河南中考数学类比探究学生精选文档
2019河南中考类比探究1
类比探究专项训练
类比探究问题—河南中考22题（10年8考）
类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊 情形到一般情形（或简单到复杂）逐步深入，解决思 想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主. 辨识：“条图2
图3
①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决； ②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证．
类比探究常见结构：
①中点结构
②旋转结构
作倍长，通过全等转移边和角
找“等线段共端点”，借助全等整合条件
③平行结构
④直角结构
作平行，造相似，转比例（A型、X型）
斜直角放正，找全等或相似
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类比探究问题处理思路
第三阶段：14、15、16、17年，“应用”标准化，加入 作图，需要补全结构，新背景下探究“不变特征”，将 “探究、应用”融为一体考查，强调“经历、探究、应 用、创新”.
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1.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上 一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF．解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90°． ①当点D在线段BC上时（与B不重合），如图2，线段CF、 BD之间的位置关系是_______，数量关系是________.
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河南中考类比探究—河南中考22题（10年8考）
第一阶段：08年、10年，萌芽期，“类比”标准化 从特殊到一般，类比字母、类比辅助线、类比思路
第二阶段：12年、13年，“探究”标准化 以“不变结构”为依托，调用“类比”，条件与结论互 换，举一反三，将探究标准化，并提高“作图”的要求 中点、旋转、平行、直角
河南省中招22题 类比、 拓展探究题
中招22题 类比、拓展探究题作图微技能1. 如图①，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，点P 为射线BD ，CE 的交点，若把△ADE 绕点A 旋转，请在图②中作出当∠EAC ＝90°时的图形.第1题图2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，当CE ＝BC 时，请在图②中作出△EDC 旋转至A ，D ，C 三点共线时的图形.第2题图3. 如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，E 为AC 上一点，且AE ＝14AC ，过点E 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，连接CD ，分别取DE 、BC 、CD 上中点M ，N ，P ，若△DAE 绕点A 在平面内自由旋转，请在图②中作出当△MPN 面积最大时的图形.第3题图4. 如图①，已知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AD ＝12AB ，连接BE ，BD ，CE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 的中点，连接GF ，FH ，GH .将△ADE 绕点A 自由旋转，请在图②③中作出在旋转的过程中GH最大和最小时的图形.第4题图5. 如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，点E、F分别是AB、AC的中点，连接EF.以点A 为旋转中心，将△AEF顺时针转动，连接BE，CF，设直线BE，CF相交于点P，请在图②③中作出当S△PBC面积为最大值和最小值时的图形.第5题图6. 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.请在图②中作出点P到AB所在直线的距离最大时的图形.第6题图7. 如图①，射线OA与OB的夹角为α(0°＜α＜180°)，点P在∠AOB的平分线上，且OP＝a，点M 在射线OA上运动，在射线OB上取一点N，使得∠MPN＋∠AOB＝180°，请在图②中作出△PMN周长的值最小时的图形.。
河南省中考数学专题复习专题类比探究题训练
专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC ，BD 交于点M.填空： ①ACBD的值为________； ②∠AMB 的度数为________； (2)类比探究如图②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC ＝BD ，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则AC BD ＝OCOD ＝3，由全等三角形的性质得∠AMB 的度数；(3)正确画出图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB ＝90°，ACBD ＝3，可得AC 的长．【自主解答】解：(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB. ∵OC＝OD ，OA ＝OB ， ∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ， ∴ACBD＝1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°，在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)类比探究ACBD＝3，∠AMB＝90°，理由如下： 在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴OD OC ＝tan 30°＝33， 同理，得OB OA ＝tan 30°＝33，∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝BOD ， ∴△AOC∽△BOD， ∴AC BD ＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO. ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ， 在Rt△COD 中，∵∠OCD＝30°，OD ＝1， ∴CD＝2， ∴BC＝x －2.在Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB ＝7. ∴AB＝2OB ＝27，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即( 3 x)2＋(x －2)2＝(27)2， 解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)， ∴AC＝33；②点C 与点M 重合时，如解图②，同理得：∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2解得x 1＝－3，解得x 2＝2(舍去)． ∴AC＝2 3.综上所述，AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1．(2016·河南) (1)发现如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于________________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________(用含a ，b 的式子表示)． (2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1，如图②所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．2．(2015·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝2；②当α＝180°时，AE BD ＝2；(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD 的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)解决问题当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．3．(2014·河南) (1)问题发现如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB 的度数为__________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为______________． (2)拓展探究如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．4．(2018·南阳二模)在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC.(1)操作发现若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________，______________；(2)猜想论证在(1)的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断．(3)拓展延伸如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C，E重合除外)？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝32时，请直接写出线段CF的长的最大值是____．5．已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图①，OFEC＝_______；②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°，如图②，OFEC ＝_______；(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出OFEC 的值，并说明理由．(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD ＝2，△AED 在旋转过程中，存在△ACD 为直角三角形，请直接写出线段CD 的长．类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． (1)观察猜想图①中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明把△AD E 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM ＝12CE ，PN ＝12BD ，进而判断出BD ＝CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD ＝CE ，同(1)的方法得出PM ＝12BD ，PN ＝12BD ，即可得出PM ＝PN ，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大＝AM ＋AN ，最后用面积公式即可得出结论． 【自主解答】解：(1)∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN ＝12BD.∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM ＝12CE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴BD ＝CE ， ∴PM＝PN. ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD ＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形， 同(1)的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同(1)的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD ＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴当MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN ， 连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE＝90°，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52， ∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492.1．