,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭或3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 综上，α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）l 的参数方程为,(2x tcos t y tsin αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，344ππα<< )．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=． 于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(),x y 满足,2.P P x t cos y t sin αα=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以点P 的轨迹的参数方程是22,222222x sin y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，344ππα<< )．【能力达标检测】【3-1】已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=8cos θ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为{x =u 2+1u2，y =u 2−1u 2 （u 为参数，u ≠0），直线l 过C 2与x 轴的交点，且倾斜角为α. (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 1相交于A ，B ，线段AB 的中点为M ，求M 轨迹的参数方程． 【解析】(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ=8cos θ，即ρ2=8ρcos θ，又ρ2=x 2+y 2，x =ρcos θ，所以C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−8x =0．曲线C 2的参数方程为{x =u 2+1u2，y =u 2−1u 2（u 为参数，u ≠0），所以{x +y =2u 2，x −y =2u2，则(x +y)(x −y)=4，所以曲线C 2的普通方程为x 2−y 2=4(x ≥2)．(2)法一：直线l 的参数方程为{x =2+t cos α，y =t sin α（t 为参数），代入x 2+y 2−8x =0，得t 2−4t cos α−12=0，设A ，B ，M 的参数值分别为t 1，t 2，t 0，则t 0=t 1+t 22=2cos α，从而，x M =2+2cos 2α=3+cos 2α，y M =2cos αsin α=sin 2α，所以，M 轨迹的参数方程为{x =3+cos 2α，y =sin 2α（α为参数）． 法二：设A(2,0)，C 1(4,0)，由垂径定理，知点M 的轨迹是以AC 1为直径的圆，其方程为(x −2)(x −4)+y 2=0，即x 2−6x +y 2+8=0，即(x −3)2+y 2=1， 故M 轨迹的参数方程为{x =3+cos θ，y =sin θ（θ为参数）．【3-2】在直角坐标系xOy 中，直线l 过点()2,0-且倾斜角为α.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为1ρ=，l 与C 交于M ，N 两点. （1）求C 的直角坐标方程和α的取值范围； （2）求MN 中点H 的轨迹的参数方程.【答案】（1）221x y +=；06πα≤<或56παπ<<；（2）1cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且03πθ≤<或523πθπ<<）.解：(1)C 221x y +=，即221x y +=，是以原点为圆心的单位圆；当90α=︒时，显然直线l 与曲线C 相离，不合题意.∴90α≠︒，所以直线l 的斜率tan k α=存在.∴直线l 的方程可写为20kx y k -+=∵直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，∴圆心O 到直线l 的距离211d k <+，解得33k <∴06πα≤<或56παπ<<.(2)(法一)直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数，06πα≤<或56παπ<<) 设M ，N ，H 对应的参数分别为M t ，N t ，H t ，则2M NH t t t +=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：24cos 30t t α-⋅+=∴4cos M N t t α+=，∴2cos 2MNH t t t α+==，又点H 的坐标满足2cos sin H H x t y t αα=-+⎧⎨=⎩， (t 为参数，06πα≤<或56παπ<<)∴点H 的轨迹的参数方程为222cos 2cos sin x y ααα⎧=-+⎨=⎩即1cos 2sin 2x y αα=-+⎧⎨=⎩(α为参数，06πα≤<或56παπ<<) (法二)设点(),H x y ，则由OH l ⊥可知，当0l k ≠时有1OH l k k ⋅=-即12y yx x ⋅=-+，整理得22(1)1x y ++=；当0l k =时，点H 与原点重合，也满足上式.∴点H 的轨迹的参数方程为1cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数，且03πθ≤<或523πθπ<<). 题型四、求极坐标方程【罗师导航】点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．（2）．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．（3）．在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M 所在的象限取最小正角． 【例4-1】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox ，极坐标系中3572,,2,,2,,2,4444A B C D ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，弧,,,AB BC CD DA 所在圆的圆心分别为()()31,,1,,1,,1,022πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线1C 是弧AB ，曲线2C 是弧BC ，曲线3C 是弧CD ，曲线4C 是弧DA ,分别写出1234,,,C C C C 的极坐标方程.【详解】如图所示：设弧AB 上任意一点()1,M ρθ因为ABCD 是边长为2的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为1，所以132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所以1C 的极坐标方程为132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；同理可得：2C 的极坐标方程为2352cos ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭；3C 的极坐标方程为3572sin ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭； 4C 的极坐标方程为42cos ρθ=，04πθ≤≤（或724πθπ≤≤） 【例4-2】（2021年全国高考乙卷数学试题）在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos()433πρθ+=2cos()433πρθ-=【分析】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于1211k=+，解得3k =33330y -+-=33330x y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()433πρθ+=2cos()433πρθ-=+【例4-3】在极坐标系中，O 为极点，点()()000,0M ρθρ>在曲线C ：2sin ρθ=上，直线l 过点()2,0A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当04θπ=时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）02ρ=l ：cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）2cos ρθ=，,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当04θπ=时，02sin 24πρ==.