第15章 压杆稳定问题

0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
例1
试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的 临界载荷公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
F
F
M0 F
N
EIy M ( x) Fy M 0
F 令:k EI
2
x L
x M
EIy k 2 y k 2
M0 F
yccoskxd sinkx
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
2 EI 2 EI 2 EI 2 EI 临界载荷Fcr F Fcr 2 Fcr 2 Fcr 2 cr 欧拉公式 (0.5l ) (0.7l ) (2l )2 l
长度因数μ
Fcr
2 EI
l2
=1
对应的
§15–2
临界载荷的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
F
x y F x M
M ( x, y) Fy F ①弯矩：
②挠曲线近似微分方程： M F y y EI EI F y y y k 2 y 0 EI F 2 其中 : k EI
—长度因数（或约束系数）。
表15–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
一端固定 另端自由 Fcr
两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
Fcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Fcr B
Fcr
0.7l l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
O
x
z
zy
L 264
i 0.3
160
②求折减系数
木杆 :80时,3000 2 3000 1602 0.117
③求容许压力
W
F BC ABC W
0.32
4
0.11711106 91kN
三、压杆的合理设计
2E P P
P
为比例极限
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
三、临界应力的经验公式 1.直线型经验公式 ①P<<S 时：
cr ab ，a与b为与材料有关的常数
cr ab s
1、合理选择材料 2、合理选择截面 3、合理安排压杆约束与选择杆长
例7 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为 球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？ P
解：对于单个 10 号槽钢，形心在 C 1 点。
A1 12.74cm2 ,z0 1.52cm, I z1 198.3cm4 ,I y1 25.6cm4
L 图(b)
L
z
y
(4545 6) 等边角钢
I min I z 3.89108 m4
2 I min E 2 0.389 200 76.8kN Fcr 2 2 图(b) (2 0.5) ( 2l )
图(a)
§15–3
中、小柔度杆的临界应力
一、 临界应力与柔 度 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Fcr
2 EImin
L2
Fcr
EI min
2
L2
——两端铰支压杆临界载荷的欧拉公式
此公式的应用条件： 1.理想压杆； 2.线弹性范围内；
3.两端为球铰支座。
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷 压杆临界载荷欧拉公式的一般形式
2 EI min Fcr 2 ( L)
L
i
a s b
0
P

2E P
2.抛物线型经验公式
cr a1b1
2
式中，a1与b1为与材料有关的常数。
上述抛物线型经验公式也可写成下述形式：
2 cr s (1 2 ) 2P
例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式 求临界压力和安全系数。 解：一个角钢：
第十五章
§15–1 稳定性概念
压杆稳定问题
§15–2 临界载荷的欧拉公式 §15–3 中、小柔度杆的临界应力 §15–4 压杆稳定条件与合理设计
§11–1 稳定性概念
①强度 构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 百度文库. 不稳定平衡
a s 0 b
0 P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
②S< 时：
cr cu
cu — 材料的压缩极限应力。
0 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
③临界应力总图
cr
cu
P
cr ab
2E cr 2
F [ st ] A
例6 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直 径为： d = 0.3m，试求此杆的容许压力。 B T1 T2 解：折减系数法 ①最大柔度
x y面内， =1.0 A
y W
xy
L 164
i 0.3
80
z y面内， =2.0
所以，应由抛物线公式求临界压力。
2 89.3 2 cr s [10.43( ) ]235 [10.43( ) ]18.7MPa c 123
Fcr A cr 2 8.367104 181.7 106 304kN
安全系数
Fcr 304 n 2.02 F 150
2 EIz
(0.7 L1 )
Fcr min(Fcry , Fcrz )
例3 求下列细长压杆的临界载荷。 解：图(a) F F
10
50103 I min 1012 4.17109 m 4 12
50
2 I min E 24.17200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
2 2
0.5
例2 求下列细长压杆的临界载荷。 y x z y
z L1 L2
h
b
b3h , 解：①绕 y 轴，两端铰支： =1.0， I y 12 ②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
Fcry
EI y
2
L2 2
2
=0.7 ，
③压杆的临界载荷
bh Iz , 12
3
Fcrz
F
M0
F
M0
边界条件为:
x 0, y y 0 ; x L , y y 0
M0 c , d 0 , kL 2n 并 kL n F
kL2n
为求最小临界载荷，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL 2
所以，临界载荷为：
4 EI EI Fcr 2 L ( L / 2)2
cr
2.欧拉临界应力公式：
Fcr A
Fcr 2 EI 2E 2E cr 2 2 2 A ( L) A ( L / i)
2E 即： cr 2
L
i — —杆的柔度（或细长比 ） i
I ——惯性半径。 A
二、欧拉公式的适用范 围
2E cr 2 P
FN
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y A sin kx B coskx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
sinkL 0

0
1
sinkL coskL
F EI
0
k
n L
临界载荷 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；
a
L C1 z0 y1 z
两根槽钢图示组合之后，
I z 2I z12198.3396.6cm4
I y 2[I y1A1 ( z0 a/2)2 ]
2[25.612.74(1.52a/2)2 ]
2
y
即 : 198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2) 时合理
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
3.压杆失稳：
4.压杆的临界载荷 临界状态
稳 定 过 平 衡
不 稳 度 定 平 压力 衡 临界载荷（Pcr ）：使压杆 直线形式的平衡，开始 由稳定转变为不稳定的 轴向压力值。
2 4 A 8 . 367 cm , I 23 . 63 cm 1 y1
z y
两根角钢图示组合之后
I y I z
I minI y 2I y1223.6347.26cm4
l 150 I min 47.26 89.3 p 123 i 1.68cm i 1.68 A 28.367
§15–4
压杆稳定条件与合理设计
一、压杆的稳定容许应力: 1.安全系数法确定容许应力: 2.折减系数法确定容许应力:
[ st ]
cr
nst
[ st ] [ ]
[ ] 为许用压应力，
为是一个小于1的系数，称为折减系数或稳定系数,
其值与压杆的柔度及所用材料有关。
二、压杆的稳定条件:
a4.32 cm
求临界力：

L 0.76
i Iz 2A1

0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
2 EI 2 200 396.6 10 Fcr 443.8kN 2 2 ( l ) (0.7 6)