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E ＝30°. (1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是______________． (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE∥AB 交BC 于点E(如图④)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．2．已知Rt△ABC 中，BC ＝AC ，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于E ，F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时，如图①所示，试证明S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由．(2)直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系．3．(2018·郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG. (1)图中∠DCE＋∠BCG＝__________°；设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________；猜想论证：(2)如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠B＝30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD 平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长．4．(2018·驻马店一模)如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是______________，位置关系是______________；(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．参考答案类型一 针对训练1．解：(1)∵点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC ＋AB ＝a ＋b. (2)①CD＝BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形， ∴AD＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ∠CAD＝∠EAB AC ＝AE ，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值，由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴线段BE 长的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4；(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，如解图①， 则△APN 是等腰直角三角形， ∴PN＝PA ＝2，BN ＝AM.∵点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)， ∴OA＝2，OB ＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM的长最大值为22＋3.如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2，∴P(2－2，2)．图①图②第1题解图2．解：(1)①当α＝0°时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝（8÷2）2＋82＝4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝45÷2＝25，BD＝8÷2＝4，∴AEBD＝254＝52.②如解图①，当α＝180°时，得可得AB∥DE，∵ACAE＝BCBD，∴AEBD＝ACBC＝458＝52.(2)当0°≤α≤360°时，AEBD的大小没有变化．∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA∽△DCB， ∴AE BD ＝EC DC ＝52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②，∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵AD＝BC ，AB ＝DC ，∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD＝AC ＝4 5.③如解图③，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ， ∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴A D ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8， ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点， ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6， 由(2)，可得AE BD ＝52，∴BD＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255. 3．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°. ②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE. (2)∠AEB＝90°，AE ＝BE ＋2CM. 理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE ，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CD E ＝∠CED＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°. ∵CD＝CE ，CM⊥DE，∴DM＝ME. ∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME ＝CM ， ∴AE＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM.(3)∵PD＝1，∴点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．①当点P在如解图①所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝ 3.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°.∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得：BP＝2AH＋PD，∴3＝2AH＋1，∴AH＝3－1 2；②当点P在如解图②所示位置时，连接PD、PB、PA、作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP＝2AH－PD，∴3＝2AH－1，∴AH＝3＋1 2.综上所述，点A到BP的距离为3－12或3＋12.图①图② 第3题解图4．解：(1)①∵AB＝AC ，∠BAC＝90°， 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AD＝AE ，∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE＝BD ，∠ACE ＝∠B， ∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (2)(1)中的结论仍然成立．证明如下： 如解图①，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AE＝AD ，∠DAE＝90°. ∵AB＝AC ，∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△ACE≌△ABD， ∴CE＝BD ，∠ACE＝∠B， ∴∠BCE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (3)45°；34.过A 作AM⊥BC 于M ，过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ，如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴∠DAE＝90°，AD ＝AE ，∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA， ∴NE＝AM.∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE＝90°， ∴四边形MCEN 为矩形， ∴NE＝MC ，∴AM＝MC ， ∴∠ACB＝45°. ∵四边形MCEN 为矩形， ∴Rt△AMD∽Rt△DCF， ∴MD CF ＝AMDC，设DC ＝x ， ∵在Rt△AMC 中，∠ACB＝45°，AC ＝32，∴AM＝CM ＝3，MD ＝3－x ，∴3－x CF ＝3x ，∴CF＝－13x 2＋x ＝－13(x －32)2＋34，∴当x ＝32时，CF 有最大值，最大值为34.故答案为45°，34；图①图② 第4题解图5．解：(1)①∵△A BC ，△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC.∵O 为BC 的中点，F 为AD 的中点， ∴AF＝OC.∵∠BAC＝∠AED＝90°，AB ＝AC ，AE ＝DE ， ∴∠DAE＝∠CBA＝45°， ∴AD∥BC，∴四边形AFOC 是平行四边形， ∴OF＝AC ＝22EC ，∴OF EC ＝22； 故答案：22； ②∵AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°，∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠CAO. ∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC，∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22； 故答案：22. (2)OF ＝22EC. 理由：在等腰直角△ADE 中，F 为AD 的中点， ∴AF＝12AD ＝22AE.在等腰直角△ABC 中，O 为BC 的中点， 如解图①，连接AO ， ∴AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°. ∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAO，即∠DAO＝∠CAE. ∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC， ∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22； (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC ＝2， ∴ED＝AE ＝AB ＝AC ＝1，当△ACD 为直角三角形时，分两种情况：图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时，如解图②，连接CD. 当△ACD 为直角三角形时，AD⊥AC， 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD＝2，AC ＝1，∴由勾股定理可得CD ＝（2）2＋12＝3； ②当AE 与AC 重合时，如解图③， 当△ACD 为直角三角形时，AC⊥CD，即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°，此时CD ＝AC ＝1. 综上所述，CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1．解：(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上， ∴AC＝CD.∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°. ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴CD＝AC ＝12AB ，∴BD＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC ，AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2； (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到， ∴BC＝CE ，AC ＝CD ，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∵∠ACN＋∠ACE＝180°， ∴∠ACN＝∠DCM.