由己知得cos24OP OA π==(),Q ρθ为l 上除P 点外的任意一点，连接OQ ，在Rt OPQ 中，cos 24OP πρθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭经检验，点2,4P π⎫⎪⎭在曲线cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以，l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）设(),P ρθ，在Rt OAP △中，cos 2cos OP OA θθ==，即2cos ρθ=.因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为2cos ρθ=，,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【能力达标检测】【4-1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos α,y =2sin α （α为参数）．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 1的极坐标方程．解：曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos α，y =2sin α（α为参数），消去参数的C 1的直角坐标方程为：x 2−4x +y 2=0．所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ.【4-2】在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1:x +y =1与曲线 C 2:{x = 2 + 2cos φ， y = 2sin φ ( φ为参数，φ∈[0, 2π) )．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，写出曲线 C 1，C 2的极坐标方程．解：∵曲线 C 1:x +y =1，∴ 曲线 C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=1，即ρ sin (θ + π4) = √22， ∵曲线 C 2:{x = 2 + 2cos φ y = 2sin φ ( φ为参数，φ∈[0, 2π) )，∴ 曲线C 2的普通方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0，∴ 曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ．【4-3】（2020·全国·（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 【答案】（1）4102）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.22(04)(120)410AB ∴=++-=（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【4-4】（2020·全国·（理））已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）()1:404C x y x +=≤≤；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【分析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【解析】(1)[方法一]消元法由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤． 由参数方程可得22,+=-=x y t x y t，两式相乘得普通方程为224x y -=． [方法二]【最优解】代入消元法由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤，由参数方程可得2+=x yt ， 代入1x t t=+中并化简得普通方程为224x y -=．(2)[方法一]几何意义+极坐标将1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入4x y +=中解得2t =，故P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫⎪⎝⎭．设P 点的极坐标为()00,P ρθ，由222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩得034ρ=03tan 5θ=，0534cos θ故所求圆的直径为172cos 5ρθ==r ，所求圆的极坐标方程为2cos r ρθ=，即17cos 5ρθ=． [方法二]由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 因为225334||22⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OP ．设圆C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，所以5cos 2||34θ==OP 34234=a 1725=a ．故所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．[方法三]利用几何意义由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 化为极坐标为34α⎫⎪⎝⎭P ，其中cos 34α=E 点，则90OPE ∠=︒，所以17cos 5α==OP OE ，所以所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．[方法四]【最优解】由题意设所求圆的圆心直角坐标为(,0)a ，则圆的极坐标方程为2cos a ρθ=．联立2240,4x y x y +-=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设Q 为圆与x 轴的交点，其直角坐标为(2,0)Q a ，O 为坐标原点．又因为点,(0,0),(2,0)P O Q a 都在所求圆上且OQ 为圆的直径，所以0OP PQ ⋅=，解得1710a =．所以所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． [方法五]利用几何意义求圆心由题意设所求圆的圆心直角坐标为(,0)a ，则圆的极坐标方程为2cos a ρθ=．联立22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩得5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以弦OP 的中垂线所在的直线方程为106170+-=x y ，将圆心坐标代入得1060170+⨯-=a ，解得1710a =．所以所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 【4-5】在直角坐标系xOy 中，曲线C:(x −1)2+y 2=1，直线l:y =−x ．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 与直线l 的极坐标方程．解：由x =ρcos α,y =ρsin α， ρ2=x 2+y 2得，曲线C:ρ2−2ρcos α=0，即ρ=2cos a .直线l:θ=3π4(ρ∈R ) .。
高考文科数学。坐标系与参数方程大题 -知识点、考法及解题方法
高考文科数学。
坐标系与参数方程大题 -知识点、考法及解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法
极坐标与参数方程是高中数学选考题之一，通常包含两个小题。
第一小题是极坐标方程与普通方程的互化或参数方程与普通方程的互化。
第二小题则包括求交点联立方程并解方程、求线段距离、面积、定值以及取值范围或最值问题。
考点一是极坐标与直角坐标的互化。
练时可以应用代入法、平方法等技巧，同时还需掌握同乘（同除以）ρ等方法。
例如，将圆的普通方程x2+（y－2）2=4化为极坐标方程，可得
ρ=2sinθ+2cosθ。
考点二是极坐标方程与直角坐标方程的互化解题方法。
同样可以采用代入法、平方法等技巧，还可以用同乘（同除以）ρ等技巧。
例如，将极坐标方程ρ=2sinθ+2cosθ转化为直角坐
标方程，可得x=2cosθ，y=2sinθ+2.