在△ACN 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN＝∠DCM，∠N＝∠CMD＝90°，AC ＝CD∴△ACN≌△DCM(AAS)， ∴AN＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；第1题解图(3)如解图，过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1，易求得四边形BEDF 1是菱形，∴BE＝DF 1，且BE ，DF 1边上的高相等，此时S△DCF 1＝S △BDE ； 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC＝60°，F 1D∥BE 交BA 于点F 2， ∴∠F 2F 1D ＝∠ABC＝60°.∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝12∠ABC＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC＝60° ∴△DF 1F 2是等边三角形， ∴DF 1＝DF 2.∵BD＝CD ，∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点， ∴DBC＝∠DCB＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°， ∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°， ∴∠CDF 1＝∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中， ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1＝DF 2∠CDF 1＝∠CDF 2CD ＝CD， ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS)，∴点F 2也是所求的点． ∵∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，DE∥AB， ∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝12×60°＝30°.又∵BD＝4，∴BE＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833.故BF 的长为433或833.2．解：当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形；设△ABC 的边长AC ＝BC ＝a ，则正方形CEDF 的边长为12a ，∴S △ABC ＝12a 2，S 正方形CEDF ＝(12a)2＝14a 2，即S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC ；(1)上述结论成立；理由如下： 连接CD ，如解图①所示．∵AC＝BC ，∠ACB＝90°，D 为AB 中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝12∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD ＝12AB ＝BD ，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90° ∵∠EDF＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△CDE 和△BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2CD ＝BD∠DCE＝∠B， ∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝12S △ABC ；图①图② 第2题解图(2)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC ；理由如下：连接CD ，如解图②所示，同(1)得：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF ＝135°， ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， S △CFE ＋S △DBC ， ＝S △CFE ＋12S △ABC ，∴S △DEF －S △CFE ＝12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC .3．解：(1)如解图①中，∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形， ∴∠BCD＝∠ECG＝90°.∵∠BCG＋∠BCD＋∠DCE＋∠ECG＝360°， ∴∠BCG＋∠ECD＝180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形， ∴∠BCD＝∠DCN＝∠ECG＝90°，CB ＝CD ，CE ＝CG ，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2， ∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠GNC ∠1＝∠3EC ＝CG， ∴△CME≌△CNG(ASA)， ∴EM＝GN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CB·GN，∴S 1＝S 2；故答案为180°，S 1＝S 2； (2)猜想：S 1＝S 2，证明：如解图②，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的， ∴CE＝CB ，CG ＝CD ，∵∠ECG＝∠ECN＝∠BCD＝90°，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠BNC ∠1＝∠3EC ＝CB， ∴△CME≌△CNB(AAS)． ∴EM＝BN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CG ·BN ，∴S 1＝S 2;(3)如解图③，作DM⊥AC 于M ，延长BA ，交EC 于N ， ∵AB＝AC ＝10 cm ，∠B＝30°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°，根据翻折的性质，得∠ACE＝∠ACB＝30°， ∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE＝30°， ∴∠BAD＝90°，DM ＝12AD ，∴BN⊥EC.∵AD＝tan∠ABD·AB，AB ＝10 cm ， ∴AD＝tan 30°×10＝103 3 (cm)，∴DM＝12×1033＝533(cm)．∵S △ABP ＝12AB·PN，S △ADC ＝12AC·DM，S △ABP ＝S △ADC ，AB ＝AC ，∴PN＝DM ＝533.在Rt△ANC 中，∠ACN＝30°，AC ＝10 (cm)， ∴NC＝cos∠ACN·AC＝cos 30°×10＝53(cm)． ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个，∴P′C＝103 3 cm ，P ″C ＝203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4．解：(1)PM ＝PN ，PM⊥PN，理由如下： 如解图①，延长AE 交BD 于O ， ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠ACB＝∠ECD＝90°. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE＝BD ，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEO， ∴∠CBD＋∠BEO＝90°， ∴∠BOE ＝90°，即AE⊥BD，∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点， ∴PM＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM＝PN.∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC＋∠BDC＝90°， ∴∠MPA＋∠NPC＝90°，∴∠MPN＝90°， 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下： 如解图②，设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠AC B ＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD， ∴∠BHO＝∠ACO＝90°.∵点P ，M ，N 分别为AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM＝12BD ，PM∥BD，PN ＝12AE ，PN∥AE，∴PM＝PN ，∴∠MGE＋∠BHA＝180°， ∴∠MGE＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN，即△PMN 为等腰直角三角形．(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝12BD ，∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大， ∴当B ，C ，D 共线时，BD 的最大值为BC ＋CD ＝6， ∴PM＝PN ＝3，。
河南中考22类比探究专题(四)——中点结构(含答案)
类比探究专题（四）——中点结构1.如图1，在△ABC中，P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．要证PM=PN，只需延长MP交CN 于点E，通过说明某对三角形全等就可以证明此结论．此时，证明结论成立的理论基础是( )A.全等三角形的对应边相等B.直角三角形斜边中线等于斜边一半C.等腰三角形等角对等边D.等量代换如图，延长MP交CN于点E.此时可证△MBP≌△ECP，∴MP=EP，∵∠MNE=90°，∴PN=PM=PE，即利用的是直角三角形斜边上中线等于斜边一半．故选B2.（上接第1题）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，要证明PM=PN，我们可以进行和上题一样的操作，则需要证明的全等三角形是( )A.△APB≌△APEB.△CAN≌△ABMC.△NPB≌△NPED.△MBP≌△ECP按照要求，作出符合题意的辅助线：延长MP交NC的延长线于点E．则△MBP≌△ECP，∴PM=PE，则在Rt△NME中，PM=PN，∴要证明PM=PN需要证明△MBP≌△ECP．故选D3.如图，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．如图1所示，当直线与直线MA垂直时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B. C. D.如图，延长AC交BN于点F．∵AM∥BN，∴∠DAB+∠EBA=180°，∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DCA=∠ECF，∴△DCA≌△ECF，∴AD=FE，∴AB=BF=BE+FE=BE+AD．故选C4.（上接第3题）如图2所示，当直线与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B. C.D.如图，延长AC交BN于点F．∵AM∥BN，∴∠DAB+∠NBA=180°，∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DCA=∠ECF，∴△DCA≌△ECF，∴AD=FE，∴AB=BF=FE-BE=AD-BE．故选D。
2024河南考数学二轮中考题型研究 题型四 类比、拓展探究题题(课件)
和三角形的内外角关系，得到∠DPC＝2∠BAC，
通过题干得到∠BAC的度数，即可求解．
例1题图①
【解法提示】
∵∠ACB＝90°，点P为AE的中点，∴PC为Rt△AEC斜边AE的中线，
∴CP＝ 1 AE，同理可证，DP＝ 1 AE，∴DP＝CP；
2
2
∴∠DPE＝2∠DAE，∠CPE＝2∠CAE，
∵AC＝BC，∴∠BAC＝45°，∴∠DPC＝2∠BAC＝90°，
例1题图①
填空：①DP与CP的数量关系是________； ②DP与CP的位置关系是____________；
【思维教练】①要求DP与CP的数量关系，通过直角三角形的性质：
斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CP＝1 AE，DP＝1 AE，即
2
2
可求解；②要求DP与CP的位置关系，
即求∠DPC的度数，通过等腰三角形性质
பைடு நூலகம்∴DP⊥CP.
填空：①DP与CP的数量关系是_D_P_＝__C__P_； ②DP与CP的位置关系是_D__P_⊥__C_P_；
例1题图①
(2)类比探究 把△BDE绕点B逆时针旋转45°至如图②的位置，(1)中的结论是否仍 然成立？若成立，请就图②的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
【思维教练】要求DP与CP的数量关系和位 置关系，过点P作AC的垂线，并构造出DP 与PC所在的两个直角三角形，结合旋转的 性质可证明DP和PC所在的两个三角形全等， 即可求解．
②如解图③，由(2)可知DP⊥CP，DP＝CP，
例1题解图②
∴△PCD为等腰直角三角形，
∵BC＝3BD＝3 2，∴CD＝BC－BD＝2 2，∴CP＝2. 综上所述，CP的长为4或2.
类比探究
（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图③，在△ABD 中，AB = 6，AD = BD = 5，点P
以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向 点B运动，且满足∠DPC = ∠A，设点P 的运动时间为 t（秒），当以点D 为圆心，以DC 长为半径的圆与AB 相切时，求t 的值.
Hale Waihona Puke （1）如图①，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点， ∠DPC = ∠A = ∠B = 90°，求证：AD·BC = AP·BP.
解：
（2）如图②，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点， 当∠DPC = ∠A = ∠B = θ 时，上述结论是否依然成立？ 并说明理由.
近5年由河南中考真题可以看出几何图形的类比探究在河南中招考试几乎都在第22题考查它是中考的重难点内容常设置三小问第一问一般是在特殊图形特殊三角形特殊四边形条件下以填空题的形式写出角的大小面积之间的数量关系及线段之间的数量关系或位置关系
类比探究
新中镇初级中学 王淑芳
考情总结
近5年由河南中考真题可以看出，几何图形的类比探究在河南中招考 试几乎都在第22题考查，它是中考的重难点内容，常设置三小问， 第一问一般是在特殊图形（特殊三角形、特殊四边形）条件下以填 空题的形式写出角的大小，面积之间的数量关系及线段之间的数量 关系或位置关系；第二问一般是弱化图形（图形平移、旋转或由特 殊到一般）或条件，再探究第一问的结论是否成立，并给予证明或 给出求解过程； 最后一问往往是利用前两问的求解思想或结论再进行拓展或解决问 题. 此类型题多涉及相似三角形、全等三角形、特殊图形的判定和 性质以及三角形的角平分线、垂直平分线、中位线等的性质，综合 性较强，难度较大.
中考数学类比探究实战演练(二)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：想一想河南中考数学第22题常考类型有哪些？问题2：想一想河南中考数学第22题答题标准动作有哪些？问题3：想一想河南中考数学第22题作答的注意事项有哪些？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：想一想河南中考数学第22题常考类型有哪些？答：河南中考数学第22题常考类比探究，有时会考查动点问题或几何综合问题．问题2：想一想河南中考数学第22题答题标准动作有哪些？答：①试卷上探索思路，演草纸上演草；②合理规划答题区域：两栏书写，先左后右；③作答要求：框架明晰、结论突出、过程简洁．问题3：想一想河南中考数学第22题作答的注意事项有哪些？答：22题作答要明确关键步骤，通过关键步骤之间的顺承关系表达思路．过程应简洁、结论要突出，以便于清晰地展示解题思路；但整个过程书写中，关键步骤不可或缺．类比探究问题，问与问之间，关键步骤要互相对应，书写框架要保持一致．变化的部分，模块书写进行论证即可．中考数学类比探究实战演练（二）一、单选题(共5道，每道8分)1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（），连接AC1，BD1，AC1与BD1相交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：△AOC1≌△BOD1.（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，AC1=kBD1，试判断AC1与BD1的位置关系，求出k的值，并说明理由．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，AC1=kBD1，连接DD1．请直接写出k的值及的值．（2）中AC1与BD1的位置关系为_________，k的值为_______．( )A.AC1⊥BD1，B.AC1⊥BD1，C.AC1与BD1不垂直，D.AC1与BD1不垂直，答案：A解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究2.（上接第1题）（3）中k的值为_______，的值为_________．( )A.，25B.2，200C.2，400D.，50答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.如图1，D是△ABC的边BC上一点，过点D的一条直线交AC于点F，交BA的延长线于点E．（1）若BD=CD，CF=2AF，请直接写出的值．（2）如图2，若BD=CD，CF=mAF，求的值．（用含m的代数式表示）（3）如图3，将原题改为“过点D的一条直线交AC的延长线于点F，交AB于点E，若BD=nCD，CF=mAF，求的值．（用含m，n的代数式表示）（1）中的值为( )A.2B.C. D.答案：B解题思路：见第5题中解析试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）（2）中的值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：见第5题中解析试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.（上接第3，4题）（3）中的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题。
河南中考22类比探究专题(六)——探究应用(含答案)
类比探究专题（六）——探究应用1.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2CD，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_____，AC的长为_____．( )A. B. C. D.2.（上接第1题）参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2DE，则BC的长为( )A.6B.C.D.3.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF．关于证明上述结论的辅助线的作法，有如下说法：①延长FD到G，使DG=BE，连接AG；②过点A作AG⊥EF于点G；③将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADG（之后证明点G，D，F在同一条直线上）．其中可以证明结论的是( )A.①B.②③C.①③D.①②③4.（上接第3题）探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别是边BC，CD上的点，且，则当∠B和∠D满足什么条件时，EF=BE+DF成立？( )A.∠B=∠DB.∠B+∠D=180°C.∠B=2∠DD.∠B+∠D=120°5.（上接第3，4题）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，则此时两舰艇之间的距离为( )海里．A. B.210 C.300 D.条件不够，无算。
2020河南中考数学复习专题专题 类比探究题
专题七 类比探究题专题类型突破类型一 图形旋转引起得探究(2019·河南)在△ABC 中,CA ＝CB,∠ACB＝α、点P 就是平面内不与点A,C 重合得任意一点.连接AP,将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP 、(1)观察猜想如图1,当α＝60°时,BD CP得值就是________,直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数就是________.(2)类比探究如图2,当α＝90°时,请写出BD CP得值及直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数,并就图2得情形说明理由.(3)解决问题当α＝90°时,若点E,F 分别就是CA,CB 得中点,点P 在直线EF 上,请直接写出点C,P,D 在同一直线上时AD CP得值.【分析】(1)延长CP 交BD 得延长线于E,设AB 交EC 于点O 、证明△CAP≌△BAD,即可解决问题.(2)设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E 、证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.(3)分两种情况:当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 得延长线于H 、证明AD ＝DC 即可解决问题;当点P 在线段CD 上时,同法可证DA ＝DC,解决问题.【自主解答】1.(2018·河南)(1)问题发现如图1,在△OAB 与△OCD 中,OA ＝OB,OC ＝OD,∠AOB＝∠COD＝40°,连接AC,BD 交于点M 、填空:①AC BD得值为________; ②∠AMB 得度数为________;(2)类比探究如图2,在△OAB 与△OCD 中,∠AOB＝∠COD＝90°,∠OAB＝∠OCD＝30°,连接AC交BD 得延长线于点M 、请判断AC BD得值及∠AMB 得度数,并说明理由; (3)拓展延伸在(2)得条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点M,若OD ＝1,OB ＝7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 得长.2.(2017·河南)如图1,在Rt△ABC 中,∠A＝90°,AB＝AC,点D,E 分别在边AB,AC 上,AD ＝AE,连接DC,点M,P,N 分别为DE,DC,BC 得中点.