考点三是参数方程与普通方程的互化。
将普通方程化为参数方程的步骤包括将x、y移到左边，右边只放一个常数，然后右边常数乘以，最后带入x、y得到参数方程。
需要注意的是，参数方程一般不唯一。
在综合题中，需要求解交点时，可以联立方程并解方程。
求最值时，需要求取导数并令其为0，然后求出极值。
求定值时，需要将参数带入方程中进行计算。
第二讲 极坐标与参数方程的解题策略学生版
第二讲 极坐标与参数方程的解题策略姓名 题型一：互化互化是22题最基本的题型，高考中几乎每个题的第一小题都是互化。
互化要注意的是没有极坐标与参数方程之间的互化公式，必须要“搭桥”——先化为普通方程。
由于后面的题几乎都有互化，因此，在此不再单独训练。
题型二：求弦长一、利用ρ的几何意义例1：在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.例2：在直角坐标系xOy 中， 曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）．M 是1C 上的动点，P 点满足2,OP PM P =点的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线2C 的方程；（2）在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线 3πθ=与曲线1C 的异于极点的交点为A ，与曲线2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．作业一1．在直角坐标系xOy 中，直线⎩⎨⎧-==ty t x l 3:（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 1cos :1y x C （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于A O ,两点，直线l 交曲线2C 于B O ,两点，求AB 的长．2．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线()06πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线()06πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .4．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程()1cos sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．5．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（1）求2C 的普通方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB ．二、利用t 的几何意义例1：在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线C 的交点为A ，B ，若AB 的中点为D ，求||PD 的长．例2：在直角坐标系xOy 中，过点(2,1)P -的直线l 的倾斜角为45︒，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||PA PB ⋅．例3：在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为(，求PA PB +．例4：在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos29ρθ=，点)6P π．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值．作业二1．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为62x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（其中t 为参数）.现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (Ⅰ) 写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 过点(10)M -，且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求||AB .2．以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N的极坐标为)4π，圆1C 的极坐标方程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,2P -，倾斜角为34π. 以坐标 原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.()1写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；()2记直线l 和曲线C 的两个交点分别为,A B ，求PA PB +，PA PB ⋅4．已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB .5．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B ．（1）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标； （2）若直线l 的斜率为2，且过已知点()3,0P ，求PA PB 的值．三、数形结合例1：选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2cos,sin,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在同一坐标系下，曲线1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．例2：已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（Ⅱ）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值及该点坐标。
高中数学参数方程与极坐标解答题高考评分细节及解题技巧
高中数学参数方程与极坐标解答题高考评分细节及解题技巧
(一) 评分标准展示——看细节
(二) 一题多解鉴赏——扩思路
(三) 阅卷老师提醒——明原因
1.基本的定义、公式,方法要掌握牢固:本题第(1)问考查消参求轨迹方程的问题,属于基本问题,第二问求解点在极坐标系下的极径,属于基础概念的考查,但是要求对基本的概念和公式能够熟练理解和掌握.
2.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是在第(1)问的基础上进行计算求解极径问题.