(1)观察猜想图1中,线段PM 与PN 得数量关系就是________,位置关系就是________;(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2得位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN 得形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD ＝4,AB ＝10,请直接写出△PMN 面积得最大值.图1 图23.(2015·河南)如图1,在Rt△ABC 中,∠B＝90°,BC＝2AB ＝8,点D,E 分别就是边BC,AC 得中点,连接DE 、将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α、(1)问题发现①当α＝0°时,AE BD＝________; ②当α＝180°时,AE BD＝________; (2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AE BD得大小有无变化？请仅就图2得情形给出证明. (3)解决问题当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时,直接写出线段BD 得长.类型二动点引起得探究(2016·河南)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BC＝a,AB＝b、填空:当点A位于________时,线段AC得长取得最大值,且最大值为________(用含a,b得式子表示);(2)应用点A为线段BC外一动点,且BC＝3,AB＝1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD与等边三角形ACE,连接CD,BE、①请找出图中与BE相等得线段,并说明理由;②直接写出线段BE长得最大值;(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A得坐标为(2,0),点B得坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA＝2,PM＝PB,∠BPM＝90°,请直接写出线段AM长得最大值及此时点P得坐标.【分析】(1)根据点A 位于CB 得延长线上时,线段AC 得长取得最大值,即可得到结论;(2)①根据等边三角形得性质得到AD ＝AB,AC ＝AE,∠BAD＝∠CAE＝60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形得性质得到CD ＝BE;②由于线段BE 得最大值＝线段CD 得最大值,根据(1)中得结论即可得到结果.(3)将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN 就是等腰直角三角形,根据全等三角形得性质得到PN ＝PA ＝2,BN ＝AM,根据当N 在线段BA 得延长线时,线段BN 取得最大值,即可得到最大值为22＋3;过P 作PE⊥x 轴于E,根据等腰直角三角形得性质即可得到点P 得坐标.【自主解答】4.(2019·河南模拟)(1)问题发现如图1,在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,AB AC＝1,点P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝90°,∠APD＝∠B,连接CD 、填空:①PB CD＝________;②∠ACD 得度数为________;(2)拓展探究如图2,在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,AB AC＝k 、点P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝90°,∠APD＝∠B,连接CD,请判断∠ACD 与∠B 得数量关系以及PB 与CD 之间得数量关系,并说明理由;(3)解决问题如图3,在△ABC 中,∠B＝45°,AB＝42,BC ＝12,P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝∠BAC,∠APD＝∠B,连接CD 、若PA ＝5,请直接写出所有CD 得长.类型三 图形形状变化引起得探究(2019·信阳一模)(1)观察猜想如图1,点B,A,C 在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE＝90°,AD＝AE,则BC,BD,CE 之间得数量关系为________;(2)问题解决如图2,在Rt△ABC 中,∠ABC＝90°,CB＝4,AB ＝2,以AC 为直角边向外作等腰Rt△DAC,连接BD,求BD 得长;(3)拓展延伸如图3,在四边形ABCD 中,∠ABC＝∠ADC＝90°,CB＝4,AB ＝2,DC ＝DA,请直接写出BD 得长.【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC,可得结论:BC ＝AB ＋AC ＝BD ＋CE;(2)过D 作DE⊥AB,交BA 得延长线于E,同理证明△ABC≌△DEA,可得DE ＝AB ＝2,AE＝BC＝4,最后利用勾股定理求BD得长;(3)同理证明三角形全等,设AF＝x,DF＝y,根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论.【自主解答】5.(2014·河南)(1)问题发现如图1,△ACB与△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE、填空:①∠AEB得度数为________;②线段AD,BE之间得数量关系为________;(2)拓展探究如图2,△ACB与△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB＝∠DCE＝90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上得高,连接BE,请判断∠AEB得度数及线段CM,AE,BE之间得数量关系,并说明理由;(3)解决问题如图3,在正方形ABCD中,CD＝2,若点P满足PD＝1,且∠BPD＝90°,请直接写出点A到BP得距离.参考答案类型一【例1】(1)1 60°(2)BD CP 得值为2,直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数为45°、理由如下: 如图,设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E 、∵∠PAD＝∠CAB＝45°,∴∠PAC＝∠DA B 、∵AB AC ＝AD AP ＝2, ∴△DAB∽△PAC,∴∠PCA＝∠DBA,BD PC ＝AB AC ＝2、 ∵∠EOC＝∠AOB,∴∠CEO＝∠OAB＝45°,∴直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数为45°、(3)AD CP得值为2＋2或2－2、 如图,当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 得延长线于H 、∵CE＝EA,CF ＝FB,∴EF∥AB,∴∠EFC＝∠ABC＝45°、∵∠PAO＝45°,∴∠PAO＝∠OFH、∵∠POA＝∠FOH,∴∠H＝∠APO、∵∠APC＝90°,EA＝EC,∴PE＝EA ＝EC,∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH,∴∠H＝∠BAH,∴BH＝BA 、∵∠ADP＝∠BDC＝45°,∴∠ADB＝90°,∴BD⊥AH,∴∠DBA＝∠DBC＝22、5°、∵∠ADB＝∠ACB＝90°,∴A,D,C,B 四点共圆,∠DAC＝∠DBC＝22、5°,∠DCA＝∠ABD＝22、5°, ∴∠DAC＝∠DCA ＝22、5°,∴DA＝DC 、设AD ＝a,则DC ＝AD ＝a,PD ＝22a, ∴AD CP ＝a a ＋22a ＝2－2、 如图,当点P 在线段CD 上时,同法可证DA ＝DC 、设AD ＝a,则CD ＝AD ＝a,PD ＝22a,∴PC＝a －22a, ∴AD PC ＝a a －22a ＝2＋2、 综上所述,点C,P,D 在同一直线上时,AD CP 得值为2－2或2＋2、 跟踪训练1.解:(1)①1提示:∵∠AOB＝∠COD＝40°,∴∠COA ＝∠DOB、∵OC＝OD,OA ＝OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC＝BD,∴AC BD＝1、 ②40°提示:∵△COA≌△DOB,∴∠CAO＝∠DBO、∵∠AOB＝40°,∴∠OAB＋∠ABO＝140°、在△AMB 中,∠AMB＝180°－(∠C AO ＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB ＋∠ABD)＝180°－140°＝40°、(2)AC BD ＝3,∠AMB＝90°、理由如下: 在Rt△OCD 中,∠DCO＝30°,∠DOC＝90°,∴OD OC ＝tan 30°＝33、 同理得OB OA ＝tan 30°＝33、 ∵∠AOB＝∠COD＝90°,∴∠AOC＝∠BOD,∴△AOC∽△BOD, ∴AC BD ＝OC OD＝3,∠CAO＝∠DBO, ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB －MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°、(3)23或33、提示:①点C 与点M 重合时,如图,同理得△AOC∽△BOD,∴∠AMB＝90°,AC BD ＝3、 设BD ＝x,则AC ＝3x 、在Rt△COD 中,∵∠OCD＝30°,OD＝1,∴CD＝2,∴BC＝x －2、在Rt△AOB 中,∠OAB＝30°,OB＝7、∴AB＝2OB ＝27、在Rt△AMB 中,由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2,即(3x)2＋(x －2)2＝(27)2,解得x 1＝3,x 2＝－2(舍去),∴AC＝33、②点C 与点M 重合时,如图,同理得∠AMB＝90°,AC BD ＝3、设BD ＝x,则AC ＝3x,在Rt△AMB 中,由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2,即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2、解得x 1＝－3,解得x 2＝2(舍去),∴AC＝23、综上所述,AC 得长为33或23、2.解:(1)PM ＝PN PM⊥PN提示:∵点P,N 就是BC,CD 得中点,∴PN∥BD,PN＝12BD 、∵点P,M 就是CD,DE 得中点,∴PM∥CE,PM＝12CE 、 ∵AB＝AC,AD ＝AE,∴BD＝CE,∴PM＝PN 、∵PN∥BD,∴∠DPN＝∠ADC,∵PM∥CE,∴∠DPM＝∠DCA、∵∠BAC＝90°,∴∠ADC＋∠ACD＝90°,∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°,∴PM⊥PN、(2)△PMN 为等腰直角三角形.理由如下:由旋转知,∠BAD＝∠CAE、∵AB＝AC,AD ＝AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD＝∠ACE,BD＝CE 、同(1)得方法,利用三角形得中位线定理得PN ＝12BD,PM ＝12CE, ∴PM＝PN,∴△PMN 就是等腰三角形.同(1)得方法得PM∥CE,∴∠DPM＝∠DCE、同(1)得方法得PN∥BD,∴∠PNC＝∠DBC、∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC,∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB ＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC、∵∠BAC＝90°,∴∠ACB＋∠ABC＝90°,∴∠MPN＝90°,∴△PMN 就是等腰直角三角形.(3)492、 提示:同(2)得方法得△PMN 就是等腰直角三角形,∴当MN 最大时,△PMN 得面积最大,∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面,∴MN 最大＝AM ＋AN 、如图,连接AM,AN 、在△ADE 中,AD ＝AE ＝4,∠DAE＝90°,∴AM＝22、在Rt△ABC 中,AB ＝AC ＝10,AN ＝52,∴MN 最大＝22＋52＝72,∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492、 3.解:(1)①52提示:当α＝0°时,∵在Rt△ABC 中,∠B＝90°,∴AC＝AB 2＋BC 2＝(8÷2)2＋82＝45、∵点D,E 分别就是边BC,AC 得中点, ∴AE＝45÷2＝25,BD ＝8÷2＝4,∴AE BD ＝254＝52、 ②25提示:如图,当α＝180°时,则可得AB∥DE、∵AC AE ＝BC BD, ∴AE BD ＝AC BC ＝458＝52、 (2)当0°≤α≤360°时,AE BD得大小没有变化. ∵∠ECD＝∠ACB,∴∠ECA＝∠DCB、又∵EC DC ＝AC BC ＝52, ∴△ECA∽△DCB,∴AE BD ＝EC DC ＝52、 (3)BD 得长为45或1255 提示:a 、如图,∵AC＝45,CD ＝4,CD⊥AD,∴AD＝AC 2－CD 2＝(45)2－42＝80－16＝8、∵AD＝BC,AB ＝DC,∠B＝90°,∴四边形ABCD 就是矩形,∴BD＝AC ＝45、b.如图,连接BD,过点D 作AC 得垂线交AC 于点Q,过点B 作AC 得垂线交AC 于点P 、∵AC＝45,CD ＝4,CD⊥AD, ∴AD＝AC 2－CD 2＝(45)2－42＝80－16＝8、∵点D,E 分别就是边BC,AC 得中点, ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2, ∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6,由(2)得AE BD ＝52, ∴BD＝652＝1255、 综上所述,BD 得长为45或1255、 类型二【例2】(1)CB 得延长线 a ＋b(2)①CD＝BE 、理由:∵△ABD 与△ACE 就是等边三角形,∴AD＝AB,AC ＝AE,∠BAD＝∠CAE＝60°,∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC,即∠CAD＝∠EAB、在△CAD 与△EAB 中,⎩⎨⎧AD ＝AB∠CAD＝∠EAB AC ＝AE∴△CAD≌△EAB,∴CD＝BE 、②4提示:∵线段BE 长得最大值等于线段CD 得最大值,由(1)知,当线段CD 取得最大值时,点D 在CB 得延长线上,∴线段BE 得最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4、(3)线段AM 得最大值为22＋3,点P 得坐标为(2－22,2).提示:如图,将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN 就是等腰直角三角形,∴PN＝PA ＝2,BN ＝AM 、∵点A 得坐标为(2,0),点B 得坐标为(5,0),∴OA＝2,OB ＝5,∴AB＝3,∴线段AM 得最大值等于线段BN 得最大值,∴当点N 在线段BA 得延长线时,线段BN 取得最大值,即最大值为AB ＋AN 、 ∵AN＝2AP ＝22,∴线段AM 得最大值为22＋3、如图,过点P 作PE⊥x 轴于点E 、∵△APN 就是等腰直角三角形,∴PE＝AE ＝2,∴OE＝BO －AB －AE ＝5－3－2＝2－2, ∴P(2－2,2).跟踪训练4.解:(1)①1②45°(2)∠ACD＝∠B,PB CD＝k 、 理由如下:∵∠BAC＝∠PAD＝90°,∠B＝∠APD,∴△ABC∽△APD,∴AB AC ＝AP AD＝k 、 ∵∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAD＝90°,∴∠BAP＝∠CAD,∴△ABP∽△CAD,∴∠ACD＝∠B,PB CD ＝AB AC＝k 、 (3)102或7102、 类型三【例3】(1)BC ＝BD ＋CE提示:∵∠B＝90°,∠DAE＝90°,∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°,∴∠D＝∠EAC 、∵∠B＝∠C＝90°,AD＝AE,∴△ADB≌△EAC,∴BD＝AC,EC ＝AB,∴BC＝AB ＋AC ＝BD ＋CE 、(2)如图,过D 作DE⊥AB,交BA 得延长线于E 、由(1)同理得△ABC≌△DEA,∴DE＝AB ＝2,AE ＝BC ＝4、在Rt△BDE 中,BE ＝6,∴由勾股定理得BD ＝62＋22＝210、(3)如图,过点D 作DE⊥BC 于E,作DF⊥AB,交BA 得延长线于F 、同理得△CED≌△AFD,∴CE＝AF,ED ＝DF 、设AF ＝x,DF ＝y,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42＋x ＝y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3 ∴BF＝2＋1＝3,DF ＝3,由勾股定理得BD ＝32＋32＝32、跟踪训练5.解:(1)①60°提示:∵△ACB 与△DCE 均为等边三角形,∴CA＝CB,CD ＝CE,∠ACB＝∠DCE＝60°,∴∠ACD＝∠BCE、在△ACD 与△BCE 中,⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACD＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD≌△BCE,∴∠ADC＝∠BEC、∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE＝∠CED＝60°、∵点A,D,E 在同一直线上,∴∠ADC＝120°,∴∠BEC＝120°,∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝60°、②AD＝BE(2)∠AEB＝90°,AE＝BE ＋2CM 、理由如下:∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形,∴CA＝CB,CD ＝CE,∠ACB＝∠DCE＝90°,∴∠ACD＝∠BCE、在△ACD 与△BCE 中, ⎩⎨⎧CA ＝CB∠ACD＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD≌△BCE,∴AD＝BE,∠ADC＝∠BEC、∵△DCE 为等腰直角三角形,∴∠CDE＝∠CED＝45°、∵点A,D,E 在同一直线上,∴∠ADC＝135°,∴∠BEC＝135°,∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°、∵CD＝CE,CM⊥DE,∴DM＝ME、∵∠DCE＝90°,∴DM＝ME＝CM, ∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM、(3)点A到BP得距离为3－12或3＋12、提示:∵PD＝1,∴点P在以点D为圆心,1为半径得圆上.∵∠BPD＝90°,∴点P在以BD为直径得圆上,∴点P就是这两圆得交点.(i)当点P在如图所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E、∵四边形ABCD就是正方形,∴∠ADB＝45°,AB＝AD＝DC＝BC＝2,∠BAD＝90°,∴BD＝2、∵DP＝1,∴BP＝3、∵∠BPD＝∠BAD＝90°,∴点A,P,D,B在以BD为直径得圆上,∴∠APB＝∠ADB＝45°,∴△PAE就是等腰直角三角形.又∵△BAD就是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,∴由(2)中得结论可得BP＝2AH＋PD,∴3＝2AH＋1,∴AH＝3－1 2、(ii)当点P在如图所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB得延长线于点E、同理可得BP＝2AH－PD,∴3＝2AH－1,∴AH＝3＋1 2、综上所述,点A到BP得距离为3－12或3＋12、。