3.写全得分关键:写清解题过程的关键点,有则给分,无则没有分,同时解题过程中计算准确,是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出直角坐标方程,注意所得的轨迹方程不包括y轴上的点.第(2)问中方程的思想很重要,联立极坐标方程求解极径、极角体现出方程思想的无处不在.
(四) 新题好题演练——成习惯。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳一、极坐标题型1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数。
题目中常常给出一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为极坐标方程。
2.同一直线与圆的极坐标方程给定一条直线的极坐标方程，如$r=k\\theta$，同时给出一个与该直线相交于两点的圆的极坐标方程，求该圆的半径和圆心的极坐标。
3.圆内切于另一圆与直线的极坐标方程给定一个圆的极坐标方程，要求找出与该圆相切的另一个圆和直线的极坐标方程。
4.线段与圆的极坐标方程给定一段线段的两个端点的极坐标和长度，要求求出与该线段相切的圆的极坐标方程。
二、参数方程题型1.直线的参数方程给定一条直线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.圆的参数方程给定一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
3.曲线方程的参数化表示给定一个曲线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
三、极坐标与参数方程的转换题型1.极坐标转换为参数方程给定一个极坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.参数方程转换为极坐标给定一个参数方程，要求将其转化为极坐标方程形式。
四、解析法求参数方程的题型1.螺线的参数方程给定一个螺线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
2.抛物线的参数方程给定一个抛物线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
3.椭圆的参数方程给定一个椭圆的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
五、参数方程与直角坐标系之间的关系1.参数方程的直角坐标系方程给定一个参数方程，要求将其转化为直角坐标系方程。
2.直角坐标系方程的参数方程给定一个直角坐标系方程，要求将其转化为参数方程。
以上是高考数学中关于极坐标与参数方程的常见题型归纳。
掌握了这些题型的解题方法和转换技巧，就能够更好地应对高考数学中的相关题目。
在解题时，可以根据题目给出的信息选择合适的坐标系，利用相应的公式和性质进行计算，从而得出准确的答案。
希望同学们通过对这些题型的学习和练习，能够在高考中取得优异的成绩！。
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用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。
高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。
其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。
常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。
因此，对常见题型及解题策略进行探讨。
一、极坐标与直角坐标的互化1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等.2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤：(1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)；(2)在[0，2π)内由tan θ＝yx(x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).解题时必须注意：① 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.② 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.③ 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： Ⅰ.注意ρ，θ的取值范围及其影响.Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用. 例如、（2015年全国卷）在直角坐标系xOy 中。
直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==12ρρ-=||MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN V 的面积为12二、简单曲线的极坐标方程及应用1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点M 的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性.例如、（2015全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。
解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220,0x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和3)22（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα所以|||2sin |4|sin()|3AB πααα=-=-当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4 三、简单参数方程及应用1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:① 准确把握参数形式之间的关系; ② 注意参数取值范围对曲线形状的影响.2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.例如、（2014年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=（Ⅱ）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为|4cos 3sin 6|d θθ=+-则|||5sin()6|sin 305d PA θα==+-o ，其中α为锐角，且4tan 3α=当sin()1θα+=时，||PA取得最小值，最小值为5四、参数方程与极坐标方程的综合应用第一步:消去参数,将曲线C1的参数方程化为普通方程; 第二步:将曲线C1的普通方程化为极坐标方程; 第三步:将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;第四步:将曲线C1与曲线C2的直角坐标方程联立,求得交点的直角坐标;第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.例如、（2017年全国卷）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ)=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解：⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -= 即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．五、极坐标方程解圆锥曲线问题如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。
例如、(2007重庆理改编)中心在原点O 的椭圆2213627x y +=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P 使122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠．证明：213111FP FP FP ++为定值，并求此定值． 解 ：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos ρθ=-，设点1P 对应的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别为0120θ+、0120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP =92cos θ-、2||FP = 092cos(120)θ-+与3||FP = 092cos(120)θ--， 因此213111FP FP FP ++=002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道00cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=因此21311123FP FP FP ++=为定值 六、参数方程解圆锥曲线问题1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义和取值范围。
2.消去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。
例如、（2016年天津卷）设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FAe OA OF 311=+， 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B .由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k .由HF BF ⊥，得0=⋅，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y .。