河南中考真题(第22题)类比探究- word版 含解析
类比、拓展探究题17年）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN，位置关系是PM⊥PN；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．16年）（1）发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a ，AB=b .填空：当点A 位于__________________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_____________.（用含a ，b 的式子表示） （2）应用点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1. 如图2所示，分别以AB ，A C 为边， 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ， 连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值. （3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），点B 的坐标为（5 , 0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4.（3）AM 的最大值是3+22，点P 的坐标为（2-2，2）.（3）如图3，构造△BNP ≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。
河南省中招数学第22题类比探究(先翻折后旋转型)
变式题演练二
• 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°， AC=4,点D，E分别在AB，AC上，∠ADE=90°，连 接BE，点F为BE的中点，连接DC，DF，CF。
• 观察猜想：线段FD与线段FC的数量关系是 ∠DFC= °；
变式题演练二
• 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°， AC=4,点D，E分别在AB，AC上，∠ADE=90°，连 接BE，点F为BE的中点，连接DC，DF，CF。
变式题演练二
• 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4,点 D，E分别在AB，AC上，∠ADE=90°，连接BE，点F为BE的 中点，连接DC，DF，CF。
• 拓展延伸：若AD=1，把△ADE绕点A在平面内自由旋转， 请直接写出△CDF面积的最大值。
变式题演练三
• 问题发现：如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中， ∠A=∠DEB=30°，BC=BE=3，
河南省中招数学第22题 类比探究（先翻折后旋转型）
上蔡县大路李初中 九年级数学组
引入：旋转型
如右图，等腰直角三角形A’BA和等腰直角三角形 E’BE 中，求证：△ EBA ≌△ E’B A’
如左图， 若C、D、 F分别为 中点，则 线段CF、 CD的关 系是什么？ 写出证明 过程。
பைடு நூலகம்
变式题演练一
• 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC 于E，点F是AE的中点。
变式题演练三
• 问题发现：如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中， ∠A=∠DEB=30°，BC=BE=3， Rt△BDE绕点 B逆时针旋转，H为CD的中点。
河南省平顶山市第四十六中学九年级数学中考复习讲义类比探究
类比探究（二）——类比结构构造1. 我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =_____BC ； ②如图3，当∠BAC =90°，BC =8时，则AD 的长为_________． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，四边形ABCD ，∠C =90°，∠D =150°，BC =12，CD =23，DA =6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△P AB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△P AB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．βαC'B'DCBA图1 图22. 【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B =90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________． 【拓展应用】如图2，在△ABC 中，BC =a ，BC 边上的高AD =h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________（用含a ，h 的代数式表示）． 【灵活应用】扫一扫 看视频 对答案DC BA图4C'B'DCBA图3如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108 cm ，CD =60 cm ，且4tan tan 3B C ==，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．FED C BAAB C D EM NPQAB CDE图（2）图图1图2 图33. 折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（如图1），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（如图2）．第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB ，PC ，得到 △PBC ．D C B A FED C BA E FGPDCBA图1 图2 图3（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】AB CDBA备E D CB AABCDBA备（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．PDC BADCBA图4 图5（3）已知矩形一边长为3 cm ，另一边长为a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm ． 4. 已知四边形ABCD 的一组对边AD ，BC 的延长线交于点E ．（1）如图1，若∠ABC =∠ADC =90°，求证：ED ·EA =EC ·EB ．（2）如图2，若∠ABC =120°，cos ∠ADC =35，CD =5，AB =12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD的面积．（3）如图3，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC =cos ∠ADC =35，CD =5，CF =ED =n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．EDCBA图1 图2 图3E DCBAFE DCB A类比探究（一）——探究应用（讲义）➢知识点睛1.类比探究问题往往会在发现不变结构后，应用不变结构去解决新的问题．此时需要先探索分析新问题，在探索过程中，将新问题与不变结构的特征进行对比，寻求“相同”特征．在“相同”特征基础上，构造不变结构来解决问题．备注：图形不完整时，往往会有多种情形．➢精讲精练5.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=a=_____，b=_____；如图2，当∠ABE =30°，c =4时，a =________，b =________．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间 的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论． 拓展应用（3）如图4，在□ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点， BE ⊥AC 于点H ，若AD=AB =3，求AF 的长．CFPECFAP ECF BPE图1图2图3HF E DCBA图46. （1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC 于点D ．求证：AB 2=AD ·AC ．（2）如图2，在Rt △ABC中，∠ABC =90°，D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交ACBD DC ==（3）在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 为直线BC 上的动点（点D 不与B ，C 重合），直线BEBD DC ==能的值（用含n 的式子表示），不必证明．BC D图1 图2备用图27. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC =30°，ABC S =△，则BE =_________，CD =________．图1N MFEDCB ADCABFEN图2EFBCD A D CABFEN8. 已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ =90°．探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P 在线段AB 上，且AC=1P A则：①PB =___________，PC =____________； ②猜想：P A 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为____________．（2）如图2，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若动点P 满足13PA PB =，求PCAC的值． 图1AB PCQ图2QACP B 图3ACB类比探究（一）——探究应用（习题）1. 探究发现如图1，△ABC 是等边三角形，∠AEF =60°，EF 交等边三角形外角平分线CF 所在的直线于点F ，当点E 是BC 的中点时，有AE =EF 成立． 数学思考某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）任意一点时（其他条件不变），结论AE =EF 仍然成立． 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段BC 上的任意一点”，“点E 是线段BC 延长线上的任意一点”，“点E 是线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE =EF ． 拓展应用当点E 在线段BC 的延长线上时，若CE =BC ，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S △ABC :S △AEF 的值．ACB2. 已知∠MAN =135°，正方形ABCD 绕点A 旋转．（1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ． ①如图1，若BM =DN ，则线段MN 与BM +DN 之间的数量关系是__________．②如图2，若BM ≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．图1NMD CB A图2NMB CD A3. 已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．图1ABC FE 图2ABC 图3ABC 图3MBCADN图2图3A FGE BCDA E BGFDC图3A EBGF DC。
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河南中考数学类比探究学生精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-中考数学类比探究 实战演练（一）22.（10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ； （2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；图1NM E DCBACBADE M N 图2图3N M E DCBA．中考数学类比探究 实战演练（二）22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBEC BCPA图2P图3DCBA图1F E DCBA 中考数学类比探究 实战演练（三）22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ， 过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____（用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若AC，BC=DF=，请直接写出CE 的长．图2F E DCBA图3DCBA中考数学类比探究 实战演练（四）22. （10分）已知：在△AOB 与△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°．（1）如图1，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是_________．（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）．连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点，请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．O图1M D C BAO图2MDCBA图3中考数学类比探究实战演练（五）22.（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．E(A)B CDFGGFDCBAE图1图1GFDCBAEEACDFG(B)图1图2图3图2EACDFG(B)图2图3图3中考数学类比探究 实战演练（六）22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接MD ，MB ．（1）探究线段MD ，MB 的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDCBA图1M DCBA图2ABCDM图3中考数学类比探究 实战演练（七）22. （10分）已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ；②CF =BC -CD ．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形的对角线AE ，DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．EDBACF图1EDA C F图2OEDB ACF图3中考数学类比探究 实战演练（八）22. （10分）在△ABC 中，∠A =90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）如图1，若点D 与点C 重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系.（2）如图2，若点D 与点C 不重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若点D 与点C 不重合，AB =kAC ，求BEFD的值（用含k 的式子表示）． C B (D )AFE图1CB DAFE图2CBD AFE图3中考数学类比探究 实战演练（九）22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ． （1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．A FCB EA F ECBBCEFAnm图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十）22.（10分）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DB，DG，直接写出∠BDG的度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，连接DB ，DG ，求∠BDG 的度数．A BC EF D图1A BC EF DG图2A BC E FDG图3中考数学类比探究 实战演练（十一）图2BC QP E FAAF E (P )Q CB图122. （10分）已知点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 是斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．中考数学类比探究 实战演练（十二）22. （10分）问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值． 类比归纳：在图1中，若13CE CD =，则AM BN 的值为__________；若14CE CD =，则AMBN 的值为__________；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值为__________．（用含n 的式子表示）联系拓广：如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设1AB BC m =（1m >），1CE CD n =，则AMBN的值为_______．（用含m n ，的式子表示）图2图1CBD A FEM N CBDA FEM N。